李倩　劉成龍　楊坤林

余弦定理是高中數(shù)學(xué)重要的內(nèi)容，是解決數(shù)學(xué)問題的重要工具.具體來(lái)講，余弦定理形式優(yōu)美，內(nèi)涵豐富，不僅是勾股定理的推廣，同時(shí)也是正弦定理的深化，在解三角形中發(fā)揮著不可替代的重要.因此，余弦定理引起一線教師們的廣泛關(guān)注，尤其在如何開展余弦定理的教學(xué)上.比如，張躍紅基于學(xué)生為主體這一理念對(duì)余弦定理進(jìn)行了教學(xué)設(shè)計(jì)［1］，鐘進(jìn)均根據(jù)高中學(xué)生的心理特點(diǎn)、不同學(xué)習(xí)水平、不同學(xué)習(xí)興趣學(xué)生的需要，運(yùn)用多種教學(xué)方法和手段對(duì)余弦定理的教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行了深入探究［2］，王思儉基于一堂余弦定理觀摩課實(shí)錄進(jìn)行探究性教學(xué)研究［3］，秦瑾在教育數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下，形成一種新穎的相對(duì)獨(dú)立、不依賴舊知識(shí)、不需要技巧性的余弦定理教學(xué)新方式［4］.對(duì)已有研究成果進(jìn)一步分析，可以發(fā)現(xiàn)研究者們?cè)诮虒W(xué)設(shè)計(jì)中更多的是關(guān)注知識(shí)與技能的獲取，而對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展關(guān)注較少.因此，本文基于發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)展開余弦定理的教學(xué)設(shè)計(jì).

一、基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的數(shù)學(xué)教學(xué)

隨著《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》的頒布，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)正式拉開帷幕［5］.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中形成的能夠反映數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)本質(zhì)，能夠適應(yīng)自身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的、與數(shù)學(xué)有關(guān)的具有綜合性、整體性和持久性能力和思維品質(zhì).

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅是傳授數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，更是發(fā)展數(shù)學(xué)思維的教學(xué)，其最終目的是促進(jìn)人的發(fā)展.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和數(shù)學(xué)教學(xué)二者是相互依存，互相促進(jìn)的關(guān)系：數(shù)學(xué)教學(xué)為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提供載體，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中逐步發(fā)展核心素養(yǎng)，而數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)既是數(shù)學(xué)教學(xué)的理論基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)指引和歸宿.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為根據(jù)展開頂層設(shè)計(jì)，為數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)提供方向保障，努力將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的每個(gè)環(huán)節(jié).同時(shí)，在教學(xué)中將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展作為基本任務(wù)，不斷為學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展創(chuàng)造條件.

二、基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的余弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）教材分析

本節(jié)課內(nèi)容包含余弦定理的概念、公式、推論以及應(yīng)用.在此之前，已經(jīng)學(xué)習(xí)全等三角形、三角函數(shù)、平面幾何、平面向量、解析幾何、正弦定理等與本節(jié)課緊密聯(lián)系的內(nèi)容，為余弦定理的發(fā)現(xiàn)提供了基礎(chǔ)，為余弦定理的多視角證明提供了可能［6］.

（二）學(xué)情分析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了正弦定理的概念、公式、推論以及應(yīng)用等基本知識(shí)，并能解決簡(jiǎn)單的三角形問題，具備一定的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，數(shù)學(xué)建模能力、數(shù)學(xué)抽象能力等.

（三）教學(xué)過(guò)程

基于核心素養(yǎng)發(fā)展，將余弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)為五個(gè)環(huán)節(jié)，基本流程是：創(chuàng)設(shè)情境——建構(gòu)模型——合作探究——學(xué)以致用——拓展延伸.下文對(duì)每個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行詳細(xì)的介紹.

1.創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

情境1 一列火車從甲地駛往乙地，兩地相距800km.但由于途中鐵軌故障正在維修，火車需繞行.于是，這列火車在甲地先沿與原方向成60°的方向行駛了600km，再改變方向，沿直線行駛到達(dá)乙地.這次行駛路程比原來(lái)的800km增加了多少呢？

問題1 能否將上述問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題？

預(yù)設(shè)：學(xué)生對(duì)情景水平數(shù)學(xué)化，得到數(shù)學(xué)問題（如圖1）：在△ABC中，已知AB=600，AC=800，∠A=60°，求BC.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體驗(yàn)由現(xiàn)實(shí)情境抽象出數(shù)學(xué)問題的過(guò)程，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

2.構(gòu)建模型，解決問題

問題2 能否將上述數(shù)學(xué)問題抽象成更一般的數(shù)學(xué)問題？

預(yù)設(shè)：在△ABC中，已知b、c和∠A，求a.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷垂直數(shù)學(xué)化過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

問題3 你能用正弦定理解答上述問題嗎？

預(yù)設(shè)：用正弦定理解答該問題較難，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)創(chuàng)設(shè)必要，同時(shí)引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突.

問題4 正弦定理的證明方法能否遷移到上述問題的解決嗎？

預(yù)設(shè)：通過(guò)作高，將一般三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形.在教師引導(dǎo)下，對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行探究：

（1）如圖2，當(dāng)∠A為銳角時(shí)，過(guò)B點(diǎn)作AC的垂線，垂足為D.在Rt△ABD中，BD=csinA，AD=ccosA；所以DC=b－ccosA，于是a2=（csinA）2+（b－cosA）2=c2sin2A+b2－2bccosA+c2cos2A=c2+b2－2bccosA.故a2=c2+b2－2bccosA.

（2）如圖3，當(dāng)∠A為直角時(shí)，a2=b2+c2，有a2=c2+b2－2bccosA.

（3）如圖4，當(dāng)∠A為鈍角時(shí)，過(guò)B點(diǎn)作CA延長(zhǎng)線的垂線，垂足為D.BD=csin（π－∠CAB）=csin∠CAB，AD=ccos（π－∠CAB）=－ccos∠CAB，CD=b－ccos∠CAB，所以a2=（b－ccos∠CAB）2+c2sin2∠CAB=b2+c2cos2∠CAB－2bccos∠CAB+c2sin2∠CAB，得a2=c2+b2－2bccosA.綜上可知a2=c2+b2－2bccosA.

問題5 能用a、c和∠B表示b嗎？能用a、b和∠C表示c嗎？

預(yù)設(shè)：同理可得b2=a2+c2－2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.

問題6 通過(guò)分類討論得到了邊與角余弦的關(guān)系，能用文字語(yǔ)言描述這一關(guān)系嗎？

預(yù)設(shè)：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍.

教師：上述結(jié)論稱為余弦定理.

設(shè)計(jì)意圖：在問題解決的過(guò)程中，發(fā)展學(xué)生的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

3.合作探究，強(qiáng)化理解

問題7 還能用其它方法證明余弦定理嗎？

預(yù)設(shè)：學(xué)生陷入思考，證明思路不清楚.

問題8 由余弦定理中所包含的兩邊及其夾角余弦值的乘積你能想到什么？

預(yù)設(shè)：向量數(shù)量積中含有兩線段及其夾角余弦值的乘積.

三、教學(xué)反思

基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的余弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)水平數(shù)學(xué)化得到數(shù)學(xué)問題，經(jīng)歷垂直數(shù)學(xué)化得到更一般的數(shù)學(xué)模型.在建模、求模、用模、創(chuàng)模（正余弦定理等價(jià)）的過(guò)程中，以問題為載體，問題解決為線索，讓學(xué)生始終處于教學(xué)活動(dòng)的中心，把學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展作為根本性任務(wù).以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為理論指導(dǎo)的余弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)為學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展提供了保障，同時(shí)余弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展也提供了載體.

參考文獻(xiàn)

［1］張躍紅.“余弦定理”一課的教學(xué)設(shè)計(jì)［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2007，46（8）：39-41.

［2］鐘進(jìn)均.對(duì)人教A版《余弦定理》的教學(xué)設(shè)計(jì)探究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究（廣州），2012（1）：8-11.

［3］王思儉.《余弦定理》的教學(xué)設(shè)計(jì)與反思［J］.數(shù)學(xué)之友，2011（8）：14-16，20.

［4］秦瑾，吳靜，劉家琪.教育數(shù)學(xué)觀下的余弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2021（25）：105-107.

［5］喻平，徐時(shí)芳.核心素養(yǎng)指向的數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2022，61（3）：1-6，21.

［6］趙文博.“余弦定理”教學(xué)實(shí)錄與反思［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2017（Z2）：67-70.

［7］侯曉娟.基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的《余弦定理》教學(xué)設(shè)計(jì)［J］.數(shù)學(xué)之友，2017（12）：33-36.

［8］黃旭，黃永明.基于落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的教學(xué)設(shè)計(jì)——以“余弦定理”為例［J］.福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2019（5）：5-7.

（基金項(xiàng)目：內(nèi)江師范學(xué)院基礎(chǔ)教育研究與實(shí)踐專項(xiàng)“聚焦數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的大概念教學(xué)研究”（JG202125）.劉成龍系本文通訊作者.）