江蘇省灌云高級中學(xué) 孫 紅

在新教材(人民教育出版社2019年國家教材委員會專家委員會審核通過)、新課程(《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂》)、新高考“三新”背景下,“復(fù)數(shù)”大單元的復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計更加側(cè)重于“四基”層面,合理創(chuàng)設(shè)知識網(wǎng)絡(luò)與體系,注重復(fù)數(shù)概念的基礎(chǔ)性,凸顯復(fù)數(shù)運算公式的應(yīng)用性,拓展數(shù)學(xué)思維的靈活性,聯(lián)系復(fù)雜創(chuàng)新場景與數(shù)學(xué)文化等,有效進行大單元復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計與安排[1].

1 構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò),厘清單元系統(tǒng)

涉及“復(fù)數(shù)”大單元知識模塊,關(guān)鍵在于構(gòu)建復(fù)數(shù)的概念、運算與應(yīng)用等的知識網(wǎng)絡(luò),“串聯(lián)”起各個知識點之間的聯(lián)系,形成各個節(jié)點,全面厘清單元系統(tǒng),為知識的進一步理解與深化,以及綜合應(yīng)用等創(chuàng)設(shè)條件[2].

以上“復(fù)數(shù)”單元的知識網(wǎng)絡(luò)(如圖1)中,從數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗這“四基”的不同視角來展開,并加以聯(lián)系,關(guān)注學(xué)生對“四基”的落實情況,以及發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題與解決問題能力的培養(yǎng)與提升情況,重視數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成與發(fā)展.

圖1

2 重視概念學(xué)習(xí),辨析區(qū)別聯(lián)系

“復(fù)數(shù)”大單元中涉及較多的概念,正確學(xué)習(xí)并理解對應(yīng)的概念,以及不同概念之間的區(qū)別與聯(lián)系,特別是相互之間的差異,為解決問題提供條件.

這里主要涉及復(fù)數(shù)、實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)相等等相關(guān)概念,關(guān)鍵在于厘清對應(yīng)的概念與實質(zhì),并能合理辨析它們之間的區(qū)別與聯(lián)系.

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

分析：從創(chuàng)新定義入手,結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運算,確定參數(shù)的值,并結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)的幾何意義等來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.

解析：由z=(2+ai)i=-a+2i,結(jié)合創(chuàng)新定義“等部復(fù)數(shù)”,可知-a=2,解得a=-2,即z=2+2i.

故選擇答案:A.

點評：這里通過創(chuàng)新定義,巧妙把眾多的復(fù)數(shù)概念融合其中,包括復(fù)數(shù)的實部與虛部、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的幾何意義等,結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運算加以綜合,合理辨析概念,巧妙求解.

“復(fù)數(shù)”大單元中除了本單元內(nèi)的基本概念外,經(jīng)常會通過數(shù)學(xué)文化場景、創(chuàng)新定義創(chuàng)設(shè)等方式引入一些新的概念.解題時要與已知概念進行對比與分析,進而加以正確理解與巧妙應(yīng)用,實現(xiàn)知識與思維的全面發(fā)展.

3 強化復(fù)數(shù)“公式”,增強數(shù)學(xué)運算

“復(fù)數(shù)”大單元中,正確理解并掌握復(fù)數(shù)的四則運算的,可為進一步的復(fù)數(shù)運算與應(yīng)用奠定基礎(chǔ).這里主要涉及復(fù)數(shù)的加法、減法運算及其幾何意義,以及復(fù)數(shù)的乘法與除法運算等,還有復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的實系數(shù)一元二次方程問題等[3].

例2若實系數(shù)一元二次方程x2-2x+3=0的兩個根為α和β,則|α|+|β|=________.

分析：根據(jù)題目條件,利用實系數(shù)一元二次方程的求根公式直接求解兩個根α和β,再利用復(fù)數(shù)的模的求解來分析與處理;也可以利用實系數(shù)一元二次方程虛根成對(互為共軛復(fù)數(shù))的性質(zhì)確定兩虛根的和與積,引入?yún)?shù)并結(jié)合復(fù)數(shù)模的公式來分析與求解.

解法2：(性質(zhì)轉(zhuǎn)化法)由判別式Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×3=-8<0,知實系數(shù)一元二次方程虛根成對,且互為共軛復(fù)數(shù).

設(shè)α=a+bi,a,b∈R,則β=a-bi.

由韋達定理,可知α+β=2a=2,αβ=a2+b2=3.

點評：實際解決復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的實系數(shù)一元二次方程問題時,可借助復(fù)數(shù)的四則運算加以剖析與應(yīng)用,也可以直接利用相關(guān)的性質(zhì)加以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.這也是新教材中的一個明確要求.

“復(fù)數(shù)”大單元中,復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的實系數(shù)一元二次方程問題,在新教材中直接作為例題來設(shè)置,通過例題的解析,歸納總結(jié)出復(fù)數(shù)范圍內(nèi)實系數(shù)一元二次方程的求根公式,并給出明確要求,這與原來舊教材中作為課外補充知識形成鮮明的對比.

4 開拓數(shù)學(xué)場景,關(guān)注數(shù)學(xué)文化

“復(fù)數(shù)”大單元中,由于復(fù)數(shù)自身的知識結(jié)構(gòu)特點以及數(shù)學(xué)文化背景,此部分的試題經(jīng)常與數(shù)學(xué)文化加以巧妙融合,以創(chuàng)新情境來合理設(shè)置,成為高考命題中的一道具有基本特色的風(fēng)景線.

例3歐拉公式eiθ=cosθ+i sinθ把自然對數(shù)的底數(shù)e、虛數(shù)單位i、三角函數(shù)cosθ和sinθ聯(lián)系在一起,充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美,被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”,若復(fù)數(shù)z滿足(e2 023iπ+i)·z=i,則z的虛部是________,|z|=________.

分析：根據(jù)題設(shè)中的歐拉公式計算出e2 023iπ的值,結(jié)合關(guān)系式的變形,以及復(fù)數(shù)的除法運算得到復(fù)數(shù)z,再利用復(fù)數(shù)的相關(guān)概念求得z的虛部與復(fù)數(shù)的模|z|.

解析：由eiθ=cosθ+i sinθ,可得

e2 023iπ=cos 2 023π+i sin 2 023π=-1.

故填答案:

點評：以數(shù)學(xué)文化中的創(chuàng)新情境給出歐拉公式,結(jié)合復(fù)數(shù)三角形式與指數(shù)形式來創(chuàng)設(shè)問題,結(jié)合關(guān)系式的變形與轉(zhuǎn)化,利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算來進行運算求解,并結(jié)合相關(guān)的概念來實現(xiàn)問題的融合與創(chuàng)新.

5 優(yōu)化數(shù)學(xué)思維,關(guān)注推理應(yīng)用

“復(fù)數(shù)”大單元中涉及較多的數(shù)學(xué)思維,如函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、類比思想等,都是解決復(fù)數(shù)問題中比較常用的數(shù)學(xué)思維.全面拓展并應(yīng)用數(shù)學(xué)思維,可以使得數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)更加牢固,數(shù)學(xué)問題的解決更加簡捷.

例4化簡:(cosθ+i sinθ)2,(cosθ+i sinθ)3,(cosθ+i sinθ)4,由此猜想一般的結(jié)論:(cosθ+i sinθ)n=________(n∈Z).

分析：例4其實就是復(fù)數(shù)三角形式的乘方運算,是高中數(shù)學(xué)教材中的選講內(nèi)容之一,具體解決問題時,可以利用復(fù)數(shù)的四則運算與三角函數(shù)關(guān)系式加以化簡,通過歸納總結(jié),猜想而得出結(jié)果.

解析：由(cosθ+i sinθ)2=(cosθ+i sinθ)(cosθ+i sinθ)=cos 2θ+i sin 2θ,

(cosθ+i sinθ)3=(cos 2θ+i sin 2θ)(cosθ+i sinθ)=cos 3θ+i sin 3θ,

(cosθ+i sinθ)4=(cos 3θ+i sin 3θ)(cosθ+i sinθ)=cos 4θ+i sin 4θ,

歸納猜想,可得(cosθ+i sinθ)n=cosnθ+i sinnθ.

故填答案:cosnθ+sinnθ.

點評：根據(jù)題設(shè)條件先確定前面若干問題,進而找到規(guī)律,歸納、猜想出一般性的結(jié)論.同時,這也給我們提供了一種解題思路——當(dāng)“無路可走”時,可考慮多探究前面若干問題,歸納出規(guī)律并大膽猜想后再給出證明.這種解法雖操作簡單,但需較強的觀察、分析和歸納等關(guān)鍵能力.

在“三新”(新教材、新課程、新高考)背景下,進一步落實“雙減”政策與新改革理念,積極貫徹《總體方案》要求.“復(fù)數(shù)”大單元復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計與安排,在尋求基礎(chǔ)、本質(zhì)、能力、創(chuàng)新等的基礎(chǔ)上,更多側(cè)重數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與關(guān)鍵能力的考查,堅持開放創(chuàng)新與核心素養(yǎng)導(dǎo)向,更加注重數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識與創(chuàng)新應(yīng)用[4].