向 軍 陳永冰 李文魁

（海軍工程大學(xué)電氣工程學(xué)院 武漢 430033）

1 引言

隨著航運(yùn)事業(yè)的發(fā)展，對(duì)船舶航向航跡控制的要求越來(lái)越高，而研究船舶操縱性與控制問(wèn)題的基礎(chǔ)是建立船舶運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型［1］。這些模型中含有未知參數(shù)，考慮到船舶作為一個(gè)整體系統(tǒng)具有典型的時(shí)變非線性，即船舶載重、吃水、航速等發(fā)生變化時(shí)，其模型參數(shù)也會(huì)隨之改變。因此采用系統(tǒng)辨識(shí)的方法實(shí)現(xiàn)對(duì)船舶航行過(guò)程中的未知模型參數(shù)的在線辨識(shí)具有重要意義。

目前，常用的辨識(shí)算法包括最小二乘法、最大似然估計(jì)、卡爾曼濾波、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［2～3］、支持向量機(jī)［4～5］等；趙大明［6］等將船舶運(yùn)動(dòng)模型參數(shù)當(dāng)作變量，建立增廣狀態(tài)方程并結(jié)合擴(kuò)展卡爾曼濾波算法進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，取得了良好的辨識(shí)效果；秦操［7］利用無(wú)跡卡爾曼濾波在非線性系統(tǒng)濾波中的精確性，將其應(yīng)用了到三體船的MMG運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型參數(shù)辨識(shí)中；秦余鋼等［8］引入一種新的學(xué)習(xí)率對(duì)遞推最小二乘算法進(jìn)行改進(jìn)，提高了船舶操縱性參數(shù)辨識(shí)的精度和速度；張顯庫(kù)等［9］提出一種基于正弦函數(shù)處理非線性新息的最小二乘算法，改進(jìn)了最小二乘算法的準(zhǔn)確性；褚式新等［10］采用極大似然法辨識(shí)水面無(wú)人艇的操縱響應(yīng)模型參數(shù)，利用辨識(shí)結(jié)果對(duì)無(wú)人艇的操縱性進(jìn)行了精準(zhǔn)預(yù)報(bào)；謝朔等［11］針對(duì)船舶操縱運(yùn)動(dòng)模型參數(shù)辨識(shí)問(wèn)題，將最小二乘向量機(jī)遞推算法中的單新息擴(kuò)展為多新息，提高了辨識(shí)精度；以上研究重點(diǎn)集中在辨識(shí)數(shù)據(jù)激勵(lì)充分的條件下，提高參數(shù)辨識(shí)的精度，而對(duì)辨識(shí)數(shù)據(jù)欠激勵(lì)的情況考慮不足。輸入激勵(lì)對(duì)于參數(shù)辨識(shí)性能有較大的影響，當(dāng)前用于辨識(shí)船舶模型參數(shù)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)通常來(lái)自于船舶的回轉(zhuǎn)、Z 型試驗(yàn)，這些數(shù)據(jù)滿足持續(xù)激勵(lì)的條件，使得辨識(shí)結(jié)果能很好地收斂于真值。但在實(shí)際的船舶航行控制過(guò)程中，有直航與轉(zhuǎn)彎的情況，輸入舵角在小幅度范圍內(nèi)變化甚至保持不變，這就導(dǎo)致所得數(shù)據(jù)激勵(lì)不夠充分，大大影響了參數(shù)辨識(shí)的收斂性和準(zhǔn)確性。

針對(duì)上述問(wèn)題，包政凱等［12］利用滿秩分解思想解決了最小二乘算法中矩陣奇異不可逆的問(wèn)題，成功應(yīng)用到船舶航向運(yùn)動(dòng)模型參數(shù)辨識(shí)中，但其未能對(duì)非線性參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，辨識(shí)結(jié)果不具備通用性。本文將奇異值分解（SVD）技術(shù)［13～15］與多新息理論［16］引入最小二乘法（Least Square Algorithm，LS）中，提出一種改進(jìn)的多新息最小二乘法。該算法利用奇異值分解的數(shù)值穩(wěn)定性，使其在船舶正常航行過(guò)程中小幅度短暫打舵的情況下仍能具有較好的收斂性與辨識(shí)精度，將辨識(shí)所得船舶模型用于操縱運(yùn)動(dòng)預(yù)報(bào)，并與實(shí)際試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了該算法在線辨識(shí)船舶操縱響應(yīng)模型參數(shù)的有效性。

2 船舶操縱響應(yīng)模型

水動(dòng)力模型與響應(yīng)型模型是船舶運(yùn)動(dòng)模型的兩大類別［17］，水動(dòng)力模型對(duì)船舶自身運(yùn)動(dòng)特性和所受外力影響進(jìn)行了詳細(xì)描述，能夠?qū)Υ斑\(yùn)動(dòng)進(jìn)行較為準(zhǔn)確的預(yù)報(bào)，但該模型中含有大量未知水動(dòng)力參數(shù)，計(jì)算復(fù)雜且不易獲取。響應(yīng)型模型參數(shù)較少，其主要描述了艏向角速度與舵角之間的變化關(guān)系，在船舶的運(yùn)動(dòng)控制器設(shè)計(jì)和操縱運(yùn)動(dòng)特性預(yù)報(bào)中應(yīng)用最為廣泛，其表達(dá)式為

式（1）中：r為船舶艏向角速度；δ為舵角；K、T為回轉(zhuǎn)性指數(shù)和應(yīng)舵指數(shù)，它們近似體現(xiàn)了船舶在某種速度下，船舶角速度與舵角之間的關(guān)系，受到船舶的航速與載荷條件的影響；

該模型為船舶一階響應(yīng)線性模型，考慮到船舶具有非線性特性，故增加一個(gè)非線性項(xiàng)αr3，其中α為非線性項(xiàng)系數(shù)，則得到的船舶操縱響應(yīng)一階非線性模型為

為了便于模型參數(shù)辨識(shí)，將式（2）進(jìn)行前向差分離散化可得：

式（3）中，Δt為采樣間隔。令1-Δt/T=a，-αΔt/T=b，KΔt/T=c，可得：

式（4）中，a、b、c即為待辨識(shí)參數(shù)。

令y(t)=r(t+1)，h(t)=[r(t),r3(t),δ(t)]，θ(t)=[a,b,c]T，則式（4）可化為

該式即為船舶操縱響應(yīng)模型的最小二乘回歸形式，后續(xù)的辨識(shí)算法表達(dá)式也是基于此式展開。

3 改進(jìn)MILS算法設(shè)計(jì)

3.1 多新息最小二乘算法

遞推最小二乘算法具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、計(jì)算快捷的特點(diǎn)，是應(yīng)用最為廣泛的系統(tǒng)辨識(shí)算法。它的標(biāo)準(zhǔn)表現(xiàn)形式為

式（6）中：P(t)為協(xié)方差陣；K(t)為增益向量；e(t)為每次遞推時(shí)的新息標(biāo)量，即單新息；為t時(shí)刻θ的估計(jì)值。為使算法啟動(dòng)，需要確定協(xié)方差陣和待辨識(shí)參數(shù)向量的初始值，一般人為給定經(jīng)驗(yàn)值如下：

式（7）中：α2很大，一般取106～1010；I為單位陣。

多新息最小二乘辨識(shí)算法是遞推最小二乘法與多新息理論結(jié)合形成的新算法，該算法可以不斷重復(fù)使用歷史數(shù)據(jù)，收斂速度和辨識(shí)精度都得到了改善。其原理是將單新息標(biāo)量e(t)拓展為多新息矩陣E(p,t)，即

考慮到矩陣維數(shù)的兼容性，信息向量和輸出向量拓展為

由此，該算法表達(dá)式由式（6）變?yōu)?/p>

式（10）中：p為新息長(zhǎng)度，根據(jù)該長(zhǎng)度取初始的一小段試驗(yàn)數(shù)據(jù)，進(jìn)行單新息最小二乘估計(jì)，將得到的協(xié)方差陣和參數(shù)向量的值作為初始值。

3.2 多新息最小二乘算法的改進(jìn)

在辨識(shí)數(shù)據(jù)欠激勵(lì)的情況下，隨著計(jì)算誤差的傳遞和累積，辨識(shí)精度將越來(lái)越低，從而導(dǎo)致辨識(shí)算法難以收斂于真值。從式（10）中可以看出，協(xié)方差陣P(t)的計(jì)算是該算法的核心，為改善該矩陣的數(shù)值計(jì)算性質(zhì)，本文利用SVD技術(shù)對(duì)其進(jìn)行奇異值分解。具體推導(dǎo)如下：

先引入矩陣反演式：

利用矩陣反演式對(duì)式（10）中的協(xié)方差陣更新式進(jìn)行變換可得：

由協(xié)方差陣的對(duì)稱正定性，對(duì)其進(jìn)行奇異值分解，則式（12）可表示為

構(gòu)造矩陣Ω，其具體形式為

對(duì)該矩陣進(jìn)行奇異值分解可得：

則

將式（16）代入式（13）中，根據(jù)正交矩陣的性質(zhì)可化為

對(duì)比等式兩端，則有：

通過(guò)上述推導(dǎo)，得到了協(xié)方差陣P(t)的奇異值分解矩陣U和D的遞推公式，從而取代了P(t)的更新計(jì)算。

則增益矩陣K(t)的遞推式變?yōu)?/p>

根據(jù)以上推導(dǎo)，改進(jìn)多新息最小二乘算法的實(shí)現(xiàn)步驟可總結(jié)如下：

1）初始化協(xié)方差陣P、辨識(shí)參數(shù)向量θ；初始化奇異值分解后的矩陣U(0)=I、D(0)=

2）按照式（14）構(gòu)造矩陣Ω。

3）按照式（15）對(duì)矩陣Ω 進(jìn)行奇異值分解，得到其右奇異矩陣和奇異值。

4）按照式（18）更新U(t)，D(t)。

5）按照式（19）對(duì)增益矩陣K(t)進(jìn)行更新。

6）按照式（10）中的參數(shù)向量遞推式對(duì)參數(shù)進(jìn)行更新。

4 仿真驗(yàn)證與結(jié)果分析

4.1 辨識(shí)數(shù)據(jù)采集

本文以文獻(xiàn)［18］中的某型船舶為研究對(duì)象，建立式（1）的一階非線性響應(yīng)模型，其模型參數(shù)如表1所示。

表1 某型船舶模型參數(shù)

為獲取參數(shù)辨識(shí)所需的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，驗(yàn)證辨識(shí)算法在數(shù)據(jù)欠激勵(lì)情況下的辨識(shí)效果，利用已知的模型和參數(shù)在仿真軟件Simulink 中做船舶自由航行的仿真實(shí)驗(yàn)，包括船舶直線航行與轉(zhuǎn)向，仿真采樣間隔為0.01s，采樣時(shí)間為400s，得到的辨識(shí)數(shù)據(jù)如圖1所示。

圖1 辨識(shí)數(shù)據(jù)曲線

為證明舵角數(shù)據(jù)的真實(shí)性，通過(guò)單位實(shí)驗(yàn)室中的NP5400型自動(dòng)舵與綜合模擬平臺(tái)進(jìn)行了多次航向控制的模擬實(shí)驗(yàn)，采用自主設(shè)計(jì)的操舵儀綜合訓(xùn)練與檢測(cè)系統(tǒng)接收航向與舵角數(shù)據(jù)，如圖2 和圖3所示。其中圖3 為某次常規(guī)的船舶航向控制實(shí)驗(yàn)中接收的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

圖3 某次常規(guī)船舶航向控制實(shí)驗(yàn)中接收的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

從圖中可以看出，當(dāng)船舶航向變化15°時(shí)，打右舵17°，回舵后打左舵5°，從而實(shí)現(xiàn)航向的控制，故符合0s～50s 仿真數(shù)據(jù)中的打舵情況；同理，仿真數(shù)據(jù)中的右舵8°和左舵6°也符合實(shí)際情況，因此圖1中的仿真數(shù)據(jù)可以作為船舶實(shí)際航行過(guò)程中接收的辨識(shí)數(shù)據(jù)。

4.2 船舶操縱響應(yīng)模型參數(shù)辨識(shí)

根據(jù)數(shù)據(jù)激勵(lì)程度差異，取采集的試驗(yàn)數(shù)據(jù)中0s～50s 和300s～350s 兩段，先后選取這兩段數(shù)據(jù)采用MILS 和改進(jìn)MILS 對(duì)式（2）中的模型參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果，分析在辨識(shí)數(shù)據(jù)欠激勵(lì)的情況下，辨識(shí)算法的精確性和收斂性。

兩種算法的新息數(shù)均設(shè)置為10，參數(shù)辨識(shí)結(jié)果對(duì)比曲線如圖4～5所示。

圖4 各參數(shù)辨識(shí)結(jié)果曲線（0s～50s）

由圖4和圖5可以看出，在0s～50s辨識(shí)區(qū)間，船舶航向處于不斷變化階段，打舵時(shí)間長(zhǎng)且范圍在左舵6°和右舵15°之間，故辨識(shí)數(shù)據(jù)激勵(lì)較充分，兩種辨識(shí)算法的辨識(shí)結(jié)果均能快速收斂于真值；而在300s～350s 辨識(shí)區(qū)間，船舶打一次左舵6°且迅速回舵，右舵不到1°，辨識(shí)數(shù)據(jù)不滿足持續(xù)充分激勵(lì)的條件，此時(shí)MILS算法辨識(shí)的參數(shù)有偏，尤其是高次項(xiàng)系數(shù)α對(duì)激勵(lì)的要求更高，辨識(shí)結(jié)果偏差嚴(yán)重，而改進(jìn)MILS 算法在辨識(shí)數(shù)據(jù)欠激勵(lì)的情況下，辨識(shí)精度明顯高于MILS 算法且收斂較快。因此，引入奇異值分解提高了多新息最小二乘算法的辨識(shí)精度。欠激勵(lì)情況下的參數(shù)辨識(shí)結(jié)果見表2。

圖5 各參數(shù)辨識(shí)結(jié)果曲線（300s～350s）

表2 參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

由表2可知，MILS算法的辨識(shí)結(jié)果中，T、K、α的辨識(shí)誤差分別為7.57%、28.89%、88.59%；而改進(jìn)MILS 算法的辨識(shí)結(jié)果中T、K、α的辨識(shí)誤差分別為1.65%、1.85%、82.58%。前者的平均誤差達(dá)到了41.68%，后者平均誤差為28.69%，降低了12.99%。

4.3 辨識(shí)模型運(yùn)動(dòng)預(yù)報(bào)

為了檢驗(yàn)算法精度對(duì)船舶運(yùn)動(dòng)的影響程度，驗(yàn)證辨識(shí)算法的有效性。將參數(shù)辨識(shí)結(jié)果代入式（2）中，以船舶航行仿真試驗(yàn)中的舵角數(shù)據(jù)為輸入，利用龍格-庫(kù)塔法求解式（2）船舶響應(yīng)模型，從而對(duì)船舶艏向角進(jìn)行預(yù)報(bào)，預(yù)報(bào)時(shí)間為2000s。求解公式如下：

式中，yt=[r,ψ]T，f(t,yn)=[Kδ/T-r/T-αr3/T,r]T，th為采樣周期，取th=0.01s；k1、k2、k3和k4為各時(shí)間段的斜率。將預(yù)報(bào)結(jié)果與實(shí)際仿真試驗(yàn)數(shù)據(jù)比較如圖6所示。

圖6 艏向角預(yù)報(bào)曲線

從圖6 可以看出，MILS 算法的航向預(yù)報(bào)值誤差隨時(shí)間不斷疊加，而改進(jìn)MILS 算法對(duì)船舶艏向角的預(yù)報(bào)值更接近真值，滿足船舶航行的誤差要求。

5 結(jié)語(yǔ)

本文將多新息理論與奇異值分解技術(shù)相結(jié)合，提出了一種改進(jìn)MILS的模型參數(shù)辨識(shí)算法。通過(guò)仿真驗(yàn)證與對(duì)比分析，得到以下結(jié)論：

1）基于奇異值分解對(duì)MILS 算法進(jìn)行改進(jìn)，改善了數(shù)據(jù)欠激勵(lì)情況下參數(shù)辨識(shí)不準(zhǔn)的問(wèn)題，辨識(shí)精度得到了有效提高，適用于船舶正常航行過(guò)程中小幅度短暫打舵情況下的參數(shù)辨識(shí)。

2）通過(guò)辨識(shí)得到的模型進(jìn)行船舶航向的預(yù)報(bào)對(duì)比，該算法的航向預(yù)報(bào)滿足誤差要求，驗(yàn)證了算法的有效性。

本文辨識(shí)所使用的數(shù)據(jù)來(lái)自于仿真試驗(yàn)，不能完全保證算法的泛化性，后續(xù)可以使用實(shí)船試驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)一步驗(yàn)證。此外，還可以與自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)相結(jié)合，進(jìn)行船舶航向控制的研究。