劉勇軍，劉巧燕，胡乾坤

(黃淮學院智能制造學院，河南駐馬店 463000)

0 前言

數(shù)控磨床是精密制造業(yè)不可或缺的工業(yè)母機，數(shù)控磨床的可靠性一直是研究的熱點。對數(shù)控磨床可靠性的研究可以從整體上分析，也可以將其分為若干個子系統(tǒng)加以研究。從可靠性設計和可靠性提升的角度來看，研究子系統(tǒng)的可靠性更具有針對性。數(shù)控磨床通常采用兩套獨立的液壓站，其中一臺液壓站為尾架液壓缸、軸向量儀旋轉液壓缸和徑向量儀直線液壓缸提供動力，另一臺液壓站為靜壓主軸提供液壓油。數(shù)控磨床液壓系統(tǒng)是數(shù)控磨床易發(fā)生故障的子系統(tǒng)，因此將其單獨拿出研究，以便評估數(shù)控磨床整機可靠性。可靠性的研究離不開現(xiàn)場數(shù)據(jù)的采集，而根據(jù)采集到的數(shù)據(jù)如何建立準確的可靠性模型是可靠性研究的關鍵。目前國內(nèi)外學者通常的做法是對可靠性數(shù)據(jù)進行處理、擬合，找出相對最優(yōu)的可靠性模型。

陳傳海等[1]對數(shù)控機床的可靠性建模方法進行了分析與總結；楊新坤等[2-8]基于威布爾分布，利用可靠性數(shù)據(jù)對數(shù)控機床進行了可靠性建模，對模型中的參數(shù)進行了計算求解。張根保等[9]建立了針對浴盆曲線前兩段的兩重LLP可靠性模型，并研究了浴盆曲線轉折點的確定方法，對數(shù)控機床的維修保養(yǎng)具有一定的指導意義。

在模型優(yōu)選方面，張世強[10]、黨耀國等[11]研究了通用擬合優(yōu)度指標和擬合優(yōu)度的檢驗方法；郝晨光等[12-15]基于假設檢驗和擬合優(yōu)度檢驗方法，利用經(jīng)典分布函數(shù)分別進行擬合，以尋求最優(yōu)的可靠性模型；劉勇軍等[16]提出了改進灰色關聯(lián)度的模型優(yōu)選方法。

從已有文獻可以看出，目前對數(shù)控機床進行可靠性建模時以威布爾分布為主，不少研究者直接假定故障率符合威布爾分布，然后利用算法對參數(shù)進行求解，這種直接假定分布模型為某一確定模型的做法存在一定的建模誤差；也有學者分別利用多種常用的分布函數(shù)進行擬合，然后對這些模型進行擬合優(yōu)度檢驗，但也存在著分布函數(shù)有限、擬合優(yōu)度檢驗方法簡單等不足。本文作者增加伽馬分布作為可靠性模型的一個備選，闡述伽馬分布函數(shù)參數(shù)的求解方法；同時，針對當前擬合優(yōu)度檢驗方法存在區(qū)分度不高的問題，提出最小距離模型優(yōu)選方法，并與其他擬合優(yōu)度檢驗方法進行比較。

1 可靠性建模

數(shù)控磨床屬于典型的機電裝備，其故障率曲線也近似為“浴盆曲線”，即在數(shù)控磨床投入使用的早期，故障率較高，隨著時間的推移，故障率慢慢降低，并逐漸趨于穩(wěn)定，在產(chǎn)品的壽命周期末期，故障率又逐漸增高，即將報廢。研究數(shù)控磨床的可靠性通常是研究浴盆曲線前兩段的變化規(guī)律，建立其數(shù)學模型，從而為數(shù)控磨床的可靠性評估和可靠性設計奠定基礎。

1.1 可靠性模型

數(shù)控磨床的故障率是一個概率統(tǒng)計問題，研究表明，與浴盆曲線前兩段較為接近的分布函數(shù)有指數(shù)分布(Exponential Distribution)、威布爾分布(Weibull Distribution)、正態(tài)分布(Normal Distribution)、對數(shù)正態(tài)分布(Logarithmic Normal Distribution)、伽馬分布(Gamma Distribution)等，上述5種分布的累積概率密度函數(shù)如式(1)—式(5)所示。如果參數(shù)選擇合理，上述5種分布函數(shù)均可以用來表征數(shù)控磨床及其子系統(tǒng)的故障率變化規(guī)律。

F(t)=1-e-λt

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

1.2 可靠性建模

可靠性建模是以故障數(shù)據(jù)為基礎的，因此首先需要采集可靠性數(shù)據(jù)(產(chǎn)品從投入使用開始每次故障的時間)。為了計算概率密度，需要將采集到的數(shù)據(jù)按故障間隔時間由小到大分為k組，求出每個區(qū)間內(nèi)的故障頻次、頻率、概率密度和累積概率密度，如表1所示。

表1 數(shù)控磨床可靠性數(shù)據(jù)采集與分組(一)

表1中：Δti為故障間隔時間分組的中值；ni為第i組故障間隔時間內(nèi)出現(xiàn)的故障總數(shù)；fi為第i組故障間隔時間內(nèi)的故障頻率；Fi為第i組故障間隔時間內(nèi)的累積故障頻率；Fi可以由式(6)計算得出，其中Δt為區(qū)間長度。

(6)

每個區(qū)間的累積概率密度求出之后，即可得到k組數(shù)據(jù)對(Δti，F(xiàn)i)。對于指數(shù)分布和威布爾分布，可以將累積分布函數(shù)兩邊取對數(shù)構造線性關系式，正態(tài)分布和對數(shù)正態(tài)分布則需要將其累積分布函數(shù)變換為標準正態(tài)分布后構造線性關系式。線性關系式構造完成后可以利用最小二乘法求解分布函數(shù)的參數(shù)[17]。

伽馬函數(shù)無法構造線性關系式，可以采用極大似然法求解。首先構造一個伽馬分布的似然函數(shù)，如式(7)所示：

(7)

由于L(θ)和lnL(θ)具有相似的極值特性，可以將式(7)兩邊同時取對數(shù)，簡化后如式(8)所示。

(8)

將式(8)分別對a、b求偏導，可以得到式(9)。

(9)

式(9)無法直接求出a、b的解析解，可以采取數(shù)值解法求解。

2 擬合優(yōu)度檢驗

在求出每個累積分布函數(shù)的參數(shù)后，需要選擇一個最優(yōu)的分布函數(shù)作為液壓系統(tǒng)的可靠性模型，因此需要對5種分布函數(shù)進行擬合優(yōu)度檢驗。常用的擬合優(yōu)度檢驗方法有χ2檢驗(卡方檢驗)、K-S檢驗法(柯爾莫諾夫-斯米爾諾夫檢驗)、相關系數(shù)法、灰色關聯(lián)度分析等。

2.1 χ2檢驗

卡方檢驗可以檢驗樣本數(shù)據(jù)與理論模型之間的偏離程度，卡方值的大小可以表征這種偏離程度，卡方值越大，二者偏離程度越大；反之亦然。對不同分布函數(shù)與樣本數(shù)據(jù)之間進行卡方檢驗可以分辨不同分布函數(shù)與樣本數(shù)據(jù)之間的擬合優(yōu)度?？ǚ綑z驗的公式如式(10)所示：

(10)

從卡方檢驗公式可以看出：其主要比較的是概率密度值的觀測值與預期值之間的差值，即只比較縱坐標的值，而并不判斷觀測值與實際曲線之間的相近性。

2.2 K-S檢驗

(11)

K-S檢驗法不僅可以檢驗樣本數(shù)據(jù)與理論累積分布函數(shù)之間是否相關，還可以根據(jù)K-S檢驗結果判斷不同分布函數(shù)與樣本數(shù)據(jù)的擬合優(yōu)度。

2.3 皮爾遜相關系數(shù)

皮爾遜相關系數(shù)可以度量兩個變量之間的線性相關程度，用線性相關系數(shù)γ來表示，如式(12)所示，γ值與線性相關度成正比。

(12)

2.4 灰色關聯(lián)度

灰色關聯(lián)分析對樣本數(shù)據(jù)和規(guī)律沒有嚴格的要求，該方法根據(jù)兩個數(shù)據(jù)列的相似程度來判斷其關聯(lián)性的大小，可以用于概率密度樣本值與擬合曲線之間的擬合優(yōu)度檢驗。實際應用中可以將概率密度樣本值與上述5種分布函數(shù)分別求關聯(lián)系數(shù)，并比較關聯(lián)系數(shù)的大小，關聯(lián)系數(shù)越大，擬合效果越好?；疑P聯(lián)度的計算公式如式(13)所示：

(13)

其中：

ξi(t)=

式中：ρ為分辨系數(shù)，通常取0.5；x0(k)為樣本數(shù)據(jù)在k點的值；xi(k)為擬合模型在k點的值。

灰色關聯(lián)分析主要用于判斷樣本數(shù)據(jù)與擬合模型在斜率上的相近程度，而未考慮樣本數(shù)據(jù)與擬合曲線間在坐標上的接近程度，用于模型優(yōu)選時存在一定的局限性，可能會選出錯誤的結果。

3 最小距離法擬合優(yōu)度檢驗

針對只用函數(shù)值來判斷擬合優(yōu)度存在的缺點(只考慮相似性)，根據(jù)累積概率密度曲線的特點，提出一種利用數(shù)據(jù)點接近擬合曲線的程度來判斷曲線擬合優(yōu)劣的方法。如圖1所示，如果用縱坐標表示點A與曲線擬合的優(yōu)劣程度，其值為ΔyA，該值相對較大。事實上，從圖中可以看出點A比較接近于擬合曲線，所以用點A與擬合曲線的距離lAmin來表示點A擬合的優(yōu)劣程度更加合理。最小距離法在擬合曲線斜率較大時，辨別能力較強，當擬合曲線斜率逐漸變小時，最小距離逐漸演變成縱坐標的差值，如圖1中的點B所示，點B到擬合曲線的最小距離近似等于縱坐標差值，即ΔyB≈lBmin?？紤]到機電產(chǎn)品的累積概率密度函數(shù)曲線均具有靠近縱軸處斜率很大的特點，最小距離法更能區(qū)分擬合效果的優(yōu)劣。將所有數(shù)據(jù)點與擬合曲線的最小距離求和，即可得到基于最小距離的非線性曲線擬合優(yōu)度指標Rmd。通過對文獻[10]中所述算例進行計算表明，該指標與利用線性相關系數(shù)R的計算結果一致，并且具有較高的區(qū)分度，更容易找到最優(yōu)的擬合曲線。Rmd的計算公式如式(14)所示：

圖1 最小距離法

(14)

(15)

為了防止數(shù)據(jù)的數(shù)量級不同導致極值數(shù)據(jù)被“淹沒”，也可以將x項數(shù)據(jù)歸一化后直接利用標準的距離公式來求解。

4 液壓系統(tǒng)可靠性建模與優(yōu)選

4.1 數(shù)據(jù)采集與處理

經(jīng)過連續(xù)多年對數(shù)控磨床的可靠性研究與現(xiàn)場數(shù)據(jù)采集，將采集到的可靠性數(shù)據(jù)分組后如表2所示。

表2 數(shù)控磨床可靠性數(shù)據(jù)采集與分組(二)

根據(jù)表2中的數(shù)據(jù)，分別利用前述5種分布函數(shù)進行擬合與參數(shù)求解，結果如表3所示。

表3 液壓系統(tǒng)不同模型的累積分布函數(shù)

5種不同模型的累積分布曲線如圖2所示，圖中還標示了區(qū)間中值散點圖和采集的數(shù)據(jù)散點圖，以便比較。

圖2 液壓系統(tǒng)累積分布擬合曲線

4.2 模型優(yōu)選

為了尋求液壓系統(tǒng)最優(yōu)的分布函數(shù)，分別利用前述4種檢驗方法和所提的最小距離法等對液壓系統(tǒng)進行模型優(yōu)選，不同優(yōu)選指標結果如表4所示。

表4 數(shù)控磨床液壓系統(tǒng)不同分布模型的優(yōu)選

從表4可以看出：(1)卡方檢驗通常要求分組中的頻次數(shù)量大于5，即樣本數(shù)據(jù)要大，而液壓系統(tǒng)故障頻次不滿足該要求，因此卡方檢驗優(yōu)選的結果不可信，且區(qū)分度非常小；(2)從K-S檢驗結果看出，當n=58時，Dn，α=0.210 2(顯著性水平為0.01)，指數(shù)分布、威布爾分布和伽馬分布通過了檢驗，且伽馬分布優(yōu)度最高；(3)皮爾遜相關系數(shù)檢驗中指數(shù)分布的優(yōu)度最高，但該相關系數(shù)是基于線性相關的檢驗，伽馬分布不滿足線性關系，因此該檢驗無法判斷伽馬分布的優(yōu)劣，具有一定的局限性；(4)灰色關聯(lián)度法和最小距離法的優(yōu)選結果均為伽馬分布。從圖2中也可以明顯看出，與實際故障數(shù)據(jù)最為接近的確是伽馬分布。

雖然從表4中可以得出利用K-S假設檢驗、灰色關聯(lián)度優(yōu)選和最小距離法優(yōu)選均可以得出伽馬分布為數(shù)控機床液壓系統(tǒng)最優(yōu)分布的結論，但這3種方法的區(qū)分度是不同的，為此將每種優(yōu)選方法下每個分布函數(shù)優(yōu)選指標與選定最優(yōu)分布函數(shù)的優(yōu)選指標的相對差值求出，如表5所示?？梢钥闯觯嚎ǚ綑z驗和皮爾遜相關系數(shù)法的平均區(qū)分度非常小，不利于分布函數(shù)的優(yōu)選；K-S檢驗和灰色關聯(lián)度優(yōu)選的平均區(qū)分度比較接近，且優(yōu)選結果是理想的模型；而最小距離法不僅選擇了理想的模型，且平均區(qū)分度比灰色關聯(lián)度優(yōu)選和K-S檢驗的平均區(qū)分度分別提高了99.6%、135.6%。因此，利用最小距離法進行分布函數(shù)的模型優(yōu)選更容易找出最優(yōu)的結果。

表5 不同分布模型的優(yōu)選區(qū)分度(百分比)

同時，使K-S檢驗需要查表，給使用帶來不便，而在編程、計算復雜程度上最小距離法比灰色關聯(lián)度更具有優(yōu)勢。

5 結論

(1)在機電裝備可靠性建模過程中需要進行擬合優(yōu)度檢驗。針對傳統(tǒng)的擬合優(yōu)度指標區(qū)分度不高的問題，提出了以樣本數(shù)據(jù)和擬合曲線之間距離最小的可靠性模型優(yōu)選方法。

(2)采集了數(shù)控磨床液壓系統(tǒng)的故障數(shù)據(jù)，利用不同分布函數(shù)進行了可靠性建模和不同優(yōu)選方法擬合優(yōu)度檢驗，通過對比發(fā)現(xiàn)所提出的最小距離法不僅可以準確選出最優(yōu)模型，且區(qū)分度最大。文中所提出的最小距離模型優(yōu)選方法可以用于機電設備類可靠性分布模型的優(yōu)選，也可為曲線擬合的優(yōu)選提供參考。