盧躍奇，王艷梅

（洛陽師范學院 河南 洛陽 471934）

概率統(tǒng)計課程已成為高校理工專業(yè)的一門重要數學基礎課程，不僅為學生后續(xù)各門專業(yè)課程的學習提供必需的理論基礎、方法原理，而且對培養(yǎng)學生的邏輯思維和推理能力起著巨大的推動作用。但在很多高校概率統(tǒng)計課程的具體實施過程中，大多主講概率統(tǒng)計課程的教師只負責概率統(tǒng)計基本原理基本方法的理論推導、適合手工計算的簡單習題的證明演算，不討論大數據情況下的實際統(tǒng)計推斷決策問題。而計算機語言和大數據課程大多只講編程方法、大數據處理方法，卻忽略或沒有綜合考慮背后的概率統(tǒng)計原理。這種脫節(jié)現象不適應《促進大數據發(fā)展行動綱要》鼓勵高?？鐚W科跨專業(yè)培養(yǎng)綜合型人才的目標，不利于培養(yǎng)具有多學科綜合知識的跨界復合型人才[1-2]。

在近幾年的教學實踐中，在結合其他高校相近專業(yè)概率統(tǒng)計教學研究成果經驗的基礎上，根據洛陽師范學院應用統(tǒng)計學專業(yè)培養(yǎng)方案要求，結合具體實際情況、學生在大學生數學建模和市場調查分析等競賽中的表現，根據學生對課程教學情況的反饋和要求、學生特點和能力水平，不斷完善概率統(tǒng)計課程的教學實施方案，摸索出了“聚焦核心原理+問題驅動+翻轉課堂+程序實現”這一教學模式，使得在以培養(yǎng)復合型創(chuàng)新人才為主要目標的新形勢下，呼應了新理科堅持問題導向、開展跨學科跨專業(yè)研究的一流專業(yè)學科建設目標，同時也為其他理工科相關專業(yè)開展統(tǒng)計、大數據、機器學習等類似課程的教學提供了一些有益的探索和實踐經驗。

1 課程實施原理概述

問題驅動式教學方法是根據現代建構主義教學理論建立的一種教學方法，主張在“提出問題―分析問題―解決問題―優(yōu)化方案”的“已知―未知―新的已知”的不斷循環(huán)遞進過程中學習新知識、掌握新方法、理解新思想。在具體的教學實施過程中，表現為以學生為主體、以教師為主導，教師的作用主要是教學活動的設計者、組織者和引導者[3-4]。

概率統(tǒng)計課程知識紛繁多樣，名詞術語眾多、原理定理方法多種多樣，即使一時能夠通過死記硬背、反復演練、短期理解，也無法長期記憶，更不要說專業(yè)學習結束后還能回憶起來，甚至再把概率統(tǒng)計思想原理方法應用于實踐來解決實際問題。概率統(tǒng)計課程的這些特點為學生學習概率統(tǒng)計課程提出了極大的挑戰(zhàn)。人們總是通過以概念為核心來觀察、認識、把握客觀世界，進而改變世間萬物，甚至創(chuàng)造新事物。因此，掌握概率統(tǒng)計課程知識的關鍵，在于把握概率統(tǒng)計課程中最重要的若干核心概念、原理、方法，從而以有限的核心概念、原理、方法為中心，以概念思維導圖為框架，以事實案例主題應用為依托，來觀察、認識、理解、把握它們的內涵外延、結構功能、起因變化、動態(tài)聯系、相關屬性與不相關屬性等維度。

在學生掌握概率統(tǒng)計基本原理、手工推導證明演算的過程中，如果能夠通過編寫程序解決大數據情況下的統(tǒng)計計算、原理演示和統(tǒng)計推斷等實際問題，那么不僅可以實現概率統(tǒng)計課程的理論教學目標，而且還可以培養(yǎng)學生理論聯系實際、根據概率統(tǒng)計原理結合計算機技術解決實際問題的實踐應用能力，實現跨越知識的淺表性認知到深度學習、從內容態(tài)度到技能行動的應用統(tǒng)計學專業(yè)培養(yǎng)要求。因此，只要有可能，教師應盡量安排學生通過編寫程序充分理解核心概念、原理和方法。

2 教學案例應用——以貝葉斯原理為例

2.1 核心原理概述

離散情形下有

2.2 問題驅動式翻轉課堂實施方案

課前學生的任務包括：預習條件概率的定義，條件概率的幾何意義是什么？理解貝葉斯原理的基本含義，其中先驗信息（先驗分布）、總體信息（總體分布，似然率）、樣本信息分別指代貝葉斯公式中的哪個部分，分別有什么價值和意義？利用網絡和分發(fā)的學習資料，總結頻率學派與貝葉斯學派在概率的概念定義上的不同之處，并能注意到無論頻率學派還是貝葉斯學派對概率的基本計算規(guī)則是相同的；還能根據具體的抽樣樣本對已知先驗分布進行后驗分布估計或概率計算，把握其基本計算規(guī)則。以上內容是翻轉課堂第一階段的任務。

【例】根據機器生產的產品是否合格來估計機器是不是處于正常狀態(tài)，如果不正常則停機檢修。假設機器只有兩種狀態(tài)：正常和損壞，用表示，機器生產的產品也只有兩種情況：合格和不合格，用表示。若已知概率即似然率，則根據預先指定的先驗分布，利用生產出的產品是否合格（即樣本信息）和貝葉斯原理可以估計機器當前狀態(tài)即后驗概率比如，假定似然率分別為

即：如果機器工作狀態(tài)正常，則平均每生產100 個產品只有一個不合格；如果機器工作狀態(tài)異常，則生產的產品中至少40%的產品會是不合格的。根據經驗，假設該機器每生產100 件產品需要停機檢修一次，即機器處于正常狀態(tài)和異常狀態(tài)的先驗概率分別可能是0.99 和0.01，即若發(fā)現機器現在生產出了一件不合格產品，則機器需要檢修（即處于異常狀態(tài)）的概率是多少？

根據貝葉斯原理，有

為什么連續(xù)出現不合格產品就要對機器停機進行檢修呢？這部分內容就可以放到翻轉課堂師生面對面環(huán)節(jié)進行分析和總結，這是翻轉課堂第二階段的中心任務。實際上，如果連續(xù)出現了兩個不合格產品，就要在第一個不合格產品對機器處于正常狀態(tài)的概率進行修正的基礎上再一次進行修正。具體操作是，只需把第一步計算出的后驗概率作為第二步計算的先驗概率，重新利用貝葉斯原理計算一次后驗概率即可：

從中可以發(fā)現，當連續(xù)出現兩個產品不合格時，機器處于異常狀態(tài)的概率從最初的0.01 急劇上升至0.942，也就是機器極有可能處于異常狀態(tài)而需要停機檢修。

對貝葉斯原理的認識和檢驗是否到此結束呢？不，還要繼續(xù)分析。如果連續(xù)更多次出現不合格產品時，機器處于異常狀態(tài)的概率變化趨勢是怎樣的？這種變化趨勢是不是跟我們最初假定的先驗概率有關系？如果改變似然率，會不會影響這種變化趨勢？如果連續(xù)檢查生產出的產品是否合格服從某種分布，比如二項分布時，機器應如何根據生產出的產品是否合格進行及時檢修？這個時候的停機檢修策略應如何制訂？這些問題的解決由于牽涉到比較大的計算量，手工計算已不可能，必須借助于編程語言輔助計算和分析。這一部分內容可以放到翻轉課堂的第三階段即課后實施，既可以作為作業(yè)鍛煉學生的編程能力，又可以從中提高學生對貝葉斯原理的深度認識和把握。

2.3 借助R 語言分析貝葉斯原理

貝葉斯原理中涉及的計算主要是乘法和加法，其中的概率又可以用向量表示，從而貝葉斯原理的計算可借助R語言編程簡單直觀地表示出來：

情形1：如果連續(xù)出現多個產品不合格（如4 個），代碼如下，其運行結果顯示機器處于異常狀態(tài)的概率就會急劇上升。

情形2：如果生產的產品服從兩點分布L~B（1,0.1），其中不合格產品的概率為0.1，則應如何制訂機器檢修策略？將情形1 中的數據修改為：

運行結果發(fā)現，從長期來看，機器的后驗概率處于異常的概率趨于0。這是一種偶然還是必然？原因是什么？這種趨勢會受到不合格產品率的影響嗎？

3 總結

在聚焦核心原理的問題驅動式教學模式下借助編程語言實現計算、證明和趨勢分析，利用翻轉課堂實施概率統(tǒng)計課程教學，不僅將促進理論知識的學習與創(chuàng)新實踐相統(tǒng)一，而且可以促進學生的深度學習，提高自學能力，培養(yǎng)質疑精神，為學生的長期長遠發(fā)展提供極大的鞭策和激勵作用；不僅使得理論不再止步于推演和手工計算，還可以極大提高學生從數據實踐的角度深度理解和把握基礎理論及其應用價值的能力。