何壯　袁淑莉

1.問題提出

數(shù)學(xué)是人類生存必備的基本素質(zhì)，數(shù)學(xué)的應(yīng)用始終與人類文明的發(fā)展有著緊密的聯(lián)系。國內(nèi)針對數(shù)學(xué)能力的研究可以追溯到20世紀(jì)50年代，當(dāng)時(shí)的研究以驗(yàn)算、解題、推理等單一任務(wù)能力為主。認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)和教育與心理測量學(xué)的發(fā)展為數(shù)學(xué)能力的評價(jià)提供了新的思路，尤其是數(shù)學(xué)障礙兒童的認(rèn)知特點(diǎn)研究已經(jīng)明確：“工作記憶缺陷是數(shù)學(xué)障礙兒童最核心的缺陷，是導(dǎo)致數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)障礙的根本原因?！惫ぷ饔洃浥c數(shù)學(xué)能力的關(guān)系一直是該領(lǐng)域重要的主題。

工作記憶是指個(gè)體在執(zhí)行復(fù)雜認(rèn)知任務(wù)過程中，暫時(shí)存儲(chǔ)與加工信息的能量有限的系統(tǒng)。為進(jìn)一步了解工作記憶的結(jié)構(gòu)和功能，研究者從不同角度提出了模型假設(shè)，其中最具影響力的是Baddeley等人提出的工作記憶多成分模型。該模型經(jīng)過了三成分模型和四成分模型兩個(gè)階段。

三成分模型認(rèn)為，工作記憶包括中央執(zhí)行系統(tǒng)、視空間模板和語音回路。后續(xù)的研究發(fā)現(xiàn)，有些現(xiàn)象無法用三成分模型解釋。如三成分模型假設(shè)：中央執(zhí)行系統(tǒng)沒有存儲(chǔ)能力，信息存儲(chǔ)在視空間模板和語音回路。根據(jù)這一模型，深度遺忘病人的中央執(zhí)行系統(tǒng)正常，其他兩個(gè)系統(tǒng)功能缺失，其即時(shí)回憶和延時(shí)回憶能力都應(yīng)當(dāng)很差。但實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，深度遺忘病人仍具備即時(shí)回憶的能力。這說明還有其他成分在影響即時(shí)回憶能力。另外，即使是最簡單的言語單元也都是語音和視覺編碼的結(jié)合，但根據(jù)三成分模型假設(shè)，語音和視覺信息分別存儲(chǔ)在兩個(gè)成分中。那么這些信息在進(jìn)入長時(shí)記憶系統(tǒng)前是在哪里整合的，現(xiàn)有理論無法解釋。

Baddeley進(jìn)一步提出了工作記憶的四成分模型，如圖1所以。第一層為中央執(zhí)行系統(tǒng)，完成最高級別的控制功能。第二層的功能為完成幾類信息的暫時(shí)加工，主要包括：情景緩沖器、視空間模板、語音回路，受中央執(zhí)行系統(tǒng)控制，主要功能為信息整合、保持。第三層是長時(shí)記憶系統(tǒng)，包括視覺語義信息、情景長時(shí)記憶和語音信息。

雖然相關(guān)研究結(jié)論非常豐富，但當(dāng)前研究在數(shù)學(xué)和工作記憶能力的評價(jià)、研究被試選擇、研究結(jié)論的外部效度等方面都有待進(jìn)一步完善。

2.研究方法

2.1被試選擇

本研究在貴陽某小學(xué)抽樣四年級學(xué)生425人，其中女生占比49.6%，男生占比50.4%。平均年齡10歲，標(biāo)準(zhǔn)差0.3歲。其中有存在數(shù)學(xué)障礙學(xué)生35人，作為對照組，數(shù)學(xué)障礙發(fā)生率為6.1%。

2.2研究工具

采用自編的工作記憶成套測驗(yàn)評價(jià)學(xué)生工作記憶能力，測驗(yàn)共9個(gè)任務(wù)。數(shù)學(xué)能力評價(jià)采用測驗(yàn)法。根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，從“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”。四個(gè)板塊命題，編制了一組滿分100分、共29個(gè)題目（32個(gè)采分點(diǎn)）的試卷。

3.結(jié)果與分析

數(shù)學(xué)能力與工作記憶及其四個(gè)成分之間的相關(guān)系數(shù)如表1所示，相關(guān)系數(shù)均顯著。工作記憶總分與數(shù)學(xué)課程總能力之間相關(guān)為0.265。中央執(zhí)行系統(tǒng)與“統(tǒng)計(jì)與概率能力”之間的相關(guān)最高，相關(guān)系數(shù)為0.375；視空間模板與“綜合與實(shí)踐”之間的相關(guān)最低，相關(guān)系數(shù)為0.112。

3.1中央執(zhí)行系統(tǒng)與數(shù)學(xué)能力的關(guān)系

中央執(zhí)行系統(tǒng)與數(shù)學(xué)課程總能力的相關(guān)為0.318，與數(shù)學(xué)課程四種能力之間的相關(guān)系數(shù)在[0.138，0.375]之間。中央執(zhí)行系統(tǒng)是整個(gè)工作記憶的核心，被稱為居于人腦中無所不能的“小矮人”，擁有刷新、抑制和轉(zhuǎn)換三項(xiàng)功能，并且負(fù)責(zé)監(jiān)控另外三個(gè)附屬成分的信息加工、策略選擇、信息交換等。以涉及策略選擇的題目為例：

“判斷：圍成周長是10厘米的長方形，要求邊長為整厘米數(shù)，總共有2種不同的方法。”

學(xué)生作答時(shí)需要用到“分類枚舉”策略，首先要將所有答案一一列出，不能遺漏；其次要遵循一定的順序，避免重復(fù)。前一階段學(xué)生要不斷提取與更新記憶內(nèi)容，以便列舉出所有可能的答案，這一過程需要刷新功能的支持?？赡艿姆桨赣小?厘米*4厘米”“2厘米*3厘米”“3厘米*2厘米”“4厘米*1厘米”。后一階段學(xué)生要評估四種方案是否重復(fù)，需要在四種方案之間轉(zhuǎn)換，這需要轉(zhuǎn)換功能的支持。兩個(gè)階段的執(zhí)行效果均會(huì)影響作答表現(xiàn)。

進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)：數(shù)學(xué)障礙組正確率為60%，根據(jù)性別、年齡、智商匹配的無數(shù)學(xué)障礙對照組正確率為85%。兩組學(xué)生的中央執(zhí)行系統(tǒng)得分也存在顯著差異。綜合上述分析，可以認(rèn)為中央執(zhí)行系統(tǒng)在數(shù)學(xué)任務(wù)中的作用極其重要。

3.2視空間模板與數(shù)學(xué)能力的關(guān)系

視空間模板與數(shù)學(xué)課程總能力的相關(guān)為0.281，與數(shù)學(xué)課程四種能力之間的相關(guān)系數(shù)在[0.112，0.33]之間。有研究表明，小學(xué)生問題解決的思維過程由一系列的可視化標(biāo)志組成，這些可視化的表征就存儲(chǔ)在視空間模板中，這一特點(diǎn)在統(tǒng)計(jì)圖表問題解決過程中尤為明顯。

視空間模板與“數(shù)與代數(shù)能力”間的相關(guān)系數(shù)為0.306。進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)，本次考試考察“數(shù)與代數(shù)能力”的題目中有4個(gè)題目考查“數(shù)的認(rèn)識(shí)”，占該能力題目數(shù)的一半。課程標(biāo)準(zhǔn)中對“數(shù)的認(rèn)識(shí)”要求學(xué)生：在具體情境中，認(rèn)識(shí)萬以上的數(shù)，會(huì)用萬、億為單位表示大數(shù)。以填空題為例：

“506000000000＝（）億3986000000≈（）億”

視空間模板又可細(xì)分為視覺緩存和內(nèi)部抄寫器兩個(gè)成分，前者用于視覺信息的被動(dòng)存儲(chǔ)，后者則負(fù)責(zé)視空間信息的動(dòng)態(tài)操作和復(fù)述。該填空題中對大數(shù)后一長串?dāng)?shù)字“0”的處理顯然需要內(nèi)部抄寫器的參與。

另外，視空間模板與“圖形與幾何能力”相關(guān)顯著，相關(guān)系數(shù)為0.237。視空間模板與圖形的旋轉(zhuǎn)、投影、分類和度量等動(dòng)態(tài)操作有關(guān)。此次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中考察“圖形與幾何能力”的典型題目如圖2，要求學(xué)生對圖形進(jìn)行投影、旋轉(zhuǎn)等加工，以確定圖中給出的虛線是否為正方形的對稱軸。

對作答數(shù)據(jù)的進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)障礙組學(xué)生正確率為85%，對照組正確率為95%，且兩組學(xué)生的視空間模板得分存在顯著差異。綜合上述結(jié)論，可以認(rèn)為視空間模板在“統(tǒng)計(jì)與概率”“圖形與幾何”問題的解決過程中發(fā)揮著重要作用。

3.3語音回路與數(shù)學(xué)能力的關(guān)系

語音回路與數(shù)學(xué)課程總能力的相關(guān)為0.256，與數(shù)學(xué)課程四種能力之間的相關(guān)系數(shù)在[0.128，0.34]之間。Baddeley等人認(rèn)為，由于語音回路參與語言理解和獲得，很多數(shù)學(xué)知識(shí)都是以語音形式存儲(chǔ)在長時(shí)記憶中的。此次數(shù)學(xué)測驗(yàn)考察“數(shù)與代數(shù)能力”的典型題目如心算題：“1.2÷0.1=？”“2.8×2=？”學(xué)生不能使用列豎式、計(jì)算器等輔助手段，心算中需要依靠語音回路從長時(shí)記憶中提取乘法事實(shí)和進(jìn)位制規(guī)則等。數(shù)學(xué)障礙組學(xué)生的表現(xiàn)較差，主要表現(xiàn)為進(jìn)位錯(cuò)誤，如：“1.2÷0.1=12”“2.8×2=4.6”。其次，數(shù)學(xué)障礙學(xué)生即便回答正確，也會(huì)出現(xiàn)多次涂改現(xiàn)象，這表明其算法規(guī)則和事實(shí)的提取及應(yīng)用困難，導(dǎo)致心算效率較低。綜合上述分析，可以認(rèn)為語音回路在“數(shù)與代數(shù)”相關(guān)問題解決過程中的作用非常重要。

3.4情景緩沖器與數(shù)學(xué)能力的關(guān)系

情景緩沖器與數(shù)學(xué)課程總能力的相關(guān)為0.304，是三個(gè)附屬成分中最高的。與數(shù)學(xué)課程四種能力之間的相關(guān)系數(shù)在[0.279，0.328]之間。Baddeley假設(shè)情景緩沖器是中央執(zhí)行系統(tǒng)存儲(chǔ)和提取信息的場所，是言語信息（來自語音回路）和視覺信息（來自視空間模板）進(jìn)行整合的場所，還是長時(shí)記憶與工作記憶之間產(chǎn)生聯(lián)系的重要中介?！熬C合與實(shí)踐能力”的考察主要以應(yīng)用題為主，創(chuàng)設(shè)相應(yīng)的情境，并提出問題。情景緩沖器所具有的整合并存儲(chǔ)多種編碼信息功能與應(yīng)用題的解題要求非常契合，因此二者相關(guān)最高。

另外，即使在非應(yīng)用題中，需要整合多個(gè)通道的解題線索時(shí)，情景緩沖器也發(fā)揮著重要作用。以此次數(shù)學(xué)測驗(yàn)的角度計(jì)算題為例，如圖3，題干中以文字形式給出了部分條件，在圖像中給出了另一部分條件，二者均為問題解決的關(guān)鍵，缺一不可。解題過程中需要處理語音和圖像兩類信息，并從長時(shí)記憶提取“周角為360°直角為90°”等知識(shí)。這些條件信息的整合必須由情景緩沖器完成。該題滿分3分，數(shù)學(xué)障礙組平均1.4分，對照組2.5分。綜合上述分析，可以認(rèn)為情景緩沖器在“綜合與實(shí)踐”問題解決過程中的作用非常重要。

4.討論

國內(nèi)外對二者關(guān)系的研究結(jié)論非常豐富，但仍有些細(xì)節(jié)問題需要進(jìn)一步明確。一是以簡單的數(shù)學(xué)任務(wù)或考試總成績代表數(shù)學(xué)能力，與課程標(biāo)準(zhǔn)對能力的要求不符；二是以工作記憶某一成分甚至中央執(zhí)行系統(tǒng)某一項(xiàng)功能代表工作記憶能力，代表性不足；三是基于三成分模型進(jìn)行研究設(shè)計(jì)，理論基礎(chǔ)滯后。再加上中外數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的差異，導(dǎo)致上述研究的相關(guān)結(jié)論對國內(nèi)數(shù)學(xué)教學(xué)的指導(dǎo)價(jià)值有限。最后，已有普遍將研究重點(diǎn)放在數(shù)學(xué)障礙群體上，將在該群體上獲得的結(jié)論直接應(yīng)用到無數(shù)學(xué)障礙群體，這一做法一直存在爭議。因此，無論是工作記憶還是數(shù)學(xué)能力，二者的研究都需要引入更新的視角。

本研究在國內(nèi)外研究的基礎(chǔ)上，更新了數(shù)學(xué)能力和工作記憶評價(jià)的方法與模型，得出了一些新的結(jié)論。工作記憶各成分在數(shù)學(xué)任務(wù)中的作用不一。中央執(zhí)行系統(tǒng)在所有數(shù)學(xué)任務(wù)中都發(fā)揮關(guān)鍵作用，對中央執(zhí)行系統(tǒng)能力的訓(xùn)練是提高數(shù)學(xué)成績，尤其是消除數(shù)學(xué)障礙的關(guān)鍵。視空間模板在“統(tǒng)計(jì)與概率”“圖形與幾何”任務(wù)中的作用非常明顯，凡涉及圖表信息處理、圖形加工的數(shù)學(xué)任務(wù)，都與視空間模板有較高相關(guān)。語音回路在“數(shù)與代數(shù)”任務(wù)中的作用非常重要，尤其是當(dāng)學(xué)生掌握了運(yùn)算口訣，逐步擺脫對手勢、數(shù)手指等直觀形象思維的依賴，轉(zhuǎn)向抽象邏輯思維以后。綜合上述分析可以發(fā)現(xiàn)，在“數(shù)與代數(shù)”任務(wù)中，對視空間模板和語音回路的依賴呈現(xiàn)此消彼長的現(xiàn)象。據(jù)此推測，以具體形象思維為主的小學(xué)低年級階段，數(shù)學(xué)能力與視空間模板關(guān)系更密切；以抽象邏輯思維為主的高年級階段，數(shù)學(xué)能力與語音回路關(guān)系更密切。情景緩沖器是三個(gè)附屬成分中與數(shù)學(xué)能力關(guān)系最密切的成分。作為對多種通道和形式信息進(jìn)行整合的場所，情景緩沖器與“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”等任務(wù)均存在較高相關(guān)。據(jù)此推測，情景緩沖器的缺陷有可能導(dǎo)致數(shù)學(xué)成績的全面落后。

數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)是一個(gè)系統(tǒng)且復(fù)雜的過程，小學(xué)教師在課程設(shè)計(jì)與輔導(dǎo)中應(yīng)當(dāng)充分考慮工作記憶的作用及其發(fā)展特點(diǎn)，將相關(guān)研究結(jié)論應(yīng)用到教學(xué)實(shí)踐中，并在實(shí)踐中不斷完善。

（本研究系貴州省教育科學(xué)規(guī)劃課題《基于新課標(biāo)的小學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決認(rèn)知機(jī)制研究》，貴陽市婦聯(lián)-貴陽學(xué)院聯(lián)合課題資助GYU-KY-〔2022〕研究成果。）

（通訊作者何壯，博士，副教授，主要研究方向：教育與心理測量。）