江西科技學(xué)院附屬中學(xué) (330000) 閔書(shū)存

江西省南昌市新建第一中學(xué) (330103) 閔幼梅

組合數(shù)學(xué)中基本的問(wèn)題之一是組合計(jì)數(shù)問(wèn)題,這部分內(nèi)容在高中數(shù)學(xué)中通過(guò)排列與組合這一章節(jié)進(jìn)行考察,解決組合計(jì)數(shù)問(wèn)題需要學(xué)生熟練使用常見(jiàn)的組合計(jì)數(shù)模型,能夠靈活地設(shè)計(jì)分類(lèi)與分步方法,充分利用對(duì)稱(chēng)思想,靈活地將計(jì)數(shù)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,適當(dāng)?shù)厥褂谜y則反的思想,建立m對(duì)n的對(duì)應(yīng)關(guān)系等.本文以近年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試中的組合計(jì)數(shù)問(wèn)題為例,剖析其解答過(guò)程歸納組合計(jì)數(shù)問(wèn)題常見(jiàn)的幾種解答方法.

例1 在5×5矩陣中,每個(gè)元素都為0或1,且滿足:五行的元素之和都相等,但五列的元素之和兩兩不等,這樣的矩陣個(gè)數(shù)為_(kāi)_______.(2022年全國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽預(yù)賽A1卷第8題)

分析1：本題要求五列的元素之和兩兩不等,考慮到一列的和只能取0-5這六種情況,因此五列的列和是0、1、2、3、4、5這些數(shù)字中的5個(gè),又考慮到五行的行和都相等,故矩陣中所有元素之和是5的倍數(shù),經(jīng)過(guò)這樣的分析,我們得到五列的列和只能是0、1、2、3、4或者1、2、3、4、5這兩種情況.

分析2：事實(shí)上,我們可以建立五列的列和是0、1、2、3、4這種情況和五列的列和是1、2、3、4、5這種情況的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,只需將五列的列和是0、1、2、3、4這種情況中列和為0這一列全部填上1則唯一地對(duì)應(yīng)成五列的列和是1、2、3、4、5這種情況.反之,將五列的列和為1、2、3、4、5這種情況中的列和為5這一列全部換成0,則唯一地對(duì)應(yīng)成五列的列和是0、1、2、3、4這種情況,這表明兩種情況的計(jì)數(shù)數(shù)量相同,因此只需計(jì)算其中一種情況的計(jì)數(shù)數(shù)量即可.

分析3：考慮列和為1、2、3、4、5的情況的填數(shù)方法數(shù),利用對(duì)稱(chēng)性,五列的列和的排布方式總數(shù)量5!中的每一種對(duì)后續(xù)填數(shù)方法計(jì)數(shù)影響一致,故只需考慮圖1中從左到右的列和順序?yàn)?、2、3、4、5的情況.

分析4：又由于第一列的1放置在哪一行對(duì)后續(xù)計(jì)數(shù)影響一致,第5列已經(jīng)全部填寫(xiě)了1,故只需考慮第1列的1放置在第一行的情形,此時(shí)的表格簡(jiǎn)化為只需考慮如圖2所示的5×3的表格.

圖2

分析5：考慮第四列的0應(yīng)當(dāng)放置在何處,可以分為兩類(lèi),一類(lèi)是0被放置在第一行,一類(lèi)是0被放置在第二、三、四或者五行,后一類(lèi)的四種情況對(duì)后續(xù)計(jì)數(shù)產(chǎn)生的影響一致,因此只需考慮其中一種情況即可.根據(jù)行和為3,部分位置的元素已經(jīng)被確定,故接下來(lái)只需對(duì)以下圖3、圖4兩種情況進(jìn)行計(jì)數(shù):

圖3

圖4

點(diǎn)評(píng)：在本題的分析過(guò)程中,不斷地通過(guò)對(duì)稱(chēng)思想簡(jiǎn)化要填寫(xiě)的表格,最后通過(guò)合理的分類(lèi)與分步將問(wèn)題解決,充分體現(xiàn)了對(duì)稱(chēng)思想在處理組合計(jì)數(shù)問(wèn)題中的作用.

圖5

例一個(gè)單位方格的四條邊中，若有兩條邊染了顏色i，另兩條邊分別染了異于i色的另兩種不同顏色，則稱(chēng)該單位方格是i色主導(dǎo)”的.如圖)5，一個(gè)1×3方格表的表格線共含10條單位長(zhǎng)線段，現(xiàn)要對(duì)這10條線段染色，每條線段染為紅、黃、藍(lán)三色之一，使得紅色主導(dǎo)、黃色主導(dǎo)、藍(lán)色主導(dǎo)的單位方格各有一個(gè)，這樣的染色方式數(shù)為_(kāi)________.(2022年全國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽預(yù)賽A卷第8題)

分析1：為方便說(shuō)明,我們對(duì)邊進(jìn)行如下的編號(hào)為如圖6:

圖6

由對(duì)稱(chēng)性,三個(gè)主導(dǎo)顏色的排列順序?qū)罄m(xù)計(jì)數(shù)的影響是相同的,因此,只需考慮從左至右三個(gè)主導(dǎo)顏色的排列順序?yàn)榧t黃藍(lán)的情況.

分析2：觀察10條邊的特征,發(fā)現(xiàn)這些單位方格中的兩條公共邊最特殊,它們中的每一個(gè)都會(huì)對(duì)兩個(gè)方格的染色方式產(chǎn)生影響,因此從對(duì)象的這一特征入手進(jìn)行分類(lèi).考慮到中間的方格是黃色主導(dǎo),因此,這兩條公共邊的顏色可以同時(shí)是黃色或者其中之一為黃色,或者二者均不為黃色.下面對(duì)這三種情況分別進(jìn)行計(jì)數(shù).

分析3：如果XY這兩天邊均為黃色,則邊45可任意染成紅色和藍(lán)色即可,故方法數(shù)為2;由對(duì)稱(chēng)性,邊123的染色方法數(shù)與邊678的染色方法數(shù)相等.故只需考慮邊123的染色方法數(shù),只需確定藍(lán)色邊的位置即可,故方法數(shù)為3.綜合可得此種情況下,染色方法數(shù)為2×3×3=18.

分析4：如果XY這兩邊其中之一為黃色,有三種情況需要考慮,分別是X和Y為黃色和紅色、X和Y為黃色和藍(lán)色、X和Y為紅色和黃色、X和Y為藍(lán)色和黃色,其中X和Y為黃色和紅色這種情況與X和Y為藍(lán)色和黃色這種情況具有對(duì)稱(chēng)性,X和Y為紅色和黃色這種情況與X和Y為黃色和藍(lán)色這種情況具有對(duì)稱(chēng)性,下面又分別考慮它們.

分析5：若X和Y為黃色和紅色,則45應(yīng)為黃藍(lán)或者藍(lán)黃,故染色方法數(shù)為2;123應(yīng)當(dāng)有兩邊為紅,一邊為藍(lán),故染色方法數(shù)為3.678應(yīng)當(dāng)由兩邊為藍(lán),一邊為黃,故染色方法數(shù)為3;故這種情況下的染色方法數(shù)為2×3×3=18.

分析6：若X和Y為紅色和黃色,則45應(yīng)當(dāng)有一邊為黃,一邊為藍(lán),故染色方法數(shù)為2;123應(yīng)當(dāng)是三個(gè)顏色,故染色方法數(shù)為3!=6;678應(yīng)當(dāng)有兩邊為藍(lán),一邊為紅,故染色方法數(shù)為3;故這種情況下的染色方法數(shù)為2×6×3=36.

分析7：如果XY這兩邊均不為黃色,則45必須均為黃色,此時(shí)有兩種情況需要考慮,一種是XY為紅色和藍(lán)色,一種是XY為藍(lán)色和紅色;若XY分別是紅色和藍(lán)色,則123應(yīng)當(dāng)是三種顏色,故染色方法數(shù)為3!=6;678應(yīng)當(dāng)也是三種顏色,故染色方法數(shù)為3!=6,故總的染色方法數(shù)為6×6=36;若XY分別是藍(lán)色和紅色,則123應(yīng)當(dāng)有兩邊為紅色一邊為黃色,故染色方法數(shù)為3;678應(yīng)當(dāng)有兩邊為藍(lán)色一邊為黃色,故染色方法數(shù)為3,總的染色方法數(shù)為3×3=9.

綜上分析可知,總的染色方法數(shù)為((36+9)+(36+18)×2+18)×3!=1026.

點(diǎn)評(píng)：解決該問(wèn)題需要靈活地設(shè)計(jì)分類(lèi)與分步方法,同時(shí)要充分利用對(duì)稱(chēng)思想減少?gòu)?fù)雜度.

例3 將6個(gè)數(shù)2,0,1,9,20,19按任意次序排成一行,拼成一個(gè)8位數(shù)(首位不為0),則產(chǎn)生的不同的8位數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______.(2019年全國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽預(yù)賽A卷第8題)

點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)構(gòu)造兩個(gè)集合的元素之間的映射關(guān)系,巧妙地解決了求解其中一個(gè)集合的元素的個(gè)數(shù)的問(wèn)題,這種方法是解決組合計(jì)數(shù)問(wèn)題的常見(jiàn)方法之一.

以上三道試題的剖析,演示了全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的組合計(jì)數(shù)問(wèn)題中幾種常見(jiàn)的解答方法和解答思想,總體上,解決組合計(jì)數(shù)問(wèn)題可以歸納為如下思路:(1)在理解問(wèn)題的基礎(chǔ)上將問(wèn)題的主要特征提取出來(lái);(2)考慮是否需要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)換;(3)根據(jù)提取的特征設(shè)置適當(dāng)?shù)姆诸?lèi)與分步方式;(4)充分地利用對(duì)稱(chēng)思想減少討論的情況數(shù);(4)在細(xì)節(jié)處理上適當(dāng)?shù)厥褂谜y則反的思想;(5)部分不方便計(jì)數(shù)的問(wèn)題可以考慮建立集合與集合之間的映射關(guān)系.