華興恒

平拋運(yùn)動是高中物理力學(xué)中非常重要的內(nèi)容，也是各地高考的熱點(diǎn)之一.同學(xué)們要想學(xué)好平拋運(yùn)動這部分知識，必須努力做到以下幾點(diǎn).

一、熟知平拋運(yùn)動的處理方法

平拋運(yùn)動可以分解為兩種分運(yùn)動：水平方向上的勻速直線運(yùn)動和豎直方向上的自由落體運(yùn)動.這樣處理的依據(jù)是：

1.假設(shè)法——利用假設(shè)法歸納出平拋運(yùn)動確實(shí)是兩個(gè)分運(yùn)動的合運(yùn)動.

（1）假設(shè)物體剛拋出的瞬間不受重力的作用，則物體將會沿水平方向以初速度v 0做勻速直線運(yùn)動.

（2）假設(shè)物體沒有初速度v 0，則物體將會在重力的作用下做自由落體運(yùn)動.

事實(shí)上，上述兩方面的假設(shè)是不可能的，做平拋運(yùn)動的物體既具有初速度v 0，又要在重力的作用下運(yùn)動.因此做平拋運(yùn)動的物體將參與兩個(gè)方面的運(yùn)動.

2.通過觀察平拋演示儀演示平拋運(yùn)動在豎直方向上確實(shí)是自由落體運(yùn)動.

通過觀察演示得出A、B兩小球同時(shí)落地這一現(xiàn)象，說明小球A在拋出后與B球在豎直方向上是同規(guī)律的自由落體運(yùn)動.

二、弄清楚軌跡上某點(diǎn)的速度方向與質(zhì)點(diǎn)所發(fā)生的位移方向不同

軌跡上某點(diǎn)的速度是指物體在此點(diǎn)的合速度，同理位移也是指合位移.求解它們的方法是矢量合成的平行四邊形法則.

【例1】 以拋出點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，以v 0方向?yàn)閤軸正方向建立如圖1所示的直角坐標(biāo)系.設(shè)物體從O點(diǎn)運(yùn)動到A點(diǎn)的時(shí)間為t，初速度v 0已知.求圖1中A點(diǎn)的速度v的大小和方向及位移s的大小和方向.

解析： A點(diǎn)的速度v是v x= v 0及v y = gt的合速度，則v= v2 0+（gt）2 ，方向是沿A點(diǎn)的切線方向O′A.設(shè)O′A與x軸的夾角為α，則有 tan ?α = gt v 0

而A點(diǎn)的位移s是x = v 0t及y= 1 2 gt2的合位移，則

s= （v 0t）2+（ 1 2 gt2）2 ，方向從O→A.

設(shè)OA與x軸的夾角為β，則有 tan β= gt 2v 0 .

溫馨提示： 顯然α≠β，且有 tan β= 1 2 ?tan α.說明該點(diǎn)的速度方向與位移方向不一致，做題時(shí)千萬不能混淆，這也是試題設(shè)計(jì)中最為常見的“陷阱”之一.

三、掌握平拋運(yùn)動中常求量的方法

1.求飛行時(shí)間的方法

（1）已知拋出點(diǎn)的高度h，可得t = ?2h g ?，由此說明t僅取決于拋出點(diǎn)的高度.

（2）已知軌跡上某點(diǎn)v的大小和方向求時(shí)間t.

通過上述分析不難求出t= v sin α g .

同理，已知軌跡上某點(diǎn)s的大小和方向，即可求出t= ?2s· sin β g ?.

2.求初速度 v ?0的方法

（1）已知拋出點(diǎn)，以拋出點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，由軌跡方程y= g 2v2 0 ·x2，可得v 0 = ?g 2y ?·x.

（2）利用軌跡上某一點(diǎn)A的位移s的大小和方向求v 0.

方法： 利用三角關(guān)系轉(zhuǎn)換成橫、縱坐標(biāo)： x=s· cos β，y=s· sin β. 將上式代入軌跡方程，可得v 0= ?g 2s· sin β ?·s· cos β.

【例2】 如圖2所示，傾角為θ、長為l的斜面，在其頂點(diǎn)A水平拋出一石子，它剛好落在斜面的底端B點(diǎn)，則拋出石子的初速度v 0為（ ?）

A.cos θ ?gl 2 sin θ

B.cos θ ?2gl ?sin θ

C.sin θ ?gl 2 cos θ

D.cos θ ?gl ?sin θ

按照上述方法很容易求解，請同學(xué)們完成，答案選 A .

（3）已知平拋物體落地時(shí)v的大小和方向，求v 0.

方法： 因v是合速度，可作平行四邊形如圖3所示，則由三角關(guān)系可得v 0=v cos θ，t= v sin θ g .

【例3】 物體以一定的初速度v 0沿水平方向拋出，飛出一段時(shí)間后，恰沿垂直于斜面方向撞擊在傾角為30°的斜面上，撞擊時(shí)速度大小為 20m/s ，不計(jì)空氣阻力，則該物體的初速度v 0及飛行時(shí)間t是多少？（g = ?10m/s2 ）

解析： 利用上述方法容易求得v 0=10 m/s2 ，t= 3 s.

（4）不知道拋出點(diǎn)，只知道軌跡的一部分，利用軌跡上至少三個(gè)已知點(diǎn)求初速度v 0.

【例4】 某一平拋運(yùn)動軌跡如圖4所示，已知x 1 = x 2 = a，y 1= b，y 2 = c及g，求v 0.

方法： 設(shè)a到b，b到c的時(shí)間為T，豎直方向是自由落體運(yùn)動，一定有y 2 - y 1 = g·T2.

水平方向是勻速直線運(yùn)動，一定有x 1 = v 0T，x 2 = v 0T，代入已知量聯(lián)立可求得T= ?c－b g ?，v 0= a ??c－b g ??.

【例5】 在研究平拋運(yùn)動的實(shí)驗(yàn)中，用一張印有小方格的紙記錄軌跡，小方格的邊長l = 1 .25 cm .若小球在平拋運(yùn)動途中的幾個(gè)位置如圖5中的a、b、c、d所示，則小球平拋的初速度的計(jì)算式為v 0 = ?????（用l、g表示），其值是 ?????（取g = 9 .8 m/s2 ）.

解析： 平拋運(yùn)動的豎直分運(yùn)動是自由落體運(yùn)動，水平分運(yùn)動是勻速直線運(yùn)動.由ab、bc、cd等時(shí)隔點(diǎn)的距離容易看出豎直方向△s = l，水平位移s = 2l，則△s = aT2，即l = gT2，v 0= s T = 2l ??l g ??=2 gl ，代入已知數(shù)據(jù)可求得v 0= ?0 .70m/s.

【例6】 （2022全國甲卷）將一小球水平拋出，使用頻閃儀和照相機(jī)對運(yùn)動的小球進(jìn)行拍攝，頻閃儀每隔0 .05 s 發(fā)出一次閃光. 某次拍攝時(shí)，小球在拋出瞬間頻閃儀恰好閃光，

圖6 拍攝的照片編輯后如圖6所示.圖中的第一小球?yàn)閽伋鏊查g的影像，每相鄰兩個(gè)球之間被刪去了3個(gè)影像，所標(biāo)出的兩個(gè)線段的長度s 1與s 2之比為3 ： 7.重力加速度大小取g=10 m/s 2，忽略空氣阻力.求拋出瞬間小球速度的大小.

解析：設(shè)s 1對應(yīng)的水平距離為x，對應(yīng)的豎直距離為y，則根據(jù)平拋運(yùn)動的特點(diǎn)可知，s 2對應(yīng)的水平位移也為x，對應(yīng) 的豎直距離為3y.則有y = 1 2 g（4T）2 = 0. 2 m，s 1 = x2+y2 ， s 2 = x2+（3y）2 .

由 s 1 s 2 = 3 7 可解得x = 0 .032 ?m .

拋出瞬間小球的速度大小為v 0 = x 4T ，代入已知數(shù)據(jù)可解得v 0 = 0 .8 ?m/s .

3.綜合問題

【例7】 ?（2012課標(biāo)全國卷）如圖7所示，x軸在水平面內(nèi)，y軸沿豎直方向.圖中畫出了從y軸上沿x軸正向拋出的三個(gè) 小球a、b和c的運(yùn)動軌跡，其中b和c是從同一點(diǎn)拋出的.不計(jì)空氣阻力，則（ ?）

A . a的飛行時(shí)間比b的長

B . b與c的飛行時(shí)間相同

C .a的水平速度比b的小

D . b的初速度比c的大

解析： 小球做平拋運(yùn)動，在豎直方向上滿足h= 1 2 gt2，則可得t = ?2h g ?，據(jù)此可知選項(xiàng) A錯(cuò)誤、選項(xiàng)B 正確；在水平方向上x = v 0t，即v 0 = x· ?g 2h ?，且由圖可知h b = h c > h a，x a > x b > x c，則選項(xiàng) C錯(cuò)誤、選項(xiàng)D正確.故應(yīng)選B、D.

點(diǎn)評： 求解平拋運(yùn)動問題，須明確平拋運(yùn)動的下述特點(diǎn)：（1） 飛行時(shí)間由高度決定，拋出點(diǎn)離地面越高，飛行時(shí)間越長；（2） 水平射程由高度和初速度共同決定，高度越高、初速度越大，水平射程越大.

【例8】 （2014新課標(biāo)全國卷Ⅱ）取水平地面為重力勢能零點(diǎn).一物塊從某一高度水平拋出，在拋出點(diǎn)其動能與重力勢能恰好相等.不計(jì)空氣阻力.該物塊落地時(shí)的速度方向與水平方向的夾角為（ ?）

A . ?π ?6

B . ?π ?4

C . ?π ?3

D. 5π ?12

解析： 設(shè)物塊的初速度為v 0、質(zhì)量為m，則根據(jù)題意有mgh = 1 2 mv2 0.設(shè)物塊落地瞬間水平速度分量為v x、豎直速度分量為v y，則根據(jù)平拋運(yùn)動的規(guī)律可得v x = v 0、v y = 2gh ，即v x = v y = v 0，所以物塊落地時(shí)速度方向與水平方向夾角為 ?π ?4 ，則選項(xiàng) B正確.故應(yīng)選B .

【例9】 （2015新課標(biāo)全國卷Ⅰ）一帶有乒乓球發(fā)射機(jī)的乒乓球臺如圖9所示.水平臺面的長和寬分別為L 1和L 2，中間球網(wǎng)高度為h，

發(fā)射機(jī)安裝于臺面左側(cè)邊緣的中點(diǎn)，能以不同速率向右側(cè)不同方向水平發(fā)射乒乓球，發(fā)射點(diǎn)距臺面的高度為3h.不計(jì)空氣的作用，重力加速度大小為g，若乒乓球的發(fā)射速率v

在某范圍內(nèi)，通過選擇合適的方向，就能使乒乓球落到球網(wǎng)右側(cè)臺面上，則v的最大取值范圍是（ ?）

A . L 1 2 ??g 6h ?< v < L 1 ?g 6h

B . L 1 4 ??g h ?< v < ?（4L2 1+L2 2）g 6h

C . ?L 1 2 ??g 6h ?< v < 1 2 ??（4L2 1+L2 2）g 6h

D . L 1 4 ??g h ?< v < 1 2 ??（4L2 1+L2 2）g 6h

解析： 當(dāng)發(fā)射機(jī)對右側(cè)臺面發(fā)射，乒乓球恰好過網(wǎng)時(shí)，發(fā)射速度最小.由平拋運(yùn)動規(guī)律有 L 1 2 = v 1t，2h = 1 2 gt2，聯(lián)

立解得v 1 = L 1 4 ??g h ?.

當(dāng)發(fā)射機(jī)正對右側(cè)臺面的某個(gè)拐角發(fā)射，乒乓球恰好到達(dá)拐角上時(shí)，發(fā)射速度最大.則由平拋運(yùn)動規(guī)律有 L2 1+（ L 2 2 ）2 = v 2t′，3h = 1 2 gt′2，聯(lián)立解得v 2 = 1 2 ??（4L2 1+L2 2）g 6h ?，即速度v的最大取值范圍為 L 1 4 ??g h ?< v < 1 2 ??（4L2 1+L2 2）g 6h ?，則選項(xiàng) D正確.故應(yīng)選D .

通過對以上考題的解析大家不難看出，求解有關(guān)平拋運(yùn)動的問題，關(guān)鍵是要抓住平拋運(yùn)動的特點(diǎn)，熟練地運(yùn)用平拋運(yùn)動的規(guī)律，則問題很容易獲解.

責(zé)任編輯 ?李平安