莫帥，王檑，胡慶森，周長鵬，高瀚君，岑國建

(1. 天津工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津，300387；2. 廣西大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，廣西 南寧，530004；3. 華中科技大學(xué) 數(shù)字制造裝備與技術(shù)國家重點(diǎn)實驗室，湖北 武漢，430074；4. 江蘇萬基傳動科技有限公司，江蘇 泰州，225400；5. 北京航空航天大學(xué) 虛擬現(xiàn)實技術(shù)與系統(tǒng)國家重點(diǎn)實驗室，北京，100191；6. 寧波中大力德智能傳動股份有限公司，浙江 寧波，315301)

對齒輪系統(tǒng)進(jìn)行健康監(jiān)測對于防止系統(tǒng)突然失效至關(guān)重要。裂紋是齒輪主要故障之一，裂紋齒輪的時變嚙合剛度會受到裂紋變化的影響[1-3]。許德濤等[4]基于有限元研究了裂紋的擴(kuò)展路徑對時變嚙合剛度的影響；WU等[5]建立了齒輪裂紋分析模型，計算了不同齒根裂紋深度下的時變嚙合剛度，并研究了裂紋擴(kuò)展路徑對齒輪傳動系統(tǒng)的振動響應(yīng)；CHEN 等[6-7]提出了不同齒輪裂紋長度下時變嚙合剛度的計算模型，研究了沿齒寬方向的裂紋對齒輪傳動系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)及統(tǒng)計指標(biāo)的影響；MA 等[8]考慮了真實的過渡曲線，對能量法求解時變嚙合剛度的方法進(jìn)行修正，同時將齒輪裂紋的擴(kuò)展路徑和限制線假設(shè)為不同形式的曲線，并用有限元求解時變嚙合剛度以驗證裂紋擴(kuò)展路徑和有效厚度的限制線分別假設(shè)為直線和拋物線的合理性；REZAEI 等[9]對斜齒輪中裂紋位置的檢測原理進(jìn)行了研究，提出了一種檢測方法；孟宗等[10]研究了沿齒厚方向擴(kuò)展的齒輪裂紋對時變嚙合剛度影響；YU等[11]對齒輪齒根裂紋的系統(tǒng)動力學(xué)特性進(jìn)行了分析。

如上所述，研究者致力于裂紋齒輪時變嚙合剛度建模和動力學(xué)特性研究，本文在已有的研究基礎(chǔ)上，建立精確齒輪齒廓模型和構(gòu)建包含裂紋位置、裂紋深度和裂紋長度的裂紋齒輪時變嚙合剛度計算模型，定量研究裂紋齒輪的時變嚙合剛度變化。最后,根據(jù)六自由度齒輪動力學(xué)振動模型，仿真求解得到裂紋齒輪的振動特征和幅頻特性，通過小波變換分析法研究裂紋故障下的齒輪振動特征，采用統(tǒng)計指標(biāo)的方法對齒輪傳動系統(tǒng)故障振動的敏感度進(jìn)行研究，為齒輪傳動系統(tǒng)的裂紋故障檢測提供理論基礎(chǔ)。

1 裂紋齒輪副時變嚙合剛度計算建模

1.1 健康齒輪副時變嚙合剛度計算建模

本文將輪齒考慮為懸臂梁結(jié)構(gòu)，通過對齒輪齒廓的精確建模和受力變形情況的分析，修正時變化嚙合剛度的計算模型。齒輪齒廓模型如圖1所示。齒輪齒廓為標(biāo)準(zhǔn)漸開線齒廓，包括過渡圓角曲線AB段和漸開線齒廓BD段，其中，BC段為漸開線齒廓的非嚙合區(qū)，α為壓力角，αp為嚙合角；α1和α2分別為點(diǎn)A和B的齒基角；F為嚙合力；hx為嚙合點(diǎn)有效厚度；xA、xB、xC和xp分別為點(diǎn)A、B、C、p的橫坐標(biāo)。

圖1 齒輪齒廓模型Fig. 1 Gear tooth profile model

根據(jù)文獻(xiàn)[12]，漸開線部分可以用齒輪轉(zhuǎn)角θ來表達(dá)，過渡曲線AB段由齒輪加工制造過程中刀具確定，AB段的方程如式(1)所示：

式中，?為過渡曲線的參變量，α≤?≤π/2；R為分度圓半徑；c*為頂隙系數(shù)；h*為齒頂高系數(shù)；m為齒輪模數(shù)；A0為刀具圓角圓心到輪齒中線的距離；B0為刀具圓角圓心到齒槽中線的距離；R1為刀具圓角半徑；φ為刀具圓角圓心與刀具圓心的連線和中心距延長線的夾角。

由變截面彈性懸臂梁理論[13]可知，將齒輪考慮為懸臂梁結(jié)構(gòu)，則齒輪的赫茲剛度kh、軸向壓縮剛度ka、彎曲剛度kb和剪切剛度ks的計算公式如式(2)所示。

式中：E為彈性模量；L為齒輪齒寬；G為剪切模量；v為泊松比；yp為p點(diǎn)縱坐標(biāo)；I為齒廓任意處的截面慣性矩[14]。

式中：h為有效厚度。

在齒輪嚙合過程中，一般假設(shè)其受到的力為線性變化，此時，基體剛度kf計算公式如式(4)所示。

式中：uf=Rb/cosα-Rf；Sf為齒根圓弧長Sf=2θfRf；θf為齒根圓弧對應(yīng)圓心角的一半，hf=rf/rint；rint為輪轂半徑；rf為齒根圓半徑；P*、Q*、M*和L*為計算參數(shù)，可由式(5)計算得到。

式中：Ai～Fi為擬合系數(shù)；X*代表基體剛度計算參數(shù)P*，Q*，M*和L*。

基體剛度計算參數(shù)的擬合系數(shù)如表1所示。綜上所述，時變嚙合剛度的計算公式如式(6)所示。

表1 基體剛度計算參數(shù)的擬合系數(shù)Table 1 Fit coefficient of parameters of matrix stiffness calculation

1.2 齒輪裂紋沿齒厚分布計算建模

齒輪在嚙合過程中受彎曲應(yīng)力作用，導(dǎo)致齒輪裂紋會沿2個不同方向擴(kuò)展，分別為沿齒厚擴(kuò)展和沿齒寬擴(kuò)展。當(dāng)齒輪裂紋沿齒厚擴(kuò)展時，通常將齒輪裂紋的擴(kuò)展路徑假設(shè)為直線，有效厚度的限制線假設(shè)為拋物線，通過有效厚度來計算有效截面積和截面慣性矩。

沿齒厚的裂紋幾何模型如圖2所示，其中，αc為裂紋擴(kuò)展角，q為裂紋深度，qmax為裂紋起始點(diǎn)與裂紋擴(kuò)展最左端點(diǎn)之間的距離，S為裂紋終止點(diǎn)。過S點(diǎn)與齒廓齒頂點(diǎn)D的拋物線作為有效厚度的限制線，此時，輪齒上任意位置有效厚度的計算公式如式(7)所示。

圖2 沿齒厚的裂紋幾何模型Fig. 2 Geometric model of crack along tooth thickness

式中：hcrack為裂紋齒輪的有效厚度；y為齒輪齒廓上任意一點(diǎn)的縱坐標(biāo)；xS和yS分別為裂紋終止點(diǎn)S的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)。

裂紋沿齒厚通過齒中線后，裂紋深度q=qmax+qS，qS的最大值等于qmax。而實際上，在裂紋擴(kuò)展到整個齒厚之前，輪齒就會發(fā)生斷裂，當(dāng)裂紋通過齒中線以后，輪齒上任意位置有效厚度的計算公式如式(8)所示。

1.3 齒輪裂紋沿齒寬分布計算建模

為了研究裂紋沿齒寬不均勻擴(kuò)展對時變嚙合剛度的影響，用微元法將整個齒寬分成許多獨(dú)立的薄片，薄片的裂紋深度為qx，且薄片沿齒寬方向的裂紋為貫穿狀態(tài)，故可將薄片假設(shè)為裂紋沿齒厚擴(kuò)展模型進(jìn)行分析。沿齒寬方向的裂紋幾何模型如圖3所示。

圖3 沿齒寬方向的裂紋幾何模型Fig. 3 Geometric model of crack along tooth width

當(dāng)沿齒寬的裂紋沒有貫穿時，沿齒寬裂紋的長度q(x)計算公式如式(9)所示。

當(dāng)沿齒寬的裂紋貫穿時，沿齒寬裂紋的長度q(x)計算公式如式(10)所示。

式中：q0為初始裂紋深度；q1為齒輪非工作側(cè)貫穿裂紋深度。

2 齒輪裂紋對時變嚙合剛度和載荷分配的影響機(jī)理

為了研究不同裂紋深度、裂紋長度和裂紋擴(kuò)展角對時變嚙合剛度的影響，采用如表2所示的齒輪傳動系統(tǒng)基本參數(shù)。

表2 齒輪傳動系統(tǒng)參數(shù)Table 2 Parameter of transmission system

2.1 齒輪裂紋對時變嚙合剛度的影響機(jī)理

初始裂紋深度q0=2.4 mm，不同裂紋擴(kuò)展角下的時變嚙合剛度如圖4(a)所示。假設(shè)裂紋沿齒寬方向貫穿，隨著裂紋擴(kuò)展角αc的增大，時變嚙合剛度出現(xiàn)減小的現(xiàn)象。

圖4 不同裂紋情況下時變嚙合剛度的變化Fig. 4 Variation of time-varying meshing stiffness under different cracks

裂紋擴(kuò)展角為αc=60°，裂紋深度q=0～5.6 mm，間隔為0.8 mm，不同裂紋深度下的時變嚙合剛度如圖4(b)所示。假設(shè)裂紋沿齒寬方向貫穿，當(dāng)齒輪出現(xiàn)裂紋時，剛度就會減小，當(dāng)齒輪裂紋較小時，剛度的減小量不大；隨著裂紋深度的增大，剛度的減小程度加劇，特別是當(dāng)裂紋接近4.8 mm 時，嚙合剛度大幅降低，因為裂紋穿過齒中線輪齒變形會突然加??；隨著q的增大，輪齒有斷裂的趨勢，嚙合剛度大幅下降。

初始裂紋深度q0=4.0 mm，裂紋擴(kuò)展角αc=60°，不同裂紋長度下的時變嚙合剛度如圖4(c)所示。從圖4(c)可見：隨著裂紋的產(chǎn)生和加劇，會出現(xiàn)與圖4(b)中一樣的變化趨勢，但剛度減小的幅度與初始裂紋深度有關(guān)。

2.2 齒輪裂紋對載荷分配的影響機(jī)理

在齒輪嚙合過程中，裂紋齒輪受到的接觸載荷會隨著嚙合位置的改變而改變，通過計算載荷分配比來研究齒輪受力情況，載荷分配系數(shù)Lsri計算公式如式(11)所示。

式中：Fi為第i對齒的接觸力；Rbp為主動輪的基圓半徑；T0為主動輪轉(zhuǎn)矩。

裂紋齒輪接觸載荷的變化如圖5 所示。從圖5可見：初始裂紋q0=2 mm；在單齒嚙合區(qū)，只有裂紋齒輪參與嚙合，其載荷比為1；在雙齒嚙合區(qū)，裂紋齒輪副接觸載荷減少，而其相鄰的健康齒輪副接觸載荷增大，導(dǎo)致裂紋齒副的承載能力下降。

圖5 裂紋齒輪接觸載荷的變化Fig. 5 Variation of contact load of Cracked Gear

3 含裂紋的齒輪傳動系統(tǒng)故障振動響應(yīng)

3.1 含裂紋的齒輪傳動系統(tǒng)故障動力學(xué)建模

齒輪系統(tǒng)動力學(xué)模型如圖6所示。圖6中，mp主動輪質(zhì)量，mg從動輪質(zhì)量，Km為時變嚙合剛度，Cm為齒間嚙合阻尼，r1和r2為分度圓半徑，J1和J2輪轉(zhuǎn)動慣量，T1和T2為施加的扭矩，Kp1和Kp2為徑向支撐剛度，Cp1和Cp2為徑向支撐阻尼，下標(biāo)1表示主動輪，下標(biāo)2 表示從動輪。該模型考慮x方向、y方向和θ方向的自由度。根據(jù)圖6 建立的動力學(xué)方程如式(12)所示。

圖6 齒輪系統(tǒng)動力學(xué)模型Fig. 6 Dynamic model of primary gear system

裂紋齒輪的動態(tài)特性計算流程圖如圖7所示。

圖7 系統(tǒng)動力學(xué)計算流程圖Fig. 7 System dynamics calculation flow chart

3.2 齒輪裂紋對傳動系統(tǒng)故障振動響應(yīng)的影響

為了研究裂紋對齒輪傳動系統(tǒng)振動的影響，將裂紋齒輪的時變嚙合剛度代入動力學(xué)方程，得到不同裂紋深度和長度下的振動位移和副頻特性。裂紋參數(shù)分為4 種情況，即case1，q0=0 mm，q1=0 mm；case2，q0=2.4 mm，q1=0 mm；case3，q0=2.4 mm，q1=2.4 mm； case4，q0=4.0 mm，q1=4.0 mm，圖8所示為不同情況下沿齒輪接觸線y方向的振動位移和頻域響應(yīng)圖。從圖8可見：健康齒輪的振動位移比較平穩(wěn)，而裂紋齒輪會產(chǎn)生振動沖擊，當(dāng)裂紋較小時，這種振動沖擊信號并不明顯，而隨著裂紋的加深，振動沖擊會逐漸加劇。

圖8 主動輪y方向的振動位移和頻域圖Fig. 8 Vibration displacement and frequency domain diagrams of driving wheel in y direction

采用小波變換的方法對振動位移進(jìn)行時頻分析。動態(tài)特性的時頻分析結(jié)果如圖9 所示。從圖9可見：在裂紋處，顏色明顯變亮，其振動幅值變大；隨著裂紋深度的增加，其裂紋的振動位移越明顯，振動幅值越大。

圖9 動態(tài)特性的時頻分析Fig. 9 Time frequency analysis of dynamic characteristics

3.3 齒輪裂紋對傳動系統(tǒng)振動響應(yīng)靈敏性分析

許多基于時域波形的簡單信號度量在機(jī)械故障診斷中廣泛使用，統(tǒng)計指標(biāo)均方根、峭度和Sr函數(shù)常用于總體振動水平評估，其中，Sr 函數(shù)表達(dá)式為

式中：N為振動位移數(shù)據(jù)點(diǎn)總數(shù)；為振動位移的平均值；x(n)為振動位移中第n個幅值；n=1，2，3，…，N。

每個統(tǒng)計指標(biāo)的數(shù)量級存在差異，為了綜合評價各統(tǒng)計指標(biāo)的敏感性，對統(tǒng)計指標(biāo)按式(14)進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

式中：YS為轉(zhuǎn)化后的裂紋齒輪振動位移統(tǒng)計指標(biāo)；Yj為轉(zhuǎn)化前的裂紋齒輪振動位移統(tǒng)計指標(biāo)，j=2，3，4，分別對應(yīng)不同裂紋擴(kuò)展角、裂紋長度和裂紋深度的裂紋；Y1為轉(zhuǎn)化后的健康齒輪振動位移統(tǒng)計指標(biāo)。振動位移的統(tǒng)計指標(biāo)如圖10 所示。從圖10可見：隨著裂紋深度的增大，3種統(tǒng)計指標(biāo)都表現(xiàn)出增大的趨勢，但峭度對齒輪裂紋的振動信號更敏感。

圖10 振動位移的統(tǒng)計指標(biāo)Fig. 10 Statistical index of vibration displacemen

4 結(jié)論

1) 對齒廓過渡曲線部分進(jìn)行精確建模，考慮裂紋沿齒厚和齒寬2個方向擴(kuò)展，將裂紋擴(kuò)展路徑和有效厚度限制線分別假設(shè)為直線和拋物線，根據(jù)建立剛度計算模型，求解裂紋齒輪的時變嚙合剛度曲線，發(fā)現(xiàn)沿齒厚方向和齒寬方向上有著相同的變化趨勢，隨著裂紋深度或長度的增加，時變嚙合剛度減小，且時變嚙合剛度的減小量隨著裂紋程度的加劇而增大。對齒輪嚙合過程中的接觸載荷進(jìn)行分析，當(dāng)裂紋增大時，裂紋齒上的載荷減小，相鄰齒輪副的接觸載荷增大，即裂紋齒輪副承載能力下降，相鄰齒輪副易產(chǎn)生裂紋故障。

2) 為了研究齒輪裂紋對齒輪動力學(xué)系統(tǒng)的影響，建立六自由度裂紋齒輪故障動力學(xué)模型，同時對其振動特性和幅頻特性采用小波變換原理進(jìn)行分析。當(dāng)裂紋程度加劇時，時變嚙合剛度減小，振動幅值增大，會引起齒輪傳動系統(tǒng)出現(xiàn)更大的噪聲和沖擊。

3) 隨著裂紋深度的增大，振動位移的均方根、峭度和Sr 函數(shù)都增大，但峭度對齒輪裂紋的振動信號最敏感。