南昌大學(xué)附屬中學(xué) (330047) 孫 強(qiáng)

江西省南昌市鐵路第一中學(xué) (330002) 章建榮

一元線性回歸模型是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)模型,而“相關(guān)系數(shù)”是一元線性回歸模型中判斷線性相關(guān)性的一個(gè)重要的統(tǒng)計(jì)量,其產(chǎn)生過(guò)程蘊(yùn)含著統(tǒng)計(jì)學(xué)探究的一般思維方式,推導(dǎo)過(guò)程中的類比、特殊化等數(shù)學(xué)思想方法,是培養(yǎng)學(xué)生統(tǒng)計(jì)學(xué)思維、符號(hào)運(yùn)算能力、邏輯推理能力及數(shù)據(jù)處理思維等素養(yǎng)的落地點(diǎn).然而,很多教學(xué)課在統(tǒng)計(jì)量的出現(xiàn)以及公式推導(dǎo)探究過(guò)程中并沒(méi)有很好地體現(xiàn)出“相關(guān)系數(shù)”這一統(tǒng)計(jì)量的必要性以及公式的生成過(guò)程,讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得不到良好的發(fā)展,難以體現(xiàn)和落實(shí)核心素養(yǎng).基于這些問(wèn)題,筆者開(kāi)展了相關(guān)的教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)實(shí)踐.旨在通過(guò)“相關(guān)系數(shù)”這一統(tǒng)計(jì)學(xué)概念的教學(xué),探究其在教學(xué)過(guò)程中自然生成,同時(shí)以問(wèn)題探究為主線,引導(dǎo)學(xué)生思考和探索“相關(guān)系數(shù)”的計(jì)算公式,幫助學(xué)生體會(huì)統(tǒng)計(jì)學(xué)的探究過(guò)程,感悟其中的數(shù)學(xué)思想,從而營(yíng)造高效的數(shù)學(xué)課堂.

一、教學(xué)內(nèi)容分析

“相關(guān)系數(shù)”是北師大版《普通高中教科書(shū)·數(shù)學(xué)(選擇性必修一)》第七章“統(tǒng)計(jì)案例”第二節(jié)的內(nèi)容,它既是之前一元線性回歸的延續(xù),也是學(xué)生學(xué)習(xí)的第一個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)模型,對(duì)今后的統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)習(xí)具有指導(dǎo)意義.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》的要求是:①結(jié)合實(shí)例,了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義,了解樣本相關(guān)系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系.②結(jié)合實(shí)例,會(huì)通過(guò)相關(guān)系數(shù)比較多組成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性.因此,本節(jié)課的主要任務(wù)是了解樣本相關(guān)系數(shù)這一概念為什么會(huì)出現(xiàn),為什么需要相關(guān)系數(shù)這一統(tǒng)計(jì)量,如何研究一個(gè)統(tǒng)計(jì)模型;其次是如何定義和計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù).

二、學(xué)情分析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)一元線性回歸方程,對(duì)成對(duì)數(shù)據(jù)的一元線性擬合有了基本的了解.也會(huì)利用散點(diǎn)圖來(lái)觀察成對(duì)數(shù)據(jù)是否相關(guān),但是這種對(duì)于相關(guān)的感知僅僅停留在直觀的認(rèn)知上,而并非在科學(xué)意義上的嚴(yán)格計(jì)算,對(duì)于許多成對(duì)數(shù)據(jù)是否相關(guān),相關(guān)性有多大,還沒(méi)有一個(gè)明確的概念.因此本節(jié)課應(yīng)該從學(xué)生已有相關(guān)性的經(jīng)驗(yàn)出發(fā),給出直觀觀察解決不了的問(wèn)題,讓學(xué)生感知到相關(guān)系數(shù)出現(xiàn)的必要性,從而引出沖突,讓概念自然生成.

三、教學(xué)過(guò)程

1.創(chuàng)設(shè)情景,引導(dǎo)思考

教師畫出散點(diǎn)圖,讓學(xué)生進(jìn)行觀察,學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)7組成對(duì)數(shù)據(jù)均位于單位圓上,所以X和Y不具備線性關(guān)系,用這一組數(shù)據(jù)建立的線性回歸方程無(wú)法精確刻畫這組數(shù)據(jù).

師:對(duì)一組數(shù)據(jù)進(jìn)行直線擬合之前先應(yīng)該做什么?

生:先要判斷這組數(shù)據(jù)是否適合進(jìn)行直線擬合.

師:應(yīng)該如何進(jìn)行判斷?

生:可以畫出散點(diǎn)圖直接看所有的點(diǎn)是不是大概在一條直線上.

師:對(duì)了,對(duì)于數(shù)據(jù)量較小且散點(diǎn)圖較規(guī)則的數(shù)據(jù)確實(shí)可以畫散點(diǎn)圖來(lái)進(jìn)行觀察判斷,那不妨看看的散點(diǎn)圖1及圖2,這個(gè)散點(diǎn)圖是否適合直線擬合?那如果再多幾個(gè)樣本點(diǎn)呢?這樣是否適合呢?

圖1

圖2

師生互相討論后得出要引入一個(gè)統(tǒng)計(jì)量來(lái)定量的刻畫樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生分析一組數(shù)據(jù)是否能進(jìn)行直線擬合不能僅僅通過(guò)肉眼觀察,而是需要一個(gè)統(tǒng)計(jì)量來(lái)定量刻畫線性相關(guān)程度的強(qiáng)弱,進(jìn)而引出本節(jié)課的研究目標(biāo).讓學(xué)生初步感受構(gòu)建一個(gè)統(tǒng)計(jì)量的必要性,從定性向定量過(guò)渡,從而自然引出相關(guān)系數(shù).

2.問(wèn)題引導(dǎo),生成新知

問(wèn)題3 |r|的取值范圍是什么?

追問(wèn)1:一組成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)|r|的值接近1說(shuō)明了什么?

追問(wèn)2:一組成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)|r|的值接近0說(shuō)明了什么?

引導(dǎo)學(xué)生從相關(guān)系數(shù)的推導(dǎo)過(guò)程中尋找答案,得出|r|≤1,|r|的值越接近1,說(shuō)明X和Y的線性相關(guān)性越強(qiáng);|r|的值越接近0,說(shuō)明X和Y的線性相關(guān)性越弱.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生感知,要研究如何構(gòu)造一個(gè)統(tǒng)計(jì)量,就應(yīng)該先從特殊的情況出發(fā),先研究線性相關(guān)性好的情況下如何表達(dá),再通過(guò)特殊情況的經(jīng)驗(yàn),得出一般性的結(jié)論,體現(xiàn)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.統(tǒng)計(jì)過(guò)程中對(duì)數(shù)據(jù)的“標(biāo)準(zhǔn)化”處理,是統(tǒng)計(jì)中常用的處理數(shù)據(jù)的方法,也是一種重要的“標(biāo)準(zhǔn)化”思想.

3.抽象概括,得到新知

設(shè)計(jì)意圖：重溫相關(guān)系數(shù)的生成過(guò)程,讓學(xué)生再次感知統(tǒng)計(jì)學(xué)中統(tǒng)計(jì)量的探究脈絡(luò),從而得到統(tǒng)計(jì)學(xué)研究的一般方法,同時(shí)給出簡(jiǎn)化式子的化簡(jiǎn)過(guò)程,培養(yǎng)統(tǒng)計(jì)中的計(jì)算能力.

問(wèn)題4r>0說(shuō)明了什么?r<0呢?

設(shè)計(jì)意圖：再探r的意義,讓學(xué)生了解r與相關(guān)性密不可分,同時(shí)復(fù)習(xí)上一節(jié)線性回歸方程的內(nèi)容,讓學(xué)生感受知識(shí)之間的聯(lián)系.

4.實(shí)際應(yīng)用,獲得經(jīng)驗(yàn)

例：計(jì)算下表中隨機(jī)變量之間的樣本相關(guān)系數(shù)r(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后的第9位),并談?wù)勍ㄟ^(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)了什么.

ixiyix2iy2ixiyi1165522722527048580215744246491936690831554524025202569754175553062530259625516854282242916907261574724649220973797178623168438441103681605025600250080009163532656928098639合計(jì)14784622432502396876214

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)實(shí)例鞏固線性相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式的使用以及線性相關(guān)性的知識(shí)概念,在實(shí)際應(yīng)用中深化學(xué)生對(duì)公式以及概念的理解.

5.課堂小結(jié),總結(jié)經(jīng)驗(yàn)

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí),你是否明白了什么是線性相關(guān)系數(shù)?為什么要計(jì)算線性相關(guān)系數(shù)?標(biāo)準(zhǔn)化的過(guò)程是怎樣的?如何用線性相關(guān)系數(shù)來(lái)判斷成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性強(qiáng)弱?

四、實(shí)踐反思

在課堂設(shè)計(jì)與教學(xué)中,以解決不斷出現(xiàn)的問(wèn)題為主線,自然的進(jìn)行教學(xué),更有利于學(xué)生的思考,在問(wèn)題的解決過(guò)程中,體會(huì)數(shù)學(xué)思想,培養(yǎng)解決問(wèn)題的能力.本節(jié)課從細(xì)微處著手,從特殊的例子以及直觀感受出發(fā),以問(wèn)題為主線進(jìn)行串聯(lián),同時(shí)結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)中的研究方法,將概念呈現(xiàn)給學(xué)生.

一方面,教師通過(guò)問(wèn)題為主線,可以將統(tǒng)計(jì)量的整個(gè)探究過(guò)程講述的更加清晰,概念的講解的更透徹,教學(xué)過(guò)程更方便,同時(shí)整個(gè)課堂自然樸實(shí)而又高效,體驗(yàn)并揭示知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和形成過(guò)程,幫助學(xué)生自主建構(gòu)前后貫通的知識(shí)體系,促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

另一方面,學(xué)生通過(guò)問(wèn)題為主線進(jìn)行學(xué)習(xí),概念生成更自然,思考方向更具體,學(xué)習(xí)方向更明確,在問(wèn)題鏈中感受相關(guān)系數(shù)這一概念的生成,發(fā)展,進(jìn)化以及應(yīng)用,增強(qiáng)學(xué)生的自主探究能力,提升數(shù)學(xué)思維水平,獲得統(tǒng)計(jì)學(xué)的一般性研究方法,為后續(xù)的其他概率模型的學(xué)習(xí)做好鋪墊.