周琦雅　郭文軍

摘要：基于同位旋相關的量子分子動力學（IQMD）輸運理論模型，研究中能重離子碰撞的初始化問題。成功的初始化可以很好地減少碰撞過程中出現(xiàn)的非物理漲落和虛粒子發(fā)射，有利于兩體碰撞過程順利進行。計算發(fā)現(xiàn)，不同的對稱勢對原子核的穩(wěn)定性有一定的影響。選取不同質量數(shù)的Fe，Kr，Sn 元素及其同位素，通過其在自身平均場中隨時間的演化來驗證原子核的穩(wěn)定性，統(tǒng)計出初始化穩(wěn)定原子核的數(shù)量，選取出最為穩(wěn)定的對稱勢。發(fā)現(xiàn)平方項的對稱勢 U2 最為穩(wěn)定，其對應的斜率 L、不可壓縮系數(shù)Ksym都在已知的約束范圍內，表現(xiàn)出同位旋相關平均場取硬勢時，原子核更為穩(wěn)定的特征。

關鍵詞：原子核初始化；IQMD 模型；對稱勢

中圖分類號：O 571.6??????????? 文獻標志碼：A

Nuclear initialization in transport theory

ZHOU Qiya， GUO Wenjun

（College of Science， University of Shanghaifor Science and Technology， Shanghai 200093， China）

Abstract： Based? on? the? isospin? quantum? molecular? dynamics? （IQMD）? transport? theory? model，? theinitialization of intermediate energy heavy ion collisions was studied. The non-physical fluctuation andthe? emission? of? virtual? particles? in? the? collision? process? can? be? reduced? by? successful? initialization，which is conducive to the stability of the next two-body collision. Different symmetry potentials havecertain influence on the stability of nuclei. Fe， Kr， Sn and their isotopes with different mass numberswere selected， and the stability of nuclei was verified by the evolution with time in their own mean field.The? number? of? stable? nuclei? was? initialized? statistically，? and? the? most? stable? symmetry? potential? wasselected. The study shows that the symmetry potential U2 of the square term is the most stable， and itscorresponding slope L and incompressible coefficient Ksym are all within the known constraint range.When the isospin dependent mean field takes the hard potential， the nucleus is more stable.

Keywords： nuclear initialization; isospin quantum molecular dynamics （IQMD） model; symmetrypotential

對稱能是指純中子物質與對稱物質的平均單核子能量之差，可以導致質子與中子的不同能量狀態(tài)。它描述了原子核系統(tǒng)中，中質比變化時結合能的變化[1-2]。對稱勢與對稱能通過能量密度泛函聯(lián)系在一起，有一定的依賴關系。同位旋相關的量子分子動力學（ isospinquantummolecular dynamics ， IQMD）模型初始化中，選用不同的對稱勢，對稱能也在變化，初始化出來的核子會產生差異。因而研究對稱能和對稱勢對輸運理論有重要作用。密度依賴的對稱能對致密星有一定的影響，對斜率 L 和不可壓縮系數(shù)Ksym敏感[3-4]。研究對稱能的 L 和Ksym是十分必要的。 Li 等[5]用核狀態(tài)方程研究了核對稱能的Ksym?L （曲率?斜率），對此有利于理解中子星的性質，例如殼核躍遷、半徑。Ksym?L 相關的天體物理性質有助于約束難以確定的核對稱能量的高密度行為。中子星的半徑由同位旋非對稱物質的壓力決定，壓力受對稱能斜率 L 的影響[6]。此外，對稱能的斜率 L 還提供了密度依賴的對稱能的很多重要信息[7]。

重離子在中高能的碰撞過程中可以提取出很多核性質，其過程一般通過彈核轟擊靶核，對轟擊后的產物、碎片進行分析得出結果。因而需要首先考慮初始核的穩(wěn)定性，即原子核的初始化。有研究表明，在預測反應路徑和相應可見物（如集體流）中觀測到的差異，很大一部分是由于系統(tǒng)初始化和碰撞積分處理（主要是泡利阻塞效應）方面的差異造成的。在對同位旋敏感的重離子碰撞（ HICs ）的輸運模型計算觀測中，原子核的初始化也起著重要作用。例如，初始化時考慮中子皮會影響外圍 HICs 中π?/π+比值的預測。對稱勢在原子核勢能中是很重要的一項，修正對稱勢有利于初始化更多的原子核數(shù)量[8-10]。研究中能重離子碰撞過程，通常是建立輸運模型?，F(xiàn)如今，發(fā)展了很多輸運模型，主流的有 Boltzmann-Uehling- Uhlenbeck（ BUU ）模型、量子分子動力學（QMD）模型及其擴展量子分子動力學（ EQMD）模型、同位旋相關的量子分子動力學（IQMD）模型、反對稱分子動力學（ AMD ）模型、費米分子動力學（ FMD ）模型。 BUU 模型將核子看作點粒子， Gao 等基于 BUU 模型研究了在一定條件下帶電介子比比自由中質比對稱能的敏感度大，根據(jù)研究同位旋敏感可觀測物的模型依賴關系，通過實驗和理論模擬的比較確定核對稱能的密度依賴性[11-12]。QMD 模型描述了反應系統(tǒng)的狀態(tài)，提供了彈靶的碰撞和碎片的有關信息，根據(jù)哈密頓正則方程加上兩體碰撞項計算系統(tǒng)的時間演化，能極好地描述碰撞系統(tǒng)從中等能量到相對論能量的時間演化過程。它包含平均場和兩體碰撞。此外， QMD 模型追蹤了每個核子的運動，在處理碎片的形成上很成熟。 QMD 模型將粒子看成高斯波包，用波包代表波函數(shù)，相較于經典的模型加入了量子概念，而中能核物理中量子效應十分普遍，并且該模型適用于很寬的能量范圍，量級從 MeV 到 GeV 。EQMD 模型改進了 Pauli 勢與波包寬度，在核子?核子碰撞過程中能夠增強動態(tài)α的發(fā)射過程[13]。IQMD 模型是一個同位旋依賴的 QMD 模型，將質子、中子區(qū)分開，初始化中質子、中子分別具有獨立的坐標。碰撞中，分別采用不同的核子?核子碰撞截面， Pauli 阻塞中考慮同位旋效應，勢能中除了考慮庫侖勢還考慮了對稱勢。該模型適用于多體理論中能重離子碰撞的動力學行為，在描述中能重離子碰撞方面和核物質性質方面很成功[14-18]。郭文劈裂對原子核阻止有很明顯的影響，鏡像核發(fā)射率是較好的同位旋相關平均場的靈敏探針。 AMD 適合描述基態(tài)性質和反應過程[21-22]，F(xiàn)MD 是全波函數(shù)的反對稱性框架[23-24]，它們都應用于模擬低能核反應。本文基于 IQMD 模型，探尋初始化與對稱勢及其 L，Ksym之間的內在關系。

1模型

描述重離子碰撞的 QMD 模型主要包含3個因素：密度相關的平均場、介質中核子?核子碰撞截面、Pauli 阻塞?；?QMD 模型成功的多體理論，結合包含同位旋的平均場，并加入對稱勢和庫侖勢，本文采用了 IQMD 模型。 IQMD 模型程序包含3個部分：原子核的初始化、彈靶碰撞、 Pauli 阻塞效應。第一步為初始化，即對 N 個核子的6N 個空間和動量坐標賦值，根據(jù)以上信息可以得到基態(tài)原子核的其他物理性質。中高能重離子碰撞時間持續(xù)較長，所模擬的原子核系統(tǒng)可能“蒸發(fā)”掉，需要初始化得到的原子核穩(wěn)定性好。大多數(shù)核反應在200 fm/c 時間內就已經結束，通常檢驗穩(wěn)定性的方法是讓其演化300 fm/c 左右，本文初始化采用的原子核穩(wěn)定時間為500 fm/s。研究核結構需要考慮核密度，核密度與均方根半徑、結合能有關。初始化500 fm/c 后，在每個步長內計算系統(tǒng)的均方根半徑。將平均結合能以及均方根半徑與結構模型和2020原子核結合能數(shù)據(jù)值比較，差異如果在正常范圍內就認為這個核在演化中沒有蒸發(fā)。本文基于2020年發(fā)布的核數(shù)據(jù)[25]（見表1），通過代入不同的對稱勢，挑選初始化穩(wěn)定的原子核，得到能量最小態(tài)，減少虛粒子發(fā)射，避免原子核還未碰撞就已坍塌破裂，使其后續(xù)碰撞結果更加穩(wěn)定。

核子的總有效勢為[26]

式中： USky為Skyrme勢；UYuk為表面項（ Yukawa 勢）；UCoul為庫侖勢； UMDI為動量相關項；UPauli為 Pauli 勢；USym為對稱勢。

F（u）用來描述對稱勢的大小和變化。其中， F1（u）= u ， F2（u）= u2， F3（u）= u1/2，3種對稱勢表達形式分別為

式中： c =32 MeV ，為對稱勢強度系數(shù)；τz =1分別表示中子和質子； u =ρ/ρ0是原子核約化密度，其中ρ00.16 fm一3是原子核飽和密度；6是相對中子過剩。

式中：ρ，ρn，ρp 分別為核密度、中子密度、質子密度。對稱勢參數(shù) L 代表密度依賴曲線在飽和密度處的斜率，它與平均動能、單核子勢、密度、對稱勢有關，是對稱勢密度依賴中的重要信息。Ksym表示曲率，又叫壓縮模量或者不可壓縮系數(shù)，它與系統(tǒng)密度關系密切，是劃分軟勢硬勢的標準，數(shù)據(jù)大的稱為硬勢，反之為軟勢。值得區(qū)別的是：Ksym為對稱勢的曲率； K 為所有勢能的曲率。 L ，Ksym的計算式如下：

對稱勢 U1， U2， U3在密度分布下斜率 L 和曲率Ksym是存在差異的，見表2。

圖1為3種對稱勢的對稱能（縱坐標為對稱能 S，表示純中子物質與對稱物質的影響之差）隨密度（橫坐標）的變化關系，大量實驗和計算所證明3根線交點的地方處為飽和密度，對稱勢為32 MeV。由圖1可見，這些數(shù)值都在基于多體理論的預測范圍之內。使用不同相互作用的非相對論和相對論多體方法的預測， L 和Ksym有不同的取值[27]。

2結果分析與討論

較低能量的原子核碰撞，需要較多的時間，初始原子核需要在這樣的時間內穩(wěn)定，這樣可以用來研究能量較低的原子核熔合反應?；谏鲜?種不同的對稱勢，從輕到重初始化了3種元素 Fe ，Kr ， Sn 的同位素，利用 IQMD 模型，令每個核子在自身平均場中隨時間自由演化，通過比較各個時間的原子核結合能和方均根半徑與實驗的差值，來檢驗原子核的穩(wěn)定性，統(tǒng)計出初始化穩(wěn)定原子核的數(shù)量。

圖2給出了52-60Fe ，76-88Kr ，108-132 Sn 的核素，在 IQMD 模型給出的結合能值與2020年數(shù)據(jù)給出的結合能值均方差在5%的范圍內，分別用3種對稱勢計算了10000次。 N 為統(tǒng)計的原子核個數(shù)?？梢钥闯?， U2勢得到的穩(wěn)定的原子核數(shù)量最多，勢函數(shù)的曲線更陡峭。 U2的 L 和Ksym值最大，體現(xiàn)了硬勢的特點。L 與密度依賴相關，Ksym是劃分硬勢和軟勢的標準，此值越大，結合越強，表面耗散越小，所以得到了更多穩(wěn)定的原子核。反之， U3的最少。圖2均為上升趨勢，不同元素、同一元素不同的同位素，原子核越重，結果越明顯。 Sn 同位素能夠初始化出來的核子最多，是因為輕核的密度較小，結合程度較小，容易碎裂；而重核的密度趨于恒定，相互作用力相對較大，不易斷裂。

圖3、圖4、圖5分別是60Fe ，88Kr ，124 Sn 初始∑（Ecal一Eexp）2化穩(wěn)定原子核個數(shù)隨結合能均方差 A（2）VE 的演化和 N隨方均根半徑均方差 rms（2）的演化。方差2=表示穩(wěn)定程度，其值越小越符合計算的原子核的真實狀態(tài)?？梢钥闯?3 種對稱勢在60Fe ，88Kr ，124 Sn 之間的差別由 Fe 到 Sn 逐漸增大。由上述結合能及方均根半徑的對比可知， IQMD 模型采用 U2勢，能夠對穩(wěn)定核基態(tài)的大部分性質給出相當滿意的描述。

3種對稱勢下，對 Sn 同位素鏈選取了最低的10個均方差取平均值，結果如圖6所示?？梢钥闯觯瑹o論是對于結合能還是方均根半徑， U3的均方差平均值都是最大。均方差越大，表示變化量越大，偏差越大，越不穩(wěn)定。 U2的最小，因而最穩(wěn)定。圖6清晰再現(xiàn)了上述圖2、圖3、圖4、圖5的結果。

從輕到重的不同元素結果都取得很好的一致性， IQMD 模型采用對稱勢 U2更穩(wěn)定。 U2對稱勢對應的斜率 L、不可壓縮系數(shù)Ksym最大是硬勢，顯示出更高的剛性，硬度大。此外，原子核的平均密度大約是2/3倍的飽和核密度， U2對稱勢在這個密度下的對稱勢最小，導致核子不易被排斥出。反之， U3是軟勢，軟勢核更容易形變，不穩(wěn)定，易碎裂。

3結論

使用3種軟硬程度不同的對稱勢，選取 Fe，Kr ， Sn 元素計算穩(wěn)定的原子核數(shù)量。研究結果表明， U2勢在輕重核元素初始化時核最穩(wěn)定，并且對應的斜率 L、不可壓縮系數(shù)Ksym都在已知的約束范圍內，表現(xiàn)出同位旋相關平均場的硬勢，原子核更為穩(wěn)定，說明選用的平方對稱勢的合理性。成功的初始化可以很好地減少碰撞過程中出現(xiàn)的非物理的漲落和虛粒子的發(fā)射，使后續(xù)兩體碰撞更穩(wěn)定。

參考文獻：

[1] LI B A， CHEN L W， KO C M. Recent progress and new challenges in isospin physics with heavy-ion reactions[J]. Physics Reports， 2008， 464（4/6）：113–281.

[2] LI B A， KO C M， BAUER W. Isospin physics in heavy-ion collisions at intermediate energies[J]. International Journal of Modern Physics E， 1998， 7（2）：147–229.

[3] CAVAGNOLIR，MENEZESDP，PROVID?NCIAC. Neutronstarpropertiesandthesymmetryenergy[J]. Physical Review C， 2011， 84（6）：065810.

[4] PIEKAREWICZJ. Correlatingthegiant-monopole resonancetothenuclear-matterincompressibility[J]. Physical Review C， 2002， 66（3）：034305.

[5] LIBA，MAGNOM. Curvature-slopecorrelationof nuclear symmetry energy and its imprints on the crust-core transition，radius，andtidaldeformabilityofcanonical neutron stars[J]. Physical Review C， 2020， 102（4）：045807.

[6] LI B A， STEINER A W. Constraining the radii of neutron starswithterrestrialnuclearlaboratorydata[J]. Physics Letters B， 2006， 642（5/6）：436–440.

[7] XU C， LI B A， CHEN L W. Symmetry energy， its density slope， and neutron-proton effective mass splitting at normal density extracted from global nucleon optical potentials[J]. Physical Review C， 2010， 82（5）：054607.

[8] COLONNAM，ZHANGYX，WANGYJ，etal. Comparison of heavy-ion transport simulations： mean-field dynamics in a box[J]. Physical ReviewC， 2021， 104（2）：024603.

[9] YANG J P， ZHANG Y X， WANG N， et al. Influence of the treatment of initialization and mean-field potential on the neutron to proton yield ratios[J]. Physical Review C， 2021， 104（2）：024605.

[10] XU J， CHEN L W， TSANG M B，et al. Understanding transport simulations of heavy-ion collisions at 100A and 400A MeV： comparison of heavy-ion transport codes under controlled conditions[J]. Physical ReviewC， 2016， 93（4）：044609.

[11] GAO Y， YONG G C， WANG Y J， et al. Influence of the symmetryenergyonthecone-azimuthalemission[J]. Physical Review C， 2013， 88（5）：057601.

[12] GUOWM，YONGGC，WANGYJ，etal. Model dependenceofisospinsensitiveobservablesathigh densities[J]. Physics Letters B， 2013， 726（1/3）：211–217.

[13] MARUYAMA T， NIITA K， IWAMOTO A. Extension of quantum molecular dynamics and its application to heavy- ioncollisions[J]. PhysicalReviewC， 1996， 53（1）：297–304.

[14] CHEN L W， ZHANG F S， JIN G M. Analysis of isospin dependenceofnuclearcollectiveflowinanisospin- dependent quantum molecular dynamics model[J]. PhysicalReview C， 1998， 58（4）：2283–2291.

[15] HARTNACK C， PURI R K， AICHELIN J， et al. Modelling the many-body dynamics of heavy ion collisions： present statusandfutureperspective[J]. TheEuropeanPhysical Journal A - Hadrons and Nuclei， 1998， 1（2）：151–169.

[16] YAN T Z， LI S. Impact parameter dependence of the yield ratiosoflightparticlesasaprobeof neutronskin[J]. Nuclear Science and Techniques， 2019， 30（3）：43.

[17] WANGSS，MAYG，CAOXG，etal. Hard-photon productionanditscorrelationwithintermediate-mass fragmentsinaframeworkofaquantummolecular dynamicsmodel[J]. PhysicalReviewC， 2020， 102（2）：024620.

[18] YANTZ，LIS，WANGYN，etal. Yieldratiosand directedflows of light- nucparticlesfromprotonrichlei-inducedcollisions[J]. NuclearScienceandTechniques， 2019， 30（1）：15.

[19]林琳， 郭文軍， 黃璐.中能重離子反應中中子–質子有效質量劈裂的研究[J].上海理工大學學報 ， 2017， 39（6）：532–538.

[20]孫克 ， 郭文軍.中能重離子碰撞過程中的鏡像核發(fā)射率[J].上海理工大學學報， 2020， 42（3）：224–231.

[21] PIANTELLIS，OLMIA，MAURENZIGPR，etal. Comparison between calculations with the AMD code andexperimental data for peripheral collisions ofNb + Nb，Snat 38 Mev/nucleon[J]. PhysicalReviewC， 2019， 99（6）：064616.

[22] ONO A， HORIUCHI H， MARUYAMA T， et al. Fragment formationstudiedwithantisymmetrizedversionof moleculardynamicswithtwo-nucleoncollisions[J]. Physical Review Letters， 1992， 68（19）：2898–2900.

[23] FELDMEIERH，BIELERK，SCHNACKJ. Fermionicmoleculardynamicsforgroundstatesandcollisionsof nuclei[J]. Nuclear Physics A， 1995， 586（3）：493–532.

[24] BACCA S， FELDMEIER H， NEFF T. Long range tensor correlationsinchargeandparityprojectedfermionic molecular dynamics[J]. Physical ReviewC， 2008， 78（4）：044306.

[25] WANG M， HUANG W J， KONDEV F G， et al. The AME 2020 atomicmassevaluation （II）. Tables，graphsand references[J]. Chinese Physics C， 2021， 45（3）：030003.

[26] LIUHL，MAYG，F(xiàn)ANGDQ. Finite-sizescaling phenomenonofnuclearliquid-gasphasetransition probes[J]. Physical Review C， 2019， 99（5）：054614.

[27] OERTEL M， HEMPEL M， KL?HN T， et al. Equations of stateforsupernovaeandcompactstars[J]. Reviewsof Modern Physics， 2017， 89（1）：015007.

（編輯：董偉）