周衛(wèi)光，鄭永愛

（揚州大學信息工程學院，江蘇 揚州 225127）

近年來，人們在整數(shù)階混沌系統(tǒng)的理論基礎上開始對分數(shù)階系統(tǒng)展開研究。通過研究發(fā)現(xiàn)，許多分數(shù)階系統(tǒng)也存在混沌現(xiàn)象，如分數(shù)階Chen 系統(tǒng)[1]，分數(shù)階離散Lorenz 系統(tǒng)[2]，分數(shù)階時滯Lü系統(tǒng)[3]，分數(shù)階統(tǒng)一混沌系統(tǒng)[4-6]，分數(shù)階金融系統(tǒng)[7]和分數(shù)階Genesio-Tesi 系統(tǒng)[8]等。與此同時，分數(shù)階混沌系統(tǒng)的控制和同步也取得了很大的進展，各種各樣的混沌同步控制方法被相繼提出，如滑模控制[9]、自適應控制[10-11]、無源控制[12]和主動控制[13]等。

分數(shù)階統(tǒng)一系統(tǒng)將分數(shù)階Lorenz 系統(tǒng)、分數(shù)階Lü系統(tǒng)和分數(shù)階Chen 系統(tǒng)聯(lián)系起來。由于分數(shù)階統(tǒng)一系統(tǒng)包含了混沌動力學的許多特征，因此很多學者對其進行研究，并取得了一些研究成果。文獻[14]基于無源控制理論，設計一種能夠使分數(shù)階統(tǒng)一混沌系統(tǒng)穩(wěn)定的無源反饋控制器。文獻[15]設計了一種實現(xiàn)分數(shù)階統(tǒng)一混沌系統(tǒng)函數(shù)投影同步的自適應控制器。但這些控制和同步方案都未考慮分數(shù)階統(tǒng)一混沌系統(tǒng)存在的外部未知擾動。文獻[16]利用分數(shù)階擾動觀測器對分數(shù)階金融系統(tǒng)存在的外部未知有界擾動進行估計，結合分數(shù)階擾動觀測器設計了自適應滑模同步的控制方案，實現(xiàn)了分數(shù)階金融系統(tǒng)的有界混合投影同步。然而文獻[16]所設計的分數(shù)階擾動觀測器只能使擾動誤差是有界的，而不能使擾動誤差漸近趨于零，并且也只是實現(xiàn)了分數(shù)階金融混沌系統(tǒng)的有界混合投影同步，而不是漸近同步。

針對以上問題，筆者首先設計了一種新的分數(shù)階擾動觀測器來估計分數(shù)階統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的外部擾動，該分數(shù)階擾動觀測器能使擾動誤差漸近趨于零；然后結合所提出的分數(shù)階擾動觀測器構造分數(shù)階積分滑模面并設計了合適的自適應滑?？刂破?，實現(xiàn)了具有未知干擾、不相稱分數(shù)階統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的漸近同步控制；最后數(shù)值模擬驗證了該方法的有效性。

1 系統(tǒng)描述與分數(shù)階導數(shù)

分數(shù)階導數(shù)的定義有多種，這里采用Caputo 定義來研究具有未知擾動的不相稱分數(shù)階統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的同步問題。Caputo 導數(shù)定義為：

其中，n-1 ＜q＜n,n∈N，Γ(·)為伽馬函數(shù)：

不相稱分數(shù)階統(tǒng)一混沌系統(tǒng)[4]描述如下，并將其簡化為系統(tǒng)（1），以下簡寫類似：

其中，x1,x2,x3為狀態(tài)變量,q1,q2,q3∈(0,1) 為分數(shù)階。當α∈[0,0.8)時，系統(tǒng)屬于廣義不相稱分數(shù)階Lorenz 系統(tǒng)；當α=0.8 時，系統(tǒng)屬于廣義不相稱分數(shù)階Lü系統(tǒng)；當α∈(0.8,1]時，系統(tǒng)屬于廣義不相稱分數(shù)階Chen 系統(tǒng)。設q1=0.991，q2=0.992，q3=0.993；初始條件為x(0)=[5,8,10]T，分數(shù)階統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的混沌吸引子如圖1、圖2 和圖3 所示。

圖1 α=0 時，分數(shù)階Lorenz系統(tǒng)混沌吸引子

圖2 α=0.8 時，分數(shù)階Lü系統(tǒng)混沌吸引子

圖3 α=1時，分數(shù)階Chen系統(tǒng)混沌吸引子以系統(tǒng)(1)為驅(qū)動系統(tǒng)，相應的具有未知擾動的響應系統(tǒng)為：

其中，y1,y2,y3為狀態(tài)變量,d(t) 為外部未知擾動，q1,q2,q3∈(0,1)，u(t)為控制輸入。

定義誤差變量ei=yi-xi,i=1,2,3，得到誤差系統(tǒng)：

引理1對于分數(shù)階線性系統(tǒng)：

其中，q∈(0,1)，x∈Rn，A∈Rn×n，若矩陣A的特征值λi滿足，則分數(shù)階系統(tǒng)(4)的零點是漸近穩(wěn)定的。

引理2設x(t)∈R是一個連續(xù)可導的函數(shù)，那么對于任意時間t≥t0且0 ≤q≤1，有：

引理3設V(t)函數(shù)如下：

其中，y1(t)∈Rn和y2(t)∈Rn具有連續(xù)的一階導數(shù)，Q1∈Rn×n和Q2∈Rn×n為兩個正定矩陣。若存在正定矩陣Q3∈Rn×n和常數(shù)h0＞0 使得：

2 觀測器及滑模同步控制設計

2.1 分數(shù)階擾動觀測器的設計

為了實現(xiàn)驅(qū)動系統(tǒng)(1)與響應系統(tǒng)(2)之間的同步，控制目標選取合適的控制器u(t)，使得誤差系統(tǒng)(3)的零點是漸近穩(wěn)定。然而由于外部擾動d(t) 未知，不能直接用于控制器u(t)的設計。為了克服這一問題，首先設計一個分數(shù)階非線性擾動觀測器來估計未知擾動。在設計分數(shù)階擾動觀測器之前，引入假設1 如下：

假設1假設外部擾動d(t)的Caputo 分數(shù)階導數(shù)有界，即，其中ω是已知的正常數(shù)。

為了設計分數(shù)階非線性擾動觀測器，定義輔助變量：

其中，β是正常數(shù)。

輔助變量φ(t)的Caputo 分數(shù)階導數(shù)為：

由系統(tǒng)（2）中第二個等式和（9）得：

為了計算擾動估計，中間變量φ(t) 的估計描述為：

根據(jù)式（8），外部擾動d(t)的估計為：

定理1考慮擾動觀測器(11)和(12)，如果假設1的條件滿足，那么擾動估計誤差漸近收斂于零。

證明：根據(jù)式（8）、（12）得：

根據(jù)式（10）、（11）得：

根據(jù)引理2，Vd的Caputo 分數(shù)階導數(shù)為[18]：

將式（13）代入式（15）并根據(jù)假設1，得：

2.2 自適應滑模同步

為了讓研究能夠進一步開展，給出下面的假設2。

假設2假設存在未知正常數(shù)k，使得：

設計分數(shù)階積分滑模面為：

滑?？刂破髟O計為：

自適應律為：

定理2在假設1 和2 的條件下，如果設計分數(shù)階擾動觀測器(11)和(12)，自適應滑?？刂破?18)和(19)，那么誤差系統(tǒng)(3)的零點是漸近穩(wěn)定的，即驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應系統(tǒng)(2)實現(xiàn)漸近同步。

證明：構造Lyapunov 函數(shù)：

根據(jù)引理2，Vs的Caputo 分數(shù)階導數(shù)為：

由控制器(18)和自適應律(19)有：

3 數(shù)值模擬仿真

利用Matlab 進行數(shù)值仿真，選取不相稱分數(shù)階q1=0.991,q2=0.992,q3=0.993，初始值x(0)=[5,8,10]T，y(0)=[-6,-8,-10]T，α=0，d(t)=4 cos(2t)，β=60，=0.1，λ=20，r=0.1，ω=0.01。所設計的分數(shù)階擾動觀測器(11)和(12)的擾動觀測結果和觀測估計誤差分別如圖4 和圖5 所示，這表明所設計的分數(shù)階擾動觀測器是有效可行的。

圖4 擾動d 和擾動估計的軌跡

圖5 估計誤差的軌跡

應用自適應滑?？刂破?18)和(19)后，驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應系統(tǒng)(2)的狀態(tài)響應如圖6 所示。同步誤差系統(tǒng)(3)的狀態(tài)響應如圖7 所示，誤差系統(tǒng)(3)漸近趨于零，驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應系統(tǒng)(2)實現(xiàn)漸近同步?；＿\動軌跡和未知正常數(shù)k的估計曲線分別如圖8和9 所示。

圖6 驅(qū)動系統(tǒng)與響應系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡

圖7 同步誤差與時間狀態(tài)軌跡

圖8 滑模運動s(t)的軌跡

圖9 k 的估計曲線

4 結論

將含有未知擾動的不相稱分數(shù)階統(tǒng)一混沌系統(tǒng)作為研究對象，設計分數(shù)階擾動觀測器對系統(tǒng)中的外部擾動進行估計?；贚yapunov 理論和自適應控制理論，設計合適的自適應滑?？刂破?，實現(xiàn)含有未知擾動的不相稱分數(shù)階統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的漸近同步。