摘要：小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)在形式上是由節(jié)點(diǎn)和連線組成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，教學(xué)中，教師應(yīng)重視知識(shí)的前因后果、發(fā)生和發(fā)展過程，對(duì)這一類課進(jìn)行關(guān)聯(lián)思考和整體設(shè)計(jì)，幫助學(xué)生整體建構(gòu)知識(shí)體系，這對(duì)于學(xué)生有意義地掌握知識(shí)、形成技能、培育素養(yǎng)有著重要價(jià)值。

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)；具身經(jīng)驗(yàn)；量感；素養(yǎng)

“角的度量”這部分內(nèi)容屬于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下通稱“新課標(biāo)”）“空間與圖形”領(lǐng)域中“測量”的內(nèi)容。在學(xué)習(xí)此內(nèi)容之前，從縱向來看，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了“角的初步認(rèn)識(shí)”，知道了角有大小，“角的大小與兩條邊張開的大小有關(guān)，與角的兩條邊長短無關(guān)”；從橫向來看，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了線段的度量，經(jīng)歷了建立長度單位表象、統(tǒng)一長度單位的過程?！敖堑亩攘俊焙途€段的度量、面的度量雖然分布在不同的年級(jí)，但它們是具有內(nèi)在聯(lián)系的知識(shí)。角的度量本質(zhì)就是用度量單位的個(gè)數(shù)描述角的大小，其關(guān)鍵在于找度量單位。這就需要教師讓學(xué)生直觀感知角有大小及角的可測量屬性，進(jìn)而進(jìn)行角的比較，并在描述角的大小過程中產(chǎn)生統(tǒng)一單位的需求，所以本節(jié)課應(yīng)抓住“度量單位”這一核心概念統(tǒng)領(lǐng)教學(xué)。

一、尋找度量標(biāo)準(zhǔn)的統(tǒng)一過程，形成具身經(jīng)驗(yàn)

統(tǒng)一性是計(jì)量的本質(zhì)屬性。測量長度需要一把“長度尺”，因?yàn)椤伴L度尺”上有統(tǒng)一的長度單位?！敖堑亩攘俊苯虒W(xué)著力點(diǎn)不在于引出量角器，而是幫助學(xué)生引出角有大小，大小是由標(biāo)準(zhǔn)的個(gè)數(shù)所決定的。然而，角的大小非常抽象，因此，用學(xué)生熟悉的鐘面作為載體，可喚醒學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)，變抽象為直觀。動(dòng)態(tài)的分針能讓學(xué)生直觀感悟角的動(dòng)態(tài)生長，而鐘面上的大格、小格就成了比較角的大小的參照物，這樣的學(xué)習(xí)素材有利于學(xué)生自主生成多種方法去比較角的大小，自然生成“標(biāo)準(zhǔn)”意識(shí)。

師：觀察主題圖（見上頁圖1），小東和小麗上學(xué)路上所用的時(shí)間為分針掃過的兩個(gè)角，你能比較它們的大小嗎？

【比一比】

你能想到幾種不同的方法來比較下面∠1和∠2的大??？

【說一說】

和組內(nèi)小伙伴們分享自己的思考過程。

第一小組用數(shù)格子的方法進(jìn)行比較。

生：我用“數(shù)大格”的方法，∠1是2個(gè)大格，∠2是3個(gè)大格還多，所以∠2大。

生：我用“數(shù)小格”的方法，∠1是10個(gè)小格，∠2是18個(gè)小格，所以∠2大。

師：用“大格”或者“小格”作為標(biāo)準(zhǔn)，誰含有的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)多，誰就大。角的大小由標(biāo)準(zhǔn)的個(gè)數(shù)決定。

第二小組用三角板上的角作為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行比較。

生：我是用直角作為標(biāo)準(zhǔn)來量的，∠1比直角小，∠2比直角大，所以∠2大。

生：我是用三角尺上的大銳角為標(biāo)準(zhǔn)來量的，∠1等于大銳角，∠2比大銳角大，所以∠2大。

生：我是用三角尺上的小銳角為標(biāo)準(zhǔn)來量的，∠1等于2個(gè)小銳角，∠2比3個(gè)小銳角大，所以∠2大。

師：用三角尺的角作為標(biāo)準(zhǔn)，分別測量兩個(gè)角的大小，再作出比較。

第三小組用直尺量出角張開的距離進(jìn)行比較。

生：角的大小跟它兩條邊張開的大小有關(guān)，我們小組量出∠1張口的大小是3厘米，∠2張口的大小是5厘米，所以∠2大。

師：比較∠1和∠2的大小，通過剛才三個(gè)小組的交流匯報(bào)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：比較角的大小，首先要確定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。

生：我想補(bǔ)充一點(diǎn)，標(biāo)準(zhǔn)越小，結(jié)果越精確。比如小格比大格度量的結(jié)果精確，小角比大角度量的結(jié)果精確。

生：角的大小與兩條邊張開的大小有關(guān)，里面含有的格數(shù)越多，角越大。

生：大格對(duì)應(yīng)的圓弧長，小格對(duì)應(yīng)的圓弧短。

師（小結(jié)）：角的大小與兩條邊張開的大小有關(guān)。在同圓中，大角對(duì)應(yīng)的弧線長，小角對(duì)應(yīng)的弧線短。我們要測量角的大小，在測量之前要用統(tǒng)一的單位進(jìn)行度量。

教師引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷了理解角的內(nèi)涵的不同層次：直觀感知角有大小，角在鐘面上開口變大，就是角變大了；尋找標(biāo)準(zhǔn)，用“小角”度量大角，用“數(shù)+單位”來描述角的大小。學(xué)生在尋找度量標(biāo)準(zhǔn)的統(tǒng)一過程中，不斷累積具身經(jīng)驗(yàn)，喚醒度量意識(shí)。

二、經(jīng)歷單位量感的建構(gòu)過程，發(fā)展度量意識(shí)

數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)注重把概念的形成鑲嵌于知識(shí)體系之中，以核心概念為中心，用思想方法建構(gòu)起知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，通過橫向聯(lián)系知識(shí)實(shí)現(xiàn)舊知遷移，促進(jìn)新知的學(xué)習(xí)。如度量長度，應(yīng)使用一個(gè)規(guī)定的長度作為長度單位，要知道一條線段的長度，就要看被測量的長度里含有幾個(gè)這樣的長度單位。對(duì)于二維空間里的角，教師要讓學(xué)生感受到“描述一個(gè)角的大小，就是看大角里面含有幾個(gè)小角”。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生借助鐘面上的大格、小格所對(duì)應(yīng)的角作為標(biāo)準(zhǔn)，來測量角的大小。

【量一量】

選擇合適的標(biāo)準(zhǔn)角分別量出下面兩個(gè)角的大小。

∠3=（）個(gè)（）角? ? ?∠4=（）個(gè)（）角

師：剛才同學(xué)們借助不同的“標(biāo)準(zhǔn)”進(jìn)行比較，都得出∠2大于∠1，一起回顧一下，我們怎樣測量物體的長度？

生：我們創(chuàng)造長度單位1厘米、1分米、1米，用長度單位去測量。

師：大家從中受到什么啟發(fā)？

生：量大長度用小長度作為標(biāo)準(zhǔn)，量大角要用小角作為標(biāo)準(zhǔn)。我們可以用鐘面上一大一小這兩個(gè)角作為測量工具。

師：我們把鐘面上一大格對(duì)應(yīng)的角稱為大格角，一小格對(duì)應(yīng)的角稱為小格角，借助學(xué)具袋中的大格角和小格角，分別量出∠3和∠4各有多大。

師：先來匯報(bào)你們是怎么測量∠3的，具體結(jié)果是多少。

第一小組：我們小組測量到∠3等于2個(gè)大格角多一點(diǎn)兒、3個(gè)大格角少一點(diǎn)兒。

第二小組：我們同時(shí)用大格角和小格角，∠3等于2個(gè)大格角和2個(gè)小格角。

第三小組：我們?nèi)坑眯「窠牵?等于12個(gè)小格角。

師：大家在測量的過程中，用大格角和小格角結(jié)合起來測量，非常好，合適的是最好的。那∠4有多大？

第一小組：我們小組用大格角和小格角都測了，都不正好。

第二小組：我們小組測到1個(gè)大格角加半個(gè)小格角，或者全部用小格角測，是5個(gè)半小格角。

師：大家有沒有聽清楚？怎么出現(xiàn)了半個(gè)？

生：1個(gè)小格角還大，我們把它對(duì)折，就正好，所以最后有半個(gè)。

師：這個(gè)小組太厲害了，1個(gè)還大，繼續(xù)細(xì)分，得到更小的單位。大家聯(lián)系我們學(xué)過的長度單位，是否有所啟發(fā)？

生：我們可以找到一個(gè)很小的角，把它看作“1”，用這個(gè)“1”去度量角的大小，數(shù)一數(shù)就知道了。

師：你真有想法。讓我們一起看一下角的度量單位是怎樣產(chǎn)生的。

教師引入介紹：將半徑旋轉(zhuǎn)一周形成的角叫周角，規(guī)定為360度，把它平均分成360份，其中的1份就是1度的角。度是角的計(jì)量單位，用符號(hào)“°”表示，如1度記作1°。

∠3（72°）不能用大格去度量，只有用大格結(jié)合小格才能度量。∠4（33°）用大格結(jié)合小格仍無法表達(dá)出角的大小，學(xué)生從而產(chǎn)生繼續(xù)細(xì)分的想法。學(xué)生在這樣一步步的思維行進(jìn)過程中認(rèn)識(shí)到，角也像長度一樣，要想知道一個(gè)角的大小，就要用統(tǒng)一的度量單位來測量；要準(zhǔn)確測量角的大小，就要確定合適的度量單位。對(duì)于同一個(gè)大角，單位小角的不同，導(dǎo)致了對(duì)角的大小的描述不同，所以，單位小角還需要進(jìn)一步完善，尋找一個(gè)單位小角的標(biāo)準(zhǔn)（1°角）。學(xué)生在新舊知識(shí)的類比推理中實(shí)現(xiàn)正向遷移，自然生長出對(duì)1°角的需求，為知識(shí)關(guān)聯(lián)找到了認(rèn)知通道。學(xué)生經(jīng)歷單位量感的建構(gòu)過程，完善了認(rèn)知結(jié)構(gòu)，發(fā)展了度量意識(shí)。

三、加強(qiáng)累加量感的感悟過程，精準(zhǔn)完善量感

量感在日常教學(xué)中往往被教師視作“規(guī)定”知識(shí)，直接告訴學(xué)生，從而掩蓋了知識(shí)產(chǎn)生的過程，忽略了背后鮮活的體驗(yàn)。在核心概念統(tǒng)領(lǐng)下的結(jié)構(gòu)化教學(xué)中，教師應(yīng)著力于激發(fā)學(xué)生在認(rèn)知沖突中思考，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷標(biāo)準(zhǔn)量的建構(gòu)、量角器的形成過程，把抽象的量感與具體的體驗(yàn)相結(jié)合，在積累豐富活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，將量感內(nèi)化為穩(wěn)定的表象。

師：思考一下，測量長度，可以把長度單位累加形成長度尺，便于用來測量。是否可以借助這樣的經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)造出適合我們使用的量角工具？

【創(chuàng)一創(chuàng)】

在透明的半圓形膠片上創(chuàng)造出一個(gè)量角的工具，標(biāo)出數(shù)據(jù)。教師課件演示：0刻度線出發(fā)，動(dòng)態(tài)產(chǎn)生1°角，1°角通過累加得到5°，10°，30°，60°，90°，180°角。學(xué)生借助課件演示，體會(huì)每個(gè)角都是由若干個(gè)1°角拼合而成的。

師：觀察量角器，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：量角器是由1°角不斷累加而成的，與長度尺不同的是，長度尺是從0刻度線依次往右不斷增長的，而量角器的刻度線是旋轉(zhuǎn)而成的，角的頂點(diǎn)一直不變，中心就是角的頂點(diǎn)。

師（小結(jié)）：確定了角的計(jì)量單位，有了1°角，讀懂了量角器的構(gòu)成，我們就可以準(zhǔn)確地測量角的大小了。

師：動(dòng)手量一量∠3和∠4的大小，說一說，你是怎么測量的。

生：角的頂點(diǎn)與量角器的中心對(duì)齊，一條邊與0刻度線對(duì)齊，另一條邊對(duì)著幾，就是幾度?！?=72°，∠4=33°。

師：請利用我們創(chuàng)造的量角器來測量一下∠5的度數(shù)。

生：我測得∠5=120°。

生：∠5不可能大于90°，因?yàn)樗戎苯切　！?的一條邊對(duì)齊180°刻度線，不是對(duì)齊0°刻度線，所以應(yīng)該用180°-120°=60°。

生：我把量角器旋轉(zhuǎn)了一下，一條邊對(duì)齊0刻度線，我也測量到是60°。

師：觀察∠5，它與∠3、∠4。有什么不同？

生：開口的方向不同，所以測量起來容易出錯(cuò)。

師：人們在測量角的大小過程中，也發(fā)現(xiàn)了這個(gè)問題，怎樣才能解決開口反向的問題？

生：我們在外面再標(biāo)一組數(shù)據(jù)，左邊180度刻度線對(duì)應(yīng)0刻度線，這樣就可以“一尺兩用”了。

師：你和雙向量角器的發(fā)明者想得一樣。請大家拿出量角器，觀察各部分組成。剛才，我們創(chuàng)造了量角器，積累了測量經(jīng)驗(yàn)，接下來，請用我們學(xué)到的知識(shí)去估計(jì)一下生活中角的大小（見圖2）。

生：圖2中的左圖可以分成一個(gè)直角和一個(gè)銳角，銳角大約是90°的一半，所以大約是135°。

生：圖2中的右圖，左邊的銳角估測比直角少一個(gè)銳角，銳角大約是30°的一半，所以估計(jì)75°。右邊那個(gè)角用180°減去75°，大約是105°。

師：借助30°，45°，60°，90°等這些特殊的角進(jìn)行估計(jì)，是估測的一個(gè)有效策略。下面請用量角器驗(yàn)證一下估測的結(jié)果。

角的度量的本質(zhì)是看被測對(duì)象中含有多少個(gè)“單位小角”，這是學(xué)生理解量角器的邏輯基礎(chǔ)。量角器的本質(zhì)是“單位小角”的不斷累加，用1°累加成2°，3°，10°，30°……學(xué)生在這個(gè)過程中，首先感受到角的有限可加，進(jìn)而認(rèn)識(shí)更多的度數(shù)，明白“度量的對(duì)象里包含了多少個(gè)度量單位就是多少度”。其次，所有這些角的頂點(diǎn)都重合在一個(gè)點(diǎn)上，而這個(gè)點(diǎn)就是量角器的中心點(diǎn)，同時(shí)也是角的頂點(diǎn)，這也為角的頂點(diǎn)與中心點(diǎn)重合找到了思維的根基。最后，在實(shí)際測量中，學(xué)生感受到了單邊一圈量角器的不足，自然產(chǎn)生了完善量角器的需求，在外圈再反向（順時(shí)針）標(biāo)一圈刻度，讓內(nèi)圈刻度與外圈刻度完美對(duì)應(yīng)，突破了量角器上兩圈刻度讀法的難點(diǎn)。教師再引導(dǎo)學(xué)生在量角器上找角、估角與量角、生活中找角，幫助學(xué)生加強(qiáng)對(duì)量的深度體驗(yàn)、對(duì)單位量的感知以及對(duì)累加量的感悟，形成了不同單位量的表象，拓展了度量單位，豐富了量感。

量感的培養(yǎng)是一個(gè)較長期的、反復(fù)體驗(yàn)、不斷矯正的過程，與學(xué)生個(gè)體的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)有關(guān)。學(xué)生能根據(jù)實(shí)際情況靈活地選擇不同的度量單位進(jìn)行度量，這是量感發(fā)展的最高境界。

參考文獻(xiàn)：

［1］梁培斌，張先鋒. 量感的內(nèi)涵、特征、價(jià)值與培養(yǎng)策略［J］. 江蘇教育，2020（65）.

［2］韓宇玫.在小學(xué)數(shù)學(xué)中開展量感可視化教學(xué)的策略［J］.遼寧教育，2021（19）.

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）

作者簡介：陳金飛，江蘇省啟東實(shí)驗(yàn)小學(xué)特級(jí)教師，正高級(jí)教師。