劉海青

(福建省莆田第六中學(xué))

函數(shù)的單調(diào)性在數(shù)學(xué)解題中有著廣泛的應(yīng)用.有些數(shù)學(xué)問題,貌似與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān),但如果我們能充分挖掘其結(jié)構(gòu)特點(diǎn),將其與單調(diào)性聯(lián)系起來,就會(huì)迅速打開解題思路.

1 利用函數(shù)的單調(diào)性解方程

對(duì)于有些涉及高次方程或超越方程的問題,用普通方法求解往往無功而返,若用函數(shù)單調(diào)性的觀點(diǎn)去處理,可能會(huì)化難為簡(jiǎn).

例1解下列兩個(gè)方程:

(1)2x3＋x＝18;

(2)ln(x－1)＋ex－2－1＝0.

解析

(1)方程2x3＋x＝18屬于高次方程,似乎無法直接求解,但我們注意到函數(shù)f(x)＝2x3＋x是R上的增函數(shù),且f(2)＝2×23＋2＝18,于是根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的特征,可知方程2x3＋x＝18只有一個(gè)解,且為x＝2.

(2)方程ln(x－1)＋ex－2－1＝0是超越方程,難以直接求解.我們注意到g(x)＝ln(x－1)＋ex－2－1是由y1＝ln(x－1),y2＝ex－2和y3＝－1這三個(gè)函數(shù)組成的,前兩個(gè)函數(shù)是增函數(shù),最后一個(gè)函數(shù)是常數(shù)函數(shù),于是由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,可知函數(shù)g(x)在定義域內(nèi)是增函數(shù).

經(jīng)觀察,不難得到g(2)＝0,于是根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的特征,可知方程ln(x－1)＋ex－2－1＝0只有一個(gè)解,且為x＝2.

點(diǎn)評(píng)

單調(diào)函數(shù)是一一對(duì)應(yīng)函數(shù),當(dāng)f(x)在定義域D上是單調(diào)函數(shù),若a∈D,有f(x)＝f(a),則必有x＝a.

2 利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式

當(dāng)有些不等式,尤其是與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式無法用常規(guī)方法來求解時(shí),我們不妨考慮運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性求解,并利用函數(shù)的單調(diào)性將它轉(zhuǎn)化為普通的不等式或不等式組.

綜上,a的取值范圍為(－∞,－6)∪(1,＋∞),故選B.

點(diǎn)評(píng)

本例中的函數(shù)比較復(fù)雜,必須先觀察它的奇偶性與單調(diào)性,這也是求解問題的“突破口”.求解這類問題應(yīng)確定有關(guān)函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù),此外,解題過程中不可忽視函數(shù)的定義域.

3 利用函數(shù)單調(diào)性比大小

函數(shù)單調(diào)性的定義具有雙向性,即已知函數(shù)的單調(diào)性,可以由自變量的大小關(guān)系來確定函數(shù)值的大小關(guān)系;反之,也可由函數(shù)值的大小關(guān)系來確定自變量的大小關(guān)系.

例3已知a＝e3,b＝πe,c＝eπ,則( ).

A.c＞a＞bB.b＞c＞a

C.a＞c＞bD.c＞b＞a

點(diǎn)評(píng)

若可以確定函數(shù)的單調(diào)性,則比較函數(shù)值的大小不必計(jì)算函數(shù)值,只需比較自變量的大小即可.因此,破解這類問題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù),判斷函數(shù)的單調(diào)性.

4 利用函數(shù)的單調(diào)性求值域

所謂函數(shù)的值域,就是函數(shù)圖像在y軸上的射影.若函數(shù)在連續(xù)區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),則只需求出定義域兩端的函數(shù)值,就可確定它的值域.

點(diǎn)評(píng)

利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)求函數(shù)的值域,是求有關(guān)函數(shù)值域問題的首選方法,但要注意的是用該方法求解解答題時(shí),應(yīng)先證明函數(shù)的單調(diào)性.

5 利用函數(shù)的單調(diào)性證不等式

函數(shù)的單調(diào)性體現(xiàn)了不等關(guān)系.對(duì)于有些不等式,我們可以用函數(shù)單調(diào)性的觀點(diǎn)去證明,即需找到一個(gè)具有單調(diào)性的恰當(dāng)函數(shù)作為證明不等式的“橋梁”.

點(diǎn)評(píng)

利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù),如何構(gòu)造函數(shù),需仔細(xì)觀察待證不等式的結(jié)構(gòu)特征,從中看出“隱藏”的函數(shù).

當(dāng)遇到一個(gè)數(shù)學(xué)問題時(shí),如果試著用函數(shù)的觀點(diǎn)去思考,那么首先想到的是函數(shù)的性質(zhì),因?yàn)檫@往往是解決問題的“突破口”.應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)解題,實(shí)質(zhì)上就是應(yīng)用函數(shù)思想解題,而函數(shù)思想是高中數(shù)學(xué)基本的思想方法之一,我們應(yīng)高度重視.

(完)