文|張國(guó)梅 俞 杰

與0 有關(guān)的運(yùn)算，在人教版數(shù)學(xué)教材里，三年級(jí)及之前的學(xué)習(xí)中，學(xué)生就已多次遇到過(guò)?！耙粋€(gè)數(shù)加（減）0 等于原數(shù)”“0 和任何數(shù)相乘都得0”“0 除以任何不是0 的數(shù)都得0”，這些結(jié)論（運(yùn)算規(guī)則），借助具體情境的支撐，學(xué)生較容易接受和理解。但學(xué)習(xí)第三個(gè)結(jié)論時(shí)，學(xué)生心中是有疑問(wèn)的：除數(shù)為什么要“任何不是0 的數(shù)”呢？

學(xué)生有這樣的疑問(wèn)是好事情，是批判性思維的萌芽。但是，課堂上學(xué)生不見(jiàn)得有機(jī)會(huì)提出來(lái)，即使提出來(lái)，教師也往往會(huì)以“這是規(guī)定”或“以后你就會(huì)知道原因”等理由來(lái)應(yīng)對(duì)，并再次強(qiáng)調(diào)“要記住，0 不能作除數(shù)”。

教師“屏蔽”學(xué)生的問(wèn)題也并非沒(méi)有道理，因?yàn)閷W(xué)生的思維水平還未到合適時(shí)機(jī)，教材也是因?yàn)槿绱丝紤]，而將相關(guān)內(nèi)容設(shè)置在了四年級(jí)下冊(cè)“四則運(yùn)算”單元，且特意編制一道例題教學(xué)“有關(guān)0 的運(yùn)算”。（如下圖）

該題對(duì)0 的四則運(yùn)算作了集中呈現(xiàn)，并指出了“0 不能作除數(shù)”的兩個(gè)原因。仔細(xì)閱讀例題圖文后，我們意識(shí)到，這個(gè)例題是一個(gè)絕好的教學(xué)契機(jī)，既可激發(fā)學(xué)生提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題，得到提問(wèn)能力的培養(yǎng)，又可借此引發(fā)高質(zhì)量的數(shù)學(xué)思考，獲得推理意識(shí)的發(fā)展。

為何該題會(huì)有如此功效？從圖中可見(jiàn)，與0 有關(guān)的結(jié)論，加減乘除中都有，且不止這四個(gè)。之前這些結(jié)論，都是單個(gè)單個(gè)學(xué)的，沒(méi)有相互比較的機(jī)會(huì)，而如今，四個(gè)結(jié)論一起呈現(xiàn)了，那么它們表述上的明顯差異，就一定會(huì)促使學(xué)生自覺(jué)地進(jìn)行比較。比較之后，從差異處引發(fā)的豐富問(wèn)題一定會(huì)自然產(chǎn)生，包括之前曾經(jīng)疑惑過(guò)的“除數(shù)為什么不能是0”。要理解此結(jié)論，學(xué)生不能再依托生活情境來(lái)分析，而是要從數(shù)學(xué)的角度，借助被除數(shù)、除數(shù)、商之間的關(guān)系，運(yùn)用假設(shè)法來(lái)反推出商的具體情況，這樣才能獲得深度理解。

【教學(xué)實(shí)踐】

一、教學(xué)引入

1.直接揭題，口算熱身

板書(shū)課題“有關(guān)0 的運(yùn)算”，逐題板書(shū)題目，引導(dǎo)學(xué)生邊口算邊理解課題含義。

3+0=0+99=5-0=

17-0=4×0=0×7=

0÷4=0÷3=

2.回憶舊知，喚醒經(jīng)驗(yàn)

（1）經(jīng)驗(yàn)分享

師：同學(xué)們都算得非常快！那么做這些題目，你有什么經(jīng)驗(yàn)?zāi)芙榻B嗎？

根據(jù)學(xué)生回答，教師在算式右邊相對(duì)應(yīng)位置，板貼逐條呈現(xiàn)學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)：一個(gè)數(shù)加0 等于原數(shù)；一個(gè)數(shù)減0 等于原數(shù)；一個(gè)數(shù)乘0 等于0；0 除以一個(gè)不為0 的數(shù)等于0。

（2）原理解釋

師：為什么一個(gè)數(shù)加0 等于原數(shù)？

生1：0 表示沒(méi)有，所以加0還是原數(shù)。

生2：0 表示沒(méi)有，一個(gè)數(shù)減0，也就是沒(méi)減，當(dāng)然也等于原數(shù)。

師：那為什么一個(gè)數(shù)乘0 等于0？你能不能選一個(gè)算式為例來(lái)說(shuō)明？

生1：因?yàn)? 就是沒(méi)有，比如4×0 就是4 個(gè)0 相加，還是等于0。

生2：4×0 也可以想成0 個(gè)4，那也是等于0。

師：除法呢？

生：比如0÷4，表示0 個(gè)物體平均分成4 份，結(jié)果肯定還是0。

師：這些規(guī)則其實(shí)原來(lái)我們都已經(jīng)學(xué)過(guò)，大家也明白這些規(guī)則背后的道理，這節(jié)課就讓我們更深入地來(lái)思考新的問(wèn)題吧。

二、新知探索

1.學(xué)生提問(wèn)

師：請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察黑板上這四條運(yùn)算規(guī)則和四組算式。關(guān)于0 的運(yùn)算，你心中有沒(méi)有產(chǎn)生一些疑惑或者感興趣的問(wèn)題？

生：為什么0 只能除以一個(gè)不為0 的數(shù)，而不能除以0 呢？

師：好問(wèn)題！這位同學(xué)敢于質(zhì)疑結(jié)論，對(duì)這句話中的關(guān)鍵詞提出了自己的疑問(wèn)。

生：為什么是0 除以一個(gè)不為0 的數(shù)而不是一個(gè)不為0 的數(shù)除以0 呢？

師：你能舉個(gè)例子嗎？

生：比如說(shuō)，0÷3 倒過(guò)來(lái)變成3÷0，這樣可以嗎？

師：能夠倒過(guò)來(lái)想，這是逆向思維，非常棒！

師：有的同學(xué)對(duì)結(jié)論提出質(zhì)疑，有的同學(xué)從算式里面發(fā)現(xiàn)問(wèn)題。有了問(wèn)題，我們就有了研究的方向，接下來(lái)讓我們一起來(lái)研究這些問(wèn)題吧。

2.探究釋疑

（1）研究3÷0

①猜想結(jié)果

讓學(xué)生猜測(cè)計(jì)算結(jié)果，大部分同學(xué)認(rèn)為是0，也有認(rèn)為是3，或者認(rèn)為算式不成立，沒(méi)有答案。

②自主探究

組織學(xué)生根據(jù)各自的結(jié)果，畫(huà)一畫(huà)、寫(xiě)一寫(xiě)，想辦法說(shuō)明。

③匯報(bào)方法

生1：有0 元錢(qián)，要平均分給3 個(gè)人，每人分到0 元，所以答案是0。

生2：3÷0 就是把3 平均分成0 份，就是相當(dāng)于不分，所以答案是3。

生3：3÷0 沒(méi)有答案，因?yàn)槌梢杂贸朔▉?lái)解答，但是0 乘任何數(shù)都等于0，所以這道題沒(méi)有答案，算式不成立。

師：請(qǐng)大家討論一下，誰(shuí)的理由正確，誰(shuí)的理由不對(duì)呢？

生：第一位同學(xué)說(shuō)“0 元錢(qián)平均分給3 個(gè)人，每人0 元”，如果按照他的意思，算式應(yīng)該是0÷3而不是3÷0。

師：那么第二位同學(xué)的說(shuō)法是不是就對(duì)了？

（有的學(xué)生認(rèn)為對(duì)，但有的學(xué)生反對(duì)“3”這個(gè)答案，但是又覺(jué)得沒(méi)有反駁生2 的理由）

師：那我們一起做個(gè)小游戲，邊玩邊思考吧。

教師拿出3 支粉筆，請(qǐng)3 位同學(xué)協(xié)作表演。3 支粉筆，平均分給3 個(gè)人，3÷3，每人1 支；如果平均分給2 個(gè)人，3÷2，每人1 支半；如果分給1 個(gè)人，3÷1，可得3 支；最后，沒(méi)有人了……

師：如果沒(méi)有人，就根本無(wú)法分，更不存在每人拿到幾支的說(shuō)法。所以，答案是3 是不對(duì)的。

師：那我們?cè)賮?lái)討論第三位同學(xué)的說(shuō)法吧。贊成他觀點(diǎn)的同學(xué)能不能再來(lái)詳細(xì)說(shuō)明一下？

學(xué)生上黑板寫(xiě)了：3÷0=?。并解釋道“商乘除數(shù)等于被除數(shù)，?中不存在這樣的一個(gè)數(shù)，乘0后得3”。教師借助板書(shū)，將商和除數(shù)連線示意（強(qiáng)調(diào)“假設(shè)”），并寫(xiě)出假設(shè)后進(jìn)行思考的算式（如圖）。師生對(duì)話，引導(dǎo)其他學(xué)生看懂如此推理的過(guò)程，并請(qǐng)所有學(xué)生在本子上像這樣自己寫(xiě)一寫(xiě)、說(shuō)一說(shuō)。

師：的確，通過(guò)推理，我們發(fā)現(xiàn)找不到一個(gè)數(shù)乘0 等于3，所以3÷0 這個(gè)算式根本沒(méi)有答案，我們也可以說(shuō)這個(gè)算式?jīng)]有意義。

（2）研究0÷0

①自主嘗試

師：現(xiàn)在我們來(lái)研究第二個(gè)問(wèn)題。0÷0，你能不能借用剛才這樣的思考方法，先假設(shè)，再推理，試著研究研究。

學(xué)生探究，同桌交流。

②匯報(bào)展示

通過(guò)反饋，學(xué)生理解到此題的情況很特別：任何數(shù)乘0 都得0，所以這個(gè)算式的答案不唯一。

③教師引領(lǐng)

師：是的，一個(gè)除法算式，卻有無(wú)數(shù)個(gè)答案，結(jié)果不確定，那這樣的算式同樣沒(méi)有意義。

④歸納小結(jié)

教師引導(dǎo)學(xué)生回顧3÷0 和0÷0，使學(xué)生看到兩個(gè)算式“無(wú)意義”的不同情況，同時(shí)歸納提煉出“0不能作除數(shù)”。

三、課堂總結(jié)

回顧“發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，分析和解決問(wèn)題”的過(guò)程，強(qiáng)調(diào)“推理”的重要意義。再次引導(dǎo)學(xué)生提出新的問(wèn)題，感受提問(wèn)的價(jià)值，適度研討問(wèn)題。

【課后思考】

非常簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)內(nèi)容，卻展現(xiàn)出了出人意料的教學(xué)效果。分析其原因，那就是課前所預(yù)想的“培養(yǎng)提問(wèn)能力、發(fā)展推理意識(shí)”兩大素養(yǎng)目標(biāo)的較好達(dá)成。

1.材料精設(shè)，點(diǎn)撥恰當(dāng)

有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題往往藏在現(xiàn)實(shí)或數(shù)學(xué)的情境中，需要學(xué)生以敏銳的眼光或個(gè)性的思維才能“看”出來(lái)。因此，設(shè)計(jì)好的學(xué)習(xí)情境，本質(zhì)上是在訓(xùn)練學(xué)生用“數(shù)學(xué)的眼光”發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力。在本課中，我們精心設(shè)計(jì)了學(xué)習(xí)材料（四組口算題、四條運(yùn)算規(guī)則及其呈現(xiàn)方式），有意將很多可比較、可質(zhì)疑、可聯(lián)想的元素蘊(yùn)藏其中，以此“誘發(fā)”學(xué)生萌生批判性思維、創(chuàng)造性思維、發(fā)散性思維，自主發(fā)現(xiàn)有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

學(xué)生發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題，還需要以勇氣和智慧，清晰準(zhǔn)確地表達(dá)出問(wèn)題（即提出問(wèn)題）。對(duì)學(xué)生提問(wèn)的回應(yīng)，是提問(wèn)能力培養(yǎng)的重要契機(jī)。在本課中，學(xué)生提出了好問(wèn)題，教師并沒(méi)有止步，而是以一系列行為予以跟進(jìn)：讓其他學(xué)生再來(lái)表述這個(gè)問(wèn)題，以指向精準(zhǔn)的評(píng)價(jià)語(yǔ)表?yè)P(yáng)學(xué)生的提問(wèn)，用簡(jiǎn)單的文字和符號(hào)記錄下問(wèn)題，鼓勵(lì)學(xué)生再提其他的問(wèn)題。這樣的做法，就是在點(diǎn)撥其他學(xué)生感受好問(wèn)題的特征，引導(dǎo)更多學(xué)生明晰提問(wèn)的方向和方法，大膽積極地提問(wèn)。如此做法，使學(xué)生對(duì)提問(wèn)方法獲得了深刻感悟，提問(wèn)能力得到了切實(shí)提升。

2.過(guò)程合理，指導(dǎo)到位

發(fā)展小學(xué)生的推理意識(shí)，需要借助具體的推理活動(dòng)，需要依托合適的學(xué)習(xí)過(guò)程和教師的精心指導(dǎo)。本課中學(xué)生所提的問(wèn)題（主要是3÷0 和0÷0），都是富含推理元素的好素材，問(wèn)題的解決直接指向推理意識(shí)的發(fā)展。但是，這兩個(gè)問(wèn)題雖形式相似，內(nèi)涵上卻有區(qū)別（一個(gè)是沒(méi)有答案，一個(gè)是有無(wú)數(shù)個(gè)答案），從推理的角度來(lái)說(shuō)有難易之分。因此，課堂上有意設(shè)計(jì)成兩個(gè)過(guò)程：先是抽象度略低一點(diǎn)的3÷0，并且分兩個(gè)層次展開(kāi)（先用以前的方法解釋?zhuān)儆谩凹僭O(shè)”的方法分析）；再是抽象度更高的0÷0。如此過(guò)程，從“舊經(jīng)驗(yàn)說(shuō)理→感受推理→運(yùn)用推理”，學(xué)生的思維活動(dòng)（推理）是真實(shí)發(fā)生、拾階而上的。

在兩次推理活動(dòng)中，教師及時(shí)講解、示范和幫助，促使每一位學(xué)生真理解、能運(yùn)用。如當(dāng)學(xué)生提出3÷0=?來(lái)作解釋時(shí)，為讓更多學(xué)生進(jìn)入這樣的思維模式，教師及時(shí)用板書(shū)將商和除數(shù)連線示意，強(qiáng)調(diào)“假設(shè)”并寫(xiě)出假設(shè)后進(jìn)行思考的算式；然后通過(guò)師生對(duì)話，引導(dǎo)其他學(xué)生看懂如此推理的過(guò)程，并請(qǐng)所有學(xué)生在本子上像這樣再寫(xiě)一寫(xiě)、說(shuō)一說(shuō)……正因?yàn)橛腥绱说轿坏闹笇?dǎo)，所以當(dāng)學(xué)生面對(duì)0÷0 時(shí)，他們就能夠自己開(kāi)展清晰的推理并作出準(zhǔn)確的解釋。學(xué)生推理意識(shí)的發(fā)展，也在這樣的學(xué)習(xí)活動(dòng)中顯露無(wú)遺。

一個(gè)極簡(jiǎn)單的教學(xué)內(nèi)容，卻因內(nèi)涵的彰顯而煥發(fā)亮麗色彩，這再次讓我們意識(shí)到：在新課程強(qiáng)調(diào)核心素養(yǎng)的背景下，我們要更深入地挖掘教材，更科學(xué)地設(shè)計(jì)教學(xué)，更好地服務(wù)于學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展。