駱茂森，黃世沛

(溫州大學(xué) 電氣數(shù)字化設(shè)計技術(shù)國家地方聯(lián)合工程實驗室，浙江 溫州 325035)

0 引言

隨著現(xiàn)代工業(yè)、社會經(jīng)濟(jì)和計算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展，越來越多的系統(tǒng)和信號需要用多維、多變量的思想來描述。多維系統(tǒng)在數(shù)字圖像處理、衛(wèi)星天氣云圖分析[1]、地震多發(fā)區(qū)監(jiān)測數(shù)據(jù)等方面有著極其重要的應(yīng)用。這些深厚的工程物理背景使得二維系統(tǒng) (two dimensional，2-D)的研究方興未艾，成為控制理論的重要研究領(lǐng)域之一。2-D系統(tǒng)是指狀態(tài)具有兩個獨立變量的系統(tǒng)，包括2-D連續(xù)系統(tǒng)、2-D離散系統(tǒng)和2-D連續(xù)離散系統(tǒng)。2-D連續(xù)離散系統(tǒng)包括連續(xù)動力學(xué)和離散動力學(xué)，這兩種動力學(xué)相互影響。此類系統(tǒng)在實踐中有廣泛的應(yīng)用，如長臂采煤[2]、車輛排水[3]、運河灌溉[4]和其他實際工程領(lǐng)域。

在2-D系統(tǒng)的研究過程中發(fā)現(xiàn)此類系統(tǒng)容易受到突然變化的影響，此類現(xiàn)象可以用切換系統(tǒng)來描述。切換系統(tǒng)是一種重要的混雜系統(tǒng)，它是由一組動態(tài)連續(xù)或者是動態(tài)離散時間子系統(tǒng)和一條決定子系統(tǒng)之間如何進(jìn)行切換的切換規(guī)則組成[5]。近年來切換2-D系統(tǒng)也引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，且取得了一些初步的成果。例如，文獻(xiàn)[6]使用平均駐留時間方法建立了切換2-D離散系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性準(zhǔn)則，并設(shè)計了狀態(tài)反饋控制器。文獻(xiàn)[7]使用多重Lyapunov函數(shù)方法和平均駐留時間方法，建立了切換連續(xù)非線性系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性和指數(shù)穩(wěn)定性準(zhǔn)則。文獻(xiàn)[8]通過應(yīng)用模式相關(guān)持續(xù)駐留時間切換方法，提出了一種適用于切換2-D離散系統(tǒng)的準(zhǔn)時間相關(guān)濾波方法。文獻(xiàn)[9]旨在研究Roesser模型中具有時變時滯的2-D切換正非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[10]提出了一類具有多面體不確定參數(shù)和脈沖的2-D切換正系統(tǒng)的異步控制問題。

在很多實際控制系統(tǒng)中，執(zhí)行器飽和是最為普遍的非線性現(xiàn)象之一，這是因為在系統(tǒng)實際運行的過程中，由于執(zhí)行器元件受到自身物理限制，其輸出值往往都是有一定界限的，而不可能趨于無限大。如果不考慮執(zhí)行器的這一限制就對系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計，會導(dǎo)致系統(tǒng)得不到期望的輸出值甚至?xí)劤芍卮蟮氖鹿?。近些年，關(guān)于具有執(zhí)行器飽和的2-D系統(tǒng)也引起了越來越多學(xué)者的研究，例如文獻(xiàn)[11]研究由Fornasini-Marchesini型狀態(tài)空間方程表示的具有執(zhí)行器飽和的離散二維切換時滯系統(tǒng)的狀態(tài)反饋H∞鎮(zhèn)定。文獻(xiàn)[12]研究了一類控制輸入飽和的2-D離散時間切換時滯系統(tǒng)的狀態(tài)反饋H∞問題。文獻(xiàn)[13]介紹了一種通過模糊控制設(shè)計來處理具有執(zhí)行器飽和的二維模糊系統(tǒng)H∞控制問題。文獻(xiàn)[14]研究了帶有時變延遲和執(zhí)行器飽和的二維delta算子系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題。

需要指出的是，上述關(guān)于2-D系統(tǒng)的研究均是基于連續(xù)時間控制的，這樣的控制策略會使執(zhí)行器頻繁更新，并導(dǎo)致不必要的資源浪費和執(zhí)行器的損耗。有研究指出事件觸發(fā)控制[15]既能保持系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還能夠彌補(bǔ)傳統(tǒng)連續(xù)時間控制下造成的有限通信資源浪費的不足。文獻(xiàn)[16]研究由Roessor模型描述的2-D離散系統(tǒng)的事件觸發(fā)控制。文獻(xiàn)[17]針對具有干擾的離散2-D Roesser系統(tǒng)，提出了一種事件觸發(fā)滑模控制(SMC)策略。文獻(xiàn)[18]研究了由Fornasini-Marchesini模型描述的2-D系統(tǒng)的事件觸發(fā)滑模控制問題。文獻(xiàn)[19]提出了Fornasini-Marchesini型切換2-D離散系統(tǒng)的事件觸發(fā)控制方案。然而，到目前為止，具有執(zhí)行器飽和的切換2-D連續(xù)離散系統(tǒng)的事件觸發(fā)控制問題還未被研究。

基于上述分析，本文將研究具有執(zhí)行器飽和的切換2-D連續(xù)離散系統(tǒng)的事件觸發(fā)控制問題。為了減少通信資源浪費和執(zhí)行器的損耗，本文提出了一種用于執(zhí)行器飽和且含有多參數(shù)矩陣的事件觸發(fā)機(jī)制。利用凸組合技術(shù)將飽和非線性控制器轉(zhuǎn)化為一組凸包內(nèi)的線性控制器組合。利用多Lyapunov函數(shù)法設(shè)計了一種依賴于觸發(fā)時刻狀態(tài)的切換信號，并導(dǎo)出了狀態(tài)反饋控制器存在的充分條件，以保證閉環(huán)系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性。

1 預(yù)備知識

1.1 基本定義

定義1[20]：考慮以下系統(tǒng)：

(1)

(2)

(3)

定義2給出系統(tǒng)(1)指數(shù)穩(wěn)定的定義。從定義中可看出，系統(tǒng)要具有指數(shù)穩(wěn)定性，需要滿足LV和L∞有界的初始條件。由于系統(tǒng)狀態(tài)xh(t，k)與xv(t，k)是關(guān)于t與k的二元函數(shù)，定義2中的指數(shù)穩(wěn)定性質(zhì)要求系統(tǒng)狀態(tài)在t與k方向都是指數(shù)衰減的。

1.2 基本引理

(4)

ΔVi，2(xv)≤-ai，2Vi，2(xv)+bi，2Vi，1(xh)

(5)

則子系統(tǒng)i是指數(shù)穩(wěn)定的。

證明：通過文獻(xiàn)[21]中定理3的證明思路，即可得到引理1。

引理1給出了2-D連續(xù)-離散系統(tǒng)滿足指數(shù)穩(wěn)定性的充分條件，該引理將在下文中用于系統(tǒng)的穩(wěn)定性證明。值得注意的是，式(4)意味著能量函數(shù)Vi，1(xh)在t方向上是輸入狀態(tài)穩(wěn)定的，其衰減的速率取決于ai，1的大小，式(5)意味著能量函數(shù)Vi，2(xv)在k方向上是輸入狀態(tài)穩(wěn)定的，其衰減的速率取決于ai，2的大小。通過調(diào)節(jié)ai，1和ai，2的大小可以調(diào)節(jié)系統(tǒng)衰減的速率。此外，把式(4)和式(5)兩式相加，可以得到：

-(ai，1-bi，2)Vi，1(xh)-(ai，2-bi，1)Vi，2(xv)

在上述式子中，divV(x)稱為散度。在滿足ai，1>bi，2和ai，2>bi，1的前提下，上式可保證2-D連續(xù)離散系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的。

1)S<0；

引理2又稱為Schur補(bǔ)引理，經(jīng)常用于矩陣的等價變換，將非線性矩陣不等式轉(zhuǎn)換成可求解的線性矩陣不等式。

引理3[23](狀態(tài)反饋下的凸組合表示)：給定F∈Rm*n，H∈Rm*n，對于所有狀態(tài)x∈(H)={x∈Rn：|hsx|≤1，s=1，2m}，有其中hi為矩陣H的第i行，co(·)表示凸包。

引理3在很多文獻(xiàn)中都有應(yīng)用，利用其來處理具有執(zhí)行器飽和系統(tǒng)線性化的問題，其應(yīng)用原理是將執(zhí)行器飽和函數(shù)用凸組合的形式來描述，可以將難以處理的飽和執(zhí)行器轉(zhuǎn)化成可以進(jìn)行處理的線性化形式。該引理會在下文中用于處理本文研究的切換2-D連續(xù)離散系統(tǒng)的執(zhí)行器飽和問題。

2 問題描述

2.1 系統(tǒng)介紹

本文考慮的具有執(zhí)行器飽和的切換2-D連續(xù)離散系統(tǒng)如下所示：

Bσ(t，k)sat(u(t，k))

(6)

sat(u(t))=[sat(u1(t))，sat(u2(t))，sat(um(t))]T

其中：umax>0表示控制輸入的最大幅值。不失一般性，本文取umax=1。

Ai，11∈Rn1×n1，Ai，12∈Rn1×n2，Ai，21∈Rn2×n1，

Ai，22∈Rn2×n2，Bi，1∈Rn1×m和Bi，2∈Rn2×m

系統(tǒng)(6)包含水平狀態(tài)和垂直狀態(tài)，它們都是關(guān)于t與k的二元函數(shù)，有兩個維度，且一個維度是連續(xù)變量，另一個維度是離散的變量，這與通常的一維(1-D)系統(tǒng)是不同的。進(jìn)一步地，系統(tǒng)中又有切換信號的存在，并且考慮了在實際中可能會出現(xiàn)的執(zhí)行器飽和的狀況，所以系統(tǒng)(6)被稱為具有執(zhí)行器飽和的切換2-D連續(xù)離散系統(tǒng)，該系統(tǒng)是一類重要的混雜系統(tǒng)，關(guān)于它在實際工程領(lǐng)域中的應(yīng)用在引言中已做介紹。Roesser模型是常見的2-D系統(tǒng)模型，本文主要針對切換2-D連續(xù)離散Roesser模型展開討論。由于系統(tǒng)的復(fù)雜結(jié)構(gòu)，以及執(zhí)行器飽和的存在，該系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析與控制器設(shè)計具有一定的困難。如引言中所述，事件觸發(fā)控制既能保持系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還能夠彌補(bǔ)傳統(tǒng)連續(xù)時間控制下造成的有限通信資源浪費的不足，而該問題還未被研究。因此，本文主要討論該模型在執(zhí)行器飽和狀態(tài)下的指數(shù)穩(wěn)定性和事件觸發(fā)控制器設(shè)計問題。

2.2 事件觸發(fā)條件的選取

對于系統(tǒng)(6)，采用傳統(tǒng)的時間觸發(fā)方案來確定在每一個時刻的傳輸系統(tǒng)狀態(tài)可能會導(dǎo)致執(zhí)行器的損耗和通信通道的冗余。其次，為了充分利用執(zhí)行器飽和的性質(zhì)，進(jìn)一步節(jié)約資源，本文設(shè)計了一種考慮到飽和特性的事件觸發(fā)控制方案。

首先設(shè)系統(tǒng)上一時刻的傳輸狀態(tài)為xh(tg，kl)，xv(tg，kl)(g，l∈)，那么，只有當(dāng)以下條件滿足時才能傳輸當(dāng)前狀態(tài)：

其次，考慮到執(zhí)行器飽和的性質(zhì)，定義即將到來的水平瞬時tg+1和垂直瞬間kl+1如下：

tg + 1=tg+ minτ{τ=t-tg|e1hT(t，k)φσ(t，k)he1h(t，k)≥

δσ(t，k)(?xhT(t，k)φσ(t，k)hxh(t，k)+

(1-?)xhT(tg，kl)φσ(t，k)hxh(tg，kl))} ∧

{sat(u(t))-u(t)= 0}

(7)

kl + 1=kl+ minθ{τ=k-kl|e1vT(t，k)φσ(t，k)ve1v(t，k)≥

δσ(t，k)(?xvT(t，k)φσ(t，k)vxv(t，k)+

(1-?)xvT(tg，kl)φσ(t，k)vxv(tg，kl))} ∧

{sat(u(t))-u(t)= 0}

(8)

其中：?∈[0，1]。

值得指出的是，式(7)和(8)中的事件觸發(fā)條件是借鑒了文獻(xiàn)[24]中給出的關(guān)于2-D離散系統(tǒng)的一個事件觸發(fā)條件，與之類似的是，所有的傳輸狀態(tài)都是整個系統(tǒng)傳輸序列(xh(t，k)，xv(t，k))的一部分，這種處理使得事件觸發(fā)控制在原有的基礎(chǔ)上更加減少了信號的傳輸，使得同時在通信通道進(jìn)行傳輸?shù)男盘柫看蟠鬁p少，進(jìn)一步節(jié)約了通信資源以及減少了執(zhí)行器的損耗。

在判斷事件觸發(fā)條件的基礎(chǔ)上，當(dāng)執(zhí)行器達(dá)到飽和狀態(tài)時，如果滿足了事件觸發(fā)的條件，本應(yīng)該有一次新的觸發(fā)，然而此時得到的作用于下一個時間區(qū)間的控制量仍然是上一時刻飽和狀態(tài)的值。因此，在構(gòu)造事件觸發(fā)方案時考慮了飽和特性的條件{sat(u(t))-u(t)=0}，只有當(dāng)執(zhí)行器處在未飽和狀態(tài)，且滿足事件觸發(fā)的條件時，才可以進(jìn)行新的觸發(fā)，對系統(tǒng)進(jìn)行這樣的處理可以在事件觸發(fā)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步減少觸發(fā)的次數(shù)，從而減少執(zhí)行器的損耗和通信資源的浪費。

2.3 控制器的設(shè)計

在設(shè)計的事件觸發(fā)機(jī)制下，狀態(tài)反饋控制器可以設(shè)計為：

本文使用的事件觸發(fā)控制方案不同于傳統(tǒng)的時間觸發(fā)控制方案，本小節(jié)中設(shè)計的控制器是使用狀態(tài)xh(tg，kl)和xv(tg，kl)這意味著系統(tǒng)控制輸入只在觸發(fā)時刻更新，這既可以降低控制器與執(zhí)行器之間的通信頻率，又可以減輕執(zhí)行器的磨損。

圖1給出了在事件觸發(fā)控制下的閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，其中u(t，k)作為執(zhí)行器的輸入，sat(u(t，k))作為執(zhí)行器的飽和輸出。觸發(fā)條件滿足時，事件發(fā)生器將當(dāng)前時刻的狀態(tài)量xh(tg，kl)與xv(tg，kl)傳輸至狀態(tài)反饋控制器，由于零階保持器的作用，在兩個連續(xù)的事件發(fā)生的區(qū)間t∈[tg，tg+1)與k∈[kl，kl+1)內(nèi)，控制器將沿用上一個觸發(fā)時刻的狀態(tài)量，從而可以降低通信通道的擁堵和減少資源的浪費。

圖1 事件觸發(fā)控制下的閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

對于一個正定矩陣P∈Rn×n和一個標(biāo)量δ>0，定義橢球體Ω(P，δ)如下：

Ω(P，δ)={x(t，k)∈Rn：x(t，k)TPx(t，k)≤δ}

當(dāng)x(t，k)∈L(Hσ(t，k))時，根據(jù)引理3就可以得出：

(9)

結(jié)合系統(tǒng)(6)和狀態(tài)反饋控制器，在t∈[tg，tg+1)，k∈[kl，kl+1)內(nèi)，將(9)代入系統(tǒng)(6)，由引理3可以得到如下系統(tǒng)：

(10)

本文利用狀態(tài)反饋下的凸組合表示方法處理了系統(tǒng)方程出現(xiàn)執(zhí)行器飽和的情況，將系統(tǒng)(6)表示成系統(tǒng)(10)，使得接下來的處理就與執(zhí)行器沒有發(fā)生飽和時的系統(tǒng)的處理方法一致。

3 主要結(jié)果

3.1 穩(wěn)定性分析

在本小節(jié)中，我們首先考慮系統(tǒng)(10)的穩(wěn)定性，以下定理給出了系統(tǒng)(10)指數(shù)穩(wěn)定的一個充分條件。

(11)

(12)

(13)

其中：

Hi=(Hi，1，Hi，2)，

(14)

構(gòu)造如下的Lyapunov函數(shù)：

V(t，k)=V1(t，k)+V2(t，k)

其中：

假設(shè)在t∈[tg，tg+1)，k∈[kl，kl+1)時，子系統(tǒng)i被激活，i.e.，σ(t，k)=i。

當(dāng)t∈[tg，tg+1)時，對Vi，1(t，k)沿著系統(tǒng)方程的軌跡對時間t進(jìn)行求導(dǎo)可得：

上述式子可以寫成如下的矩陣形式：

φ(t，k)TΩi，1φ(t，k)

(15)

其中：

當(dāng)k∈[kl，kl+1)時，對Vi，2(t，k)沿著系統(tǒng)方程的軌跡對時間k進(jìn)行求差分可得：

ΔVi，2(t，k)+ai，2Vi，2(t，k)-bi，2Vi，1(t，k)=

Vi，2(t，k+1)-Vi，2(t，k)+ai，2Vi，2(t，k)-bi，2Vi，1(t，k)=

同樣的，上述式子可以表示成如下的矩陣形式：

ΔVi，2(t，k)+ai，2Vi，2(t，k)-bi，2Vi，1(t，k)=

φ(t，k)TΩi，2φ(t，k)

(16)

其中：

加入事件觸發(fā)條件之后，我們可以得到：

?(t，k)TΩi，1?(t，k)-e1hT(t，k)φσ(t，k)he1h(t，k)+

δσ(t，k)(?xhT(t，k)φσ(t，k)hxh(t，k)+

(1-?)xhT(tg，k)φσ(t，k)hxh(tg，k))-

e1vT(t，k)φσ(t，k)ve1v(t，k)+

δσ(t，k)(?xvT(t，k)φσ(t，k)vxv(t，k)+

(1-?)xvT(t，kl)φσ(t，k)vxv(t，kl))=

(17)

ΔVi，2(t，k)+ai，2Vi，2(t，k)-bi，2Vi，1(t，k)≤

?(t，k)TΩi，2?(t，k)-e1hT(t，k)φσ(t，k)he1h(t，k)+

δσ(t，k)(?xhT(t，k)φσ(t，k)hxh(t，k)+

(1-?)xhT(tg，k)φσ(t，k)hxh(tg，k))-

e1vT(t，k)φσ(t，k)ve1v(t，k)+

δσ(t，k)(?xvT(t，k)φσ(t，k)vxv(t，k)+

(1-?)xvT(t，kl)φσ(t，k)vxv(t，kl))=

(18)

其中：

(19)

(20)

ΔVi，2(xv)≤-ai，2Vi，2(xv)+bi，2Vi，1(xh)

即可通過引理1得到子系統(tǒng)在事件觸發(fā)條件式(7)和(8)的前提下是指數(shù)穩(wěn)定的。

(13)給出了只有在(13)所示的這個收斂域中，才可以利用引理3對系統(tǒng)飽和執(zhí)行器部分利用凸組合的形式進(jìn)行處理。不等式(11)和(12)保證了系統(tǒng)(10)滿足引理1中條件(4)與(5)，即系統(tǒng)(10)的第i個子系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的。(14)給出了系統(tǒng)切換信號滿足的條件，它表明了切換發(fā)生在能量函數(shù)的最低處，保證了在切換時刻系統(tǒng)的能量函數(shù)是非增的，從而使得整個系統(tǒng)的能量函數(shù)是遞減的，以保證整個切換2-D系統(tǒng)的穩(wěn)定性。(14)也表明了切換系統(tǒng)只發(fā)生在觸發(fā)時刻，可減少切換頻率，從而進(jìn)一步減少切換發(fā)生所需要的資源。

3.2 事件觸發(fā)控制器的設(shè)計

(21)

(22)

(23)

其中：

那么閉環(huán)系統(tǒng)在事件觸發(fā)條件(7)和(8)，如下的切換信號：

本文提出了具有執(zhí)行器飽和的切換2-D連續(xù)離散系統(tǒng)的事件觸發(fā)控制器設(shè)計方案。與連續(xù)時間控制方案相比，該方案能夠減少通信資源浪費和執(zhí)行器的損耗。盡管已有相關(guān)文獻(xiàn)研究了2-D系統(tǒng)的事件觸發(fā)控制，但是這些文獻(xiàn)都只是針對2-D離散系統(tǒng)，并且未涉及執(zhí)行器飽和的情況。而本文所考慮的切換2-D連續(xù)離散同時具有連續(xù)動態(tài)與離散動態(tài)，還考慮了執(zhí)行器飽和，其動態(tài)行為相比于2-D離散系統(tǒng)來說更加復(fù)雜，穩(wěn)定性分析與控制器設(shè)計更加困難。為此，本文采用凸組合技術(shù)與多Lyapunov函數(shù)法提出了一種用于執(zhí)行器飽和的切換2-D連續(xù)離散系統(tǒng)的事件觸發(fā)控制方案。該方案包含了事件觸發(fā)條件、狀態(tài)反饋控制器與狀態(tài)依賴的切換信號的設(shè)計，且事件觸發(fā)條件更一般，不僅能保證閉環(huán)系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性，還能進(jìn)一步減少數(shù)據(jù)傳輸次數(shù)與切換頻率。

步驟1：給定系統(tǒng)參數(shù)矩陣和參數(shù)δi，?，ai，1，ai，2，bi，1，bi，2。

4 仿真算例

為了驗證本文所設(shè)計的控制方案的有效性，本節(jié)將給出一個Darboux方程的仿真算例。

Darboux方程可以描述氣體吸收、水蒸汽加熱和空氣干燥的一些線性過程。該方程描述如下[25]：

c0，σ(x，t)s(x，t)+dσ(x，t)f(x，t)

其中：s(x，t)是空間x∈[0，xf]和時間t∈[0，∞)處的未知函數(shù)，u(x，t)是給定的輸入函數(shù)，σ(t，k)表示的是{1，2}中取值的在切換信號，c0，i，c1，i，c2，i和di是實系數(shù)，其中i=1，2。

定義：

令

xh(t，k)=s(k，t)=s(kΔx，t)，

xv(t，k)=r(k，t)=r(kΔx，t)，

u(t，k)=f(k，t)=f(kΔx，t)，

σ(t，k)=σ(kΔx，t)

需要注意的是，在文獻(xiàn)[25]中，是對Darboux方程經(jīng)過處理之后，將兩個狀態(tài)變量r和s均離散化處理之后得到的一個2-D離散系統(tǒng)方程，本文借鑒了文獻(xiàn)[25]的處理方法并加以變化，繼而通過上述的處理可以將Darboux方程其中的關(guān)于x方向上的變量離散化處理，另外一個關(guān)于t方向上的變量依舊保留為連續(xù)的變量，這樣處理就可以得到一個由Darboux方程轉(zhuǎn)變而來的切換2-D連續(xù)離散系統(tǒng)的方程。將Darboux方程中的元素定義成所需要的形式，并考慮上述系統(tǒng)在實際中會出現(xiàn)執(zhí)行器飽和的情況，則可將其寫成系統(tǒng)(6)的形式，其中：

qσ(t，k)=(c1，σ(t，k)c2，σ(t，k)+c0，σ(t，k))Δx，

得到系統(tǒng)所需要的參數(shù)矩陣之后，通過對于其中的變量進(jìn)行賦值，就可以得到仿真所需要的數(shù)值矩陣。

需要注意的是，文獻(xiàn)[25]也研究了Darboux方程，但該文獻(xiàn)沒有考慮實際中存在切換以及執(zhí)行器飽和的情況。而在本文中，不僅考慮了執(zhí)行器飽和的情況，還考慮了切換現(xiàn)象的存在，因此文獻(xiàn)[25]所提出的控制器設(shè)計方案無法直接用于本文所研究的系統(tǒng)。為此，將利用本文所提出的控制器設(shè)計方法進(jìn)行控制器設(shè)計。

Darboux方程系統(tǒng)參數(shù)設(shè)為：

c0，1=0.5，c0，2=0.5，c1，1=0.3，

c1，2=0.2，c2，1=-0.6，c2，2=-0.61，

d1=d2=0.05，Δx=0.5(N=2)

從而可以得出系統(tǒng)矩陣如下：

本次仿真實驗的控制目標(biāo)是設(shè)計事件觸發(fā)條件(7)和(8)，控制器u(t，k)與切換信號σ(t，k)，使得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)是指數(shù)收斂的。

選取如下的設(shè)計參數(shù)：

a1，1=a1，2=0.25，a2，1=a2，2=0.47，

b1，1=b1，2=0.16，b2，1=b2，2=0.14，

?=0.51

求解定理2中的線性矩陣不等式，可以得到可行解如下所示：

進(jìn)而可以得到：

系統(tǒng)初始狀態(tài)取為xh(0，k)=0.6，k=1，2，xh(0，k)=0，k≥3，xv(t，0)=0.24，t≤0.1，xv(t，0)=0，t>0.1，圖2與圖3分別給出了閉環(huán)系統(tǒng)水平狀態(tài)和垂直狀態(tài)的軌跡圖。從圖中可以看出，所考慮系統(tǒng)的水平狀態(tài)和垂直狀態(tài)均可以收斂到零。圖4和圖5給出了系統(tǒng)控制輸入和切換信號的演化曲線。圖6給出了系統(tǒng)的事件觸發(fā)序列和事件觸發(fā)次數(shù)。從圖中可以看出閉環(huán)系統(tǒng)只發(fā)生了748次觸發(fā)，說明信號只傳輸了748次，并且切換信號都是發(fā)生在觸發(fā)時刻上，可以避免切換次數(shù)的頻繁發(fā)生?？刂戚斎氲姆狄捕紱]有超過最大值1。仿真結(jié)果可以表明，本文所提出的事件觸發(fā)控制方案在執(zhí)行器存在飽和情況下，不僅能夠很好的保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還能有效地利用系統(tǒng)的通信資源，從而避免不必要的浪費。從而表明本文所提出的控制設(shè)計方案的可行性與有效性。

圖2 ?=0.51時狀態(tài)xh(t，k)的軌跡

圖3 ?=0.51時狀態(tài)xv(t，k)的軌跡

圖4 控制輸入uh(t，k)的演化曲線

圖5 切換信號

圖6 ?=0.51時的事件觸發(fā)序列和事件觸發(fā)次數(shù)

圖7 ?=1時狀態(tài)xh(t，k)的軌跡

此外，我們還研究了參數(shù)?的不同取值對于該算例的可行解的影響。通過仿真求解，我們得知只有當(dāng)?≥0.51時系統(tǒng)才有可行解，可見?的取值對于該系統(tǒng)的可行解有比較大的影響。表1給出了?取不同值時與觸發(fā)次數(shù)之間的關(guān)系。圖7和圖8給出了?=1時閉環(huán)系統(tǒng)水平狀態(tài)和垂直狀態(tài)的軌跡圖，可以看出和?=0.51時系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡圖差別不大。圖9給出了?=1時系統(tǒng)的事件觸發(fā)序列和事件觸發(fā)次數(shù)。從表1、圖6與圖9可以看出，?=0.51時的觸發(fā)次數(shù)是最少的，當(dāng)?越來越大，觸發(fā)次數(shù)逐漸變多。特別的，當(dāng)?=1時，也就是本文所提出的事件觸發(fā)條件(7)和(8)就退化成文獻(xiàn)[24]中所給出的事件觸發(fā)條件時，觸發(fā)次數(shù)是最多，可見本文所提出的事件觸發(fā)控制的效果是優(yōu)于文獻(xiàn)[24]中所提出的事件觸發(fā)控制的，在保證相近的系統(tǒng)性能時，可以進(jìn)一步減少事件觸發(fā)的次數(shù)，從而進(jìn)一步減少通信通道的冗余和降低執(zhí)行器的損耗，由此說明了本文所提方法的優(yōu)越性。

圖8 ?=1時狀態(tài)xv(t，k)的軌跡

圖9 ?=1時的事件觸發(fā)序列和事件觸發(fā)次數(shù)

表1 ?的取值與觸發(fā)次數(shù)之間的關(guān)系

5 結(jié)束語

本文針對具有執(zhí)行器飽和的切換2-D連續(xù)離散系統(tǒng)，提出了一種事件觸發(fā)控制方案。利用凸組合技術(shù)將飽和非線性表示成一組凸包的線性組合，采用多Lyapunov函數(shù)法設(shè)計了一種考慮到系統(tǒng)飽和特性的事件觸發(fā)機(jī)制和與之相關(guān)的狀態(tài)依賴切換信號以及狀態(tài)反饋控制器，并以線性矩陣不等式的形式給出了控制器增益矩陣和事件觸發(fā)參數(shù)矩陣存在的充分條件。本文所提出的控制方案在保證閉環(huán)系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的同時，可進(jìn)一步減少通信資源浪費和執(zhí)行器的損耗。最后通過一個仿真算例驗證了本文所提出的控制方案的有效性與優(yōu)越性。在未來的工作中，將重點研究具有執(zhí)行器飽和的切換2-D連續(xù)離散系統(tǒng)的事件觸發(fā)動態(tài)輸出反饋控制問題，以及該系統(tǒng)存在傳輸時延或網(wǎng)絡(luò)攻擊的事件觸發(fā)控制設(shè)計問題。