陳棉駒

筆者所在地區(qū)推進初中數(shù)學(xué)滲透數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)實踐，經(jīng)過多年推廣取得了一定的成效，相當部分教師已能自覺運用數(shù)學(xué)思想方法開展教學(xué)。2022年6月，筆者參加區(qū)里一所初中的高效課堂評估活動，其中一位青年教師執(zhí)教的課“多邊形內(nèi)角和與外角和（第1課時）”（北師大版數(shù)學(xué)教材八年級下冊）備受好評。這節(jié)課教學(xué)設(shè)計巧妙，教學(xué)中自然而又適當?shù)貪B透和呈現(xiàn)了轉(zhuǎn)換與化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)了學(xué)生抽象能力、幾何直觀、推理能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，達成了較好的教學(xué)效果。

然而由于教師對于數(shù)學(xué)思想方法的核心理解不夠到位，對其關(guān)鍵要素把握不夠準確，導(dǎo)致數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)未能深入開展。為推進滲透數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的進一步深化，本文將對該節(jié)凸顯數(shù)學(xué)思想方法的優(yōu)質(zhì)課作簡要敘述和點評，對部分教學(xué)的處理提出改進建議，并對數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)如何走向深入提出思考。

一、凸顯數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的課例切片分析

環(huán)節(jié)1：課前回顧

教師引導(dǎo)回顧四邊形內(nèi)角和的探究方法，通過連接對角線將四邊形分割為兩個三角形，為后續(xù)多邊形分割為三角形提供了思路和方法的類比對象。

環(huán)節(jié)2：課堂探究

活動1：探究多邊形內(nèi)角和。教師讓學(xué)生自主探究五邊形的內(nèi)角和，學(xué)生自然地從一個頂點出發(fā)連接兩條對角線，將五邊形分割為三個三角形，從而得出五邊形內(nèi)角和為3×180°=540°。

活動2：探究其他的分割方法。學(xué)生經(jīng)過獨立思考和小組討論，給出了將五邊形分割為三角形的其他方法，教師結(jié)合圖形歸納分割方法為從頂點出發(fā)、從邊上一點出發(fā)、從里面一點出發(fā)、從外面一點出發(fā)（如圖1至圖4）。學(xué)生展示分割的圖形后，教師用幾何畫板演示，并提問是否還有其他分割方法，學(xué)生回答應(yīng)該還有其他的方法。

活動3：探究n邊形的內(nèi)角和。從五邊形推廣至六邊形、七邊形，直至n邊形，通過表格呈現(xiàn)計算內(nèi)角和的式子，學(xué)生分析內(nèi)角和與邊數(shù)關(guān)系的規(guī)律，得出多邊形內(nèi)角和公式。

活動4：對應(yīng)練習(xí)。①九邊形內(nèi)角和是？②一個多邊形內(nèi)角和是900°，它是邊形？

教學(xué)改進建議一

此環(huán)節(jié)教師運用轉(zhuǎn)化思想指引學(xué)生探究多邊形內(nèi)角和，將未知的、復(fù)雜的多邊形問題轉(zhuǎn)化為已知的、簡單的三角形問題，通過不同的分割方法（分割是轉(zhuǎn)化思想指導(dǎo)下的具體操作），讓學(xué)生明確問題解決的關(guān)鍵——將多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題，為之后特殊平行四邊形的學(xué)習(xí)、幾何問題的解決提供了有益的經(jīng)驗。然而，將多邊形分割為三角形雖然是問題解決的關(guān)鍵，卻不是轉(zhuǎn)化思想的核心，轉(zhuǎn)化思想的核心是將新知轉(zhuǎn)化為已知，將復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡單，將高維轉(zhuǎn)化為低維。對本問題而言，三角形的內(nèi)角和為180°是已知的，四邊形的內(nèi)角和為360°同樣是已知的，探究多邊形（邊數(shù)大于4）內(nèi)角和時，將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形和四邊形的組合（如圖5），這種分割方法不僅是可行的，更有助于提醒學(xué)生關(guān)注轉(zhuǎn)化的核心，是有價值的。目前分割方法只關(guān)注了轉(zhuǎn)化的形式，卻忽略了轉(zhuǎn)化的本質(zhì)。

活動2中，學(xué)生經(jīng)歷獨立思考、小組討論，教師歸納總結(jié)，得到將五邊形分割為三角形的四種方法，培養(yǎng)了學(xué)生分類討論的意識。然而，教師教學(xué)時忽略了對于分類標準的討論，也沒有分析四種分割方法（即分類的四種結(jié)果）在邏輯上是否不重不漏。分類是在分類標準指導(dǎo)下進行的，只呈現(xiàn)分類結(jié)果而缺乏對分類標準的討論，是目前不少課堂在滲透數(shù)學(xué)思想教學(xué)時的常見問題。對本問題而言，分類標準可以是點與多邊形的位置關(guān)系，平面內(nèi)的點只有在多邊形的頂點、邊上、內(nèi)部以及外部四種情況，所以分割方法就只有四種，其他分割只是圖形的變化，并沒有本質(zhì)的區(qū)別。建立符合邏輯的分類標準以指導(dǎo)分類，這樣分類才能不重不漏。

經(jīng)歷圖形分割后，活動3將幾個特殊多邊形的內(nèi)角和計算式子以表格形式呈現(xiàn)，行列的對比分析有助于找到內(nèi)角和與邊數(shù)之間的規(guī)律，再推廣拓展至n邊形，通過圖形分割尋找數(shù)量關(guān)系，體現(xiàn)以形助數(shù)的思想方法。然而，數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)應(yīng)該是，對同一問題可以從數(shù)和形兩個維度認識和理解，通過數(shù)形的轉(zhuǎn)換和結(jié)合，使得對該問題的認識更加深刻。在本問題中，通過連線將多邊形分割為三角形，如果從一個頂點出發(fā)（如圖1），由于相鄰兩個頂點的連線是邊，而非對角線，因此連接的對角線數(shù)量是n-2，從而分割成的三角形個數(shù)是n-2，因此n邊形的內(nèi)角和即為

（n-2）×180°。如果從多邊形內(nèi)一個點出發(fā)（如圖3），n邊形可以分割為n個三角形，內(nèi)角和為n×180°，再減去中間的周角360°，則n邊形的內(nèi)角和為（n-2）×180°。結(jié)合圖形分析或推導(dǎo)出邊數(shù)n和公式中n-2的邏輯聯(lián)系，從形和數(shù)兩個維度，對多邊形內(nèi)角和形成更全面、更深刻的理解。

環(huán)節(jié)3：典型例題

如圖6，在四邊形ABCD中，已知∠A+∠C=180°，猜想∠B和∠D的關(guān)系。

利用多邊形內(nèi)角和公式求出四邊形內(nèi)角和是360°，再減去已知的∠A與∠C之和，即可得結(jié)果∠B+∠D=180°。

例題來源于教材，是對多邊形內(nèi)角和公式的簡單運用，進而得出一個結(jié)論：如果四邊形有一組對角互補，那么另一組對角也互補。

環(huán)節(jié)4：議一議

剪掉一張長方形紙片的一個角后，紙片還剩幾個角？這個多邊形的內(nèi)角和是多少度？學(xué)生通過思考、畫圖（如圖7）等具體操作后，利用多邊形內(nèi)角和公式解決。

教學(xué)改進建議二

議一議的問題來源于教材，原來編排在探究正多邊形內(nèi)角之后，教學(xué)中將其提前，作為典型例題之后的一個探究性問題，這樣的安排使內(nèi)容銜接更為連貫。學(xué)生自主解決或與同伴交流，對問題進行分類討論，得到了三種剪切的結(jié)果，培養(yǎng)了思維的發(fā)散性。然而，對于思維嚴謹性和全面性的培養(yǎng)，還是略有欠缺。問題的關(guān)鍵如同前文提到的分割多邊形，只討論了分類的結(jié)果，卻沒有提出符合邏輯的分類標準。在本環(huán)節(jié)中，教師可以在學(xué)生得出分類結(jié)果后提出問題：還有其他的剪角方式嗎？如果有請畫出來，如果沒有請說明理由。通過問題迫使學(xué)生進一步思考，反思其中的分類標準。教材將問題設(shè)置為議一議，不只討論如何解決，更要討論為什么這樣解決，在表達、傾聽、質(zhì)疑、答疑中，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)表達素養(yǎng)。

本問題分類的標準可以是剪切線與長方形交點的位置，即剪切線過兩條邊、剪切線過一條邊一個頂點、剪切線過兩個頂點，因此只有三種情況，分類不重不漏。

環(huán)節(jié)5：探究正多邊形的內(nèi)角

教師提問：能不能求得正五邊形的每個內(nèi)角？

學(xué)生回答可以先求出五邊形內(nèi)角和，再根據(jù)正多邊形內(nèi)角相等的性質(zhì)，將內(nèi)角和除以5，從而求得每個內(nèi)角的度數(shù)。

最后推廣出正n邊形的每一個內(nèi)角為。

教學(xué)改進建議三

問題源于教材，直接提問有利于集中學(xué)生的注意力，調(diào)動思維，解決問題。然而，由于問題在邏輯上存在跳躍，學(xué)生只能被動地解決問題，而無暇思考問題從何而來。在本問題中，教師可以利用問題串引導(dǎo)學(xué)生進一步深入思考。

教師：已知如何求多邊形內(nèi)角和，那么如何求每一個內(nèi)角？（不要求學(xué)生回答，只是引起學(xué)生思考，同時體現(xiàn)思考問題的順序，從整體到部分）例如任意五邊形的內(nèi)角能求出嗎？

學(xué)生：不能。

教師：為什么？

學(xué)生：任意五邊形每個內(nèi)角不一樣。

教師：怎樣的五邊形才能求出內(nèi)角？

學(xué)生：正五邊形。

教師：為什么？怎么求？

本課的兩個探究蘊含著特殊與一般的數(shù)學(xué)思想，探究多邊形的內(nèi)角和體現(xiàn)了從特殊到一般的問題探究策略，探究正五邊形的內(nèi)角體現(xiàn)了特殊化的思想。多邊形是抽象的、一般化的，難以直接進行研究，因此從具體的、特殊的五邊形開始，探究如何將五邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題，探究多邊形內(nèi)角和的度數(shù)與邊數(shù)的關(guān)系，并逐漸拓展到六邊形、七邊形，最后推廣一般化為n邊形。對特殊情況的分析越透徹，一般化的推廣就越順利。而關(guān)于任意五邊形和正五邊形性質(zhì)的思考，是讓學(xué)生感受特殊化思想的一個很好切入點。任意多邊形不具備的性質(zhì)，通過邊的特殊化，會得到內(nèi)角相等的性質(zhì)，即條件的特殊化會導(dǎo)致性質(zhì)的特殊化，這個經(jīng)驗對于之后特殊平行四邊形等的學(xué)習(xí)將有所幫助。

教學(xué)環(huán)節(jié)中還有對應(yīng)練習(xí)、知識歸納、知識鞏固、達標檢測等環(huán)節(jié)，本文從略。

二、關(guān)于進一步深化數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的思考

1.提煉主要數(shù)學(xué)思想方法，統(tǒng)領(lǐng)教學(xué)設(shè)計

教材呈現(xiàn)的主要是問題和知識，教師一般也是圍繞兩者來進行教學(xué)設(shè)計，通過問題探究提煉知識，通過問題解決運用知識。而從知識到能力，從能力到學(xué)科素養(yǎng)，需要數(shù)學(xué)思想方法作為橋梁。為進一步深化數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，可以提煉該節(jié)課中蘊含的對問題探究、解決具有策略引領(lǐng)作用的數(shù)學(xué)思想方法，并從數(shù)學(xué)思想方法的視角，進行課堂教學(xué)設(shè)計。探究多邊形的內(nèi)角和，運用從特殊到一般的思想方法，從特殊的、具體的五邊形開始，明確研究對象后，進一步思考研究的思路和方法。未知的是五邊形內(nèi)角和，已知的是三角形和四邊形內(nèi)角和，考慮運用轉(zhuǎn)換與化歸思想將五邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題，具體的操作方法是分割（數(shù)學(xué)抽象為畫線）。為了探究多邊形內(nèi)角和這個數(shù)量規(guī)律，借助圖形分割的方法，其中蘊含著“以形助數(shù)”的數(shù)學(xué)思想。因此，本課的設(shè)計應(yīng)以特殊與一般思想為主線，以轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合思想為重要輔助來進行教學(xué)設(shè)計。

2.適時滲透數(shù)學(xué)思想方法，貫穿教學(xué)過程

教學(xué)過程中應(yīng)適時凸顯相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想，一般而言，在新知探究中滲透數(shù)學(xué)思想，在解題應(yīng)用中運用數(shù)學(xué)思想，在歸納提煉中顯化數(shù)學(xué)思想。在探究多邊形內(nèi)角和時，滲透了轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想方法。在例題和練習(xí)中主要滲透了分類討論思想，在歸納時顯化了問題解決關(guān)鍵的數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)化。教師可將多邊形內(nèi)角和問題（未知），轉(zhuǎn)化三角形內(nèi)角和問題（已知），轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)思想（寫在線下），具體方法是分割（寫在線上），本節(jié)課要解決的問題、解決的思想、解決的方法就清晰地呈現(xiàn)出來。

3.凸顯數(shù)學(xué)思想方法核心，促進教學(xué)深化

教師對數(shù)學(xué)思想方法的各要素應(yīng)認識到位，教學(xué)時要凸顯其核心，才能讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)思想方法的本質(zhì)。轉(zhuǎn)化思想的核心是將新知轉(zhuǎn)化為已知，將復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡單，將高維轉(zhuǎn)化為低維。轉(zhuǎn)化為三角形只是一個方向，轉(zhuǎn)化為四邊形也未嘗不可，當然，從向最簡單轉(zhuǎn)化、向更具有普遍適用性轉(zhuǎn)化而言，轉(zhuǎn)化為三角形是更合適的選擇。分類討論思想的滲透應(yīng)該包括分類討論的必要性、分類的標準、分類的結(jié)果、結(jié)果的討論等，教學(xué)時不能只限于呈現(xiàn)分類的結(jié)果。數(shù)形結(jié)合不僅是以形助數(shù)或以數(shù)輔形，而是對同一個問題從形和數(shù)兩個維度進行分析理解，尋求其中數(shù)與形的聯(lián)系。對于多邊形內(nèi)角和問題的探究，既有圖形分割，又有數(shù)式規(guī)律的探索，正是利用數(shù)形結(jié)合進行數(shù)學(xué)思想方法滲透的良好契機。

責任編輯 羅 峰