郭子文 章公也 糜長(zhǎng)穩(wěn)

(東南大學(xué)土木工程學(xué)院,南京 210096)

引言

力電耦合效應(yīng)是廣泛存在于各類電介質(zhì)材料中的多場(chǎng)耦合效應(yīng)之一,常見的形式有壓電效應(yīng)、電致伸縮效應(yīng)、鐵電效應(yīng)等[1-5].一些線性力電耦合效應(yīng),如壓電效應(yīng)和撓曲電效應(yīng),由于可以實(shí)現(xiàn)電能和機(jī)械能之間的相互轉(zhuǎn)化而被廣泛應(yīng)用于多種機(jī)電器件和設(shè)備中,例如諧振器、傳感器、發(fā)電機(jī)和濾波器等[6-10].

撓曲電效應(yīng)是電介質(zhì)中應(yīng)變梯度(非均勻應(yīng)變)與電極化之間的耦合(正撓曲電效應(yīng)),或者電極化梯度與應(yīng)力的耦合關(guān)系(逆撓曲電效應(yīng)).正撓曲電效應(yīng)將機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電能,可用于制造傳感元件或發(fā)電元件.逆撓曲電效應(yīng)能夠?qū)㈦娔苻D(zhuǎn)化為機(jī)械能,可應(yīng)用于制造驅(qū)動(dòng)元件.在傳統(tǒng)壓電材料中,均勻應(yīng)變(如單軸拉壓)能夠通過壓電效應(yīng)激發(fā)電極化,其中,非中心對(duì)稱晶體是材料表現(xiàn)壓電性的必要條件;而撓曲電效應(yīng)即使在中心對(duì)稱晶體中,也可通過非均勻應(yīng)變(如彎曲變形)局部破壞材料內(nèi)部正負(fù)電荷的對(duì)稱性并誘發(fā)撓曲電極化.近年來,撓曲電效應(yīng)逐漸引起了研究者們的廣泛關(guān)注.相比于壓電效應(yīng),撓曲電效應(yīng)具有明顯的優(yōu)勢(shì).一方面,壓電效應(yīng)僅存在于20 種非中心對(duì)稱的介電材料中,這極大限制了壓電材料的進(jìn)一步發(fā)展與應(yīng)用.而非均勻應(yīng)變能夠在所有介電材料中產(chǎn)生電極化,即撓曲電材料的來源比壓電材料更廣泛.另一方面,由于壓電材料在高于居里溫度時(shí)會(huì)發(fā)生相變,導(dǎo)致材料對(duì)稱性增高,壓電性消失,因而壓電效應(yīng)很難應(yīng)用于高溫場(chǎng)合,而撓曲電效應(yīng)沒有這個(gè)限制,故撓曲電材料的工作溫度范圍更廣.除此之外,撓曲電效應(yīng)會(huì)隨著尺度的降低而急劇增強(qiáng),當(dāng)材料特征尺寸達(dá)到微納米量級(jí)時(shí),撓曲電效應(yīng)會(huì)變得十分顯著,因此在微納米材料中撓曲電效應(yīng)變得更加不可忽視[11-12].

在考慮撓曲電效應(yīng)的連續(xù)介質(zhì)力學(xué)模型中,機(jī)械載荷引起的彎曲變形和曲率引起的撓曲電極化是大多數(shù)研究人員關(guān)心的問題[13-20].除此之外,利用熱彈性、熱電性或磁致伸縮效應(yīng)引起的熱或磁致變形和電極化在多場(chǎng)耦合領(lǐng)域也已得到廣泛應(yīng)用[21-24].特別地,與直接施加機(jī)械載荷相比,利用磁電耦合材料進(jìn)行磁調(diào)控是一種非接觸式的智能驅(qū)動(dòng)方法,通常出現(xiàn)在以壓磁性材料作為驅(qū)動(dòng)器的復(fù)合結(jié)構(gòu)中,能夠?qū)崿F(xiàn)磁-力-電的多場(chǎng)耦合.磁電耦合材料具有很多重要的應(yīng)用,包括磁傳感器、數(shù)據(jù)存儲(chǔ)、醫(yī)學(xué)中的遠(yuǎn)程藥物傳遞和無(wú)線能量采集器等[25-27].雖然自然界中的磁電耦合單相材料確實(shí)存在,如BiFeO3,Cr2O3和YMnO3,但是,它們具有較低的居里溫度并且在室溫下的磁電耦合性能很弱,這無(wú)疑限制了磁電耦合材料的應(yīng)用[25].為此,人們轉(zhuǎn)而采用壓電和磁致伸縮復(fù)合結(jié)構(gòu),用以規(guī)避單一構(gòu)型磁電材料的缺點(diǎn),如BaTiO3和CoFe2O4磁電復(fù)合材料[28]、PZT 壓電陶瓷與稀土合金Terfenol-D 磁電復(fù)合材料等[29].近期,Li 等[30]針對(duì)一維非壓電懸臂梁的研究表明,通過磁場(chǎng)也可以激發(fā)撓曲電極化,這進(jìn)而拓寬了撓曲電器件的應(yīng)用范圍.

現(xiàn)有文獻(xiàn)對(duì)于撓曲電效應(yīng)的結(jié)構(gòu)理論研究大多只針對(duì)彎曲和屈曲等靜態(tài)問題,缺乏對(duì)于較為復(fù)雜的受迫振動(dòng)等動(dòng)態(tài)問題的研究,尤其是將磁場(chǎng)作為驅(qū)動(dòng)源時(shí)的動(dòng)態(tài)振動(dòng)機(jī)制尚不明晰.有鑒于中心對(duì)稱撓曲電介電材料在微納米尺度下顯著的力電耦合效應(yīng)和磁場(chǎng)的非接觸驅(qū)動(dòng)特性,本文以具有單個(gè)撓曲電層和兩個(gè)對(duì)稱壓磁層組成的夾層板為例,通過多物理場(chǎng)結(jié)構(gòu)理論建模,研究夾層板在全局和局部磁場(chǎng)驅(qū)動(dòng)下的動(dòng)態(tài)力電耦合響應(yīng),以期為磁控機(jī)電器件的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供新的改進(jìn)思路.

1 結(jié)構(gòu)理論框架

從連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的角度看,對(duì)于特定的模型結(jié)構(gòu),可以將三維框架簡(jiǎn)化為一維的梁、桿或二維的板模型,再通過解析法對(duì)這些模型進(jìn)行求解.因此,本節(jié)將基于Mindlin 發(fā)展的多物理場(chǎng)結(jié)構(gòu)理論分析方法建立撓曲電夾層板的二維理論分析框架.

1.1 單層撓曲電板

如圖1 所示的單層撓曲電薄板,長(zhǎng)度和寬度分別為a和b,厚度為2h.采用直角坐標(biāo)系 (x1,x2,x3),在外部橫向力q(x1,x2)的作用下發(fā)生變形.根據(jù)Mindlin 結(jié)構(gòu)理論假設(shè),板內(nèi)任意質(zhì)點(diǎn)的位移可沿板的厚度方向按級(jí)數(shù)形式展開,其一階截?cái)嗟谋磉_(dá)式為[31-32]

圖1 單層板及采用的坐標(biāo)系Fig.1 A single-layer plate and coordinate system

其中,φ(0)和 φ(1)表示沿板面的零階電勢(shì)和沿板橫向的一階電勢(shì).

根據(jù)經(jīng)典偶應(yīng)力理論[33-36],無(wú)窮小應(yīng)變張量定義為 ε=(?u+u?)/2;曲率張量表達(dá)式為χ=θ ??,其中 θ(=(?×u)/2) 為旋轉(zhuǎn)矢量.結(jié)合式(1) 可得非0應(yīng)變和曲率分量分別為

此外,靜電場(chǎng)強(qiáng)度可由電勢(shì)的負(fù)梯度計(jì)算得到,即E=-?φ.結(jié)合式(2)可得其分量形式為

根據(jù)偶應(yīng)力撓曲電理論[36-37],單層撓曲電板的Gibbs 自由能(G)在 [0,T]時(shí)間內(nèi)的一階變分為

對(duì)應(yīng)于上式的本構(gòu)方程為[38]

其中,Cijkl為撓曲電板的4 階彈性剛度張量、sij為介電系數(shù)張量、fikl為3 階撓曲電系數(shù)張量,反映電極化和曲率之間的力電耦合效應(yīng).

1.2 夾層板的三維本構(gòu)關(guān)系

考慮圖2 所示的三明治式壓磁驅(qū)動(dòng)撓曲電夾層板結(jié)構(gòu),該模型建立在直角坐標(biāo)系 (x1,x2,x3)之中,由中間的撓曲電層和沿著撓曲電層的中面呈上下對(duì)稱分布的兩個(gè)壓磁層組成.其中,撓曲電層選用具有中心對(duì)稱的立方晶體結(jié)構(gòu)(m3m 點(diǎn)群)材料,具有撓曲電性.壓磁層選用具有橫觀各向同性的六方晶體結(jié)構(gòu)(6mm 點(diǎn)群)材料,不含壓電性和磁電耦合效應(yīng),僅考慮壓磁性能.兩側(cè)六方晶體壓磁層的c軸雖均沿x3方向,但是二者極化方向相反.在橫向磁場(chǎng)H3作用下,當(dāng)其中一個(gè)壓磁層在面內(nèi)由磁致伸縮效應(yīng)產(chǎn)生拉伸變形時(shí),另一個(gè)壓磁層則會(huì)產(chǎn)生壓縮變形,夾層板結(jié)構(gòu)整體的拉壓變形得以相互抵消,反之亦然.

圖2 磁場(chǎng)作用下的夾層板模型Fig.2 A sandwich plate model under a magnetic field

對(duì)于立方晶體結(jié)構(gòu)材料,撓曲電層的三維本構(gòu)關(guān)系為[38]

對(duì)于橫觀各向同性結(jié)構(gòu)材料,上部壓磁層的三維本構(gòu)關(guān)系為[39]

下部壓磁層的c軸方向?yàn)樨?fù)時(shí),壓磁系數(shù)的符號(hào)發(fā)生改變,因而其面內(nèi)正應(yīng)力本構(gòu)方程變?yōu)?/p>

1.3 夾層板的控制方程和邊界條件

對(duì)應(yīng)的邊界條件為

其中,ρ表示質(zhì)量密度.式(13) 中的物理量建立在(n,s,x3)下,由坐標(biāo)系(x1,x2,x3)轉(zhuǎn)換得到[41].

將式(3)～式(5)、式(8)～式(10)代入式(13),再將所得二維本構(gòu)代入式(11),可得到以位移,,,電勢(shì) φ(1)以及磁場(chǎng)強(qiáng)度H3表示的夾層板控制方程,即

其中

2 受迫振動(dòng)分析

為了論證上節(jié)建立的撓曲電夾層板二維理論模型,本節(jié)將分別對(duì)其在全局和局部橫向磁場(chǎng)作用下的動(dòng)態(tài)力電耦合響應(yīng)展開研究.以簡(jiǎn)支板閉合電路狀態(tài)為例(邊界配置如圖3 所示),邊界條件可根據(jù)式(12)得到,即

圖3 橫向磁場(chǎng)驅(qū)動(dòng)下夾層板的邊界配置Fig.3 Boundary configuration of sandwich plate under a transverse magnetic field

對(duì)于矩形板,沿x1=0 和x1=a,邊界條件為

將二維本構(gòu)代入式(18)可進(jìn)一步得到

沿x2=0和x2=b,邊界條件為

將二維本構(gòu)代入式(21)可進(jìn)一步得到

本節(jié)主要分析外部磁場(chǎng)對(duì)模型的驅(qū)動(dòng)作用,不考慮體力項(xiàng),即令.夾層板受到時(shí)諧磁場(chǎng)的作用,磁場(chǎng)強(qiáng)度表達(dá)式為

其中,ξm=mπ/a,ζn=nπ/b,ω是板的激振頻率,i 是虛數(shù)單位并滿足i2=-1.代表磁場(chǎng)強(qiáng)度正弦級(jí)數(shù)展開式的系數(shù),可通過積分計(jì)算得到,即

取決于外加驅(qū)動(dòng)磁場(chǎng)的形式,位移場(chǎng)和電勢(shì)場(chǎng)也必然具有相應(yīng)的時(shí)空分布特征,即

將式(23)和式(25)代入控制方程(14)得線性方程組

其中,Kij和Mij分別為4×4 的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣,二者的非零分量為

為了求解數(shù)值結(jié)果,本節(jié)選取的板尺寸參數(shù)為:h=10 nm,c=0.4h,a=b=40h.壓磁層和撓曲電層材料分別選取CoFe2O4和Si,二者的物理參數(shù)如表1 所示[40,42].值得注意的是,由于CoFe2O4的撓曲電系數(shù)無(wú)法在現(xiàn)有文獻(xiàn)中得出,本文忽略了壓磁層的撓曲電效應(yīng)[43].

表1 CoFe2O4 和Si 的材料參數(shù)Table 1 Material parameters of CoFe2O4 and Si

2.1 全局磁場(chǎng)驅(qū)動(dòng)

本小節(jié)研究全局磁場(chǎng)驅(qū)動(dòng)下復(fù)合板的受迫振動(dòng)問題,考慮幅值為h0=1.0×106A/m 的正弦型磁場(chǎng)強(qiáng)度分布形式

圖4 展示了單側(cè)壓磁層驅(qū)動(dòng)撓曲電雙層板(藍(lán)色線條)(參見文獻(xiàn)[40])與當(dāng)前夾層板模型(紅色線條)在正弦型全局磁場(chǎng)驅(qū)動(dòng)下的一階電勢(shì)幅頻關(guān)系對(duì)比,兩種模型的材料組分占比和幾何尺寸均保持一致.從圖中可以看出,一階電勢(shì)表現(xiàn)出明顯的頻率依賴性,當(dāng)激振頻率遠(yuǎn)離固有頻率時(shí),一階電勢(shì)的振動(dòng)幅值幾乎為零,而當(dāng)激振頻率靠近固有頻率時(shí),一階電勢(shì)的振動(dòng)幅度急劇增加,在固有頻率處達(dá)到最大值.此外,相較于“雙層復(fù)合板”、“當(dāng)前夾層板”的一階電勢(shì)明顯增大,峰值提高了10%以上,這表明對(duì)稱式驅(qū)動(dòng)壓磁層分布方式趨于提高多層復(fù)合板的力電耦合性能.

圖4 全局磁場(chǎng)驅(qū)動(dòng)下的一階電勢(shì)幅頻關(guān)系對(duì)比Fig.4 Comparison of amplitude-frequency curve of first-order potential under the global magnetic field

2.2 局部磁場(chǎng)驅(qū)動(dòng)

本小節(jié)采用H3=h0exp(iωt)的均布局部磁場(chǎng)驅(qū)動(dòng)復(fù)合板,磁場(chǎng)的驅(qū)動(dòng)范圍是一個(gè)長(zhǎng)度為2d(d＜a/2),寬度為2e(e＜b/2)的矩形區(qū)域,如圖5 所示的灰色區(qū)域,關(guān)于矩形板的中心(x0,y0)對(duì)稱.對(duì)于該均布局部磁場(chǎng),式(24)中的傅里葉系數(shù)可計(jì)算為

圖5 局部驅(qū)動(dòng)磁場(chǎng)作用區(qū)域(灰色區(qū)域)Fig.5 Local magnetic field area (grey area)

局部磁場(chǎng)的具體驅(qū)動(dòng)范圍可通過改變d和e進(jìn)行調(diào)整,為了便于進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,本小節(jié)取d=e=25 nm.

圖6 展示了局部磁場(chǎng)驅(qū)動(dòng)下復(fù)合板的撓度振動(dòng)幅值與激振頻率關(guān)系,其中,h0=1.0×106A/m.在式(23) 中共保留了30 項(xiàng),此時(shí)的計(jì)算結(jié)果與保留60 項(xiàng)時(shí)在小數(shù)點(diǎn)后第3 位依然一致,表明在驅(qū)動(dòng)磁場(chǎng)的傅里葉級(jí)數(shù)中取30 項(xiàng)可以滿足收斂性要求.從圖6 中可以看出,在0～5.0×1010rad/s 的激振頻率范圍內(nèi),一共出現(xiàn)了3 階固有頻率,相應(yīng)產(chǎn)生了3 個(gè)共振峰,并且,隨著固有頻率的增加,共振峰值越來越低.受到復(fù)合板振動(dòng)阻尼的影響,固有頻率不再表現(xiàn)為單一的頻率值,而是表現(xiàn)為一小段固有頻率區(qū)間.

圖6 局部磁場(chǎng)驅(qū)動(dòng)下夾層板的撓度幅頻關(guān)系Fig.6 Deflection amplitude-frequency curve of the sandwich plate under local magnetic field

與圖6 的前兩階固有頻率相對(duì)應(yīng),圖7 給出了夾層板的撓度、轉(zhuǎn)角和橫向電勢(shì)振型.雖然這些振型實(shí)際上是復(fù)值,但由于它們的虛部遠(yuǎn)小于實(shí)部,因此可略去虛部.由于矩形板幾何尺寸和磁場(chǎng)作用范圍的對(duì)稱性,夾層板的轉(zhuǎn)角的分布類似,出于簡(jiǎn)化的目的,的分布未做展示.從圖7 中可以看出,這些振型具有很強(qiáng)的頻率依賴性,低階振型具有更大的振動(dòng)幅值,而高階振型沿復(fù)合板長(zhǎng)度和寬度方向具有更短的周期.特別地,從圖7(b)和圖7(f)中還可以明顯看出,由于磁場(chǎng)的局部驅(qū)動(dòng)特征,在作用區(qū)域中心附近產(chǎn)生撓度、轉(zhuǎn)角和電勢(shì)峰值.圖7所展示的結(jié)果對(duì)板型磁驅(qū)動(dòng)器(磁能轉(zhuǎn)換為機(jī)械能)和板型磁傳感器(磁能轉(zhuǎn)換為電能)的優(yōu)化設(shè)計(jì)具有重要的參考價(jià)值.

圖7 局部磁場(chǎng)驅(qū)動(dòng)下夾層板的前兩階撓度、轉(zhuǎn)角和一階電勢(shì)振型Fig.7 The first two order deflection,rotation angle and first-order potential mode of the sandwich plate under the local magnetic field

圖7 局部磁場(chǎng)驅(qū)動(dòng)下夾層板的前兩階撓度、轉(zhuǎn)角和一階電勢(shì)振型 (續(xù))Fig.7 The first two order deflection,rotation angle and first-order potential mode of the sandwich plate under the local magnetic field (continued)

3 結(jié)論

本文以探索新型磁控納米機(jī)電器件為研究背景,提出了一種新的三明治式壓磁驅(qū)動(dòng)撓曲電夾層板模型,構(gòu)建了夾層板的二維控制方程和邊界條件,并分析了矩形簡(jiǎn)支板在全局和局部磁場(chǎng)激勵(lì)下的動(dòng)態(tài)力電耦合響應(yīng).基于本文的數(shù)值研究結(jié)果可以獲得以下兩點(diǎn)重要結(jié)論.

(1) 在外部時(shí)諧磁場(chǎng)驅(qū)動(dòng)下,夾層板的位移和電勢(shì)振動(dòng)幅值依賴于激振頻率.隨著固有頻率的增加,振型幅值迅速衰減,振型表現(xiàn)出周期變化特征.

(2) 驅(qū)動(dòng)壓磁層的分布方式對(duì)復(fù)合板結(jié)構(gòu)的力電耦合響應(yīng)具有重要影響,本文設(shè)計(jì)的對(duì)稱式驅(qū)動(dòng)壓磁層分布方式趨于提高復(fù)合板的力電耦合性能.

本文的理論模型和研究結(jié)果可為磁控機(jī)電器件的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供新的改進(jìn)思路.