山東省鄒平雙語學校 (256200) 姜坤崇

題目設x,y,z∈R+,且xy+yz+zx+xyz=4,證明:x+y+z≥xy+yz+zx.①

這是1996年越南數學奧林匹克競賽的一道不等式試題是(參見文獻[1]例3)本題對稱優(yōu)美、值得玩味,本文將這道競賽題加以推廣,得到如下一個新的不等式命題及若干推論.

命題設x,y,z∈R+,α∈R,且xy+yz+zx+xyz=4,則x2α+1+y2α+1+z2α+1≥xα+1yα+1+yα+1zα+1+zα+1xα+1.②

為證明不等式②,我們先證如下一個母不等式:已知a,b,c是正實數,則對任意實數x,y,z有

證明：將不等式③的左邊減去右邊可得

下面利用不等式③給出不等式②的證明.

顯然,在不等式②中令α=0即得不等式①,因此不等式②是不等式①的一種推廣.

推論1 設a,b,c>0,α∈R,且ab+bc+ca+2abc=1,則a2α+1+b2α+1+c2α+1≥2(aα+1bα+1+bα+1cα+1+cα+1aα+1).⑤

證明：令x=2a,y=2b,z=2c(a,b,c>0),代入xy+yz+zx+xyz=4即得ab+bc+ca+2abc=1,代入不等式②即得不等式⑤.

證明:在銳角ΔABC中有恒等式cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1,令a=cosA,b=cosB,c=cosC即為推論3中的條件式.將a=cosA,b=cosB,c=cosC代入⑦式即得⑧式.

由于不等式②、④中的α是任意實數,所以可取α為一些具體的數值,可得許許多多的有等式條件限制與無條件限制的不等式.

將此分式不等式化為整式不等式即為著名的舒爾不等式:

設a,b,c>0,則a3+b3+c3+3abc≥ab(a2+b2)+bc(b2+c2)+ca(c2+a2).

類似的,由不等式⑤,⑥,⑦,⑧也都可以得到許許多多的不等式,限于篇幅,這里不再給出.

文末,我們再給出文首競賽題的兩個變式問題:

題1 設x,y,z>0,且xy+yz+zx+xyz=4,證明:x+y+z+xyz≥4.

證明：由競賽題的條件式可得xy+yz+zx=4-xyz,代入結論式x+y+z≥xy+yz+zx,即得x+y+z+xyz≥4,題1得證.