吳靜

陶行知先生倡導(dǎo)的“小先生制”指引人人都要將自己認(rèn)識的字和學(xué)到的文化隨時隨地教給別人；愛德加·戴爾的金子談學(xué)習(xí)理論認(rèn)為“教別人”或者“馬上應(yīng)用”可以記住90%的學(xué)習(xí)內(nèi)容.可見參與式學(xué)習(xí)是最有效果的.加入“小先生”的課堂，學(xué)生自幼即教人，為服務(wù)社會的實(shí)際工作，有利于培養(yǎng)學(xué)生的社會適應(yīng)性；加入“小先生”的課堂，學(xué)生充分進(jìn)行數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)思維及膽量的訓(xùn)練，促進(jìn)學(xué)生能夠大膽地將自己的見解通過語言表達(dá)出來，進(jìn)而形成自己的獨(dú)立見解；加入“小先生”的課堂，優(yōu)化了教學(xué)環(huán)節(jié)，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個能夠充分表現(xiàn)自我的氛圍，為每個學(xué)生個體提供更多的機(jī)遇，促進(jìn)學(xué)生綜合素質(zhì)的全面發(fā)展，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，活躍了數(shù)學(xué)課堂.本文將結(jié)合在三個日常教學(xué)情境中實(shí)施的“小先生制”案例，談?wù)勅绾卧诔Ｒ?guī)課堂中應(yīng)用“小先生制”，進(jìn)而達(dá)到數(shù)學(xué)教育像空氣一樣普遍.

一、各抒己見百思齊放

“仁者見仁，智者見智”解決數(shù)學(xué)問題時常有很多種解法，在處理一些多解法問題時可以請學(xué)生上臺交流解決方法，為何選此法，能否推廣一般，引導(dǎo)學(xué)生對比方法，教會學(xué)生從不同的角度分析問題，加深理解，發(fā)展思維，提升能力.此種情境下，會解題的學(xué)生即為小先生，他們站上講臺，表達(dá)自己的所思所想.

案例1如圖1，已知等腰梯形ABCD中，AB=2DC=4，AD=BC=5，E是DC的中點(diǎn)，P是線段BC上的動點(diǎn)，則EP·BP的最小值是．

師：數(shù)量積的解法我們常用的是四種：數(shù)量積公式法，投影向量定義法，平面向量基本定理轉(zhuǎn)化成基底法，建系轉(zhuǎn)化成代數(shù)運(yùn)算（坐標(biāo)）法.針對本題你有什么樣的做法呢？為什么選擇這個做法，能否推廣到一般情形？

生1：此處有等腰梯形，可以以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)運(yùn)算.如圖2，易得B（4，0），E（2，2），C（3，2），則直線BC對應(yīng)的函數(shù)是一次函數(shù)y=－2x+8，于是可設(shè)P（x，－2x+8），x∈［3，4］，此時EP=（x－2，－2x+6），BP=（x－4，－2x+8），則EP·BP=5x2－34x+56=5（x－17/5）2－9/5，故當(dāng)x=17/5∈［3，4］時，EP·BP最小值為－9/5.

方法推廣：以后在方便建系的情況下都可以建立直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)運(yùn)算，比如有直角或者等腰條件，還有一些特殊角，比如30°，45°，60°，120°，135°，150°等也可以.重點(diǎn)在于要寫清楚各個點(diǎn)的坐標(biāo)，準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化到代數(shù)運(yùn)算，突破方法是提升學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng).

生2：這道題四邊長都知道，也很容易算四個角，因此我想采用平面向量基本定即基底轉(zhuǎn)化法，將EP用四邊向量基底表示再用定義即可.

易知EP=EC+CP，cosC=－cosB=－5/5，于是EP·BP=（EC+CP）·BP=EC·BP+CP·BP=|EC||BP|cosC+|CP||BP|cosπ =－5/5|BP|－（5－|BP|）|BP|=|BP|2－65/5|BP|=（|BP|－35/5）2－9/5，所以當(dāng)|BP|=35/5時，EP·BP最小值為－9/5.

方法推廣：當(dāng)所求向量數(shù)量積長度和夾角不明確時，可以選擇其他合適的向量來表示進(jìn)而完成運(yùn)算，一般是題中已知向量或者已知模長和夾角的都適合做基底.重點(diǎn)在于準(zhǔn)確選定基底，有時不止一對基底，且夾角也要小心不能出錯，突破方法是提升學(xué)生的數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng).

生3：本題直接用定義感覺不好做，長度和夾角都在變，于是考慮作出向量EP在向量BP上的投影向量，投影一作角度不變，長度在變.具體操作：如圖3，過點(diǎn)E作EF⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)F，則向量EP在向量BP上的投影向量為FP，而在RtΔEFC中 EC=1，cosC=－cosB=－5/5，則FC=EC·cos（π－C）=5/5.于是

EP·BP=FP·BP=|FP||BP|cosπ=－|BP|（65/5－|BP|） =（|BP|－35/5）2－9/5，所以當(dāng)|BP|=35/5時，EP·BP最小值為－9/5.

方法推廣：投影向量法是向量數(shù)量積幾何意義的表達(dá)，所以能夠采用投影法求數(shù)量積大小尤其是取值范圍問題是非常省時省力的一個方法.重點(diǎn)在于理解向量數(shù)量積的本質(zhì)意義，能夠在具體的問題中準(zhǔn)確找到一個向量在另一個向量上的投影向量，這對學(xué)生思維的深度是有一定要求的，需要學(xué)生多加練習(xí)，體會知識發(fā)生的過程，突破方法是提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).

生4：因?yàn)镋P·BP=PE·PB是共起點(diǎn)的兩個向量求數(shù)量積，覺得可以取BE中點(diǎn)G然后用極化恒等式，即PE·PB=PG2－GB2，易得|GB|=2，則當(dāng)|PG|最小時，EP·BP有最小值.如圖4，P是線段BC上的動點(diǎn)，當(dāng)PG⊥CB時，|PG|有最小值.易得sin∠CBA=2/5，sin∠EBA=2/2，于是sin∠PBG=sin（∠CBA－∠EBA）=10/10，從而|PG|=|GB|·sin∠PBG=5/5，（EP·BP）min=（|PG|min）2－|GB|2=（5/5）2-（2）2=－9/5.

方法推廣：對于共起點(diǎn)的兩個向量求數(shù)量積通過取兩向量終點(diǎn)連線的中點(diǎn)運(yùn)用極化恒等式可以起到事半功倍的效果.重點(diǎn)在于此法適合的是“共起點(diǎn)”的兩個向量求數(shù)量積，具有一定的特殊性，突破方法是提升數(shù)據(jù)分析、邏輯推理等素養(yǎng).

數(shù)學(xué)課堂上一題多解的情境是非常之多的，很多教師也會請學(xué)生講解方法，但是缺乏思維的提煉，而“小先生制”的數(shù)學(xué)課堂，讓學(xué)生扮演教師對一個問題解法從思維的切入點(diǎn)到具體操作再到方法的推廣以及對學(xué)生能力素養(yǎng)要求一一剖析，真正體現(xiàn)了“先生”的傳道授業(yè)解惑.對于分享解法的學(xué)生而言，參與了研究學(xué)習(xí)，必定印象深刻，增強(qiáng)信心；對于聽得學(xué)生而言，則是在集體的思維中暢游，積累了更多感悟，必將激發(fā)思維，正像英國作家蕭伯納所說：“如果你有一種思想，我有一種思想，彼此交換，我們每個人就有了兩種思想，甚至多于兩種思想.”

二、孰對孰錯辯中求真

數(shù)學(xué)中有許多容易混淆的概念、知識點(diǎn)，他們既有相似之處也有不同，學(xué)生在解決此類問題時經(jīng)常會因概念不清導(dǎo)致不同結(jié)果.此時教師不要做“法官”直接下結(jié)論，而是交由學(xué)生組織“搜證”辯論，對比結(jié)果反查過程.此種情境下，慎辨析的學(xué)生即為小先生，他們匯總一些易混點(diǎn)，深度挖掘剖析理解.

三個同學(xué)不同的解法得到三個不同的答案，孰對孰錯呢？教師引導(dǎo)學(xué)生成立討論小組，反查過程，尋找錯因.

經(jīng)討論發(fā)現(xiàn)，生1做法錯在認(rèn)為復(fù)數(shù)滿足x2=|x|2，事實(shí)上從代數(shù)運(yùn)算上看，設(shè)復(fù)數(shù)x=a+bi（a，b∈R），則x2=a2+2abi－b2，|x|2=a2+b2，當(dāng)且僅當(dāng)b=0時x2=|x|2成立，即x為實(shí)數(shù)時成立，生1的解法確實(shí)所得都是實(shí)數(shù)解；從幾何意義上看，x2是復(fù)數(shù)的乘法，表示了向量的旋轉(zhuǎn)，而|x|2是復(fù)數(shù)模的平方，表示的是長度，兩者沒有等價關(guān)系.

生2的做法錯在解方程過程中忽略了范圍，從而產(chǎn)生增根.事實(shí)上，當(dāng)a=0時，－b2－5|b|+6=0，若b≥0則－b2－5b+6=0，解得b=－6（舍）或1；若b<0則－b2+5b+6=0，解得b=6（舍）或－1，即是兩組解a=0，

b=±1；而當(dāng)b=0時，a2－5|a|+6=0，若a≥0則a2－5a+6=0，得a=2或3（都符合）；若a<0則a2+5a+6=0，得a=－2或－3（也都符合），即是b=0，

a=±2，±3.

生3的做法是可以和生1，生2的做法形成對比的，先待定系數(shù)設(shè)復(fù)數(shù)代入，然后再實(shí)數(shù)范圍內(nèi)解含絕對值的方程利用實(shí)現(xiàn)等價轉(zhuǎn)化，避免了討論，結(jié)果正確.

復(fù)數(shù)集是在實(shí)數(shù)集上的擴(kuò)充，很多的運(yùn)算法則也是類比推廣的，而復(fù)數(shù)的幾何意義對應(yīng)向量，復(fù)數(shù)加法、減法運(yùn)算也對應(yīng)了向量的加法、減法運(yùn)算，因此三者有著很緊密的聯(lián)系，既有相似但也存在區(qū)別.針對這個混淆點(diǎn)，教師再次引導(dǎo)各小組翻查資料提出一些向量、實(shí)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算的對比，供學(xué)生深度辨析.這里總結(jié)各小組提出的辨析問題：

數(shù)學(xué)課堂上當(dāng)不同結(jié)果出現(xiàn)時，老師如果簡單判定給出正確答案，則學(xué)生不知為何而錯，而“小先生制”的數(shù)學(xué)課堂，讓學(xué)生對比結(jié)果判定正誤，搜集資料，參與設(shè)計(jì)辨析題，意在通過多角度大范圍地對比辨析，真正體會知識發(fā)生的過程，掌握方法的遷移而不是知識簡單的復(fù)制，從而提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).

三、開放探究發(fā)散創(chuàng)新

發(fā)散思維是思考者根據(jù)已有的知識、經(jīng)驗(yàn)等，從不同角度、沿不同的方向、進(jìn)行各種不同層次的思考，多觸角全方位的尋求與探索新知識.一堂開放的探究課堂上，每一個有思想的學(xué)生即為小先生，他們自由地展示自己的想法，不論好差.

這是一個開放的話題，學(xué)生根據(jù)所學(xué)函數(shù)比如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、冪函數(shù)，結(jié)合四則運(yùn)算、絕對值、分段等能夠構(gòu)造很多的函數(shù).每個學(xué)生從提出函數(shù)到研究函數(shù)得到結(jié)果再和同組同學(xué)交流糾正，無論所舉函數(shù)簡單或復(fù)雜，小先生們都相當(dāng)于在上“冪函數(shù)”一課，一遍遍闡述如何研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)，領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的思想方法.

一般地，對于一些重要的思想方法，涉及內(nèi)容知識較多，可開展開放活動探究課，此時小先生登臺，教師只需事先給學(xué)生分工，學(xué)生提前做好準(zhǔn)備，先小組交流，學(xué)生進(jìn)行自評，互評，最終進(jìn)行各小組成果的匯報課，小組成員進(jìn)行自評，互評，教師點(diǎn)評.此情境下的“小先生制”數(shù)學(xué)課堂，人人參與，意在將教育化為“春風(fēng)風(fēng)人，夏雨雨人”一樣，人人有得到施展的機(jī)會.

結(jié)語：“小先生制”在高中數(shù)學(xué)課堂的應(yīng)用是廣泛的，文中提到的三種情境基本上是在習(xí)題講評中，筆者還將繼續(xù)探索在新授課及試卷講評課等中的應(yīng)用.“小先生制”的應(yīng)用將培養(yǎng)學(xué)生深度理解，充分表達(dá)，拓寬視野，發(fā)展思維．因此，教師要充分發(fā)揮“小先生制”的優(yōu)勢所在，不斷在課堂上合理踐行，從而使“小先生”成為課堂的?？?，扎實(shí)提升學(xué)生的核心素養(yǎng)．路漫漫，“小先生”課堂研究之路任重而道遠(yuǎn)，學(xué)生核心素養(yǎng)的養(yǎng)成之路循序而漸進(jìn).

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