孫保華

【摘? ?要】演繹推理是一種從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論的推理方法，對培養(yǎng)學(xué)生思維的全面性、嚴(yán)密性和一貫性有著不可替代的作用。教學(xué)中，教師要充分挖掘教學(xué)資源，以經(jīng)驗為基礎(chǔ)，以直觀為橋梁，以規(guī)范為引領(lǐng)，以訓(xùn)練為抓手，讓學(xué)生經(jīng)歷演繹推理的過程，提升他們的推理能力，促進(jìn)其思維能力的發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】演繹推理；小學(xué)數(shù)學(xué)；教學(xué)策略

演繹推理是一種從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論的推理方法，對培養(yǎng)學(xué)生思維的全面性、嚴(yán)密性和一貫性有著不可替代的作用。數(shù)學(xué)家彭加勒認(rèn)為，演繹推理應(yīng)是數(shù)學(xué)推理能力的核心，是數(shù)學(xué)推理的根本特征。教學(xué)中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生從一些已有的判斷推出新的判斷，進(jìn)而揭示許多無法直接感知的真理。那么，針對以直覺思維為主、嚴(yán)謹(jǐn)性較弱的小學(xué)生，如何更好地實施演繹推理的教學(xué)呢？

一、以經(jīng)驗為基礎(chǔ)——直覺性

演繹推理同樣依賴于小學(xué)生的直覺思維。直覺思維源自學(xué)生的生活經(jīng)驗、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗與直觀感悟等內(nèi)因感知。嚴(yán)密的演繹推理對小學(xué)生來說比較困難，需要輔以直覺思維的支撐。因此，教師要致力于在學(xué)生已有知識經(jīng)驗的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)，充分利用學(xué)生的直覺思維展開演繹推理，促進(jìn)學(xué)生推理能力的發(fā)展。

例如，在蘇教版教材四年級下冊“三角形的內(nèi)角和”內(nèi)容的教學(xué)中，可以利用長方形的特征（如圖1），通過演繹推理證明三角形的內(nèi)角和是180°。

師：把一個長方形沿著對角線剪開，得到兩個直角三角形，這兩個直角三角形完全相同嗎？

（學(xué)生獨立動手操作）

生：完全相同。因為把這兩個直角三角形重疊在一起，發(fā)現(xiàn)它們完全重合。

師：通過重疊可以驗證這兩個直角三角形完全相同。那∠1與∠4，∠2與∠3相等嗎？

生：把這兩個直角三角形重疊在一起，發(fā)現(xiàn)∠1與∠4完全重合，所以∠1=∠4；同樣，∠2與∠3也完全重合，所以∠2=∠3。

師：說得真好。你們能說出每個直角三角形的內(nèi)角和是多少度嗎？請大家互相討論一下。

生：因為長方形的內(nèi)角和是360°，把它分成了兩個直角三角形，所以每個直角三角形的內(nèi)角和是360°÷2=180°。

師：同學(xué)們，你們認(rèn)同他的想法嗎？如何證明這兩個直角三角形的內(nèi)角和是180°呢？

生：我是這樣想的。因為∠3+∠4=90°，∠1=∠4，所以∠1+∠3=90°。90°（直角）+∠1+∠3=180°，所以這個直角三角形的內(nèi)角和是180°。

生：我是這樣想的。因為∠3+∠4=90°，∠2=∠3，所以∠2+∠4=90°。90°（直角）+∠2+∠4=180°，所以這個直角三角形的內(nèi)角和也是180°。

師：這兩個同學(xué)都通過推理證明了這兩個直角三角形的內(nèi)角和是180°。

把一個長方形沿對角線剪開，得到兩個直角三角形。學(xué)生根據(jù)已有的知識經(jīng)驗把兩個直角三角形重疊在一起，發(fā)現(xiàn)它們重疊后完全重合，說明這兩個三角形完全相同，兩個三角形中的角也分別相等。在正確前提條件的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生說一說每個三角形的內(nèi)角和是多少度。學(xué)生通過兩種思路推理得到兩個直角三角形的內(nèi)角和都是180°。整個學(xué)習(xí)過程充分利用了學(xué)生的直覺思維，學(xué)生自覺進(jìn)行演繹推理，有效地促進(jìn)了推理能力的提升。

二、以直觀為橋梁——形象性

學(xué)生的思維按照“直觀形象—表象—抽象”的過程發(fā)展。在小學(xué)低段，學(xué)生需要利用直觀動作思維和形象思維來理解知識；到了高段，學(xué)生的抽象邏輯思維有了一定的發(fā)展，但還需要依賴一定的具體形象思維。因此，小學(xué)生演繹推理能力的發(fā)展，應(yīng)盡量以直觀動作思維和具體形象思維為橋梁，循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷推理的過程、體驗推理的價值。

例如，在蘇教版教材四年級下冊“三角形的內(nèi)角和”內(nèi)容的教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生利用直角三角形的內(nèi)角和是180°，探究銳角三角形和鈍角三角形的內(nèi)角和（如圖2）。

師：圖2是分別用兩個直角三角形拼成的銳角三角形和鈍角三角形。銳角三角形的內(nèi)角包括哪幾個角？鈍角三角形呢？

生：拼成的銳角三角形和鈍角三角形不包括其中的兩個直角，所以銳角三角形的內(nèi)角是∠1、∠2、∠3和∠4，鈍角三角形的內(nèi)角也是∠1、∠2、∠3和∠4。

師：你們能分別推導(dǎo)出銳角三角形和鈍角三角形的內(nèi)角和是多少嗎？

（學(xué)生先獨立探究，再在小組內(nèi)交流想法）

師：誰來說一說你的想法？

生：我推導(dǎo)的是銳角三角形。這個銳角三角形的左邊是一個直角三角形，所以∠1+∠2=90°。右邊也是一個直角三角形，所以∠3+∠4=90°。又因為這個銳角三角形的內(nèi)角和是∠1+∠2+∠3+∠4=90°+90°=180°，所以這個銳角三角形的內(nèi)角和是180°。

師：你用推理的方法推導(dǎo)出了這個銳角三角形的內(nèi)角和是180°，真了不起。誰再來說一說這個鈍角三角形的推理過程？

生：這個鈍角三角形的左邊是一個直角三角形，所以∠1+∠2=90°。右邊也是一個直角三角形，所以∠3+∠4=90°。又因為這個鈍角三角形的內(nèi)角和是∠1+∠2+∠3+∠4=90°+90°=180°，所以這個鈍角三角形的內(nèi)角和是180°。

這里利用兩個直角三角形分別拼成一個銳角三角形和一個鈍角三角形，讓學(xué)生探究它們的內(nèi)角和。學(xué)生已經(jīng)證明過直角三角形的內(nèi)角和是180°，也通過演繹推理證明了銳角三角形和鈍角三角形的內(nèi)角和也是180°。整個教學(xué)過程中，教師充分利用了幾何圖形的直觀形象，引導(dǎo)學(xué)生借助直覺思維進(jìn)行思考，通過推理獲得新知，滲透了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评磉^程。

三、以規(guī)范為引領(lǐng)——有序性

發(fā)展推理意識可以讓學(xué)生養(yǎng)成有條理地進(jìn)行表達(dá)的思維習(xí)慣，培養(yǎng)數(shù)學(xué)交流的能力。在小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，更多的是學(xué)生根據(jù)自身的知識經(jīng)驗進(jìn)行合情推理。推理過程中，學(xué)生的表達(dá)缺乏規(guī)范性、嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性。因此，在教學(xué)中，教師要利用數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在邏輯關(guān)系，引領(lǐng)學(xué)生用規(guī)范的語言表達(dá)推理過程，努力做到言之有據(jù)、言之有序、言之有理，幫助學(xué)生掌握演繹推理的基本形式，提升學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和條理性。

例如，在蘇教版教材四年級上冊“商不變的規(guī)律”內(nèi)容的教學(xué)中，可以利用商不變規(guī)律，探索其他運算中的不變規(guī)律。

師：在之前的學(xué)習(xí)中，我們認(rèn)識了“商不變的規(guī)律”。請大家想一想，我們還能用什么方法來證明這一規(guī)律的正確性。

生：可以用舉例來證明。如27÷9=3，如果被除數(shù)和除數(shù)都乘4，可以寫成（27×4）÷（9×4）=108÷36=3，商不變，還是3。

生：我用的也是舉例的方法。如ɑ÷b=6，如果被除數(shù)和除數(shù)都乘7，就可以寫成（ɑ×7）÷（b×7）= ɑ×7÷b÷7=ɑ÷b=6，商不變，還是6。

生：我是這樣想的，可以把乘7改成乘任意不為零的數(shù)c。那么ɑ÷b就可以寫成（ɑ×c）÷（b×c）=ɑ×c÷b÷c=ɑ÷b，也能證明商不變。

師：剛才大家用舉例的方法來說明商不變的規(guī)律，真的很棒。除法中有商不變規(guī)律，那么其他運算中有沒有不變的規(guī)律呢？

生：我發(fā)現(xiàn)減法中也有差不變的規(guī)律，如ɑ-b=7，（ɑ+8）-（b+8）=ɑ+8-b-8=ɑ-b=7，那ɑ-b也可以寫成（ɑ+c）-（b+c）=ɑ+c-b-c=ɑ-b。

生：我覺得乘法中沒有積不變的規(guī)律，如（ɑ×7）×（b×7）=ɑ×7×b×7=ɑ×b×49，積擴大了49倍。

生：我覺得乘法中有積不變的規(guī)律，據(jù)我觀察，只要把（ɑ×7）×（b×7）這一式子中的ɑ×7改成ɑ÷7 ，那么（ɑ÷7）×（b×7）= ɑ÷7×b×7=ɑ×b，這樣就積不變了。不是把兩個因數(shù)同時乘一個相同的數(shù)（0除外），而是一個因數(shù)乘一個數(shù)，另一個因數(shù)除以相同的數(shù)，積不變。

生：也可以用更簡潔的算式來表示積不變的規(guī)律，即（ɑ×c）×（b÷c）= ɑ×c×b÷c=ɑ×b（c≠0）。

生：我發(fā)現(xiàn)加法中也有和不變的規(guī)律，如ɑ+b=16，（ɑ+9）+（b-9）=ɑ+9+b-9=ɑ+b=16，和不變。

教師通過提問，引導(dǎo)學(xué)生探索其他運算中的不變規(guī)律。學(xué)生通過觀察、比較、計算等活動，由商不變的規(guī)律類比推理出其他三種運算的不變規(guī)律。在這一過程中，學(xué)生既運用了演繹推理，又運用了類比推理，做到了言之有理、推之有據(jù)，進(jìn)行了準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)表達(dá)。該教學(xué)過程既培養(yǎng)了學(xué)生的推理意識，又提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力。

四、以訓(xùn)練為抓手——針對性

學(xué)生推理能力的培養(yǎng)是一個長期的、循序漸進(jìn)的過程。除了平時根據(jù)教材內(nèi)容和學(xué)生的差異，運用恰當(dāng)?shù)耐评碣Y源，讓學(xué)生體驗推理的過程和掌握推理的方法，教師還應(yīng)有意識地結(jié)合教學(xué)內(nèi)容設(shè)計一些推理練習(xí)，鼓勵學(xué)生在螺旋上升、循環(huán)往復(fù)的學(xué)習(xí)過程中不斷積累經(jīng)驗，有根有據(jù)地由已知判斷推出新的判斷，從而有的放矢地開展推理能力的訓(xùn)練，使推理成為學(xué)生的自覺需要。

例如，在蘇教版教材六年級上冊“長方體和正方體的認(rèn)識”內(nèi)容的教學(xué)中，可以通過對長方體的棱長特征的演繹推理，建立長方體與6個長方形之間的關(guān)系（如圖3）。

師：長方體的棱長有什么特征？

生：長方體一共有12條棱，可以分成3組，每組相對的4條棱都相等。

師：你們是用什么方法得到每組4條棱都相等的？

生：我們是用學(xué)具盒里的小棒拼搭成一個長方體，在拼搭的過程中發(fā)現(xiàn)每組相對的4條棱都相等，并通過測量確認(rèn)4條棱都相等。

師：這是實驗的方法，這種方法一般用于提出猜想，不能作為獲得結(jié)論的依據(jù)，但我們可以通過推理來證明這一結(jié)論。長方體的每個面都是長方形，長方形的對邊有什么特征？

生：長方形的對邊相等且平行。

師：請大家嘗試根據(jù)長方形的特征進(jìn)行推理，從而證明長方體每組相對的4條棱都相等。

（學(xué)生進(jìn)行獨立探究，全班交流匯報）

生：圖3中，因為在長方形ABCD中，AB=DC，在長方形DCFE中，DC=EF，在長方形EFGH中，EF=HG，所以AB＝DC＝EF＝HG，即長方體這一組中相對的4條棱都相等。

師：這個同學(xué)說得有理有據(jù)，條理清晰。

生：其他兩組也可以用這樣的方法來證明。

……

學(xué)生起初認(rèn)識長方體相對的4條棱長度相等是根據(jù)測量得到的，這種用實驗方法得出的結(jié)論具有或然性。因此，教師根據(jù)教材內(nèi)容設(shè)計了專門的練習(xí)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生探索相對的4條棱長度相等。這樣的演繹推理過程，既有助于學(xué)生感受數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性，也有助于發(fā)展他們的推理能力。

又如，在蘇教版教材五年級下冊“圓的認(rèn)識”內(nèi)容的教學(xué)中，可以結(jié)合數(shù)學(xué)問題的解決發(fā)展學(xué)生的推理意識。

圖4中，從點A出發(fā)，可以沿大弧線到點B，也可以沿兩條小弧線到點C，再到點B。這兩條線路哪條更短一些？

師：請大家小組合作來解決問題。

（學(xué)生小組合作探究，全班交流匯報）

生：我們組把各條弧對應(yīng)的直徑長度假設(shè)為具體長度，大圓弧的直徑假設(shè)為12 cm，兩個小圓弧的直徑分別假設(shè)為8 cm和4 cm，那么大弧線的長度為[12π2]=6π cm，兩條小弧線的長度和為[8π2]+ [4π2]=6π cm。通過計算，發(fā)現(xiàn)兩條路線一樣長。

師：運用假設(shè)法來解決問題是一種好方法。如果不假設(shè)具體的數(shù)，假設(shè)兩個小圓弧的直徑分別為d1、d2，請大家通過符號的運算進(jìn)行推理。

生：我發(fā)現(xiàn)兩條小弧線的長度和為[πd12]+[πd22]=

[π（d1+d2）2]。

生：我發(fā)現(xiàn)大弧線的長度為[π（d1+d2）2]。

生：我發(fā)現(xiàn)兩條小弧線長度的和=大弧線的長度=[π（d1+d2）2]。

通過假設(shè)具體的數(shù)進(jìn)行運算得到的結(jié)果是特例，利用符號（變量）進(jìn)行運算和推理得到的結(jié)論才具有一般性。整個教學(xué)過程中，學(xué)生通過假設(shè)各條弧為具體長度（具體的數(shù)）進(jìn)行運算解決問題，教師相機引導(dǎo)學(xué)生通過假設(shè)把具體數(shù)的運算轉(zhuǎn)化為符號的運算，這樣既能讓學(xué)生體會得到的結(jié)論具有一般性，加深對所學(xué)知識的理解，又有利于學(xué)生的思維從具體形象思維向邏輯思維過渡。

學(xué)生演繹推理能力的形成和發(fā)展是一個隱性的、緩慢的過程。教師要順應(yīng)學(xué)生思維發(fā)展的需要，為學(xué)生提供充分的推理空間，放手讓學(xué)生經(jīng)歷推理的過程，有效發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力。

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（江蘇省常州市金壇華城實驗小學(xué)）