湛文濤 趙 輝 饒 翔 劉 偉 徐云峰

(長(zhǎng)江大學(xué)石油工程學(xué)院,武漢 430100)

1 引言

隨著人工壓裂技術(shù)相關(guān)材料、方法和工藝取得新的進(jìn)展,水平井壓裂技術(shù)成為超低滲油藏、致密油藏等非常規(guī)油氣資源商業(yè)化開發(fā)中的主要技術(shù)手段[1].在壓裂過程中,地層中會(huì)形成許多導(dǎo)流裂縫,相比于天然裂縫,導(dǎo)流縫通常尺度較大,滲透率很高,但對(duì)于油藏區(qū)域而言,裂縫的尺度相對(duì)小,水力壓裂縫網(wǎng)儲(chǔ)層具有多尺度的特征.裂縫幾何(形狀,長(zhǎng)度以及方向)對(duì)流體流動(dòng)具有顯著的影響[2-3],分析這些影響因素,裂縫油藏?cái)?shù)值模擬模型是必要的.

目前裂縫性油藏?cái)?shù)值模擬方法主要分為兩類,連續(xù)介質(zhì)模型和離散介質(zhì)模型[4],其中,連續(xù)介質(zhì)模型主要包括等效連續(xù)介質(zhì)模型[5]和雙重介質(zhì)模型[6-7].在連續(xù)介質(zhì)中,裂縫和基質(zhì)被處理成等維度的離散單元.在離散介質(zhì)模型中,n維油藏系統(tǒng)中的裂縫被作為n-1 維處理,即在二維的油藏系統(tǒng)中,裂縫被認(rèn)為是一維的線段,而三維問題中裂縫則是二維的平面.這是這兩種方法在處理裂縫形態(tài)上本質(zhì)的區(qū)別.在連續(xù)介質(zhì)模型和離散介質(zhì)模型下,一些學(xué)者采用有限差分[8-11]、有限元[12-14]和有限體積[15-17]等數(shù)值模擬方法進(jìn)行流動(dòng)模擬計(jì)算,這些數(shù)值模擬計(jì)算方法都是基于網(wǎng)格剖分離散表征計(jì)算域.在連續(xù)介質(zhì)模型中,裂縫和復(fù)雜邊界幾何的精細(xì)描述需要更小的網(wǎng)格,這會(huì)造成數(shù)百萬計(jì)甚至數(shù)億計(jì)的模型自由度,極大增加計(jì)算耗時(shí).在離散介質(zhì)模型中,雖然將裂縫降維處理,能夠降低裂縫表征的難度,但高質(zhì)量的匹配性網(wǎng)格難以生成.嵌入式離散裂縫模型基于正交網(wǎng)格的基質(zhì)離散方案無法適用于實(shí)際油藏復(fù)雜邊界,針對(duì)該問題程林松等[18]提出基于兩套節(jié)點(diǎn)的格林元法耦合嵌入式裂縫模型能適用于任意形態(tài)的基質(zhì)網(wǎng)格,可實(shí)現(xiàn)復(fù)雜油藏邊界問題的求解,但該計(jì)算過程相對(duì)復(fù)雜.

近年來,無網(wǎng)格法在計(jì)算力學(xué)以及流體動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[19-22],常用的無網(wǎng)格法有加權(quán)最小二乘[23]、廣義有限差分[24]、無單元Galerkin 法[25]以及光滑粒子流體運(yùn)動(dòng)學(xué)法[26].無網(wǎng)格法通過點(diǎn)云的方式離散計(jì)算域,能夠更加靈活地刻畫裂縫和復(fù)雜邊界,對(duì)于油藏復(fù)雜幾何的描述相比于網(wǎng)格類方法更加簡(jiǎn)單.一些學(xué)者將無網(wǎng)格運(yùn)用于裂縫性油藏,比如將無網(wǎng)格法應(yīng)用到裂縫擴(kuò)展建模中,結(jié)合應(yīng)力分析裂縫幾何形狀演變過程[27].基于無網(wǎng)格廣義有限差分法和嵌入式離散裂縫模型,建立一種裂縫性油藏?cái)?shù)值模擬無網(wǎng)格方法[28],驗(yàn)證其方法對(duì)于復(fù)雜幾何形態(tài)刻畫的優(yōu)勢(shì)性,但該方法還存在著計(jì)算效率問題和不能直觀反映井節(jié)點(diǎn)間的連通關(guān)系.基于井間連通性思想[29-33],趙輝等[34]引入廣義有限差分理論,建立非歐物理連通網(wǎng)絡(luò)等效模型,推導(dǎo)滿足物質(zhì)守恒且具有物理意義的滲流特征參數(shù),提出一種新的油藏?cái)?shù)值模擬計(jì)算方法—無網(wǎng)格連接元法(connection element method,CEM),為油藏?cái)?shù)值模擬提供了新思路.基于連接元核心思想,定義無網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)控制體積,Rao 等[35]發(fā)展了擴(kuò)展有限體積法,本質(zhì)上它是連接元法的全隱式格式.

目前對(duì)于復(fù)雜裂縫網(wǎng)絡(luò)的刻畫,傳統(tǒng)方法存在著匹配性網(wǎng)格自適應(yīng)生成困難和結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格難以適用于裂縫網(wǎng)絡(luò)和油藏邊界的復(fù)雜幾何等問題.在應(yīng)用于實(shí)際油藏時(shí),數(shù)值模型的網(wǎng)格數(shù)將十分巨大,導(dǎo)致計(jì)算效率低、歷史擬合難,同時(shí)難以獲取注采井間的動(dòng)態(tài)連通性以及流線追蹤.本文將連接元法應(yīng)用于裂縫性油藏的開發(fā)動(dòng)態(tài)模擬,不同于網(wǎng)格體系(匹配網(wǎng)格或者結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格),針對(duì)多尺度裂縫儲(chǔ)層的表征,連接元法沿著裂縫的走勢(shì)配置相應(yīng)的不同尺度的連接單元,精細(xì)刻畫裂縫.該方法具有無網(wǎng)格特征,離散表征更加自由和靈活,能夠更加容易刻畫裂縫和復(fù)雜油藏邊界.此外,物理連通網(wǎng)絡(luò)的連接關(guān)系相比于網(wǎng)格體系和無網(wǎng)格點(diǎn)云能夠更加直觀揭示井間的連通關(guān)系.

2 裂縫油藏連接元法基本原理

區(qū)別于網(wǎng)格體系,該方法離散油藏計(jì)算域時(shí)不需要網(wǎng)格剖分,能夠避免網(wǎng)格體系表征油藏復(fù)雜幾何(裂縫、斷層以及不規(guī)則邊界)的困難.從流動(dòng)的角度,將油藏計(jì)算域離散成為一系列連接單元構(gòu)成的連接網(wǎng)狀拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),采用全隱式的離散方案基于牛頓迭代法可實(shí)現(xiàn)滲流控制方程的高效求解.以油水兩相流為例,介紹裂縫性油藏連接元方法的基本原理.

2.1 裂縫油藏連接元單元體系構(gòu)建

在油藏?cái)?shù)值模擬方法中,基于網(wǎng)格體系的離散方式,其主要目的是獲取離散后的網(wǎng)格單元體間的連接拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),按照其拓?fù)溥B接關(guān)系分析勢(shì)場(chǎng)和流場(chǎng)的相互作用關(guān)系.換而言之,網(wǎng)格剖分的本質(zhì)是建立離散單元體之間的連接關(guān)系,但基于網(wǎng)格體系的離散會(huì)限制其連接關(guān)系,它們只能建立相鄰網(wǎng)格間的連接關(guān)系,比如正交網(wǎng)格、三角剖分網(wǎng)格、PEBI網(wǎng)格離散.連接單元體系是一種物理網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),它是由節(jié)點(diǎn)間的連接單元所構(gòu)成.如圖1,利用連接單元將某個(gè)油藏離散為連接單元體系.顯然,基于連接單元體系離散避免了網(wǎng)格剖分對(duì)于不規(guī)則油藏邊界和裂縫的匹配性網(wǎng)格離散的困難,尤其對(duì)于尺度差異大的裂縫表征.這種方案幾何離散更加簡(jiǎn)單,不再受限于網(wǎng)格相鄰關(guān)系,而是更加靈活直觀地表征節(jié)點(diǎn)間的相互關(guān)系.

圖1 油藏的連接單元離散Fig.1 Reservoir discretization based on connection element

在實(shí)際油藏開發(fā)過程中,往往需要在地層中布置合理的生產(chǎn)井和注入井.在油藏?cái)?shù)值模擬中,部署的井往往是作為源匯項(xiàng)處理.基于網(wǎng)格體系的傳統(tǒng)數(shù)值模擬對(duì)于源匯項(xiàng)問題,往往是在背景網(wǎng)格的控制域上采用積分的方式處理.基于連接單元體系的節(jié)點(diǎn)沒有實(shí)質(zhì)控制域,為方便處理帶有源匯項(xiàng)的物理問題,在節(jié)點(diǎn)處需要給出一個(gè)控制體積域的概念.下面基于物質(zhì)守恒原理給出節(jié)點(diǎn)控制域的定義,所有節(jié)點(diǎn)間的控制域不相交,且所有控制域之和為整個(gè)油藏區(qū)域

其中,Ω 是整個(gè)油藏控制域;Ωi是節(jié)點(diǎn)i的控制域;VΩ是油藏總體積;Vi是節(jié)點(diǎn)控制體積.

2.2 滲流特征參數(shù)計(jì)算

連接單元體系的本質(zhì)將實(shí)際三維流場(chǎng)轉(zhuǎn)換為由一維連接單元構(gòu)成的物理連通網(wǎng)絡(luò),為在連接單元體系上對(duì)滲流方程進(jìn)行計(jì)算,需要建立表征連接單元的滲流特征參數(shù).定義節(jié)點(diǎn)間連接傳導(dǎo)率來表征連接單元的流體滲流能力,連接傳導(dǎo)率與勢(shì)場(chǎng)(如滲流問題的壓力場(chǎng))中對(duì)勢(shì)的計(jì)算(壓力)相關(guān).下面以兩相流控制方程為例,推導(dǎo)裂縫性油藏連接單元滲流特征參數(shù)的計(jì)算方法.

2.2.1 基質(zhì)間滲流參數(shù)表征

首先給出雙重介質(zhì)基質(zhì)系統(tǒng)兩相流滲流控制方程

式中,km和krσ分別是基質(zhì)系統(tǒng)絕對(duì)滲透率和相對(duì)滲透率,mD;μo和 μw是油和水黏度,mPa·s;? 是哈密爾頓梯度算子;pσ,m是基質(zhì)層壓力,MPa;sσ,m是基質(zhì)層飽和度,1;t是時(shí)間,d;qosi是地面標(biāo)況下的體積流量(源匯項(xiàng)),d-1;δ是狄拉克函數(shù),1;τmf是基質(zhì)與裂縫之間物質(zhì)交換的量.

對(duì)于式(2),壓力擴(kuò)散項(xiàng)在節(jié)點(diǎn)控制域 Ωi內(nèi)積分,得到

式中,i為影響域中心節(jié)點(diǎn),該影響域包含著其他ni個(gè)節(jié)點(diǎn),代表以i節(jié)點(diǎn)為中心節(jié)點(diǎn)計(jì)算的連接單元(i,η) 的傳導(dǎo)率.考慮以節(jié)點(diǎn)j為中心的影響域(包含節(jié)點(diǎn)i),該影響域包含著其他nj個(gè)節(jié)點(diǎn),可以得到

根據(jù)連接單元物質(zhì)平衡原理及所有節(jié)點(diǎn)的控制體積之和等于油藏體積的原則,可以求得每個(gè)節(jié)點(diǎn)的控制體積[28,34-35],進(jìn)而可以定義基質(zhì)節(jié)點(diǎn)間的連接單元 (i,j)的傳導(dǎo)率為

2.2.2 顯式裂縫間滲流參數(shù)表征

首先給出雙重介質(zhì)裂縫系統(tǒng)兩相流滲流控制方程

式中,kf和krσ分別是裂縫絕對(duì)滲透率和相對(duì)滲透率,mD;μo和 μw是油和水黏度,mPa·s;? 是哈密爾頓梯度算子;pf,σ是基質(zhì)層壓力,MPa;sf,σ是基質(zhì)層飽和度,1;t是時(shí)間,d;qσ,well是地面標(biāo)況下的體積流量(源匯項(xiàng)),d-1;δ是狄拉克函數(shù),1;τmf是基質(zhì)與裂縫之間物質(zhì)交換的量.

對(duì)于裂縫系統(tǒng)而言,類似于網(wǎng)格體系的傳導(dǎo)系數(shù)定義裂縫層兩裂縫節(jié)點(diǎn)間的傳導(dǎo)率為

2.2.3 兩相流基質(zhì)與顯式裂縫間滲流參數(shù)表征

對(duì)于基質(zhì)與裂縫間物質(zhì)交換的刻畫,Moinfar等[36]將嵌入式離散裂縫模型(EDFM)運(yùn)用到三維問題,定義基質(zhì)網(wǎng)格向裂縫網(wǎng)格的傳導(dǎo)系數(shù)為

式中,A是裂縫與基質(zhì)的界面面積,m2;k是滲透率張量,n為 法向向量,〈d〉為f與m之間的平均法向距離,m.

然而本文方法對(duì)于節(jié)點(diǎn)控制體積沒有一個(gè)具體的形狀描述,針對(duì)裂縫與基質(zhì)的界面面積A的刻畫,采取節(jié)點(diǎn)控制域內(nèi)裂縫總長(zhǎng)度Lf,i與裂縫高度hf,i的乘積.對(duì)于某中心節(jié)點(diǎn)i,Lf,i被取作所有以節(jié)點(diǎn)i為端點(diǎn)的裂縫連接單元的一半的總和

式中,Λ表示以節(jié)點(diǎn)i為端點(diǎn)的裂縫連接單元的其他端節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的集合;Lf,iζ是以節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn) ζ為端點(diǎn)的裂縫連接單元 (i,ζ)的長(zhǎng)度,m.

在處理基質(zhì)節(jié)點(diǎn)與裂縫節(jié)點(diǎn)間的物質(zhì)交換量的表達(dá)式為

本文考慮裂縫貫穿整個(gè)油藏儲(chǔ)層厚度,即裂縫高度與油藏儲(chǔ)層厚度h相同.是節(jié)點(diǎn)i的控制域內(nèi)基質(zhì)與裂縫竄流的調(diào)和平均滲透率,mD.d是裂縫與基質(zhì)竄流的等效法向距離,m

因此定義基質(zhì)層與裂縫層竄流的傳導(dǎo)率為

2.3 滲流控制方程離散求解

基于局部雙重介質(zhì)的裂縫油藏兩相流滲流控制方程如下.

基質(zhì)系統(tǒng)

裂縫系統(tǒng)

結(jié)合離散節(jié)點(diǎn)控制域 Ωi可將方程離散,其滲流控制方程的離散形式如下

對(duì)于油相和水相的相對(duì)滲透率,采用油藏?cái)?shù)值模擬中常用的迎風(fēng)格式,即

邊界條件主要是第一類邊界條件(Dirichlet 邊界)和第二類邊界條件(Neumann 邊界).處理第二類邊界條件時(shí),需要在邊界處加入虛擬點(diǎn),輔助計(jì)算邊界處的導(dǎo)數(shù)[35].虛擬點(diǎn)的加入方式在參考文獻(xiàn)里有詳細(xì)介紹,這里不再贅述.

2.4 連接單元體系路徑追蹤

基于網(wǎng)格體系的方法難以直觀獲取各井之間的相互作用關(guān)系.目前,針對(duì)裂縫油藏尚未形成簡(jiǎn)單實(shí)用的連通性定量表征方法,而基于連接體系的連接元法可通過INSIM-FPT[31]中的路徑搜索算法獲取各節(jié)點(diǎn)之間的所有流動(dòng)路徑及各流動(dòng)路徑的劈分系數(shù).劈分系數(shù)的數(shù)學(xué)描述如下,假設(shè)在第n個(gè)時(shí)間步,上游節(jié)點(diǎn)i與下游節(jié)點(diǎn)j之間直接相連(即存在連接單元),則節(jié)點(diǎn)i到節(jié)點(diǎn)j的劈分系數(shù)為[31]

式中,是與節(jié)點(diǎn)i相連的下游節(jié)點(diǎn)數(shù).

劈分系數(shù)反映了上游節(jié)點(diǎn)處的流體流到下游節(jié)點(diǎn)的比例,體現(xiàn)了節(jié)點(diǎn)之間的流動(dòng)相互作用,從而可以直觀揭示注水受效、水竄識(shí)別等礦場(chǎng)實(shí)際問題.此外,在某一時(shí)間步計(jì)算得到各節(jié)點(diǎn)控制體積的平均壓力后,在無網(wǎng)格連接體系的基礎(chǔ)上會(huì)形成壓力高低判別的有向圖,即對(duì)于某連接單元i-j,如果在第n時(shí)間步,節(jié)點(diǎn)i的壓力高于節(jié)點(diǎn)j,則連接單元i-j的方向定義為由i指向j.在這樣一個(gè)有向圖的基礎(chǔ)上,可以采用圖論中的路徑搜索算法獲取各節(jié)點(diǎn)之間的所有路徑.

3 應(yīng)用

本節(jié)主要的目的是探索裂縫性油藏連接元的計(jì)算性能.下面給出幾個(gè)數(shù)值算例來驗(yàn)證本文方法的有效性和優(yōu)越性,包括平行多縫單相流,復(fù)雜邊界平行多縫兩相流.引入L2范數(shù)誤差函數(shù),以精細(xì)網(wǎng)格剖分的EDFM 作為參考解,對(duì)比壓力、含水飽和度場(chǎng)圖以及含水率曲線.此外引入路徑追蹤方法,可以在連接單元體系下獲取流動(dòng)路徑和分析井節(jié)點(diǎn)間的連通性,以此體現(xiàn)本文方法獨(dú)特的優(yōu)越性.下面給出兩個(gè)算例相同的物性參數(shù)見表1

表1 油藏物性參數(shù)Table 1 Physical parameters of reservior

其中,u(i) 是計(jì)算值,uref(i)是參考值,T是節(jié)點(diǎn)(網(wǎng)格)總數(shù).

3.1 傾斜平行縫網(wǎng)單相流

油藏尺寸為960 m×520 m×10 m,油藏中心一口水平井P1,在地層中射開6 條平行傾斜裂縫,裂縫縱向上貫穿油藏,裂縫厚度與油藏厚度相同.基質(zhì)滲透率0.1 mD,以每天10 方的產(chǎn)量進(jìn)行衰竭開發(fā),模擬計(jì)算生產(chǎn)500 天.油藏網(wǎng)格剖分為120×65×1,網(wǎng)格大小Dx=Dy=8 m,Dz=10 m,網(wǎng)格總數(shù)7800,采用嵌入式離散裂縫模型精細(xì)解作為參考解.如圖2 (a)所示,給出了24×13 粗化網(wǎng)格的嵌入式離散裂縫油藏模型,網(wǎng)格大小Dx=Dy=40 m,Dz=10 m,網(wǎng)格總數(shù)312.如圖2 (b)所示,以等間距Dx=Dy=40 m,Dz=10 m 的24×13×1 的構(gòu)建連接元模型,影響域半徑為,總節(jié)點(diǎn)數(shù)312,連接單元總數(shù)2173.

圖2 裂縫性油藏模型離散Fig.2 The discretization of fractured reservoir model

根據(jù)滲流控制方程(19),對(duì)于單相流問題,通過EDFM 方法和CEM 方法求解壓力,計(jì)算整個(gè)油藏的壓力場(chǎng)分布.圖3～圖5 分別是EDFM 精細(xì)網(wǎng)格剖分、EDFM 粗化網(wǎng)格剖分和CEM 法在第100 天和第500 天的壓力場(chǎng)圖.結(jié)果表明,本文方法與參考解是一致的,說明了該方法的有效性和正確性.在24 ×13 配點(diǎn)模型下,統(tǒng)計(jì)計(jì)算機(jī)CPU 耗時(shí)(計(jì)算機(jī)型號(hào):12 th Gen Intel(R) Core(TM) i5-12400 F),基于精細(xì)網(wǎng)格的EDFM 計(jì)算耗時(shí)138.14 s,粗化網(wǎng)格的嵌入式離散裂縫模型計(jì)算耗時(shí)29.76 s,壓力場(chǎng)圖的計(jì)算精度96.2%,而連接單元法的計(jì)算耗時(shí)31.24 s,壓力場(chǎng)圖計(jì)算精度99.1%.在計(jì)算耗時(shí)相當(dāng)?shù)那闆r下,計(jì)算精度提高了2.9%.

圖3 EDFM 計(jì)算壓力,8 mFig.3 The pressure calculation of EDFM,8 m

圖4 EDFM 計(jì)算壓力,40 mFig.4 The pressure calculation of EDFM,40 m

圖5 CEM 計(jì)算壓力,40 mFig.5 The pressure calculation of CEM,40 m

下面從影響域半徑和配點(diǎn)間距兩個(gè)方面分析本文方法的穩(wěn)定性.首先采用均勻離散配點(diǎn)的方式離散油藏計(jì)算域,分別取如圖6 所示的3 種不同節(jié)點(diǎn)影響半徑構(gòu)建連接單元體系,需要說明是,從物質(zhì)流動(dòng)的角度出發(fā),共線的3 個(gè)點(diǎn),只取相鄰兩點(diǎn)構(gòu)建連接單元,計(jì)算不同模型的誤差如圖7 所示,結(jié)果表明,過小或者過大的影響域半徑會(huì)降低計(jì)算精度,這個(gè)結(jié)果也與無網(wǎng)格法的影響域半徑對(duì)計(jì)算精度的敏感性一致.因此,為獲取相對(duì)高的計(jì)算精度,本文在算例驗(yàn)證中影響域半徑取.

圖6 不同影響域半徑示意圖Fig.6 Diagram of different influence radius

圖7 不同影響域半徑壓力計(jì)算誤差Fig.7 Calculation error of pressure with different radius of influence

圖2 中已經(jīng)以等間距Dx=Dy=40 m,影響域半徑re=構(gòu)建連接元模型,下面分別給出以等間距Dx=Dy=20,10 m,兩種布點(diǎn)方案,影響域半徑+0.01構(gòu)建連接元模型,計(jì)算100 d 和500 d 的壓力分布如圖8 所示.圖9 是3 種不同配點(diǎn)間距連接元模型的壓力計(jì)算誤差,結(jié)果表明,隨著配點(diǎn)間距越小,計(jì)算精度越高,說明本文方法具有良好的收斂性.

圖8 不同間距布點(diǎn)CEM 計(jì)算壓力Fig.8 The pressure is calculated by CEM at different collocation intervals

圖9 不同間距布點(diǎn)CEM 壓力計(jì)算誤差Fig.9 Calculation error of CEM pressure at different collocation intervals

3.2 不規(guī)則邊界平行縫網(wǎng)油水兩相流

設(shè)計(jì)一個(gè)不規(guī)則邊界油藏的概念算例,在油藏中布置有3 口水平生產(chǎn)井以及7 口注水井,裂縫縱向上貫穿油藏,裂縫厚度與油藏厚度相同,油藏區(qū)域如圖10 (a)所示.油藏總體積為4.212 ×105m3,基質(zhì)滲透率10 mD.3 口水平井均以350 m3/d 產(chǎn)液量,7 口注水井以150 m3/d 注入量的生產(chǎn)制度進(jìn)行開發(fā).如圖10 (b),以網(wǎng)格大小為Dx=Dy=4 m,Dz=10 m 離散油藏計(jì)算域,網(wǎng)格總數(shù)33325,以此精細(xì)網(wǎng)格剖分的EDFM 數(shù)值模型作為參考解.圖10(c)是連接元油藏離散模型,節(jié)點(diǎn)總數(shù)1053,連接單元總數(shù)7868.連接單元法沿著油藏邊界配置相應(yīng)的節(jié)點(diǎn),相比于網(wǎng)格離散,能更靈活地匹配實(shí)際油藏邊界.為了對(duì)比邊界處的滲流場(chǎng)的計(jì)算精度,在油藏左下邊界上取一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)A(如圖10 (b)),對(duì)比注采過程中壓力和含水飽和度的計(jì)算結(jié)果.

圖10 不規(guī)則油藏模型Fig.10 Irregular reservoir model

以精細(xì)網(wǎng)格剖分EDFM 計(jì)算壓力、含水飽和度、含水率以及產(chǎn)油速度等參數(shù)作為參考解.結(jié)合兩相流的控制方程離散格式,采用連接單元法計(jì)算油藏的壓力和飽和度分布,求解井點(diǎn)的含水率以及產(chǎn)油速度等參數(shù).如圖11,分別給出了第500 d EDFM 與CEM 計(jì)算的壓力結(jié)果.圖12 是第100 d和500 d EDFM 與CEM 計(jì)算的飽和度,本文方法計(jì)算的結(jié)果與參考解一致.圖13 是兩種方法計(jì)算觀察點(diǎn)處的壓力和含水飽和度動(dòng)態(tài)曲線.結(jié)果表明,本文方法在邊界處具有較高的計(jì)算精度.通過壓力和飽和度的計(jì)算,說明了裂縫性油藏連接元法具有較高的計(jì)算精度.此外,對(duì)比了3 口水平生產(chǎn)井的含水率和產(chǎn)油速度等動(dòng)態(tài)參數(shù),如圖14 所示,連接元的井點(diǎn)參數(shù)計(jì)算結(jié)果與參考解結(jié)果一致.基于精細(xì)網(wǎng)格的嵌入式離散裂縫模型計(jì)算耗時(shí)621.41 s,連接單元法的計(jì)算耗時(shí)126.53 s,3 口生產(chǎn)井P1,P2 和P3 的含水率的計(jì)算精度分別為90.41%,88.26% 和91.89%.連接單元法在較少的節(jié)點(diǎn)體系下取得了較高的計(jì)算精度,相比于精細(xì)的嵌入式離散裂縫模型而言,計(jì)算速度提高了近5 倍.因此,本文方法能夠取得計(jì)算精度和計(jì)算效率的更優(yōu)平衡.此外,引入路徑追蹤方法,計(jì)算7 口注水井的劈分系數(shù),如圖15 所示.

圖11 壓力場(chǎng)圖Fig.11 Pressure profile

圖12 含水飽和度場(chǎng)圖Fig.12 Water saturation profile

圖13 邊界觀測(cè)點(diǎn)結(jié)果對(duì)比Fig.13 Comparison of boundary observation points

圖14 含水率與產(chǎn)油速度曲線Fig.14 Water cut and oil rate curves

圖15 注采連通示意圖Fig.15 Injection-production connectivity profile

4 結(jié)論

(1)本文構(gòu)建一種基于無網(wǎng)格連接單元體系的裂縫性油藏?cái)?shù)值模擬方法,該方法具有無網(wǎng)格特征,相比于網(wǎng)格離散,對(duì)于裂縫幾何形態(tài)、分布以及不規(guī)則油藏邊界的精細(xì)刻畫非常自由靈活,能夠更加適用于裂縫性油藏復(fù)雜幾何特征的刻畫.

(2)相較于傳統(tǒng)方法,本文方法在離散滲流控制方程時(shí),構(gòu)造了未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的多點(diǎn)差分近似格式,具有更高的估計(jì)精度,即使在相對(duì)粗化的模型下,也能具有更加豐富的節(jié)點(diǎn)(網(wǎng)格)間連接拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).因此,該方法能夠通過粗化模型,降低油藏?cái)?shù)值模型計(jì)算自由度,提高計(jì)算效率的同時(shí),保證了較高的計(jì)算精度,能夠取得計(jì)算精度和計(jì)算效率的更優(yōu)平衡.

(3)相較于傳統(tǒng)方法,本文方法能夠在粗化模型下,利用路徑追蹤算法高效直觀地獲取節(jié)點(diǎn)間的相互作用,計(jì)算無網(wǎng)格連接體系下各流動(dòng)路徑的注水劈分系數(shù),實(shí)現(xiàn)裂縫性油藏井間連通關(guān)系的定量識(shí)別.