陳麗娟，李明珠，馬鴻洋

（青島理工大學 理學院，青島 266520）

數(shù)值分析，又稱計算方法，是一門與計算機使用密切結合的實用性很強的數(shù)學課程，也是科學計算的基礎。它以各類數(shù)學問題的數(shù)值解法作為研究對象，并結合現(xiàn)代計算機科學與技術為解決科學與工程中遇到的各類數(shù)學問題提供基本的算法，能夠把數(shù)學的計算思想運用到自己的領域中去。

課程目標如圖1 所示。

圖1 數(shù)值分析課程目標

一 課程存在的主要問題

（一）課程知識抽象，較難理解，理論落地難

數(shù)值分析課程既有純數(shù)學高度抽象性與嚴密科學性的特點，又有應用的廣泛性與實際實驗的高度技術性的特點。偏理論分析，相對枯燥乏味。如何讓學生知其然更要知其所以然，增加學生對數(shù)學知識的理解和應用。

（二）重視數(shù)值模擬，忽略探索研究

由于學生教學軟件運用能力的限制和實踐性教學內(nèi)容匱乏，學生最多利用已有的Matlab 軟件模擬一下數(shù)值計算案例，但學生很少有機會運用數(shù)值算法來解決其他的實際問題。

（三）學生課程參與度不高，“教”所占比例仍較大

傳統(tǒng)課堂教學活動以教師為中心，強調(diào)數(shù)學公式和定理的推導，學生學習積極性不足。如何在現(xiàn)有的教學資源下，以學生為中心，把傳統(tǒng)教學與信息化教學深度融合，優(yōu)勢互補，“學”所占比例增加。

（四）學生個性化學習的需要不能同時滿足，挑戰(zhàn)度不足

學生整體“吃不飽”和“吃不了”的現(xiàn)象同時存在，課程重結果、輕過程。如何增加過程考核，多元性的評價體系，提升學生實踐創(chuàng)新能力，提高課程的高階性、創(chuàng)新性、挑戰(zhàn)度。

針對以上問題，深化數(shù)值分析教學改革，實現(xiàn)“課堂活起來，學生忙起來，教學嚴起來”。

二 課程教學的創(chuàng)新思路及舉措

（一）革新教學理念，創(chuàng)新教學內(nèi)容，優(yōu)化教學設計，提升知識理解與應用

1）理論聯(lián)系生活，讓數(shù)學貼近生活，開展基于數(shù)學建模的PBL 教學模式。結合專業(yè)目標人才培養(yǎng)需求，構建數(shù)值分析課程和數(shù)學建模案例教學互融共促的PBL教學模式。把“學科導向”變?yōu)椤皢栴}導向”，開展“問題驅動-教師授課-自主學習-討論探究”的課程教學模式，這使得知識的獲得成為解決問題過程中的組成部分。

2）堅持問題導向，把抽象的數(shù)學問題形象化。已經(jīng)建成了“數(shù)值分析+程序設計”的課程融合教學模式，學生在掌握了基本知識原理的基礎上，編程輔助實現(xiàn)計算方法課程中常見算法的應用、經(jīng)典應用案例的建模求解等。讓學生體會到學習數(shù)學“有趣、有譜、有用”，實現(xiàn)從“要我學”→“我要學”→“我會學”→“能學好”的轉變，從中獲取成就感和自我認同。

3）促進文理交融，彰顯課程溫度。讓數(shù)值分析課程變得有詩意、有情趣、有故事，兼?zhèn)湮膶W情懷，讓課程變得有溫度。團隊教師加大教學精力投入，潛心教書育人。

（二）傳統(tǒng)教學與信息技術有機融合，增加學生課堂參與度，實現(xiàn)課程全過程管理

課堂巧用智慧教學工具，讓課程“動”起來，選用雨課堂、學習通或智慧樹平臺，內(nèi)有彈幕、投票、單選題和主觀題等多種形式，及時反饋結果。每個教學設計環(huán)節(jié)都是以學生為中心，各階教學內(nèi)容均配以學生活動，主動學習環(huán)節(jié)多，學習難度大，師生互動頻繁，線上線下教學活動支撐課程目標達成。

大力加強師生互動、生生互動環(huán)節(jié)。內(nèi)容高階，學習難度大，讓學生在討論中學習、在學習中討論，既提高了學生的學習興趣，也挑戰(zhàn)了學生的學習能力。

（三）落實立德樹人根本任務，深化特色思政建設，解決學生內(nèi)生動力差問題

秉承“百折不撓、剛毅厚重、勇承重載”精神，深入挖掘課程內(nèi)容蘊含的思政元素。通過線上資源建設，線下教學活動，思政認知評價，師德師風示范引領各環(huán)節(jié)，通過案例教學，激發(fā)學生奮發(fā)學習，解決問題鍥而不舍的精神，養(yǎng)成良好的數(shù)值計算素質(zhì)和Matlab 編程能力?！帮@性教育”與“隱性教育”融合貫通。思政教育變?yōu)閷W生自發(fā)的認知需求，解決學生內(nèi)生動力差問題。

同時，基于數(shù)值計算能力培養(yǎng)、數(shù)學文化自信素養(yǎng)養(yǎng)成分別設立課程設計與實施主線和課程思政教學主線，確定培養(yǎng)學生具有“嚴謹科學計算能力、正確辯證思維方法、高度數(shù)學文化自信”為課程思政目標，以“案例分析、數(shù)值分析、誤差分析”三大任務為內(nèi)容重構主線，構建“探索未知、勇攀高峰、愛國情懷、科技報國”為導向的多維度教學方法，將“思政之鹽”有機融入“課程之籃”。

（四）混合式教學模式，布置課后開放性作業(yè)，提升學生實踐創(chuàng)新能力

經(jīng)過幾年的積累，團隊已經(jīng)建成了全面完整的線上平臺資源，不僅探索出了符合青島理工大學人才培養(yǎng)需要和學生實際水平的BOPPPS 混合教學形態(tài)，打造線上線下、課內(nèi)課外一體化的混合式教學模式。設置開放性作業(yè)，與專業(yè)、競賽相結合突出學生學習主體地位，注重應用創(chuàng)新能力培養(yǎng)。

（五）建成多元考核評價體系，強化基于學習過程的過程性考核，根據(jù)學習過程數(shù)據(jù)分析，動態(tài)改進教學策略

基于課程教學目標，改進考核方式，包括過程性考核和總結性考核。其中線上部分占20%，包括學習行為分（7%）、章節(jié)測試（3%）、線上期末測驗（5%）及線上討論（5%）；線下部分占80%，包括課堂互動（10%）、線下作業(yè)（20%）、期末考試（50%）。其中，期末考試和線下作業(yè)支撐知識目標和能力目標達成，線上成績及平時互動支撐學生素質(zhì)目標達成。

三 Newton 迭代法案例分析

（一）課前線上

例題：f（x）=x3-x-1 的Newton 迭代公式為xk+1=xk-，（k=1，2，…），取x0=1.5，則迭代公式結果見表1。

表1 迭代數(shù)據(jù)

（二）課前線下

f(x)=x3-x-1 的Newton 迭代公式的Matlab 程序設計如下。

x（1）=1.5，for k=1:5；

x(k+1)=x(k)-(x(k)^3-x(k)-1)/(3*x(k)^2-1);end

（三）翻轉課堂形式分組討論

Newton 迭代公式的優(yōu)缺點如下。

優(yōu)點：Newton 迭代公式具有平方收斂的速度，所以在迭代過程中只要迭代n 次就會得到很精確的解。

缺點：①Newton 迭代法為局部收斂，選取的初值要接近方程的解，初始迭代點x0的選擇很困難；②要求f′（x*）≠0，說明Newton 迭代法只能求單根；③Newton迭代法中每一步需求導數(shù)f′（xk），計算量比較大。

（四）引導學生思考

1）關于初值的問題：一般來說采用試探法，但對于一些實際問題初值的選擇并不困難，它是明確的。

（五）解決方法

針對導數(shù)計算麻煩的處理方法如下。

1）利用Newton 迭代法先進行幾步，比如進行到第k步得到近似值xk，接下來采用c=。xk+1＝xk-cf（xk），此迭代法通常是線性收斂的。

2）實用方法是由差分代替微分，即xn+1=xn-。此迭代方法為割線法，它是超線性收斂的（收斂階為1.618）。

（六）比較結果

分別用Newton 迭代法、改進的Newton 迭代法，以及它們的離散型迭代法求方程f（x）=（x+1）（x-1）2=0的二重根x*=1。

Newton 迭代法：xn+1=xn-f（xn）/f（xn）；

改進1：xn+1=xn-mf（xn）/f′（xn）；

改進2：xn+1=xn-μ（xn）/μ′（xn），μ（x）＝f（x）/f′（x）；

離散：xn+1=xn-（xn-xn-1）f（xn）/（f（xn）－f（xn－1））；

離散改進1：xn+1=xn-m（xn-xn-1）f（xn）/（f（xn）－f（xn－1））；

離散改進2：xn+1=xn-（xn-xn-1）μ（xn）/（μ（xn）－μ（xn－1））；

μ（xn）＝（xn-xn-1）f（xn）/（f（xn）－f（xn－1））。

比較以上迭代方法，迭代結果見表2。

表2 迭代法比較結果

（七）線上作業(yè)

結合平臺視頻證明Newton 迭代公式在其單根附近具有局部平方收斂性。作業(yè)通過智慧樹平臺提交。

四 數(shù)值分析創(chuàng)新課程建設和獲獎經(jīng)歷

2018 年度：案例式、探究式教學方法在大學公共數(shù)學課程中的探索與實踐獲批校級本科教學教改面上項目，數(shù)值分析課堂中采用CBL 數(shù)學建模案例式教學方法；新舊動能轉換背景下基于數(shù)學類競賽的新工科創(chuàng)新人才培養(yǎng)模式研究獲批校級高等教育與發(fā)展規(guī)劃研究項目。數(shù)學建模融入課程教學初見成效，同年新工科背景下數(shù)學類競賽融入公共數(shù)學課堂教學的研究與實踐獲批山東省本科教學教改面上項目。搭建大學數(shù)學教學平臺，“基于數(shù)學類競賽平臺建設的大學數(shù)學教學內(nèi)容與教學方法改革的研究”獲山東省教學成果二等獎。

2019 年度：為了更好地開展混合式教學，數(shù)值分析線上開放課程上線智慧樹；同年，Matlab 實驗研究為校級綜合性、設計性、創(chuàng)新性實驗教學項目，加強學生實踐能力培養(yǎng)。STEM 在數(shù)值分析課程改革中的應用獲批教育部產(chǎn)學協(xié)同育人項目；為了更好地開展課程思政建設，課程開始編寫課程思政案例庫。同時，課程獲評山東省研究生教育質(zhì)量提升計劃立項-優(yōu)質(zhì)課程。

2020 年度：基于智慧教學平臺的混合式教學在數(shù)值分析課程中的改革與實踐獲批教育部產(chǎn)學協(xié)同育人項目；基于數(shù)理學科競賽的理工科創(chuàng)新型人才培養(yǎng)模式的構建與實踐獲批山東省本科教學教改面上項目。

2021 年度：團隊獲得青島理工大學教學創(chuàng)新大賽二等獎；數(shù)學實驗融入公共數(shù)學課程教學體系的研究獲批校級本科教學教改面上項目，對課程實驗進行整合。

2022 年度：堅持以培養(yǎng)目標為導向的工程教育認證理念，將數(shù)學建模融入數(shù)值分析課程改革已見成效，“以賽促學、教賽融合、政產(chǎn)學研用”推進德智相長人才培養(yǎng)獲得山東省級教學成果獎二等獎；獲省級教學創(chuàng)新大賽正高組三等獎。同時課程獲批山東省課程思政示范課程、校專業(yè)學位優(yōu)秀案例庫建設、校教材立項等。

五 數(shù)值分析課程教學創(chuàng)新成果與推廣價值

（一）學生對創(chuàng)新教學滿意度評價高

針對2021—2022 年1 學期混合式教學模式的滿意度評價調(diào)查結果，從教學方法、教學啟發(fā)性、隨堂知識掌握程度、知識獲得的有效性及案例適宜性進行評價，課程總評非常滿意50%，滿意38%。

（二）學生學業(yè)成績優(yōu)良

2021—2022 年1 學期團隊教師對學生進行教學分班，比較兩種教學模式下的教學效果。從考試成績，經(jīng)過混合式教學創(chuàng)新，學生學習積極性和主動性大大增強，學業(yè)成績優(yōu)良度提高13%，學習目標達成度提高。

（三）教師教研能力提高

教師教學能力顯著提升，教師教學競賽成績優(yōu)異，師德師風建設成效顯著，課程建設和教學團隊建設成果豐碩。如圖2 所示。

圖2 教師團隊教學2018—2023 年獲獎情況

（四）學生實踐創(chuàng)新能力提升

教學團隊不僅僅看學生考試的分數(shù)，并且根據(jù)學生的人文素養(yǎng)、科學素養(yǎng)、實驗動手能力的評估，對學生進行針對性選拔、指導。創(chuàng)新教學模式提升了參與各種數(shù)學類競賽活動的積極性，學生實踐創(chuàng)新取得很好的成績。2022 年美國大學生數(shù)學建模大賽青島理工大學獲O獎1 項，特等獎提名F 獎2 項；團隊指導學生全國大學生數(shù)學建模獲國家二等獎1 項、山東省一等獎2 項、二等獎3 項和三等獎1 項；全國大學生數(shù)學競賽山東省一等獎3 項，全國大學生數(shù)學競賽全國二等獎（決賽）。指導學生發(fā)表論文2 篇。

六 結束語

本課程經(jīng)過幾年創(chuàng)新的探索和實踐實現(xiàn)了從傳統(tǒng)課堂向智慧課堂、知識課堂向能力課堂、灌輸課堂向實踐課堂的轉變。在今后的教學過程中，強化教材建設、深化教學改革，促進學生的全面發(fā)展。