孫維鵬 劉宸涵 郁小彬 胡 珅 鐘可欣 趙道利,2)

* (西安理工大學省部共建西北旱區(qū)生態(tài)水利國家重點實驗室,西安 710048)

? (華東天荒坪抽水蓄能有限責任公司,杭州 310012)

引言

近年來,能源危機愈演愈烈[1],為了應對新環(huán)境下全球能源格局發(fā)生的深刻調整[2],高效開發(fā)利用可再生能源迫在眉睫[3-6].水能作為占比最高的可再生能源,如何高效利用一直備受關注.天然河道中的高速水流能可通過水輪發(fā)電機組加以利用[7-8],這一技術目前已相對成熟;而湖泊與小型河流中的低速水流能雖可作為新能源的重要補充,但因其分布廣、能量低而存在利用困難的問題.馳振[9]作為一種能夠發(fā)生在低速水流中的現(xiàn)象,有流速響應范圍寬和無鎖定限制的特點.因此基于馳振設計且已在流場中展現(xiàn)出游優(yōu)異性能的馳振式壓電俘能器為低速水流能的利用提供了解決方案[10].利用馳振式壓電俘能器將低速水流能量轉化為電能,可以為微機電系統(tǒng)[11-12]和無線傳感器[13-14]供電.

目前已經存在一些關于利用低速水流能的壓電俘能器研究.曹東興等[15]設計一種利用永磁鐵增強流致振動的壓電俘能器.實驗結果表明: 水流速度為0.5 m/s 時,輸出功率的均方根值為120 μW,與無附加磁體的壓電俘能器相比提高了57.8%.單小彪等[16]提出一種在水中完全淹沒的尾流激振式壓電俘能器.結果表明,當鈍體的直徑為15 mm 時,在上游距其中心20 mm 處放置直徑5 mm 擾流柱能夠使壓電俘能器輸出23.35 V 的電壓,與沒有擾流柱相比輸出電壓提升了51%.Liu 等[17]基于馳振的觸發(fā)方式,提出一種新的時間變流型方法.該方法解釋了傳統(tǒng)的時間平均流型方法難以解釋的橫向馳振機制.Lian 等[18]研究鈍體截面為正方形、三角形和圓形的壓電俘能器在水中的性能.實驗表明: 截面為三角形的鈍體,其振幅比大于1.8;圓柱型鈍體的能量轉化率最高為80%.燕翔等[19]實驗研究T 型截面鈍體的馳振特性,并進一步探究其在不同外力條件及不同截面寬高比和阻尼比條件下的振動響應差異.He 等[20]通過研究證實改變鈍體的幾何形狀,可以實現(xiàn)耦合或獨立的馳振和渦激振動.Zhao等[21]采用圓柱形擾流柱,對鈍體截面形狀為圓形、D 形和倒D 形的壓電俘能器進行水槽實驗測試.結果表明,3 種壓電俘能器的采集功率分別達到570.3,596.4和1074 W/m3,是無尾流激勵情況的43.2,25.3 和31 倍.張軍等[22]對三棱柱的流致振動進行了實驗研究,并評估其能量轉化效率.Song 等[23]研究圓柱型鈍體壓電俘能器在不同直徑、質量和阻尼比條件下的輸出性能.研究證實在一定范圍內,降低質量和增加鈍體直徑都可以提高壓電俘能器的輸出.以上研究主要通過改變鈍體的形狀來優(yōu)化壓電俘能器,而在鈍體表面添加小型附著物的研究還很少.

存在于鈍體表面的附著物能夠影響壓電俘能器系統(tǒng)的振動與輸出[24-25],目前已存在一些將附著物與壓電俘能器相結合的應用: Zhu 等[26]提出一種由圓柱體和五角星組成的新型壓電俘能器,雙向流固耦合仿真的結果表明其功率密度可達到885 W/m3.Hu 等[27]通過調整圓形、三角形和矩形桿件在圓柱形鈍體上的位置來提升設備的風能量采集效率.實驗證實當安裝的三棱柱夾角為60°時,能量采集器的性能最佳.Zhu 等[28]設計了在圓柱體表面安裝對稱鰭狀條帶的新鈍體,數(shù)值模擬的結果表明收集到的最大功率超過60 W/m.目前關于附著物在壓電俘能器上的研究都只局限于其形狀及安裝形式,缺少在鈍體上進行切除特定形狀的嘗試.附著物的凸起高度和凹陷深度值對壓電俘能器性能的影響有待研究.

綜上所述,本文主要研究不同凸起高度/凹陷深度和形狀的附著物對馳振式壓電俘能器輸出特性的影響.引入水的附加質量力改進現(xiàn)有的分段參數(shù)模型.基于準穩(wěn)態(tài)假設,建立馳振的水動力模型并計算出馳振力.水槽實驗驗證了數(shù)學模型的準確性,進一步通過模型分析壓電俘能器的輸出功率和懸臂梁振幅與凸起高度/凹陷深度之間的關系.最后基于數(shù)值模擬從流體動力學的角度闡述超表面對系統(tǒng)影響的根本原因.

1 數(shù)學模型

本節(jié)利用拓展的哈密頓原理推導出壓電俘能器的機械控制方程,引入高斯定理建立電場-位移控制方程,并基于準穩(wěn)態(tài)假設計算馳振的水動力及力矩,利用伽遼金法離散懸臂梁的位移,并在此基礎上解耦控制方程,得出輸出功率和懸臂梁位移的近似解.

1.1 俘能器機械控制方程

本文研究的壓電俘能器由鈍體、懸臂梁和MFC壓電片組成,如圖1 所示.懸臂梁的上端固定,中部黏貼有壓電片,下端與鈍體連接.x軸為懸臂梁的長度方向,y軸為水流方向,受到水流沖擊的鈍體在z方向上發(fā)生振動,考慮到振幅較大,選擇脆性低、韌性高的宏觀纖維復合材料(macro fiber composites,MFC)作為壓電材料.

圖1 壓電俘能器Fig.1 Piezoelectric energy harvester

橢圓柱鈍體的表面裝配了人工設計的附著物,其形狀采用橢球型和圓柱型兩種,各自的最大高度被定義為特征值,分別為Eell和Ecy,如圖2 所示.橢球型和圓柱型附著物的特征值均設置為6,4,2,-1 和-2 mm,其中正值為凸起,負值為凹陷.

圖2 附著物的結構圖Fig.2 Structural diagram of the attachments

基于拓展的哈密頓原理[29-30],壓電俘能器的控制方程可表示為

式中,ν(x,t) 表示t時刻懸臂梁x處的位置在z方向上的位移;ca和cs分別表示懸臂梁的氣動阻尼系數(shù)和黏性應變系數(shù);δ表示克羅內克符號,其值在x=l時取1,反之取0;?P為壓電耦合系數(shù),?P=-e31bp·(z1+z2)/2,e31為壓電應力系數(shù),e31=Epd31,d31為壓電層的應變系數(shù);V(t)壓電材料的電壓;Ftip和Mtip分別表示懸臂梁的馳振力和力矩.

1.2 電場-位移控制方程

引入高斯定理[31]

系統(tǒng)電場-位移控制方程可表示為

式中Cp是壓電俘能器的電容,表示為

1.3 馳振的水動力計算

為了建立馳振的水動力模型,引入準穩(wěn)態(tài)假設.而假設中的馳振力會受到攻角α的影響.攻角可表示為

而攻角與馳振系數(shù)Cy存在如下關系

式中a1和a3可通過實驗獲得.

考慮到附加質量力對馳振力的影響,鈍體單位長度的馳振力可表示為[32]

式中CM表示附加質量系數(shù).

懸臂梁所受到的馳振水動力和力矩可由下式計算

1.4 馳振模型的機電解耦

應用伽遼金法[33-34]離散懸臂梁的位移ν(x,t),將其劃分為空間變量和時間變量

式中,Qi(t)和φi(t)分別為懸臂梁的第i階模態(tài)坐標和模態(tài).

馳振一階模態(tài)的水動力可以根據f(t)=φ(l)Ftip+φ′(l)Mtip來計算.依據式 (7),得出一階模態(tài)的水動力

式中,k1,k2和k3分別為

Abdelkefi 等[35]的研究證實,懸臂梁的振動主要受一階模態(tài)支配,Bibo 等[36]也發(fā)現(xiàn)一階模態(tài)滿足被捕獲的條件.因此本文采用一階模態(tài)來簡化懸臂梁的機電耦合模型

式中,ζ表示阻尼系數(shù);ω表示壓電俘能器的一階固有頻率;θp是壓電耦合項,表示為 θP=?P[φ′(l2)-φ′(l1)];f(t)表示一階振型的水動力.解耦的控制方程[37]由式 (9) 和式 (10) 得

式中,?和Ce分別為壓電俘能器的修正頻率和阻尼,表示為

進一步可得位移模態(tài)坐標與電壓之間的關系

模態(tài)坐標的振幅為

由式 (14) 確定模態(tài)振幅Q0后,壓電俘能器的采集功率可表示為

2 實驗設置

本研究的實驗部分在圖3 所示的U 型水槽中進行.水從地下水庫通過泵與進水管被引入矩形薄壁堰中,薄壁堰上游的蜂窩網可以降低水的湍流,從而減少水流不穩(wěn)定對上游水位探針讀數(shù)的影響;水流離開水堰流經第一段長直段,在這里被充分穩(wěn)定以滿足實驗段對穩(wěn)定水流的需求;隨后水流流入實驗段,實驗段的中部安裝了壓電俘能器;最后水流由尾水口流回地下水庫.實驗段的長度為6.2 m,其斷面寬度為0.4 m.實驗中的流速是通過泵閥門及尾水口上方的電動閥門控制的,轉動泵閥門能夠調節(jié)進入水槽內的流量;調整電動閥門的高度可控制水槽內的水位,然后利用流量計算公式得出流速.

圖3 U 型水槽Fig.3 U-shape water channel

壓電俘能器的鈍體、懸臂梁及MFC 壓電片的參數(shù)如表1 所示.本實驗的流速范圍為0.26～0.51 m/s,取0.05 m/s 為一流速步長.實驗中利用示波器測試出與壓電片串聯(lián)的負載電阻的電壓并將數(shù)據儲存在計算機,然后計算出電壓的均方根值(RMS voltage).實驗的負載電阻值為3.5×105Ω.

表1 鈍體、懸臂梁和壓電片的物理參數(shù)Table 1 Physical parameters of bluff body,cantilever beam and piezoelectric sheet

3 模型驗證

為了驗證所建立數(shù)學模型的準確性,分別繪制0.41,0.46 和0.51 m/s 流速下橢球型和圓柱型附著物在2 mm 凹陷條件下電壓與預測值的對照,如圖4所示.圖中的實線為實驗測得的電壓曲線,是從單次140 s 的實驗電壓中選取相對穩(wěn)定的4 s 繪制的;虛線為電壓的數(shù)學模型計算值.圖中實線和虛線基本重合,二者之間的微小差異是由水流的輕微波動引起的.所建立數(shù)學模型的計算結果與實驗結果十分吻合,由此驗證了數(shù)學模型的準確性.

圖4 模型計算和實驗結果的時域曲線對比Fig.4 Comparison of time histories of the model calculations and experimental results

4 壓電俘能器輸出特性和懸臂梁振幅的分析

結合實驗值和數(shù)學模型的近似解,分析橢球型和圓柱型附著物在不同的特征值和流速條件下對馳振式壓電俘能器RMS 輸出功率和鈍體振幅的影響.

4.1 流速對壓電俘能器輸出特性影響的分析

橢球型附著物的壓電俘能器RMS 輸出功率隨流速的變化如圖5(a) 所示,可以看出在所有特征值下,壓電俘能器的輸出均隨著流速的增加而增加.這是由于鈍體的振幅隨流速而增大,從而帶動壓電片發(fā)生更大程度的形變進而產生更高的電壓,符合馳振的特性.此外附著物的特征值對壓電俘能器輸出功率的影響也不同.在U=0.51 m/s 的流速下,Eell=-2 mm 的壓電俘能器RMS 輸出功率為1.411 mW,相比于橢圓柱增幅為69.88%;而部分特征值的附著物則抑制壓電俘能器的輸出: 當Eell=6,4 mm 時,壓電俘能器的RMS 輸出功率在各個流速下始終低于未包裹附著物的橢圓柱,其中U=0.51 m/s 時,6 mm 特征值的橢球型附著物使輸出功率降低了80.02%.

圖5 流速對壓電俘能器RMS 輸出功率的影響Fig.5 Effect of flow velocity on the RMS output power of the piezoelectric energy harvester

圖5(b) 展示了包裹圓柱型附著物對壓電俘能器性能的影響.與橢球型附著物相比,圓柱型附著物的施加使得壓電俘能器的出輸出整體偏低.當Ecy=4,6 mm 時,壓電俘能器在所有流速下的輸出均被大幅度抑制,其中Ecy=6 mm 的壓電俘能器在U=0.51 m/s 的輸出為0.059 mW,降低了92.9%.此外隨著流速的不斷增加,Ecy=-1,-2 mm 在流速超過0.41 m/s 后能夠提高輸出功率,其中Ecy=-2 mm 在0.51 m/s 的流速下能夠產生1.308 mW 的RMS 功率.

4.2 特征值對壓電俘能器輸出特性的影響

4.1 中比較了不同特征值下流速對于壓電俘能器RMS 輸出功率的影響,接下來結合數(shù)學模型的計算結果,進一步分析特征值的變化對于壓電俘能器性能的影響.圖6(a) 表明隨著特征值從-2 mm 逐漸增大到6 mm,橢球型附著物壓電俘能器的輸出先減小再增大后減小的趨勢,最大值分別在Eell=-2,2 mm 處.這說明當特征值絕對值在0 附近,即凸起或凹陷相對較小時,附著物的施加能夠增強鈍體的振動,提高壓電俘能器的輸出功率,并且最大值的出現(xiàn)證明實現(xiàn)這種增強效果的附著物存在“最優(yōu)特征值”.在0.51 m/s 流速下,未包裹附著物的原始鈍體對應的壓電俘能器RMS 輸出功率為0.83 mW,而分別應用和-2 mm 特征值的橢球型與圓柱型附著物均有最大輸出,分別對應于1.41 和1.31 mW,相比于原始俘能器分別提高了69.88%和57.83%.此外當特征值大于2 mm 后,壓電俘能器的輸出產生不同程度的降低,這表明較大高度的附著物會抑制鈍體的振動.

圖6 不同形狀附著物的壓電俘能器RMS 輸出功率隨特征值的變化Fig.6 Variation of RMS output power for energy harvesters versus eigenvalues with different shaped attachment applied

對于圓柱型附著物如圖6(b) 所示,隨著附著物高度從最大凹陷增加到最大凸起,壓電俘能器的RMS 輸出功率在Ecy＜ 0 的范圍內不斷降低,并在E=0 處達到極小值;而在Ecy＞ 0 時又呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢.這與橢球型附著物的趨勢基本一致,說明兩種形狀附著物的特征值變化對壓電俘能器輸出的影響規(guī)律是基本相同的.

此外,附著物的恰當應用能夠增加壓電俘能器的輸出.在橢球型附著物特征值為-2 mm、流速為0.51 m/s 的條件下,俘能器的最大RMS 輸出功率為1.411 mW,對應的輸出功率密度ρp可被計算為11998.3 W/m3,與部分研究的俘能器輸出功率密度對比如表2 所示.

表2 與同類研究對比Table 2 Comparison with similar studies

4.3 特征值對懸臂梁振幅影響的分析

為了進一步分析附著物特征值的變化對壓電俘能器輸出的影響,通過機電解耦得到懸臂梁的底端振幅,如圖7 所示.通過與圖6 中相應特征值條件下RMS 輸出功率的對比可以發(fā)現(xiàn),懸臂梁的振幅與壓電俘能器輸出功率的變化趨勢基本相同,二者呈正相關.此外當U=0.51 m/s 時,沒有施加附著物的懸臂梁振幅為20.25 mm,相同流速下鈍體包裹了Ecy=6 mm 附著物的懸臂梁振幅則為3.07 mm,降低了84.83%,此時懸臂梁幾乎靜止,鈍體的振動得到大幅度抑制.

圖7 圓柱型附著物懸臂梁的振幅隨特征值的變化Fig.7 Variation of amplitude with eigenvalue of cantilever beam for cylindrical attachment

4.4 包裹附著物的鈍體擾流數(shù)值模擬

適當特征值的附著物對壓電俘能器功率輸出具有增幅效應,并且無論是橢球型還是圓柱型附著物,凹陷或者凸起高度為2 mm 時,增幅效應均最大.因此選取Eell=-2 mm,Ecy=-2 mm,Eell=2 mm,Ecy=2 mm 和E=0 的5 個鈍體進行三維數(shù)值模擬研究.D為鈍體的迎水面寬度,計算域設置為20D×6D×2D,鈍體距上游面6D.圍繞鈍體的周圍設置加密的四面體網格,其他區(qū)域采用六面體網格.對網格進行無關性驗證,均衡了效率和精度,最終網格數(shù)目控制在60 萬左右,整體網格質量控制在0.5 以上.為了定性地研究附著物對鈍體流致振動的影響,并考慮到計算效率及收斂性,將整個計算域的網格設為固定網格,湍流模型采用SSTk-ω,設置0.51 m/s 流速入口和環(huán)境出口,模擬時間步長為0.00125 s,計算步數(shù)為8000 步.

圖8 繪制了5 個鈍體的壓力和渦量云圖,從左側流入的水流在受到鈍體阻礙后流速降低并在其上游形成高壓區(qū);隨后從側邊繞過加速流向下游并產生低壓區(qū),加速過程中水流受黏性的影響形成脫落渦.對比圖8(a) 所示的壓力云圖發(fā)現(xiàn): 包裹附著物的鈍體周圍產生的高、低壓區(qū)之間的壓力差明顯大于未包裹附著物情況,這也對應更大的升力系數(shù),如表3所示.圖8(b) 所示的三維渦量云圖也表明包裹附著物后,從鈍體兩側脫落的尾渦明顯更大.絕對值為2 mm 附著物的存在,使在鈍體上形成的壓差升高,加劇流致振動,最終提高了壓電俘能器的輸出,這與試驗及模型得出的結果是一致的.

表3 升力系數(shù)Table 3 Lift coefficient

圖8 U=0.51 m/s 時,Eell=2,-2 mm,Ecy=2,-2 mm 和E=0 的云圖Fig.8 Contour of Eell=2,-2 mm,Ecy=2,-2 mm and E=0 with U=0.51 m/s

此外進一步對比包裹兩種類型附著物鈍體的脫落尾渦,發(fā)現(xiàn)在相同特征值下,包裹橢球型附著物的鈍體尾流渦街要比包裹圓柱型附著物的情況略微紊亂,推測是因為附著物的結構干擾了流體分層,這種干擾作用在橢球型附著物上要大于圓柱型附著物.

5 總結

本文采用數(shù)學模型、實驗及數(shù)值模擬相結合的方式研究了附著物的形狀和附著物的特征值對馳振式壓電俘能器輸出的影響.基于拓展的哈密頓原理建立壓電俘能器的機械控制方程,利用高斯定理建立電場-位移控制方程,通過準穩(wěn)態(tài)假設計算出馳振力,在利用伽遼金法離散懸臂梁位移的基礎上,實現(xiàn)對機電耦合控制模型的化簡和解耦,最終得到系統(tǒng)輸出及懸臂梁振動位移的近似解.模型計算的準確性得到了水槽實驗的驗證.利用數(shù)值模擬研究進一步分析了附著物在鈍體的振動過程中發(fā)揮的作用.本文主要結論如下.

(1) 在U=0.51 m/s 和Eell=-2 mm 的條件下,壓電俘能器最大RMS 輸出功率為1.411 mW,相比于E=0 的情況增加了69.88%.

(2) 隨著附著物的特征值從-2 mm 增加到6 mm,壓電俘能器的輸出功率均出現(xiàn)先減小再增大后減小的趨勢,凸起和凹陷分別在-2 和 2 mm 取得最大值.對于增強壓電俘能器的輸出而言,附著物的凸起和凹陷分別存在“最優(yōu)特征值”.

(3) 當U=0.51 m/s 時,Ecy=6 mm 條件下懸臂梁末端振幅為3.07 mm,與E=0 的情況相比降低了84.83%,附著物的減振效果為大跨度柔性結構的減振提供了參考.

(4) 數(shù)值模擬的結果表明: 特征值絕對值為2 mm 的附著物能夠令在鈍體上形成的壓差升高、升力變大,引起鈍體愈發(fā)劇烈的流致振動;并且附著物的應用會干擾鈍體兩側的流體分層,進而對脫落尾渦的大小產生影響.