萬(wàn)凡，鐘悅，屈中權(quán)，徐稚，張輝，彭洋

（1 中國(guó)科學(xué)院云南天文臺(tái)，昆明 650216）（2 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049）

0 引言

波片是偏振光學(xué)技術(shù)中十分重要的偏振光學(xué)元器件，它可以改變?nèi)肷淦窆獾钠駹顟B(tài)，被廣泛的應(yīng)用于光彈力學(xué)、現(xiàn)代光通訊技術(shù)、醫(yī)療診斷和光學(xué)精密測(cè)量中［1］。在太陽(yáng)物理研究領(lǐng)域中，太陽(yáng)各種劇烈大氣活動(dòng)現(xiàn)象如日珥爆發(fā)、耀斑和日冕物質(zhì)拋射（Coronal Mass Ejection， CME）與太陽(yáng)磁場(chǎng)密切相關(guān)［2］，而國(guó)際上主流的太陽(yáng)磁場(chǎng)觀測(cè)手段是基于Zeeman 效應(yīng)對(duì)太陽(yáng)磁敏線的偏振態(tài)及其強(qiáng)度進(jìn)行觀測(cè)［3］。太陽(yáng)望遠(yuǎn)鏡在對(duì)太陽(yáng)大氣活動(dòng)進(jìn)行高精度偏振觀測(cè)時(shí)，核心設(shè)備是偏振分析器與偏振定標(biāo)單元。偏振分析器對(duì)太陽(yáng)磁敏線的偏振信號(hào)進(jìn)行調(diào)制，偏振定標(biāo)單元對(duì)太陽(yáng)望遠(yuǎn)鏡自身的偏振誤差進(jìn)行定標(biāo)，二者均使用了波片這種偏振相位延遲器［4］。隨著太陽(yáng)物理研究領(lǐng)域的日益深入，太陽(yáng)物理學(xué)家對(duì)太陽(yáng)磁場(chǎng)的偏振測(cè)量精度要求達(dá)到10?4量級(jí)乃至更高，如美國(guó)于2019年建成的全球最大太陽(yáng)光學(xué)望遠(yuǎn)鏡（Daniel K， Inouye Solar Telescope， DKIST）其偏振測(cè)量精度為5×10?4Ic［5］，德國(guó)2012年建成的太陽(yáng)望遠(yuǎn)鏡（GREGOR Solar Telescope， GREGOR）其偏振測(cè)量精度為10?4Ic［6］，國(guó)內(nèi)云南天文臺(tái)即將投入觀測(cè)的光纖陣列太陽(yáng)光學(xué)望遠(yuǎn)鏡（Fiber Array Solar Optical Telescope， FASOT）其偏振測(cè)量精度要求達(dá)到8×10?4Ic［7］。為了實(shí)現(xiàn)如此高的偏振測(cè)量精度，在太陽(yáng)光學(xué)望遠(yuǎn)鏡各子系統(tǒng)的偏振誤差分配中，盡量降低由偏振分析器與偏振定標(biāo)單元帶來(lái)的偏振誤差。由于波片制造工藝等因素的限制，波片真實(shí)的相位延遲量δ與理想值之間存在少許偏差。因此，為了實(shí)現(xiàn)太陽(yáng)磁場(chǎng)的高精度偏振測(cè)量，波片作為偏振分析器的核心元件，對(duì)其相位延遲量δ和方位角的高精度測(cè)量方法的研究是十分必要的［9］。

目前，對(duì)于波片相位延遲量與快軸方位角的測(cè)量方法可分為光強(qiáng)調(diào)制法［9-13］、光譜掃描法［13］、補(bǔ)償法［15］、干涉法［16］和橢偏儀法［17-18］，不同測(cè)量方法具有各自不同的優(yōu)缺點(diǎn)及適用范圍［9-10］。其中，光譜掃描法測(cè)量延遲量為180°的波片，其測(cè)量精度高，但對(duì)于延遲量為非180°的波片，其延遲量與初始方位角測(cè)量誤差大；補(bǔ)償法無(wú)法準(zhǔn)確測(cè)量波片的快軸方位角，其延遲量測(cè)量精度完全依賴(lài)于標(biāo)準(zhǔn)補(bǔ)償器件自身在不同波長(zhǎng)處的相位延遲量精度；干涉法同樣存在著無(wú)法準(zhǔn)確測(cè)量波片快軸方位角的缺陷，其延遲量的測(cè)量精度同樣依賴(lài)于干涉儀自身的分辨本領(lǐng)與白光干涉條紋的重復(fù)定位精度；至于橢偏儀法，其測(cè)量精度高且是無(wú)接觸測(cè)量，能夠?qū)崟r(shí)高精度的測(cè)量出待測(cè)樣品的偏振態(tài)與材料特性，如相位延遲量、快軸方位角、材料厚度和折射率等，是測(cè)量精度最高的偏振測(cè)量方法之一。但橢偏儀在正式測(cè)量之前需要對(duì)自身進(jìn)行高精度的偏振定標(biāo)，且橢偏儀的待測(cè)可用空間有限，無(wú)法用來(lái)測(cè)量較大的待測(cè)樣品和儀器偏振特性；至于光強(qiáng)法，其測(cè)量裝置簡(jiǎn)單、操作方便、測(cè)量結(jié)果實(shí)時(shí)快速且可利用的待測(cè)空間較大，可測(cè)量的待測(cè)樣品種類(lèi)，大小均不受限制。但光強(qiáng)法易受到探測(cè)器光電響應(yīng)的非線性效應(yīng)影響，除此之外光強(qiáng)法無(wú)法準(zhǔn)確測(cè)量延遲量為180°的波片。針對(duì)上述光強(qiáng)測(cè)量法的缺陷，本文在詳細(xì)分析了光強(qiáng)法的誤差來(lái)源后，對(duì)各項(xiàng)誤差進(jìn)行了抑制并對(duì)探測(cè)器的非線性效應(yīng)進(jìn)行矯正。此外，在擬合光強(qiáng)法的測(cè)量基礎(chǔ)上結(jié)合光譜分析法，實(shí)現(xiàn)了對(duì)非消色差波片延遲量為0°～360°的精確測(cè)量。整套測(cè)量系統(tǒng)的光路除終端光強(qiáng)接收設(shè)備需更換外，其它不變，該系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)任意延遲量與快軸方位角的精確測(cè)量，為后續(xù)進(jìn)一步測(cè)量偏振分析器的偏振特性提供了測(cè)量基礎(chǔ)。

1 測(cè)量原理與測(cè)量系統(tǒng)

1.1 測(cè)量原理

波片延遲量與快軸方位角的測(cè)量系統(tǒng)光路原理如圖1 所示，擬合光強(qiáng)法中，出射白光經(jīng)準(zhǔn)直系統(tǒng)準(zhǔn)直成平行光后依次通過(guò)孔徑光闌、窄帶濾光片、起偏器、待測(cè)非消色差波片、檢偏器，最后被光功率計(jì)探測(cè)，整個(gè)測(cè)量過(guò)程中，待測(cè)波片被高精度步進(jìn)電機(jī)帶動(dòng)勻速旋轉(zhuǎn)。光譜分析法中，上述測(cè)量光路不變，僅需移除窄帶濾光片，并將光譜儀移入終端替換光功率計(jì)作為光強(qiáng)接收設(shè)備，此時(shí)不旋轉(zhuǎn)待測(cè)波片。以起偏器的透過(guò)軸作為主軸方向即x軸正方向，光傳播的方向?yàn)閦軸正方向，依此建立右手全局坐標(biāo)系。

圖1 波片測(cè)量光路原理圖Fig.1 Optical schematic diagram of measurement for waveplates

在利用擬合光強(qiáng)法測(cè)量待測(cè)波片的延遲量與快軸方位角的過(guò)程中，根據(jù)各偏振元器件的Muller 矩陣，光功率計(jì)接收到的調(diào)制光強(qiáng)Iout可表示為

式中，Iin為入射光強(qiáng)；τ為整個(gè)測(cè)量系統(tǒng)的透過(guò)率；[1，0，0，0]T為光強(qiáng)的Stokes 輸入矢量；MPG(θ1)為起偏器的Muller 矩陣，θ1=0°；MWP(θ2(initial)+n?Δθ，δ)為待測(cè)旋轉(zhuǎn)波片的Muller 矩陣，其中初始快軸方位角θ2(initial)未知，Δθ2為旋轉(zhuǎn)步長(zhǎng)，n為旋轉(zhuǎn)步數(shù)，δ為延遲量未知；MPA(θ3)為檢偏器的Muller 矩陣，其偏振透過(guò)軸的方位角為θ3；[1，0，0，0]為光強(qiáng)的Stokes 響應(yīng)矢量；Iout為光功率計(jì)探測(cè)到的調(diào)制光強(qiáng)。

將線偏振元器件與波片的Muller 矩陣［19］代入式（1）并展開(kāi)，探測(cè)到的調(diào)制光強(qiáng)Iout與待測(cè)波片延遲量δ可表示為矩陣形式有

由式（2）、（3）可知，調(diào)制光強(qiáng)Iout與cosδ構(gòu)成了一個(gè)線性系統(tǒng)，為了充分降低線性系統(tǒng)的隨機(jī)誤差，如入射光強(qiáng)Iin的抖動(dòng)、系統(tǒng)透過(guò)率τ、旋轉(zhuǎn)電機(jī)的定位精度等因素對(duì)測(cè)量結(jié)果的干擾，提高系統(tǒng)的測(cè)量精度與穩(wěn)定性，需要確定合適的檢偏方位角θ3與波片的旋轉(zhuǎn)步長(zhǎng)Δθ2。系統(tǒng)矩陣D的譜條件數(shù)cond(D)2［20-21］越小，測(cè)量系統(tǒng)的測(cè)量精度越高，其穩(wěn)定性越好。由于系統(tǒng)矩陣D中波片初始快軸方位角θ2(initial)為待測(cè)量，本文模擬仿真了θ2(initial)分別為?80°、?60°、?40°、?20°、0°、20°、40°、60°、80°九種情況下的cond(D)2隨檢偏方位角θ3、波片旋轉(zhuǎn)步長(zhǎng)Δθ2的綜合變化結(jié)果。如圖2 所示。

圖2 系統(tǒng)矩陣D 的譜條件數(shù)（cond(D) 2）Fig.2 Condition number （cond(D) 2）of system matrix D

由圖2 可知，當(dāng)檢偏方位角θ3在±45°以?xún)?nèi)且待測(cè)波片旋轉(zhuǎn)步長(zhǎng)Δθ2在10°以?xún)?nèi)時(shí)，圖2 所示的9 種系統(tǒng)矩陣D的譜條件數(shù)cond(D)2較小，系統(tǒng)穩(wěn)定性較好，測(cè)量精度較高。當(dāng)檢偏器方位角θ3為±90°或旋轉(zhuǎn)步長(zhǎng)Δθ2為45°的整數(shù)倍時(shí)，圖2 所有的系統(tǒng)矩陣D的譜條件數(shù)cond(D)2均很大，表明此種情況下系統(tǒng)的穩(wěn)定性很差，系統(tǒng)對(duì)隨機(jī)誤差很敏感。再結(jié)合整個(gè)測(cè)量過(guò)程中，數(shù)據(jù)點(diǎn)太少影響測(cè)量精度，數(shù)據(jù)點(diǎn)太多則采集時(shí)間過(guò)長(zhǎng)。綜上考慮，本測(cè)量系統(tǒng)確定檢偏器方位角θ3為45°，待測(cè)波片的旋轉(zhuǎn)步長(zhǎng)Δθ2為3°，旋轉(zhuǎn)步數(shù)n為120 步。將θ3=45°、Δθ2=3°帶入式（1）可得Iout為

式中，未知參數(shù)為τIin、δ、θ2(initial)，對(duì)光功率計(jì)采集到的光強(qiáng)Iout進(jìn)行非線性最小二乘法擬合，即可擬合得到待測(cè)波片延遲量δ與快軸初始方位角θ2(initial)。此外，由Iout對(duì)δ求偏導(dǎo)可知，當(dāng)δ=0°（360°）或δ=180°時(shí)，，此時(shí)光強(qiáng)Iout處于極大值或極小值，對(duì)延遲量δ的變化不敏感。此區(qū)域內(nèi)測(cè)量系統(tǒng)的信噪比低，測(cè)量誤差大。因此對(duì)于特定波長(zhǎng)下δ=180°的非消色差波片，上述擬合光強(qiáng)法無(wú)法精確測(cè)量該波片的延遲量δ。

對(duì)于擬合光強(qiáng)法無(wú)法精確測(cè)量延遲量在180°附近的非消色差波片的缺陷，基于該測(cè)量系統(tǒng)結(jié)合光譜分析法可實(shí)現(xiàn)精確測(cè)量。此時(shí)不旋轉(zhuǎn)待測(cè)波片，光譜儀對(duì)經(jīng)起偏器、待測(cè)波片、檢偏器的白光進(jìn)行色散，通過(guò)分析白光色散光譜即可精確測(cè)量波片的延遲量δ與快軸初始方位角θ2(initial)。由式（4）可知，此時(shí)色散光譜各波長(zhǎng)點(diǎn)處的光強(qiáng)值與待測(cè)波片延遲量δ、快軸初始方位角θ2(initial)的關(guān)系為

式中，未知參數(shù)為τIin、N、θ2(initial)，N=2π·(no(λ)?ne(λ))·d，在參考波長(zhǎng)為λref的條件下，no(λ)為待測(cè)波片o光方向的折射率，ne(λ)為e 光方向的折射率，d為波片的光學(xué)厚度。在Δλ≤20 nm 時(shí)，no(λ)、ne(λ)隨波長(zhǎng)λ變化很小可認(rèn)為是常數(shù)，則待求參數(shù)N同樣為常數(shù)，再根據(jù)公式（6）即可得到非消色差波片的延遲量δ與延遲量δ=180°的真正參考波長(zhǎng)λref(real)。

但對(duì)于延遲量δ≠180°的非消色差波片而言，運(yùn)用光譜分析法測(cè)量該波片的延遲量與快軸方位角的精度較差。由擬合式（5）Iout對(duì)λ求偏導(dǎo)可知，N=kπλ時(shí)，，此時(shí)Iout為極大值或極小值。若N≠kπλ，，此時(shí)擬合式（10）的斜率與N密切相關(guān)。而N是波長(zhǎng)λ的函數(shù)，波長(zhǎng)λ變化范圍較大，則前提近似no(λ)、ne(λ)為常數(shù)不再成立，N此時(shí)是一個(gè)變化的參數(shù)，且整個(gè)系統(tǒng)的透過(guò)率也將會(huì)發(fā)生變化，待擬合參數(shù)不在具有唯一性與確切的物理意義。故延遲量δ≠180°的波片，不能使用光譜分析法精確測(cè)量其延遲量與快軸方位角。

1.2 測(cè)量系統(tǒng)

根據(jù)圖1 所示的波片延遲量與快軸方位角測(cè)量原理圖，在實(shí)驗(yàn)室建立了對(duì)應(yīng)的波片測(cè)量系統(tǒng)如圖3 所示。擬合光強(qiáng)法中，白光光源1 發(fā)出白光經(jīng)準(zhǔn)直系統(tǒng)2 準(zhǔn)直后經(jīng)孔徑光闌3、濾光片4、起偏棱鏡5 成為單色線偏振光，線偏振光再經(jīng)待測(cè)波片6、檢偏棱鏡7 最后被光功率計(jì)8 所接受。整個(gè)測(cè)量過(guò)程中，高精度電機(jī)帶動(dòng)待測(cè)波片勻速旋轉(zhuǎn)。而在光譜分析法測(cè)量過(guò)程中，需將濾光片4 移出測(cè)量光路，且將終端光強(qiáng)接受設(shè)備更換為光譜儀與配套的電荷耦合器件（Charge Coupled Device camera， CCD）相機(jī)9，此時(shí)不旋轉(zhuǎn)待測(cè)波片。圖3 中，構(gòu)成波片檢測(cè)系統(tǒng)所有的光學(xué)元器件均被清楚的標(biāo)明，其關(guān)鍵的系統(tǒng)參數(shù)將被詳細(xì)闡述。

圖3 波片測(cè)量系統(tǒng)光路實(shí)物圖Fig.3 Optical photograph of measurement system for waveplate

1）白光光源：其型號(hào)為Edmund，MI-150，波長(zhǎng)范圍為200 nm～1 100 nm，由穩(wěn)壓電源供電，其光強(qiáng)穩(wěn)定性標(biāo)稱(chēng)≤2%。

2）準(zhǔn)直系統(tǒng)：準(zhǔn)直系統(tǒng)由顯微物鏡、孔徑光闌、準(zhǔn)直透鏡構(gòu)成，將入射白光準(zhǔn)直成平行光束。

3）孔徑光闌：調(diào)節(jié)經(jīng)準(zhǔn)直系統(tǒng)準(zhǔn)直后的平行光束的尺寸為5 mm。

4）濾光片：其中心波長(zhǎng)為632.8 nm，F(xiàn)WHM 為3±0.6 nm，透過(guò)率≥80%，口徑為25.4 mm。將待測(cè)波片的標(biāo)定參考波長(zhǎng)λref從白光中濾出。

5）起偏器：起偏器為Glan-Taylor 棱鏡，其工作波段為350 nm～2 300 nm，消光比大于100 000∶1，光束偏離<3′，通光口徑為15 mm。

6）待測(cè)波片：待測(cè)波片是購(gòu)置的三種商用真零級(jí)非消色差波片，標(biāo)稱(chēng)參考波長(zhǎng)為632.8 nm，其延遲量標(biāo)稱(chēng)分別為δ=180°，128.16°，90°，通光口徑均為25.4 mm。待測(cè)波片被安裝在高定位精度的步進(jìn)電機(jī)（Princeton Instruments，型號(hào)C-885.R1）上，步進(jìn)電機(jī)的定位精度為20″，能顯著的降低由于電機(jī)定位精度不足帶來(lái)的隨機(jī)誤差。最大旋轉(zhuǎn)速度可達(dá)1 000°/s，極大的縮短數(shù)據(jù)采集時(shí)間。

7）檢偏器：檢偏器同樣由Glan-Taylor 棱鏡承擔(dān)。此外，檢偏棱鏡也被安裝在高定位精度的步進(jìn)電機(jī)。

8）光功率計(jì)：其型號(hào)為T(mén)HORLAB，PM100D，探測(cè)波長(zhǎng)范圍為400 nm～1 100 nm，探測(cè)量程為0.05 μW～50 mW，能量分辨率為0.01 μW，探測(cè)器靶面尺寸為9.5 mm。

9）光譜儀與CCD 相機(jī)：光譜儀型號(hào)為Princeton Instruments，SP2750i，其工作波段為350 nm～1 100 nm，焦距f=750 nm，F(xiàn)/9.7，光譜分辨率為0.03 nm@633 nm。配套的2K CCD 相機(jī)，其像元尺寸為13.5 μm，波段在400 nm～900 nm，量子效率（Quantum Efficiency，QE）≥90%。此外，為了降低交流電壓不穩(wěn)定帶來(lái)的隨機(jī)誤差擾動(dòng)，所有接電設(shè)備均由穩(wěn)壓電源供電。

1.3 探測(cè)器的非線性效應(yīng)矯正

在利用擬合光強(qiáng)法測(cè)量待測(cè)波片延遲量與快軸方位角之前，首先需要確定光功率計(jì)的非線性效應(yīng)系數(shù)，并在后續(xù)的數(shù)據(jù)處理中，對(duì)探測(cè)的光強(qiáng)數(shù)據(jù)進(jìn)行矯正。光功率計(jì)光電響應(yīng)的非線性效應(yīng)可表示為［10］

式中，Iout為光功率計(jì)顯示的光強(qiáng)讀數(shù)，Ireal是能量計(jì)接收到的真實(shí)光強(qiáng)，ai(i=0，1，2，…)為非線性響應(yīng)系數(shù)。對(duì)于常見(jiàn)的探測(cè)器而言，探測(cè)器接收到的真實(shí)光強(qiáng)其三階及以上的非線性效應(yīng)影響不大，可以忽略不計(jì)［10-11］。因此只需要對(duì)探測(cè)到的光強(qiáng)Iout進(jìn)行二階及二階以下的矯正，即可得到真實(shí)的輸出光強(qiáng)Ireal。

此外，檢偏棱鏡透過(guò)軸相對(duì)起偏器透過(guò)軸的初始方位角θ3(initial)也需提前測(cè)定，此時(shí)不裝載待測(cè)波片，只旋轉(zhuǎn)裝載有檢偏Glan-Taylor 棱鏡的步進(jìn)電機(jī)2（RSM2），以Δθ3=3°為步長(zhǎng)，旋轉(zhuǎn)5 圈，光功率計(jì)同步采集相應(yīng)的輸出光強(qiáng)Iout。若不考慮光功率計(jì)光電響應(yīng)的非線性效應(yīng)［10-11］，由式（1）可知只旋轉(zhuǎn)檢偏棱鏡的Iout可表示為

將式（8）進(jìn)一步展開(kāi)為

未知參數(shù)為τIin、θ3(initial)，將光功率計(jì)的非線性效應(yīng)影響考慮進(jìn)來(lái)，結(jié)合式（7）和（9）可知光功率計(jì)顯示的光強(qiáng)讀數(shù)Iout為

利用最小二乘法對(duì)式（10）進(jìn)行非線性擬合，得到待擬合參數(shù)τIin、θ3(initial)、a0、a1、a2。

最小二乘法的擬合公式為［11］

式中，In為波片每旋轉(zhuǎn)一步光功率計(jì)采集的光強(qiáng)值，n為旋轉(zhuǎn)步數(shù)，Infitting為每步的擬合光強(qiáng)值，χ2為擬合殘差。

2 波片測(cè)量精度分析

2.1 測(cè)量誤差來(lái)源分析

在整個(gè)波片測(cè)量系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與建立過(guò)程中，已通過(guò)穩(wěn)壓電源穩(wěn)壓、搭建準(zhǔn)直性?xún)?yōu)異的光路、采用高精度電機(jī)等措施來(lái)降低各種隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差。但誤差可以降低，卻不可能完全消除。根據(jù)本測(cè)量系統(tǒng)的光學(xué)元器件構(gòu)成，擬合光強(qiáng)法的誤差來(lái)源主要有光源光強(qiáng)的起伏、準(zhǔn)直光束的偏離、窄帶濾光片的帶寬、步進(jìn)電機(jī)的定位精度和光功率計(jì)光電響應(yīng)的非線性效應(yīng)。光譜分析法的誤差來(lái)源有光源光強(qiáng)的起伏、準(zhǔn)直光束的偏離、光譜儀的單色精度。其中準(zhǔn)直光束的偏離、濾光片的帶寬、光功率計(jì)光電響應(yīng)的非線性效應(yīng)和光譜儀的單色精度是測(cè)量系統(tǒng)的系統(tǒng)誤差，光源光強(qiáng)的起伏、電機(jī)的定位精度是隨機(jī)誤差。

準(zhǔn)直光束的偏離引入的系統(tǒng)誤差是由于準(zhǔn)直光沒(méi)有完全垂直于光學(xué)元件入射，波片延遲量δ隨入射角i的變化而變化。以入射角i最大為1°分析［13］，中心波長(zhǎng)為632.8 nm，計(jì)算待測(cè)波片的延遲量偏差Δδ/δ為0.006 17%。至于濾光片的帶寬Δλ引入的系統(tǒng)誤差，本測(cè)量系統(tǒng)所采用的窄帶濾光片其中心波長(zhǎng)在632.8 nm、FWHM 為3±0.6 nm，其Δδ/δ經(jīng)計(jì)算為1.873 0×10?6，可忽略不計(jì)。而光功率計(jì)光電響應(yīng)的非線性效應(yīng)，在本文1.3 節(jié)中已經(jīng)進(jìn)行了詳細(xì)闡述并進(jìn)行了相應(yīng)的修正。

2.2 波片測(cè)量誤差的模擬仿真

擬合光強(qiáng)法中光源光強(qiáng)的起伏和電機(jī)的定位精度帶來(lái)的隨機(jī)誤差，是本測(cè)量系統(tǒng)需要重點(diǎn)抑制的對(duì)象。白光光源由穩(wěn)壓電源供電，但其輸出光強(qiáng)任然存在著微小的起伏。在正式測(cè)量之前，需要采集光源的光強(qiáng)讀數(shù)，確認(rèn)光源的抖動(dòng)量級(jí)及穩(wěn)定的工作時(shí)間。圖4 是正式測(cè)量之前，利用光功率計(jì)采集的光源強(qiáng)度數(shù)據(jù)。

圖4 光源輻射強(qiáng)度起伏的實(shí)測(cè)結(jié)果Fig.4 The measured results of the fluctuation of the radiant intensity of the light source

由圖4 可知，白光光源的平均光強(qiáng)為65.397 μW，光強(qiáng)起伏的標(biāo)準(zhǔn)差為0.402 μW，最大光強(qiáng)起伏為1.38 μW 是平均光強(qiáng)的2.1%，穩(wěn)定的工作時(shí)間≥4 min。

對(duì)于電機(jī)的定位精度誤差，可進(jìn)一步細(xì)分為波片的初始方位角定位誤差，波片的旋轉(zhuǎn)定位誤差，檢偏器的初始方位角定位誤差。對(duì)上述隨機(jī)誤差的實(shí)際擾動(dòng)量級(jí)進(jìn)行模擬仿真，分析其對(duì)波片延遲量測(cè)量的影響。模擬中，光源光強(qiáng)起伏最大為平均光強(qiáng)的2.1%，波片的初始方位角θ2(initial)最大誤差為0.5°，波片的旋轉(zhuǎn)定位誤差最大為20″，檢偏初始方位角θ3(initial)最大誤差為0.5°。根據(jù)式（1）在Matlab 中對(duì)各項(xiàng)誤差來(lái)源在最大誤差限內(nèi)各產(chǎn)生20 組隨機(jī)值進(jìn)行模擬，再根據(jù)式（4）進(jìn)行擬合求解取平均值。模擬仿真結(jié)果如圖5、圖6 所示。

圖5 模擬各單項(xiàng)隨機(jī)誤差作用下波片延遲量誤差Δδ 隨延遲量δ 的變化Fig.5 Simulating the variation of the waveplate′s retardation error （Δδ）with retardation（δ）under the influence of each single random error

圖6 各隨機(jī)誤差的綜合作用對(duì)波片延遲量誤差Δδ 的影響Fig.6 The influence of the combined effect of random errors on the waveplate′s retardation error （Δδ）

圖5 為各單項(xiàng)隨機(jī)誤差作用下，模擬波片延遲量平均誤差Δδ隨延遲量δ的變化。由仿真結(jié)果可知，光源抖動(dòng)帶來(lái)的測(cè)量誤差是最嚴(yán)重的，最不敏感的是波片旋轉(zhuǎn)角定位誤差。圖6 為上述所有的隨機(jī)誤差綜合作用進(jìn)行20 次模擬仿真的結(jié)果。由圖6 可知，當(dāng)待測(cè)波片延遲量δ≠180°時(shí)，上述隨機(jī)誤差的綜合作用引起的波片延遲量誤差Δδ≤0.5°，利用擬合光強(qiáng)法的測(cè)量精度較高；當(dāng)待測(cè)波片延遲量δ=180°時(shí)，其延遲量誤差Δδ≥2.5°，測(cè)量誤差較大，此時(shí)擬合光強(qiáng)法不再適用。

對(duì)于特定波長(zhǎng)下非消色差波片延遲量δ=180°的測(cè)量，根據(jù)式（1）、（5）和（6）在Matlab 中對(duì)其進(jìn)行了相關(guān)模擬。模擬光源光強(qiáng)抖動(dòng)最大為2.1%，波長(zhǎng)單色帶寬最大為0.03 nm，波片初始方位角θ2(initial)最大誤差為0.5°，檢偏初始方位角θ3(initial)最大誤差為0.5°，其結(jié)果如圖7 所示。

圖7 波片待求參數(shù)（τIin、N、θ2(initial)）的非線性擬合模擬Fig.7 Simulation of nonlinear fitting of Waveplate′s Parameters（ τIin，N，θ2(initial)）

圖7 中藍(lán)色圓圈表示在最大的誤差限內(nèi)利用式（1）模擬得到的輸出光強(qiáng)，紅色曲線是根據(jù)式（5）對(duì)帶有誤差的光強(qiáng)Ierror進(jìn)行非線性最小二乘法擬合得到的最佳擬合曲線，從而得到待擬合參數(shù)N與θ2(initial)，再根據(jù)式（6）即可得到待測(cè)延遲量δ。

模擬的波片其中心波長(zhǎng)為632.8 nm，延遲量δ為180°。采用中心波長(zhǎng)為632.8 nm、帶寬Δλ為15 nm、波長(zhǎng)間隔為0.5 nm 進(jìn)行模擬仿真，得到待擬合參數(shù)N為1.992 4 μm，延遲量為δ=180.4°，同時(shí)可得到δ=180°對(duì)應(yīng)的中心波長(zhǎng)為633.67 nm。由模擬結(jié)果可知：此測(cè)量方法的測(cè)量精度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于擬合光強(qiáng)法對(duì)于特定波長(zhǎng)下非消色差波片δ=180°的測(cè)量精度。

3 實(shí)測(cè)結(jié)果分析

3.1 擬合光強(qiáng)法實(shí)測(cè)結(jié)果

在實(shí)驗(yàn)室建立了如圖3 所示的波片測(cè)量系統(tǒng)后，通過(guò)旋轉(zhuǎn)檢偏棱鏡測(cè)量探測(cè)器的非線性效應(yīng)系數(shù)ai(i=0，1，2)和檢偏Glan-Taylor 棱鏡的初始方位角θ3(initial)（見(jiàn)式（10））。其測(cè)量結(jié)果如圖8 所示。

圖8 探測(cè)器非線性效應(yīng)矯正前后光強(qiáng)對(duì)比Fig.8 Comparison of light intensity before and after the nonlinear effect correction of the detector

圖8 中深藍(lán)色（×）為光功率計(jì)顯示的光強(qiáng)Iout，淺藍(lán)色曲線為矯正光功率計(jì)非線性效應(yīng)的真實(shí)光強(qiáng)Ireal，粉色曲線為真實(shí)光強(qiáng)Ireal與探測(cè)光強(qiáng)Iout的殘差。擬合得到θ3(initial)=8.065°，a0=?4.76×10?4，a1=0.990 8，a2=?3.27×10?4。

控制電機(jī)2（RSM2）將檢偏棱鏡的初始方位角θ3(initial)旋轉(zhuǎn)到45°，并將待測(cè)波片裝載在電機(jī)1（RSM1）上，電機(jī)1 以Δθ2=3°為步長(zhǎng)，500° /s 的速度旋轉(zhuǎn)5 圈。利用擬合光強(qiáng)法對(duì)中心波長(zhǎng)在632.8 nm 附近的1/4λ波片進(jìn)行了測(cè)量，其測(cè)量結(jié)果如圖9 所示。

圖9 光強(qiáng)隨待測(cè)1/4 λ 波片旋轉(zhuǎn)角變化的非線性最小二乘法擬合結(jié)果Fig.9 The nonlinear least squares fitting results of light intensity as a function of the rotation angle of the 1/4 λ waveplate

圖9 中藍(lán)色圓圈是非線性矯正后的Ireal，紅色實(shí)線是根據(jù)式（11）對(duì)Ireal進(jìn)行最非線性擬合χ2最小的擬合曲線。綠色實(shí)線是波片在不同角度下真值Ireal與擬合值Ifitting的殘差曲線，最大殘差值為1.151 6μW，最大殘差比。擬合得到1/4λ波片從0°連續(xù)旋轉(zhuǎn)到1800°的延遲量為90.83°，初始方位角為?18.87°。

為了進(jìn)一步分析1/4λ波片延遲量與初始方位角的擬合精度，本文對(duì)矯正后的Ireal進(jìn)行每360°分離，得到5 組數(shù)據(jù)，根據(jù)式（11）對(duì)這5 組數(shù)據(jù)分別擬合，擬合結(jié)果如圖10所示。

圖10 5 組1/4 λ 波片測(cè)量數(shù)據(jù)的非線性擬合Fig.10 The nonlinear fitting results of measurement data of 5 groups 1/4 λ waveplate

圖10（a）中，1/4λ波片延遲量δ(i)的δmax為90.92°，δmin為90.79°，與的RMS 為0.06°。圖10（b）中，初始方位角θ2(initial)(i)的最大值為?18.4°，最小值為?19.4°，與的RMS 為0.4°。

利用擬合光強(qiáng)法對(duì)參考波長(zhǎng)在632.8 nm 附近的0.356λ波片和1/ 2λ波片進(jìn)行了相同的測(cè)量與數(shù)據(jù)處理。其測(cè)量結(jié)果如表1 所示。

3.2 其他光強(qiáng)法實(shí)測(cè)結(jié)果對(duì)比

為了比較本文所采用的擬合光強(qiáng)法測(cè)量非1/2λ波片延遲量δ與快軸初始方位角θ2(initial)的精度，在本測(cè)量系統(tǒng)下，本文還對(duì)傳統(tǒng)的其他兩種測(cè)量波片延遲量δ的方法進(jìn)行了相關(guān)實(shí)測(cè)，比較了本測(cè)量方法與其他光強(qiáng)法測(cè)量波片延遲量δ的精度。

傳統(tǒng)光強(qiáng)法采用的一種測(cè)量方式是將波片快軸方位角θ2固定在45°，再將檢偏器的快軸方位角分別旋轉(zhuǎn)到θ3=0°與θ3=90°的位置，即檢偏器透過(guò)軸與起偏器透過(guò)軸平行與垂直［11-12］。則待測(cè)波片延遲量δ為

將1/4λ波片、0.356λ波片進(jìn)行了上述方法的測(cè)量，并將采集的5 組光強(qiáng)數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性系數(shù)矯正，根據(jù)式（12）得到待測(cè)波片的延遲量δ如圖11 所示。

圖11 第一種光強(qiáng)法測(cè)量1/4 λ 與0.356λ 波片延遲量δ 的結(jié)果Fig.11 The results of the first light intensity method to measure the retardation of 1/4 λ and 0.356λ waveplates

由圖11 可知，采用這種光強(qiáng)法測(cè)量1/ 4λ波片延遲量其均值為92.26°，δmax為93.43°，δmin為90.74°，與的RMS 為0.96°；0.356λ波片均值延遲量為130.28°，δmax為131.70°，δmin為128.85°，與的RMS為0.98°。

另一種光強(qiáng)測(cè)量法是將檢偏器的快軸方位角θ3固定在45°，旋轉(zhuǎn)待測(cè)波片，記錄探測(cè)光強(qiáng)Iout的最大值Imax與最小值Imin［11-12］，則待測(cè)波片延遲量δ為

將1/ 4λ波片、0.356λ波片均進(jìn)行了5 次測(cè)量，將采集的5 組數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性矯正后，根據(jù)式（13）得到待測(cè)波片延遲量δ如圖12 所示。

圖12 第二種光強(qiáng)法測(cè)量1/4 λ 與0.356λ 波片延遲量δ 的結(jié)果Fig.12 The results of the second light intensity method to measure the retardation of 1/4 λ and 0.356λ waveplates

由圖12 可知，采用第二種光強(qiáng)法測(cè)量1/ 4λ波片的延遲量其均值為91.75°，δmax為92.51°，δmin為90.49°，與的RMS 為0.82°。0.356λ波片的延遲量均值為129.22°，δmax為130.11°，δmin為128.03°，與的RMS 為0.75°。

將傳統(tǒng)的兩種光強(qiáng)法測(cè)量1/4λ波片、0.356λ波片的延遲量δ與本文采用的擬合光強(qiáng)法測(cè)量得到的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，其結(jié)果如表2 所示。三種測(cè)量波片延遲量δ的方法分別命名為傳統(tǒng)光強(qiáng)測(cè)量方法1，傳統(tǒng)光強(qiáng)測(cè)量方法2，本文的擬合光強(qiáng)法。

表1 1/ 4 λ 波片、0.356λ 波片、1/ 2 λ 波片的非線性擬合結(jié)果Table 1 Nonlinear fitting results of1/ 4 λ waveplate，0.356λ waveplate and 1/ 2 λ waveplate

表2 1/4λ 波片、0.356λ 波片延遲量δ 的三種測(cè)量方法結(jié)果比較Table 2 Comparison of the results of three measurement methods for the retardation of 1/4λ waveplate and 0.356λ waveplate

由表2 可知，傳統(tǒng)的兩種光強(qiáng)法測(cè)量波片延遲量的測(cè)量精度較差，相比于本文所述的擬合光強(qiáng)法，其延遲量均值相差1°以上，其RMS 的精度差一個(gè)數(shù)量級(jí)。此外，該兩種測(cè)量方法均不能測(cè)量待測(cè)波片的初始方位角θ2(initial)。

對(duì)上述三種波片延遲量的測(cè)量方法詳細(xì)分析可知：傳統(tǒng)兩種光強(qiáng)測(cè)量法相對(duì)于本系統(tǒng)采用的擬合光強(qiáng)法精度差的原因如下，由譜條件數(shù)cond(D)2可知，第一種光強(qiáng)測(cè)量法旋轉(zhuǎn)檢偏棱鏡，其檢偏方位角θ3不在±45°以?xún)?nèi)時(shí)，受到系統(tǒng)的偶然誤差影響較大；其次，根據(jù)光強(qiáng)最大與消光的判斷條件，檢偏器的透過(guò)軸無(wú)法精準(zhǔn)的旋轉(zhuǎn)到與起偏器的透過(guò)軸平行或垂直，第三，該方法采集的數(shù)據(jù)點(diǎn)較少，易收到偶然誤差影響。至于測(cè)量方法2 精度不高的原因，第一是步進(jìn)電機(jī)不可能多次正好旋轉(zhuǎn)到光強(qiáng)最大值Imax與最小值Imin的位置處，記錄得到的光強(qiáng)極值Imax或Imin存在誤差；其次是采集的數(shù)據(jù)點(diǎn)較少，易收到偶然誤差影響。

3.3 光譜分析法實(shí)測(cè)結(jié)果

當(dāng)波片延遲量δ=180°時(shí)，采用擬合光強(qiáng)法測(cè)量，系統(tǒng)的信噪比低，測(cè)量誤差大，表1 的實(shí)測(cè)結(jié)果驗(yàn)證了1.1 的理論分析，此時(shí)結(jié)合光譜分析法可克服光強(qiáng)法的測(cè)量缺陷。設(shè)置光譜儀色散的目標(biāo)譜線λaim為632.8 nm，波長(zhǎng)間隔Δλ為0.1 nm，采集波段630 nm～636 nm 的白光光譜，如圖13 所示。圖13（a）為原始光譜數(shù)據(jù)，圖13（b）為減去背景雜散光和探測(cè)器暗電流后的光譜數(shù)據(jù)。

圖13 白光經(jīng)光譜儀色散在630 nm～636 nm 的光譜數(shù)據(jù)Fig.13 Spectral data of white light dispersed at 630 nm～636 nm by spectrometer

圖14 1/2 λ 波片的灰度值對(duì)波長(zhǎng)λ 的非線性最小二乘法擬合Fig.14 Nonlinear least squares fitting of the gray value of the 1/2 λ waveplate to wavelength λ

圖15 12/λ 波片5 組光譜數(shù)據(jù)的非線性擬合Fig.15 The nonlinear fitting results of spectral data of 5 groups 1、2 λ waveplate

利用式（11）對(duì)凈化后的光譜數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性擬合，待擬合參數(shù)為τIin、N、θ2(initial)，其單組光譜數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果如圖14 所示。

圖14 中的藍(lán)色十字星表示的是白光經(jīng)光譜儀色散后在不同波長(zhǎng)點(diǎn)的灰度值并進(jìn)行了歸一化處理；紅色實(shí)線為根據(jù)公式（5）對(duì)色散光譜擬合得到的最佳擬合曲線，得到待擬合參數(shù)N、θ2(initial)，再根據(jù)公式（6）即可得到待測(cè)延遲量δ。將上述測(cè)量過(guò)程重復(fù)5 次，得到波片延遲量δ和初始方位角θ2(initial)如圖15 所示。

圖15（a）中，1/2λ波片的延遲量δ(i)的最大值為180.30°，最小值為180.26°，擬合均值為180.28°，RMS為0.02°。圖15（b）中初始方位角θ2(initial)(i)的最大值為?36.37°，最小值為?36.55°，擬合均值為?36.48°，RMS為0.07°。

4 結(jié)論

基于擬合光強(qiáng)法與光譜分析法，設(shè)計(jì)并建立了一套能夠測(cè)量非消色差波片延遲量δ在0°～360°范圍內(nèi)任意值與快軸方位角的高精度測(cè)量系統(tǒng)。并對(duì)該測(cè)量系統(tǒng)進(jìn)行了詳細(xì)的理論分析、模擬仿真和樣品實(shí)測(cè)。實(shí)測(cè)結(jié)果表明，在進(jìn)行了系統(tǒng)誤差的改正及隨機(jī)誤差的抑制后，基于擬合光強(qiáng)法，通過(guò)非線性最小二乘法擬合得到1/4λ波片、0.356λ波片的延遲量δ和初始方位角θ2(initial)測(cè)量精度高，波片延遲量的測(cè)量比傳統(tǒng)兩種光強(qiáng)法的測(cè)量精度提高一個(gè)數(shù)量級(jí)以上，且能同步測(cè)量快軸初始方位角。其測(cè)量裝置簡(jiǎn)單易操作，測(cè)量結(jié)果實(shí)時(shí)快速。但擬合光強(qiáng)法不適用于延遲量在180°附近的非消色差波片測(cè)量，對(duì)于延遲量在180°附近的波片在該測(cè)量系統(tǒng)下結(jié)合光譜分析法進(jìn)行測(cè)量及擬合，測(cè)得的延遲量δ和快軸初始方位角θ2(initial)的精度遠(yuǎn)高于擬合光強(qiáng)法測(cè)量的結(jié)果。因此，通過(guò)本文設(shè)計(jì)建立的測(cè)量系統(tǒng)，可以精確的測(cè)量相位延遲量δ在0～360 范圍之內(nèi)的非消色差波片，為精準(zhǔn)測(cè)量偏振分析器從而實(shí)現(xiàn)高精度偏振測(cè)量打下基礎(chǔ)。