廣東省惠州仲愷中學 (516229) 陳偉流

縱觀近幾年的高考解析幾何試題,絕大部分都以豐富的背景和內涵,如“手電筒模型”、“圓錐曲線的極點極線”、“阿基米德三角形”、“彭賽列圓”等知識理論,而成為廣大師生深耕不倦的“香餑餑”.高考以試題為考核載體,重點考查了學生運算求解,邏輯思維,空間想象等關鍵能力,滲透了對數(shù)學核心學科核心素養(yǎng)的隱性測評.因此,身為教育的先行者,教師在解題教學實踐,要通過深挖試題背景,還原命題本質,探討試題所反映的一般性規(guī)律,這樣才能精準把握命題方向,在教學實踐中扮演好指明燈的重要角色,從而培養(yǎng)好學生的數(shù)學核心素養(yǎng).本文通過對2023屆惠州三調解析幾何試題的背景溯源,整體構建,縱向深化,橫向遷移等探索之旅,以此為基礎提出在解析幾何試題命制的個人嘗試,期待能與讀者在思維上碰撞出更多的火花.

1 試題再現(xiàn)

⑴求橢圓C的方程;

⑵如圖1,點P,Q分別在C和直線x=4上,OQ∥AP,M為AP的中點,若T是直線OM與直線QF的交點.是否存在確定的一個曲線,使得T始終在該曲線上?若存在,求出該曲線的方程;若不存在,請說明理由．

圖1

2 背景溯源

因點F為橢圓的右焦點,直線x=4為其右準線,若將橢圓方程及對應條件的參數(shù)一般化處理,有

注意到右焦點及右準線是橢圓的一對特殊的極點和極線,若將其進一步一般化,有

圖2

3 整體構建

4 縱向深化

圖3

圖4

5 橫向類比

基于圓錐曲線知識體系的統(tǒng)一性,將探究背景置換為雙曲線,經筆者探究,有

6 命題初探

高考中的解析幾何試題往往依托于圓錐曲線體系中的某個經典知識理論,再取某些特殊幾何信息點為條件支撐,歷經演繹推理的論證過程,從而產生了高度概括性的一般化結論.通過試題關鍵信息點的合理解構與有機重構,再類比遷移到其他圓錐曲線,結合學情及考點方向,便可創(chuàng)作出一系列背景深厚,結論優(yōu)美,耐人尋味的高考母題.經歷前文對試題進行背景溯源,整體構建,縱向深化及橫向類比的推理探究過程,筆者以定值,定點等作為命題方向進行嘗試,以期待與讀者有更深入的交流.

⑴求橢圓C的方程;⑵點P,Q分別在C和直線x=4上,OQ∥AP,M為AP的中點,若T是直線OM與直線QF的交點,是否存在定點E,使得點T在運動過程中,始終保持線段ET的長度恒為定值?若存在,求出定點E的坐標;若不存在,請說明理由．

⑴求橢圓C的方程;⑵點P,Q分別在C和直線x=4上,OQ∥AP,M為AP的中點,設直線OM交直線x=4相交于N.當P在橢圓上運動時,試證明:以線段QN為直徑的圓恒過定點.