孫曉婧 周紅元 亢志寬

基于聲子晶體理論的地震超材料具有周期性結(jié)構(gòu)，其帶隙特性可以控制和衰減地震波。為進一步推動地震超材料的應(yīng)用，研究了由橡膠和鉛塊周期性排列組成的地震超材料中蘭姆波的傳播，以評估其用于地震波衰減的可行性。通過數(shù)值模擬，研究了地震超材料的帶隙特性、振動模態(tài)和對實際地震波的衰減效果。研究發(fā)現(xiàn)，所設(shè)計的地震超材料具有位于3.54～10.40 Hz范圍內(nèi)的帶隙，相對帶隙寬度高達98.4%。通過位移場分析，解釋了所設(shè)計結(jié)構(gòu)帶隙為局域共振型，并且對EL centro地震波有良好衰減效果。本文提出的地震超材料不僅由常見材料組成，且尺寸較小，易于實現(xiàn)，進一步推動了地震超材料的工程應(yīng)用。

地震超材料； 蘭姆波； 低頻； 帶隙； 相對帶寬

TU591 A

［定稿日期］2021-11-25

［作者簡介］孫曉婧（1991—），女，專科，助理工程師，研究方向為建筑材料檢測與性能。

［通信作者］亢志寬（1995—），男，碩士，研究方向為地震超材料隔震。

1 地震超材料隔震

全世界每年都會發(fā)生數(shù)百萬次地震，地震是最具災(zāi)難性的自然災(zāi)害之一，會對建筑物造成廣泛破壞，并導(dǎo)致環(huán)境、經(jīng)濟和社會的破壞。建筑物抗震常用措施包括：減震消能、結(jié)構(gòu)抗震、隔震及多種方法相結(jié)合?，F(xiàn)有的減震消能方法是將地震輸入結(jié)構(gòu)的能量引向特別的裝置進行消耗，以保護主體結(jié)構(gòu)的安全。但是消能元件與主體結(jié)構(gòu)經(jīng)常連在一起，從而引起主體結(jié)構(gòu)出現(xiàn)彈塑性變形［1］。減震方法按采用手段可分為主動、半主動和混合控制3種方法［2］。這些方法都存在一些問題，比如半主動控制具有較強的局限性，主動控制穩(wěn)定性較差且影響因素較多，對于寬頻減震效果不佳。而地震超材料的出現(xiàn)為抗震保護提供了新思路。

地震超材料是一種人工設(shè)計的周期性結(jié)構(gòu)，周期結(jié)構(gòu)具有帶隙特性，在帶院頻率范圍內(nèi)的彈性波無法通過所設(shè)計的結(jié)構(gòu)。近年來，將周期結(jié)構(gòu)理論舊應(yīng)用到隔震中的研究引起了科研工作者越來越多的關(guān)注。目前，地震超材料的研究主要集中于對0.1～20 Hz范圍內(nèi)的地震表面波控制和隔離，因為這段頻率范圍包含了大多數(shù)建筑的共振基頻［4］。根據(jù)地震超材料帶隙的帶隙機理，主要可以分為布拉格散射型和局部共振型［5］。前者由于尺寸與地震波波長相近，而地震波波長可以達到19 m甚至幾十米，因此這類地震超材料的應(yīng)用受到了很大限制。而局域共振型地震超材料由于其尺寸可以比地震波波長小2～3個數(shù)量級，這類地震超材料受到了更廣泛的研究。然而，局域共振型地震超材料存在帶隙窄的問題，為了拓寬帶隙，學(xué)者們相繼提出了一些新型結(jié)構(gòu)和排列方式，如分形結(jié)構(gòu)［4］、類套娃結(jié)構(gòu)［4］、 菱形結(jié)構(gòu)［6］和梯度排列［7］?；谧匀唤绲耐馏w為非均質(zhì)的分層土這-事實，葛倩倩等［8］分析了上覆層土體中部分埋入地震超材料的隔震性能，為地震超材料的工程應(yīng)用提供了依據(jù)。此外，地震材料還可以用于核電結(jié)構(gòu)［9］和軌道交通［10］等減震降噪方面。

地震超材料在結(jié)構(gòu)設(shè)計和應(yīng)用方面均取得了一定研究進展［11］。然而，由于現(xiàn)在普遍設(shè)計的地震超材料尺寸太大，導(dǎo)致應(yīng)用性很低。并且使用典型材料設(shè)計的地震超材料仍然是一個挑戰(zhàn)。 因此本文提出了一種由常見的橡膠和鉛塊組成小尺寸的地震超材料，這有利于實際工程應(yīng)用。這種含鉛的地震超材料的相對帶寬高達98 4%。本文還解釋了這種超材料的帶隙機理，并且分析了在特定地震波作用下所設(shè)計地震超材料的屏蔽效果。本文提供了一種新的設(shè)計方法，使用常見材料，設(shè)計出了結(jié)構(gòu)簡單，易于實現(xiàn)且具有寬帶低須和良好隔震性能的地震超材料，進一步推動了地震超材料的工程應(yīng)用。

最近，地震超材料的出現(xiàn)為抗震保護提供了新思路，它可以顯著降低特定頻率范圍內(nèi)的地震波能量，以保護建筑結(jié)構(gòu)，特別是在1～10 Hz范圍內(nèi)，這對應(yīng)于許多民用建筑的基本共振頻率［5］。這些超材料通常是人工設(shè)計的周期性結(jié)構(gòu)，它們具有天然材料中不存在的特殊材料特性［6］。通過合理設(shè)計這些超材料，可以控制波的傳播，并且可以實現(xiàn)非常規(guī)特性，如低頻帶隙［7］、負(fù)折射［8-9］、振動吸收［10-11］和波導(dǎo)［12］等。具有低頻帶隙的地震超材料為地震保護提供了新的可能性［13］。地震超材料帶隙的機制通常包括布拉格散射和局部共振［14］。波長低于相關(guān)波長的超材料已被開發(fā)用于保護民用基礎(chǔ)設(shè)施免受大規(guī)模地震威脅［15］。此外，也有一些拓寬帶隙的研究，如“彩虹陷阱效應(yīng)”［16-17］、分形結(jié)構(gòu) ［18-19］和類套娃結(jié)構(gòu)［14］。目前，已經(jīng)提出了三維大型機械超材料，并通過數(shù)值證明了其作為地震超材料衰減低頻體波、板波和表面波的可行性［20］。

人工設(shè)計的地震超材料可以阻斷特定頻率范圍內(nèi)的地震波，然而，由于現(xiàn)在普遍設(shè)計的地震超材料尺寸太大，導(dǎo)致它的應(yīng)用性很低。并且使用典型材料設(shè)計的地震超材料仍然是一個挑戰(zhàn)。因此本文提出了一種由常見的橡膠和鉛塊組成小尺寸的地震超材料，這有利于實際工程應(yīng)用。這種含鉛的地震超材料的相對帶寬高達98.4%。本文還解釋了這種超材料的帶隙機理，并且分析了在特定地震波作用下所設(shè)計地震超材料的屏蔽效果。本文提供了一種新的設(shè)計方法，使用常見材料，設(shè)計出了結(jié)構(gòu)簡單，易于實現(xiàn)且具有寬帶低頻和良好隔震性能的地震超材料，進一步推動了地震超材料的工程應(yīng)用。

2 模型與方法

2.1 模型簡介

圖1（a）顯示了一個由橡膠包裹鉛塊組成的地震超材料單胞，深色部分表示橡膠，淺色部分表示鉛塊，圖1（b）表示由5×5個超材料單胞所組成的地震超材料示意圖。其中，鉛塊為邊長為0.8 m的正方體結(jié)構(gòu)，橡膠塊為邊長為1 m的正方體結(jié)構(gòu)，橡膠包覆在鉛塊外側(cè)。從應(yīng)用性角度出發(fā)，選擇常見且價格低廉的橡膠和鉛塊作為地震超材料的原材料，地震超材料單胞的材料特性在表1進行了說明，這些材料參數(shù)是鉛和橡膠的常用參數(shù)。

2.2 計算方法

在研究中，假設(shè)材料是線性彈性、均質(zhì)和各向同性的。對于板中的蘭姆波，F(xiàn)loquent周期性邊條件分別施加在單胞的4個垂直面上，自由邊界條件施加在模型的頂面和底面。使用有限元軟件COMSOL Multiphysics沿Γ-X-M-Γ方向掃描波矢量來計算頻散曲線。網(wǎng)格設(shè)置為自由四面體網(wǎng)格。在圖2中箭頭圍成的三角形區(qū)域為第一個不可約布里淵區(qū)。同時，還可以獲得與模態(tài)位移場有關(guān)的特征值和特征向量。

3 結(jié)果與討論

3.1 頻散曲線

圖3表示所設(shè)計結(jié)構(gòu)的頻散曲線，其中灰色部分表示帶隙，帶隙位于3.54～10.40 Hz范圍內(nèi)，寬度6.86 Hz。相對帶隙寬度定義為2（fu-fl）/（fu+fl），式中：fu表示帶隙上邊界，fl表示帶隙下邊界。本文所設(shè)計的地震超材料相對帶隙寬度高達98.4%。帶隙上下邊界的A點和B點分別對應(yīng)的振動模態(tài)如圖4所示。對于帶隙下邊界A，可以看出，結(jié)構(gòu)圍繞中心軸旋轉(zhuǎn)，相鄰單胞之間的橡膠有明顯的反相位移動，而中間部分的橡膠基本不移動。對于帶隙上邊界的B點，鉛塊基本靜止，而橡膠在z軸方向上振動。

3.2 頻域分析

為研究所設(shè)計地震材料板對蘭姆波的屏蔽效果，計算了在有限排單胞所組成地震超材料的透射譜，如圖5所示。圖5（a）為透射譜計算模型，其中深色部分表示10排地震超材料單胞，淺色部分表示土壤，最淺色部分表示完美匹配層。波在邊界位置發(fā)生反射會影響計算結(jié)果，因此在模型兩端設(shè)置了PML（完美匹配層），以減弱波反射。在模型的Y方向的2個側(cè)面設(shè)置周期性邊界條件，以模擬周期性結(jié)構(gòu)。在模型左側(cè)PML與土壤交接位置，沿x、y、z的三向偏振方向設(shè)置1 m的指定位移，以模擬入射的蘭姆波。為評估地震超材料在頻域中的衰減效果，將頻響函數(shù)定義為20×log10（A1/A0），其中A1為有超材料時，在結(jié)構(gòu)后方4 m處的加速度或位移幅值，A0為沒有超材料時，在結(jié)構(gòu)后方相同點出的加速度或位移幅值。

透射譜計算結(jié)果如圖5（b）所示，在3.7～12.2 Hz范圍內(nèi)存在明顯衰減域，這與上述頻散曲線的計算結(jié)果基本重合，再次印證了所設(shè)計地震超材料對蘭姆波衰減的有效性。

3.3 帶隙機理分析

地震超材料的帶隙主要分為布拉格散射型帶隙和局域共振型帶隙，前者以反射為主，依靠結(jié)構(gòu)的周期性對彈性波進行衰減。后者以Mie反射為主，彈性波再通過第一個結(jié)構(gòu)時就會發(fā)生顯著衰減，不依靠結(jié)構(gòu)的周期性，且尺寸可以比波長小2～3個數(shù)量級。為研究所設(shè)計結(jié)構(gòu)的帶隙類型，分析了在特定頻域入射下，透射譜模型的位移場。如圖6（a）所示，位于帶隙范圍外的1.9 Hz彈性波入射時，彈性波可以穿透地震超材料，這基本無法保護超材料板后方的結(jié)構(gòu)。當(dāng)以位于帶隙范圍內(nèi)的4.1 Hz彈性波入射時，發(fā)現(xiàn)彈性波在通過地震超材料單胞時，發(fā)生了顯著衰減，并且超材料單胞后方土壤基本靜止不動。且變形主要發(fā)生在第一個單胞附近，彈性波隨著通過結(jié)構(gòu)而顯著衰減，這種衰減特性與局域共振型帶隙基本一致。因此，本文所設(shè)計的結(jié)構(gòu)為局域共振型地震超材料。

3.4 地震動時程分析

為研究所設(shè)計地震超材料對實際地震波的屏蔽效果，計算了在EL centro 地震波作用下結(jié)構(gòu)的屏蔽效果。EL centro 地震波三向分量形式的加速度時程曲線如圖7所示。時域分析的計算模型與圖5（a）一致。將三向地震波分量通過指定加速度的形式，添加在左側(cè)PML和土壤交界面處。如圖8所示，比較了EL centro 地震波三向分量形式作用下，有無地震超材料結(jié)構(gòu)時結(jié)構(gòu)后方4 m出的x向、y向和z向加速度幅值。如圖8（a）～圖8（c）黑色曲線為沒有地震超材料時，結(jié)構(gòu)后方4 m處的加速度，加速度幅值較大；紅色曲線為有地震超材料時，相同點的三向加速度幅值，可以發(fā)現(xiàn)EL centro 地震波的加速度被明顯衰減， 這也再次說明了所設(shè)計結(jié)構(gòu)對地震波的衰減效果。

4 結(jié)論

本文提出了一種基于蘭姆波的含鉛低頻超寬衰減域地震超材料，結(jié)構(gòu)尺寸較小，且組成材料常見。將其布置在建筑周圍，沿建筑物環(huán)向布置，可以衰減來自任意方向的地震波，保護共振基頻位于帶隙范圍內(nèi)的建筑，不僅易于實現(xiàn)，且衰減效果良好。研究發(fā)現(xiàn)，所設(shè)計的地震超材料能夠衰減3.54～10.40 Hz范圍內(nèi)的地震蘭姆波，且相對帶隙寬度高達98.4%。通過振動模態(tài)分析，解釋了帶隙形成的原因。利用有限元方法對有限數(shù)量的地震超材料進行了頻域分析，顯然，波傳播的透射系數(shù)計算表明了對地震波屏蔽有良好的效果。通過位移場分析，研究了本文所設(shè)計的地震超材料的帶隙機理為局域共振型。最后，通過在EL centro地震波作用下結(jié)構(gòu)的地震動時程分析發(fā)現(xiàn)，所提出的地震超材料對上述地震波有明顯衰減作用。

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