王鵬翔，葉 鷗，黃山閣，馬志強

（1.西安科技大學 計算機科學與技術學院，陜西 西安 710054；2.空軍工程大學 信息與導航學院，陜西 西安 710077）

0 引言

信息技術成為社會發(fā)展的新引擎，但在信息高速傳播、城市公共安全事件不斷涌現(xiàn)的背景下，城市安全面臨越來越多的挑戰(zhàn)［1］，其中社交網(wǎng)絡謠言管控與公共信息安全和社會秩序密切相關。在新型冠狀病毒疫情期間，社交網(wǎng)絡上爆發(fā)了大量相關謠言，嚴重影響了城市公共安全。研究社交網(wǎng)絡上的謠言傳播機制，有助于針對性開展謠言管控措施，對城市安全具有重要意義。

在社交網(wǎng)絡謠言傳播領域，謠言傳播動力學建模得到了廣泛的研究。DALEY等基于經(jīng)典SIR傳染病模型提出了ISR模型，研究了該模型的數(shù)學性質，揭示了謠言傳播模型和傳染病傳播模型之間的差異［2－3］。大量學者針對謠言傳播的特點，在用戶狀態(tài)的多樣性、用戶行為的差異性、外界環(huán)境的擾動性、傳播機制的特殊性等方面展開研究［4］。LI等改進傳統(tǒng)的單一無知者和移除者的SIR模型，建立了一種有多個謠言傳播渠道的2IS2R模型，提出了多謠言傳播渠道下控制謠言傳播的措施［5］。CHEN將科學知識水平和社會強化效應引入經(jīng)典SIR模型［6］，該研究表明科學知識水平提高了謠言傳播閾值，而社會強化效應降低了謠言傳播閾值。DING等基于經(jīng)典SIR流行病模型，提出考慮遺忘機制和反駁策略的謠言傳播模型，研究了遺忘機制和反駁策略對謠言傳播過程的影響［7］。為了更深入地研究謠言傳播過程中的滯后效應，許多學者將時滯因素引入謠言傳播模型。王衛(wèi)蘋等考慮了包含信謠者和鐵桿信謠者的SEIRD時滯謠言傳播模型，該研究表明教育普及率對降低謠言峰值具有重要作用［8］。謠言傳播模型可能存在會導致系統(tǒng)穩(wěn)定性發(fā)生變化的分岔現(xiàn)象。研究謠言傳播模型的分岔現(xiàn)象有利于把握謠言傳播規(guī)律，對謠言進行有效管控。分岔包括跨臨界分岔［9］、后向分岔［10］、Hopf分岔［11－14］等?；贗SR謠言傳播模型，考慮頑固傳謠者、時滯效應及用戶流動因素的影響，建立一類社交網(wǎng)絡突發(fā)謠言傳播模型，對該模型的平衡點、基本再生數(shù)和分岔等動力學性質進行理論分析和數(shù)值仿真，研究重要參數(shù)對謠言傳播過程的影響。通過真實數(shù)據(jù)擬合該模型的參數(shù)，模擬謠言的傳播過程，為社交網(wǎng)絡謠言管控和城市公共信息安全管理提供參考。

1 突發(fā)謠言傳播模型構建

經(jīng)典ISR模型將整個群體劃分為無知者、傳播者和移除者，并依據(jù)狀態(tài)間的遷移方程描述謠言傳播過程，在謠言傳播建模上具有廣泛應用，因此突發(fā)謠言傳播模型將基于經(jīng)典ISR模型建模。

ISR模型將整個群體視為不存在人口流動的孤立群體，然而真實社交網(wǎng)絡的用戶群體具有流動性。考慮社交網(wǎng)絡中新增和流失的用戶，令μ1為用戶新增率，μ2為用戶流失率。假設謠言傳播期間社交網(wǎng)絡中的總用戶數(shù)量保持為一個常數(shù)，則用戶新增率μ1等于用戶流失率μ2，并以用戶流動率μ統(tǒng)一表示，即μ＝μ1＝μ2。

ISR模型將任何參與謠言傳播的個體均視為傳播者，在突發(fā)謠言傳播事件中，參與謠言傳播的個體不僅包括關注并參與謠言話題的關注者，也包括蓄意制造轟動且有意宣揚不實信息的頑固傳謠者。將ISR模型中的傳播者細分為關注者和頑固傳謠者，提出突發(fā)謠言傳播場景下的群體劃分方法，在社交網(wǎng)絡突發(fā)謠言傳播過程中，關注者的行為可能由于個人心理、社會環(huán)境、信息呈現(xiàn)方式等因素引起遲疑或耽擱，導致用戶行為在時間上的滯后性［15－18］。

無知者U以謠言接觸率α接觸頑固傳謠者S，并產(chǎn)生3種概率行為以無知者關注率θ1成為關注者I，以無知者感染率θ2成為頑固傳謠者S，以無知者移除率（1－θ1－θ2）成為移除者R。關注者I根據(jù)行為是否具有滯后性可分為2類：不受時滯因素影響的關注者I以概率γ立刻停止關注行為，并以的概率相信謠言成為頑固傳謠者S或以（1－）的概率不相信謠言成為移除者R；受到時滯因素影響的關注者I會關注謠言并在經(jīng)過滯后時間τ后以謠言關注率β成為頑固傳謠者S。頑固傳謠者S拒絕接受辟謠信息，不會以任何方式轉變?yōu)橐瞥逺。因此，得到突發(fā)謠言傳播模型的狀態(tài)轉移圖（圖1）。

圖1 突發(fā)謠言傳播模型Fig.1 Sudden rumor propagation model

按照圖1所示各狀態(tài)的遷移過程，建立突發(fā)謠言傳播模型動力學系統(tǒng)如下。

式中 U（t），I（t），S（t），R（t）為時刻t時各群體的占比；U（t）為無知者群體；I（t）為關注者群體；S（t）為頑固傳謠者群體；R（t）為移除者群體。μ為用戶流動率；α為謠言接觸率；θ1為無知者關注率；θ2為無知者感染率；γ為關注者接觸率；為關注者立即感染率；β為關注者延遲感染率；τ為時滯參數(shù)。滿足U（t）＋I（t）＋S（t）＋R（t）＝1，且前3個方程的演化與移除者R無關［19］。

2 模型平衡點及穩(wěn)定性

謠言傳播模型各個狀態(tài)隨著時間推移會進入無謠言平衡點和謠言傳播平衡點。依據(jù)傳播動力學理論，存在表征傳播閾值的基本再生數(shù)R0（表示傳播謠言的個體在謠言傳播過程中平均感染無知者的數(shù)量），當R0＜1時，系統(tǒng)隨時間趨于無謠言平衡點，謠言保持消亡態(tài)勢；當R0＞1時，系統(tǒng)隨時間趨于謠言傳播平衡點，謠言保持傳播態(tài)勢。為了研究時滯效應對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，對Hopf分岔現(xiàn)象進行研究。

2.1 平衡點及基本再生數(shù)

系統(tǒng)到達平衡點后所有狀態(tài)的變化量為零。令系統(tǒng)（1）中微分方程組各子項右端為零，計算得出系統(tǒng)的無謠言平衡點E0＝（1，0，0）和謠言傳播平衡點Ee＝（U，I，S ）。

由于模型中所有參數(shù)值均大于零，易得X1＞0，則謠言傳播平衡點Ee存在的條件為X3＜0，即無謠言平衡點E0中關注者I和傳謠者S的數(shù)量為零，僅存在謠言無知者U。當系統(tǒng)（1）收斂于無謠言平衡點E0，表示謠言在人群中停止傳播并消亡。謠言傳播平衡點Ee中關注者I和傳謠者S的占比大于零，系統(tǒng)收斂于謠言傳播平衡點Ee，表示謠言在社交網(wǎng)絡中保持傳播。

基本再生數(shù)R0是決定社交網(wǎng)絡謠言傳播能力的重要參數(shù)，對謠言傳播動力學分析具有重要作用。使用再生矩陣法［20］計算基本再生數(shù)，得到系統(tǒng)（1）中的再生矩陣X＝（I（t），S（t））T，用F和V分別表示X的新感染項和其他項，系統(tǒng)的基本再生數(shù)R0即為矩陣的譜半徑，其中分別為F和V的Jacobian行列式。得到R0的表達式為

可知R0受謠言接觸率α、無知者關注率θ1、無知者感染率θ2、關注者延遲感染率β和用戶流動率μ的影響。在系統(tǒng)（1）中，R0表示一個頑固傳謠者在謠言傳播過程中平均感染無知者的數(shù)量，R0的值越大，表示謠言感染無知者的能力越強。當R0＜1時，系統(tǒng)趨于無謠言平衡點，謠言自行消亡，當R0＞1時，系統(tǒng)趨于謠言傳播平衡點，謠言持續(xù)存在。

2.2 平衡點的穩(wěn)定性

系統(tǒng)收斂于無謠言平衡點或謠言傳播平衡點，并達到局部穩(wěn)定。以下對平衡點的穩(wěn)定性進行分析。

系統(tǒng)在無謠言平衡點處的Jacobian矩陣為

在謠言傳播平衡點Ee的Jacobian矩陣為

為了求得特征根的符號，根據(jù)Routh-Hurwitz判定準則［21］，定義Δ1＝l1，Δ2＝l1l2－l3，Δ3＝l3Δ2。當R0＞1時，求得l1，l2，l3＞0，則Δ1，Δ2，Δ3＞0。當Δ1，Δ2，Δ3均大于零時，特征方程的根都具有負實部。根據(jù)穩(wěn)定性理論，當τ＝0，R0＞1時，謠言傳播平衡點Ee是局部漸近穩(wěn)定的。

謠言傳播模型受時滯機制影響會產(chǎn)生Hopf分岔現(xiàn)象。Hopf分岔會引起謠言在社交網(wǎng)絡中周期性爆發(fā)，加大謠言控制難度。

當時滯大于零時，系統(tǒng)特征方程為λ3＋b1λ2＋b2λ＋b3＋a5e－λt（λ2＋b4λ＋b5）＝0。

通過該方程可以求得時滯項的值，為方便計算，將上式化簡為

為了求解特征根ω的值，將特征方程的展開式的2個子式平方相加，得到關于ω的方程

由Butleri引理［22］，若系統(tǒng)在τ＝0時謠言傳播平衡點是局部漸近穩(wěn)定的，則當0＜τ＜τ0時，系統(tǒng)在謠言傳播平衡點仍局部漸近穩(wěn)定。

3 數(shù)值仿真

3.1 無謠言平衡點穩(wěn)定性仿真

令μ＝0.2，α＝0.1，θ1＝0.2，θ2＝0.6，β＝0 4，＝0.3，γ＝0.2，則系統(tǒng)（1）的基本再生數(shù)R0＝0 367＜1。根據(jù)上述參數(shù)進行仿真試驗，得到系統(tǒng)（1）中各狀態(tài)趨于無謠言平衡點的演化趨勢（圖2）。頑固傳謠者的數(shù)量初始時逐漸增加，在t＝2 4時刻達到峰值后逐漸減少并在t＝45.7時刻趨于零。無知者占比逐漸趨于1，關注者占比逐漸趨于零。謠言一開始在社交網(wǎng)絡中呈蔓延形式。由于R0＜1，謠言無法維持傳播而消亡。試驗結果驗證了無謠言平衡點的穩(wěn)定性。令系統(tǒng)（1）關注者初值分別為0.20，0.25，0.30，0.35，0.40，保持R0＝0.367＜1，得到無知者—關注者—頑固傳謠者演化趨勢的相軌圖均趨于無謠言平衡點（圖3）。

圖2 R0＜1時各狀態(tài)演化趨勢Fig.2 Trend of proportion in different states when R0＜1

圖3 R0＜1時不同初值的演化趨勢Fig.3 Trends in different initial states when R0＜1

3.2 謠言傳播平衡點穩(wěn)定性仿真

令μ＝0.2，α＝0.4，θ1＝0.2，θ2＝0.6，β＝0.4，＝0.3，γ＝0.2，則系統(tǒng)（1）的基本再生數(shù)R0＝1 467＞1，通過仿真試驗得到系統(tǒng)（1）中各個狀態(tài)的演化曲線（圖4）。頑固傳謠者占比隨時間遞增并在t＝4.9時刻達到峰值，之后逐漸減少并在時間為17.5時刻穩(wěn)定于一個正值。無知者占比逐漸增加，在時間為43.7時刻趨于穩(wěn)定。關注者占比逐漸減少，在時間為17.5時刻趨于穩(wěn)定。由于謠言接觸率α增加，導致R0＞1，頑固傳謠者占比最終穩(wěn)定在正值，表明謠言將在社交網(wǎng)絡中持續(xù)傳播而不會消亡。令系統(tǒng)（1）關注者初值分別為0 20，0.25，0.30，0.35，0.40，保持R0＝1.467＞1，得到無知者—關注者—頑固傳謠者演化趨勢的相軌圖均趨于謠言傳播平衡點（圖5）。

圖4 R0＞1時各狀態(tài)演化趨勢Fig.4 Trends in different states when R0＞1

圖5 R0＞1時不同初值的演化趨勢Fig.5 Trends in different initial states when R0＞1

3.3 Hopf分岔存在性仿真

令系統(tǒng)（2）中參數(shù)μ＝0.04，α＝0.08，θ1＝0 4，θ2＝0.5，β＝0.9，＝0.8，γ＝0.09。在該組參數(shù)下，求得R0＝1.766，ω0＝0.985，τ0＝1.870。由定理3可得，系統(tǒng)（1）的謠言傳播平衡點Ee＝（0 569 9，0.007 1，0.377 3）在τ∈［0，τ0）時局部漸近穩(wěn)定，在τ＝τ0處發(fā)生Hopf分岔。

試驗給出系統(tǒng)是否發(fā)生Hopf分岔現(xiàn)象的仿真結果（圖6～圖7），令τ＝1.815＜τ0，隨著時間推移，頑固傳謠者占比穩(wěn)定于0.377 3，謠言傳播平衡點Ee局部漸進穩(wěn)定。令τ＝1.870＝τ0，系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔，頑固傳謠者的占比處于持續(xù)的波動狀態(tài)，表示謠言在系統(tǒng)中呈周期性傳播。如果放任關注者群體對謠言的持續(xù)關注，將導致謠言在網(wǎng)絡中周期性爆發(fā)。通過研究Hopf分岔現(xiàn)象，有利于指導平臺和政府制定合理的管控措施。

圖6 無Hopf分岔時頑固傳謠者S的演化趨勢Fig.6 Trends of spreaders without Hopf bifurcation

圖7 有Hopf分岔時頑固傳謠者S的演化趨勢Fig.7 Trend of spreader with Hopf bifurcation

3.4 時滯參數(shù)對謠言傳播過程的影響

為了分析時滯對謠言傳播的影響，令τ分別取τ＝0，0.4，0.8，1.2，1.6，其他參數(shù)取值與3.3節(jié)一致。由Butleri引理和謠言傳播平衡點穩(wěn)定性可得，系統(tǒng)（1）在謠言傳播平衡點Ee趨于穩(wěn)定。仿真試驗給出時滯參數(shù)對謠言傳播過程的影響（圖8）。

圖8 時滯對謠言傳播的影響Fig.8 Influence of time delay on rumor propagation

關注者通過關注行為轉化為頑固傳謠者，時滯參數(shù)τ表示關注行為的持續(xù)時間。時滯參數(shù)τ的增大會引起頑固傳謠者演化過程更加復雜，并使頑固傳謠者趨于穩(wěn)定的時間延后，表示用戶關注謠言信息的時間越久，用戶受謠言的影響越深，用戶行為越不穩(wěn)定。社交媒體平臺應當及時清除謠言信息，遏制謠言在社交媒體上的滯留時間，縮短用戶對謠言信息的關注時長，抑制時滯效應對關注者的影響，降低謠言傳播對平臺造成的損失，以維護良好的用戶體驗和平臺公信力。

3.5 重要參數(shù)對謠言傳播過程的影響

為研究謠言接觸率α，關注者延遲感染率β，無知者關注率θ1，用戶流動率μ對謠言傳播過程的影響，令＝0.6，γ＝0.6，θ2＝0.5，給出各組α，β，θ1，μ的取值區(qū)間（表1），通過仿真試驗得到各參數(shù)對頑固傳謠者占比的影響（圖9～圖12）。

表1 謠言傳播模型參數(shù)取值Table 1 Values of system parameters

圖9 不同α值下頑固傳謠者S占比的演化趨勢Fig.9 Trend of spreader with differentα

圖10 不同β值下頑固傳謠者S占比趨勢Fig.10 Trends of spreader with differentβ

隨著α，β，θ1的增加，頑固傳謠者的峰值和最終占比隨之升高，謠言趨于穩(wěn)定狀態(tài)的時間延后（圖9～圖11）。隨著μ的增加，頑固傳謠者的峰值和最終占比隨之降低，謠言趨于穩(wěn)定的時間縮短（圖12）。因此，若α，β，θ1越大，μ越小，那么社交網(wǎng)絡中謠言傳播的范圍越小，穩(wěn)定時間越短。通過適當手段減少α，β，θ1的值，增大μ的值，可以抑制謠言的傳播能力。

圖11 不同θ1值下頑固傳謠者S占比趨勢Fig.11 Trend of spreader with differentθ1

圖12 不同μ值下頑固傳謠者S占比趨勢Fig.12 Trends of spreader with differentμ

3.6 基本再生數(shù)靈敏性

為研究基本再生數(shù)R0中各個參數(shù)的敏感性，令謠言接觸率α，關注者延遲感染率β，無知者感染率θ1，用戶流動率μ取值見表2，進行相關仿真（圖13～16）。

表2 基本再生數(shù)參數(shù)取值Table 2 Values of R0

圖13 基本再生數(shù)R0對α的敏感性Fig.13 Sensitivity of R0 toα

圖14 基本再生數(shù)R0對β的敏感性Fig.14 Sensitivity of R0 toβ

圖15 基本再生數(shù)R0對θ1的敏感性Fig.15 Sensitivity of R0 toθ1

每組參數(shù)使得R0＝1的值分別為α＝0.432，β＝0.15，θ1＝0.15，μ＝0.215。R0的值與α、β和θ1正相關（圖13～15），隨著R0＞1，謠言將變?yōu)閭鞑顟B(tài)。R0的值與μ負相關（圖16）。隨著R0＜1，謠言最終趨于消亡。無知者感染率θ2與θ1具有相同的性質。因此，為了控制傳播閾值R0，可以通過減少謠言接觸率α，關注者延遲感染率β，無知者關注率θ1和無知者感染率θ2，增加用戶流動率μ。通過考慮各因素的綜合影響，可以提供有效的謠言控制策略。

圖16 基本再生數(shù)R0對μ的敏感性Fig.16 Sensitivity of R0 toμ

3.7 真實數(shù)據(jù)集擬合

為從動力學建模的角度分析真實謠言事件的傳播機制，采用真實數(shù)據(jù)擬合突發(fā)謠言傳播模型的參數(shù)。使用Twitter謠言數(shù)據(jù)集中最大的數(shù)據(jù)集Dataset＿R12［19］，每隔10 min記錄1次謠言推文在所有推文中的占比，對應謠言傳播模型中頑固傳謠者在用戶群體中的占比。通過最小二乘法［24－25］分別對前17 h數(shù)據(jù)和整體數(shù)據(jù)擬合模型參數(shù)。對前17 h的謠言累計曲線進行參數(shù)擬合（圖17），得到對應系統(tǒng)參數(shù)值為μ＝0.048 3，α＝0.391 1，θ1＝0.100 0，θ2＝0.253 3，β＝0.989 9，γ＝0.002 0，＝0.868 4，τ＝0.156 0。

圖17 前17 h謠言數(shù)據(jù)擬合仿真Fig.17 Fitting simulation of rumor data for first 17 hours

對整體謠言累計曲線進行擬合（圖18），系統(tǒng)參數(shù)為μ＝0.049 4，α＝0.239 0，θ1＝0.107 3，θ2＝0.387 5，β＝0.961 2，γ＝0.080 2，＝0.778 3，τ＝0.166 0。

圖18 總68 h謠言數(shù)據(jù)擬合仿真Fig.18 Fitting simulation of rumor data for all 68 hours

通過不同時期的參數(shù)變化可以看出，前17 h的謠言傳播過程中與傳謠者S占比呈正相關的傳謠者接觸率α，關注者延遲感染率β相對更高，說明用戶在謠言傳播的早期對謠言具有更大的興趣。而隨著頑固傳謠者占比隨時間升高，無知者傳染率θ2，關注者接觸率γ增加，說明頑固傳謠者的影響作用不斷上升。以上試驗結果表明，對突發(fā)謠言傳播模型的研究能夠揭示謠言傳播的內在規(guī)律，為制定社交平臺上的謠言傳播控制策略提供參考。

4 結論

1）在傳統(tǒng)謠言傳播模型的基礎上增加頑固傳謠者狀態(tài)、時滯機制和用戶流動因素，建立了改進的突發(fā)謠言傳播模型，應用于社交網(wǎng)絡突發(fā)謠言傳播研究。

2）通過對模型性質的分析得到基本再生數(shù)R0和時滯閾值。基本再生數(shù)R0對預測謠言最終是否消亡起關鍵作用。若R0＜1，系統(tǒng)隨時間穩(wěn)定于表示謠言消亡的無謠言平衡點，；若R0≥1，系統(tǒng)隨時間穩(wěn)定于表示謠言存在的謠言傳播平衡點。時滯閾值是決定系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔現(xiàn)象的關鍵因素。若時滯參數(shù)的值超過時滯閾值，系統(tǒng)在謠言傳播平衡點不再穩(wěn)定，謠言呈周期性爆發(fā)。

3）降低謠言接觸率、無知者關注率和關注者延遲感染率，提高用戶流動率，可遏制基本再生數(shù)R0，避免突發(fā)謠言事件的發(fā)生?？刂茣r滯參數(shù)不超過時滯閾值可避免謠言呈周期性傳播。通過提高無知者和關注者對謠言的辨別能力，限制頑固傳謠者的活動能力，提高相關機構對網(wǎng)絡謠言事件的響應速度，能夠抑制突發(fā)謠言事件的傳播，并降低謠言事件對城市安全的影響。

4）真實數(shù)據(jù)集上的模型參數(shù)擬合方法能夠借助動力學理論闡述現(xiàn)實謠言傳播事件的傳播機理，并對謠言傳播趨勢的預測研究具有較大的意義。