杜小強(qiáng) 趙世豪 賀磊盈

摘 要： 采用一種基于支鏈分析法的并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型綜合方法，綜合出了具有解耦特性的2轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)。首先，對(duì)2轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行分析，得到2轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的最簡(jiǎn)結(jié)構(gòu)形式，并基于空間無(wú)約束的Kutzbach-Grübler公式對(duì)各支鏈的自由度組合方式進(jìn)行分類，得到所有支鏈組合形式。其次，提出了一種并聯(lián)機(jī)構(gòu)初步篩選原則，并考慮球副、萬(wàn)向副的加工難度和成本對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)選。最后，由于優(yōu)選出的2轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)存在局部自由度，對(duì)具有局部自由度的并聯(lián)機(jī)構(gòu)支鏈進(jìn)行降自由度處理，得到6種解耦性好、承載能力高、精度高、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的2轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)。采用螺旋理論對(duì)U-RPU-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行自由度分析，建立了逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，并進(jìn)行了驗(yàn)證。結(jié)果表明，所構(gòu)建的并聯(lián)機(jī)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)2轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的運(yùn)動(dòng)，并且具有很好的運(yùn)動(dòng)解耦特性。所綜合出的2轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)彌補(bǔ)了現(xiàn)有機(jī)構(gòu)的不足，可作為光伏跟蹤尤其是聚光光伏跟蹤機(jī)構(gòu)。

關(guān)鍵詞： 并聯(lián)機(jī)構(gòu)；構(gòu)型綜合；螺旋理論；自由度分析；轉(zhuǎn)動(dòng)解耦；逆運(yùn)動(dòng)學(xué)

中圖分類號(hào)： TH112

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號(hào)： 1673-3851 （2023） 01-0115-09

引文格式：杜小強(qiáng)，趙世豪，賀磊盈. 2轉(zhuǎn)動(dòng)高精度重載并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型綜合［J］. 浙江理工大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)），2023，49（1）：115-123.

Reference Format： DU Xiaoqiang， ZHAO Shihao， HE Leiying. Configuration synthesis of 2-rotation high-precision and heavy-duty parallel mechanisms［J］. Journal of Zhejiang Sci-Tech University，2023，49（1）：115-123.

Configuration synthesis of 2-rotation high-precision and heavy-duty parallel mechanisms

DU Xiaoqianga，b， ZHAO Shihaoa， HE Leiyinga，b

（a.Faculty of Mechanical Engineering & Automation; b.Key Laboratory of Transplanting Equipment and Technology of Zhejiang Province， Zhejiang Sci-Tech University， Hangzhou 310018， China）

Abstract：? Based on a configuration synthesis method of parallel mechanisms of branch chain analysis， 2-rotational parallel mechanisms with decoupling characteristics were synthesized. Firstly， the structural characteristics of the 2-rotational parallel mechanisms were analyzed， and the simplest structural form of the 2-rotational parallel mechanisms was obtained. Based on the spatially unconstrained Kutzbach-Grübler formula， the combination modes of the degree of freedom of each branch chain were classified， and all branch chain combinations were obtained. Secondly， a preliminary screening principle of parallel mechanisms was proposed， and the parallel mechanisms were optimized considering the processing difficulty and cost of spherical joints and cardan joints. Then， considering that the optimized 2-rotational parallel mechanisms had passive degrees of freedom， the degrees of freedom for branch chains of parallel mechanisms with local degrees of freedom were reduced， and six kinds of 2-rotational parallel mechanisms with good decoupling， high bearing capacity， high precision and simple structure were obtained. Finally， the degrees of freedom of the U-RPU-UPS parallel mechanisms were analyzed by using the screw theory， and the inverse kinematics model was established and verified. The results show that the constructed parallel mechanisms can realize the movement of 2-rotational degrees of freedom， and have excellent motion decoupling characteristics. The synthesized 2-rotation parallel mechanism makes up for the shortcomings of the existing mechanisms， and can be used as a photovoltaic tracking mechanism， especially a concentrating photovoltaic tracking mechanism.

Key words： parallel mechanism; configuration synthesis; screw theory; analysis of degree of freedom; rotational decoupling; inverse kinematics

0 引 言

相較于串聯(lián)機(jī)構(gòu)，并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有剛度高、精度高、承載能力強(qiáng)的特點(diǎn)［1-2］。因此，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的構(gòu)型綜合方法進(jìn)行了大量的研究?，F(xiàn)有的構(gòu)型綜合方法主要有基于螺旋理論［3-6］、方位特征集（POC集）［7-8］、幾何代數(shù)［9-11］和位移群論［12-14］等。但一般的并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有較強(qiáng)的耦合性［15］，即并聯(lián)機(jī)構(gòu)的一個(gè)方向上的自由度依賴于多個(gè)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)。較強(qiáng)的耦合性導(dǎo)致并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)模型復(fù)雜化，不利于機(jī)構(gòu)控制。因此，研制具有解耦性的并聯(lián)機(jī)構(gòu)至關(guān)重要。

關(guān)于2轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的構(gòu)型綜合研究，一些學(xué)者采用不同的構(gòu)型綜合方法得到了多種機(jī)構(gòu)形式。Gogu［16］基于線性變換理論提出了多種具有各向同性的2轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)，但該并聯(lián)機(jī)構(gòu)僅有2個(gè)支鏈構(gòu)成，因此該機(jī)構(gòu)的承載能力較弱，且其中一條支鏈為4/5桿支鏈，支鏈較長(zhǎng)將導(dǎo)致較大的末端誤差。Fan等［17］基于李群理論綜合出多種2平移2轉(zhuǎn)動(dòng)、1平移2轉(zhuǎn)動(dòng)和2轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其中2轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)有3種，但都采用圓柱副，結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，且兩條控制支鏈采用不同的驅(qū)動(dòng)方式，增加了控制難度。Song等［18］基于李群理論綜合出2種用于驅(qū)動(dòng)衛(wèi)星間鏈路天線的2轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)，該機(jī)構(gòu)由4條支鏈組成，結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，且支鏈耦合性較強(qiáng)，不便于控制。王森等［19］基于螺旋理論提出了一種兼具冗余驅(qū)動(dòng)特點(diǎn)和解耦特性的2轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的構(gòu)型綜合方法，但冗余驅(qū)動(dòng)需要更多的動(dòng)力源，并且使機(jī)構(gòu)更加復(fù)雜。張彥斌等［20］基于螺旋理論綜合出幾種無(wú)耦合2轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)，雖然僅需兩條支鏈，但該并聯(lián)機(jī)構(gòu)中一條水平放置的控制支鏈將受到較大的垂直力，會(huì)產(chǎn)生較大的變形，且另一條控制支鏈為4桿支鏈。

上述構(gòu)型綜合方法所綜合出的2轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)普遍存在承載能力低、不便于控制、精度低、結(jié)構(gòu)復(fù)雜的問(wèn)題。為解決該問(wèn)題，本文受上述方法的啟發(fā)，基于一種支鏈分析法綜合出多種具有解耦特性的2轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)。相較于其他綜合方法，支鏈分析法更加易于理解，且不需要復(fù)雜的理論知識(shí)，如螺旋理論、李群理論等。本文對(duì)2轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的基本構(gòu)型要求進(jìn)行分析，在支鏈自由度數(shù)目的約束下，研究了各支鏈的自由度組合和支鏈形式，并通過(guò)引入初步篩選原則、加工成本約束條件，綜合出具有承載能力高、精度高且易于控制的2轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)。所綜合出的2轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)彌補(bǔ)了現(xiàn)有機(jī)構(gòu)的不足，可作為機(jī)構(gòu)承載能力、精度要求較高的光伏跟蹤尤其是聚光光伏跟蹤等機(jī)構(gòu)。

1 2轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)分析與構(gòu)型綜合

1.1 2轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的支鏈組合方法分析

對(duì)于無(wú)約束的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其自由度數(shù)目可以采用Kutzbach-Grübler公式［21］進(jìn)行求解，即：

M=6（n-g-1）+∑gi=1fi（1）

其中：M為并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)目，n表示包含機(jī)架的并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)件數(shù)，g為并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)副數(shù)目，fi為第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度數(shù)目。

常用的并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)副有萬(wàn)向副（U）、球副（S）、移動(dòng)副（P）、轉(zhuǎn)動(dòng)副（R）和圓柱副（C），其中圓柱關(guān)節(jié)相當(dāng)于共軸的移動(dòng)副和轉(zhuǎn)動(dòng)副。為了使綜合出的并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，本文不考慮使用圓柱副。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)一般由以下結(jié)構(gòu)組成：動(dòng)平臺(tái)、定平臺(tái)、支鏈。其中支鏈的上下兩端通過(guò)運(yùn)動(dòng)副與動(dòng)平臺(tái)和定平臺(tái)相連。在幾何上要使一個(gè)平面處于穩(wěn)定狀態(tài)至少需要3個(gè)支撐點(diǎn)。因此，應(yīng)用于并聯(lián)機(jī)構(gòu)，與動(dòng)平臺(tái)相連接的關(guān)節(jié)至少要有3個(gè)，即與動(dòng)平臺(tái)相連的支鏈至少有3個(gè)。為了提高并聯(lián)機(jī)構(gòu)的承載能力，可選擇3個(gè)以上的支鏈，但支鏈個(gè)數(shù)的增加必然會(huì)增加機(jī)構(gòu)的制造成本和機(jī)構(gòu)的復(fù)雜性，而且支鏈個(gè)數(shù)越多，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的耦合性越強(qiáng)，控制難度越大。對(duì)于需要構(gòu)型的2轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，為使其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、解耦性好、易于控制，僅需2個(gè)驅(qū)動(dòng)器即可。

因此，所構(gòu)型的并聯(lián)機(jī)構(gòu)應(yīng)具有以下結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：a）具有3個(gè)支鏈；b）其中1個(gè)支鏈為固定支鏈，通過(guò)運(yùn)動(dòng)副與動(dòng)平臺(tái)相固定，該支鏈起到支撐動(dòng)平臺(tái)和限制動(dòng)平臺(tái)的3個(gè)移動(dòng)自由度的作用；c）另外兩個(gè)支鏈為控制支鏈，分別具有1個(gè)驅(qū)動(dòng)器、2個(gè)構(gòu)件和3個(gè)運(yùn)動(dòng)副。

因此，所構(gòu)型的2轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的階數(shù)應(yīng)λ=6，構(gòu)件數(shù)n=6件，運(yùn)動(dòng)副數(shù)g=7個(gè)，將上述參數(shù)代入式（1）有：

2=6×（6-7-1）+∑7i=1fi。

可以求得：∑7i=1fi=14。通過(guò)對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度進(jìn)行分析可以發(fā)現(xiàn)，固定支鏈的自由度不能為1，即固定支鏈與動(dòng)平臺(tái)相連的運(yùn)動(dòng)副不能為轉(zhuǎn)動(dòng)副或移動(dòng)副，如果為1將導(dǎo)致并聯(lián)機(jī)構(gòu)只有1個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度或移動(dòng)自由度。又由于該支鏈的移動(dòng)自由度已被限制，因此固定支鏈的自由度只能為2或3，即與動(dòng)平臺(tái)相連的運(yùn)動(dòng)副為萬(wàn)向副或球副。在自由度約束下，2轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)3條支鏈的組合類型如表1所示。

1.2 2轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)支鏈各關(guān)節(jié)分析與設(shè)計(jì)

通過(guò)上述對(duì)2旋轉(zhuǎn)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的支鏈組合方式進(jìn)行分析可知，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的支鏈組合形式有4種類型，但各支鏈在自由度的約束下各關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)副形式未? 知。由上述并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)分析可知，除固定支鏈外，其余2個(gè)支鏈都有3個(gè)運(yùn)動(dòng)副，3個(gè)運(yùn)動(dòng)副的相對(duì)自由度數(shù)相加應(yīng)等于支鏈所要求的自由度數(shù)，萬(wàn)向副（U）、球副（S）、轉(zhuǎn)動(dòng)副（R）和移動(dòng)副（P）的自由度數(shù)分別為2、3、1、1。

4種類型的支鏈組合形式如表2所示，支鏈形式按順序依次為近定平臺(tái)關(guān)節(jié)、中間關(guān)節(jié)、近動(dòng)平臺(tái)關(guān)節(jié)。在支鏈組合類型Ⅰ和類型Ⅲ中，控制支鏈有自由度數(shù)為6的情況，由于在三維空間中只有6個(gè)自由度，因此添加1個(gè)自由度不會(huì)影響該支鏈的運(yùn)動(dòng)形式，但將產(chǎn)生1個(gè)局部自由度。

2 2轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)篩選

2.1 2轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)初步篩選

本文基于支鏈自由度的分配方式不同將支鏈分為4種類型，并歸納了所有的運(yùn)動(dòng)副組合形式，但這些支鏈組合中有些并不能滿足并聯(lián)機(jī)構(gòu)的基本設(shè)計(jì)要求，因此，要對(duì)上述支鏈組合形成的并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行初步篩選和分類。

在需要2轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的高精度跟蹤或控制作業(yè)場(chǎng)景下，如聚光光伏跟蹤。由于很小的跟蹤誤差就將導(dǎo)致太陽(yáng)能收集率急劇下降［22-23］，因此，對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的承載能力和控制性能要求較高?；谏鲜鰬?yīng)用場(chǎng)景，規(guī)定以下篩選原則：

a）驅(qū)動(dòng)方式相同，即兩控制支鏈同為線性驅(qū)動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)；

b）驅(qū)動(dòng)器所處位置相同；

c）為提高機(jī)構(gòu)的穩(wěn)定性和降低機(jī)構(gòu)負(fù)載，驅(qū)動(dòng)器不應(yīng)安裝在近動(dòng)平臺(tái)端；

d）若驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)為轉(zhuǎn)動(dòng)副，為便于安裝并降低近定平臺(tái)端桿件的負(fù)載，驅(qū)動(dòng)器只能安裝在近定平臺(tái)端。

基于上述篩選原則，可將并聯(lián)機(jī)構(gòu)的控制支鏈按驅(qū)動(dòng)方式分為“P××”、“×P×”和“R××”3種形式。其中，“P××”形式的支鏈采用線性驅(qū)動(dòng)，所組成并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間大小取決于驅(qū)動(dòng)桿的行程；“×P×”形式的支鏈結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單；“R××”形式的支鏈采用轉(zhuǎn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)，由于電機(jī)具有兩種轉(zhuǎn)動(dòng)形式（正轉(zhuǎn)反轉(zhuǎn)），因此，所組成并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解有多種形式，支鏈結(jié)構(gòu)如圖1所示。基于4類支鏈組合形式并考慮上述篩選原則，得到了并聯(lián)機(jī)構(gòu)初選構(gòu)型，如圖2所示。

2.2 2轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)優(yōu)選

通過(guò)初步篩選得到了滿足基本工作要求的3類并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其中“P××”形式為28種，“×P×”形式為22種，“R××”形式為28種，總計(jì)78種。在這些構(gòu)型中，支鏈自由度的不同分配方式、運(yùn)動(dòng)副的不同組合方式都會(huì)對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的性能和自由度產(chǎn)生影響。在并聯(lián)機(jī)構(gòu)的實(shí)際應(yīng)用中，考慮加工精度和成本，應(yīng)盡可能減少球副和萬(wàn)向副的使用，且當(dāng)移動(dòng)副不作為驅(qū)動(dòng)副時(shí)，在重載下將被動(dòng)的產(chǎn)生位移，為提高機(jī)構(gòu)的穩(wěn)定性并使結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，也應(yīng)避免使用。因此，在上述初選構(gòu)型中更符合要求的構(gòu)型有：

“P××”形式：U-PUS（PSU）-PUS（PSU）、U-PRS（PSR）-PSS、S-PRU（PUR）-PSS；

“×P×”形式：U-UPS（SPU）-UPS（SPU）、U-RPS（SPR）-SPS、S-RPU（UPR）-SPS；

“R××”形式：U-RUS（RSU）-RUS（RSU）、U-RRS（RSR）-RSS、S-RRU（RUR）-RSS。

其中：U-PUS-PUS、U-PSU-PSU、U-UPS-UPS、U-SPU-SPU、U-RUS-RUS、U-RSU-RSU為對(duì)稱式并聯(lián)機(jī)構(gòu)，具有更好的各向同性［21］。以“P××”形式為例，構(gòu)型U-PRS-PSS和S-PRU-PSS具有相同的結(jié)構(gòu)，僅在控制支鏈2的近動(dòng)平臺(tái)關(guān)節(jié)處的運(yùn)動(dòng)副有所不同，但球副S相對(duì)于萬(wàn)向副U僅引入了一個(gè)局部自由度，2種機(jī)構(gòu)在空間中的運(yùn)動(dòng)特性是相同的，為降低加工成本，并去除局部自由度，可將球副S替換為萬(wàn)向副U，得到構(gòu)型U-PRU-PUS（PSU）。同理，可對(duì)“×P×”形式和“R××”形式中的構(gòu)型進(jìn)行運(yùn)動(dòng)副的替換，可得到構(gòu)型U-RPU-UPS（SPU）和U-RRU-RUS（RSU）。這3種并聯(lián)機(jī)構(gòu)的具體形式如圖3所示。

這3種構(gòu)型各有其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。U-PRU-PUS（PSU）并聯(lián)機(jī)構(gòu)采用線性驅(qū)動(dòng)器進(jìn)行驅(qū)動(dòng)，并安裝在定平臺(tái)上，該構(gòu)型具有結(jié)構(gòu)緊湊，工作空間大、承載能力高等特點(diǎn)，但由于采用線性驅(qū)動(dòng)器，因此將導(dǎo)致該機(jī)構(gòu)的整體高度較高，不易承受水平向載荷。U-RPU-UPS（SPU）并聯(lián)機(jī)構(gòu)采用線性驅(qū)動(dòng)器，并安裝在中間關(guān)節(jié)上，該構(gòu)型具有體積小、承載能力高，但由于萬(wàn)向副和球副轉(zhuǎn)角的限制，受幾何條件約束，相較于其他兩種機(jī)構(gòu)工作空間較小。U-RRU-RUS（RSU）并聯(lián)機(jī)構(gòu)采用旋轉(zhuǎn)驅(qū)動(dòng)，并安裝在定平臺(tái)上，該構(gòu)型具有承載能力高、工作空間大的特點(diǎn)。

3 2轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度驗(yàn)證

為驗(yàn)證所構(gòu)型的并聯(lián)機(jī)構(gòu)是否正確，選取U-RPU-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行自由度分析。U-RPU-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖和運(yùn)動(dòng)螺旋分布如圖4所示，該機(jī)構(gòu)由定平臺(tái)（B1B2B3）、動(dòng)平臺(tái)（A1A2A3）和U支鏈（A1B1）、RPU支鏈（B2C2A2）、UPS支鏈（B3C3A3）3條支鏈組成，且動(dòng)平臺(tái)和定平臺(tái)都為直角三角形，3條支鏈通過(guò)運(yùn)動(dòng)副分別與動(dòng)平臺(tái)、定平臺(tái)的3個(gè)角相連，固定支鏈一端固定于定平臺(tái)的直角點(diǎn)B1，一端通過(guò)萬(wàn)向副與動(dòng)平臺(tái)相連。

在固定支鏈中，萬(wàn)向副（U）的靜旋轉(zhuǎn)軸線與定平臺(tái)的直角邊B1B3平行，動(dòng)旋轉(zhuǎn)軸線與定平臺(tái)的直角邊B1B2位于同一平面。在RPU支鏈中，萬(wàn)向副（U）的靜旋轉(zhuǎn)軸線與靜平臺(tái)的直角邊B1B3平行，且轉(zhuǎn)動(dòng)副（R）的旋轉(zhuǎn)軸線與萬(wàn)向副（U）的靜旋轉(zhuǎn)軸線相互平行。在UPS支鏈中，萬(wàn)向副（U）的靜旋轉(zhuǎn)軸線與定平臺(tái)的直角邊B1B2平行。

在定平臺(tái)直角點(diǎn)B1和動(dòng)平臺(tái)直角點(diǎn)A1分別建立系統(tǒng)坐標(biāo)系o-xyz和動(dòng)坐標(biāo)系o′-uvw。在系統(tǒng)坐標(biāo)系o-xyz下，固定支鏈U的運(yùn)動(dòng)螺旋系可表示為

$11=（S11;r11×S11）=（0 1 0; -zA1 0 0），

$12=（S12;r12×S12）=（l12 0 h12; 0 zA1l12 0）（2）

其中：Sij為螺旋軸線方向的單位矢量；rij為螺旋軸線上任意一點(diǎn)相對(duì)系統(tǒng)坐標(biāo)原點(diǎn)的位置矢量；lij為第i條支鏈第j個(gè)運(yùn)動(dòng)副的軸線在坐標(biāo)軸x上的方向余弦；hij為第i條支鏈第j個(gè)運(yùn)動(dòng)副的軸線在坐標(biāo)軸z上的方向余弦。

對(duì)式（2）求互易積，可得反螺旋系：

$r11=（1 0 0; 0 -zA1 0），

$r12=（0 1 0; -zA1 0 0），

$r13=（0 0 1; 0 0 0），

$r14=（0 0 0; -h12 0 l12）（3）

其中：$r11為過(guò)A1點(diǎn)并沿x軸方向的約束力，$r12為過(guò)A1點(diǎn)并沿y軸方向的約束力，$r13為過(guò)系統(tǒng)坐標(biāo)系原點(diǎn)o并沿z軸方向的約束力，$r14為垂直于$12和y軸的約束力偶。因此，固定支鏈繞z方向的轉(zhuǎn)動(dòng)和沿x、y、z方向的移動(dòng)被限制。

RPU支鏈的運(yùn)動(dòng)螺旋系可以表示為：

$21=（S21;r21×S21）=（0 1 0; -zB2 0 xB2），

$22=（S22;r22×S22）=（0 0 0; xC2 0 zC2），

$23=（S23;r23×S23）=（0 1 0; -zA2 0 xA2），

$24=S24;r24×S24）=（l24 0 h24; 0 l24zA2-?? h24xA2 0）（4）

可得其反螺旋系：

$r21=（0 0 0; h24 0 -l24），

$r22=（0 -l24 0; l24zA2-h24xA2 0 0）（5）

其中：$r21為垂直于$23和y軸的約束力偶；$r22為過(guò)C2點(diǎn)并與y軸平行的約束力。因此，RPU支鏈繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)和沿y軸的移動(dòng)被限制。

UPS支鏈的運(yùn)動(dòng)螺旋系可以表示為：

$31=（S31;r31×S31）=（1 0 0; 0 zB3-yB3），

$32=（S32;r32×S32）=（0 m32 h32; h32yB3 0 0），

$33=（S33;r33×S33）=（0 0 0; xC3 yC3 zC3），

$34=（S34;r34×S34）=（1 0 0; 0 zA3 -yA3），

$35=（S35;r35×S35）=（0 1 0; -zA3 0 xA3），

$36=（S36;r36×S36）=（0 0 1; yA3 -xA3 0）（6）

其中：mij為第i條支鏈第j個(gè)運(yùn)動(dòng)副的軸線在坐標(biāo)軸y上的方向余弦。

對(duì)式（6）等號(hào)兩邊做互易積，得到UPS支鏈的運(yùn)動(dòng)螺旋系組成的矩陣為滿秩矩陣R（$）=6，因此，UPS支鏈在空間中具有6個(gè)獨(dú)立自由度。

結(jié)合式（3）、式（5）可建立U-RPU-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的約束螺旋系：

$r11=（1 0 0; 0 zA1 0），

$r12=（0 1 0; -zA1 0 0），

$r13=（0 0 1; 0 0 0），

$r14=（0 0 0; -h12 0 l12），

$r15=（0 0 0; h24 0 -l24），

$r16=（0 -l24 0; l24zA2-h24xA2 0 0）（7）

由固定支鏈與RPU支鏈的幾何關(guān)系和相對(duì)運(yùn)動(dòng)可以看出，在系統(tǒng)坐標(biāo)系o-xyz下，多邊形A1A2C2B2B1始終在xoz平面內(nèi)，因此，動(dòng)平臺(tái)的關(guān)節(jié)點(diǎn)A2也始終在xoz平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。多邊形A1A2C2B2B1各關(guān)節(jié)點(diǎn)的位置關(guān)系如圖5所示。

基于固定支鏈和RPU支鏈的幾何關(guān)系可得：

（zA2-zA1）cosβ=xA2sinβ（8）

其中：β表示動(dòng)坐標(biāo)系u軸與系統(tǒng)坐標(biāo)系x軸的夾角。

同時(shí)，系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，螺旋$12和螺旋$24始終共軸線，即兩螺旋線沿x軸和z軸的余弦分量為：

sinβ=n12=n24，

cosβ=l12=l24（9）

根據(jù)固定支鏈和RPU支鏈的幾何位置關(guān)系，并考慮運(yùn)動(dòng)副的相對(duì)位姿，結(jié)合式（8）—（9），對(duì)式（7）進(jìn)行分析，可以看到約束螺旋$r12和$r22線性相關(guān)，約束螺旋$r14和$r21線性相關(guān)，求式（7）的反螺旋，可得U-RPU-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)螺旋系為：

$m1=（0 1 0; -zA1 0 0），

$m2=（l12 0 h12; 0 l12zA1 0）（10）

運(yùn)動(dòng)螺旋$m1為一個(gè)繞平行于y軸并過(guò)A1點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，即并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有一個(gè)繞系統(tǒng)坐標(biāo)系y軸轉(zhuǎn)動(dòng)自由度；運(yùn)動(dòng)螺旋$m2為一個(gè)繞平行于u軸并過(guò)A1點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，即并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有一個(gè)繞動(dòng)坐標(biāo)系u軸的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。

由U-RPU-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的約束螺旋系可知，2個(gè)約束力偶具有相同的方向，因此為并聯(lián)機(jī)構(gòu)添加了一個(gè)公共約束，即λ=1，可得并聯(lián)機(jī)構(gòu)的階數(shù)為d=6-λ=5。2個(gè)約束力偶相當(dāng)于一個(gè)約束力偶，并限制了并聯(lián)機(jī)構(gòu)在z方向上的轉(zhuǎn)動(dòng)?；谧杂啥刃拚鼼-K公式可得：

M=d（n-g-1）+∑gi=1fi+v（11）

其中：d為并聯(lián)機(jī)構(gòu)的階數(shù)，v為并聯(lián)機(jī)構(gòu)的冗余約束個(gè)數(shù)。

對(duì)于非對(duì)稱并聯(lián)機(jī)構(gòu)，冗余約束可由以下公式計(jì)算求得

v=∑p1qi-λp-k（12）

其中：qi為第i個(gè)支鏈的獨(dú)立反螺旋數(shù)，p為支鏈個(gè)數(shù)，k為除公共約束外剩余的獨(dú)立約束數(shù)。

基于上述螺旋理論分析，并結(jié)合式（11）—（12），可得U-RPU-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度為

M=5×（6-7-1）+12+0=2（13）

由式（13）可得U-RPU-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)為2，與所構(gòu)型的并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度相符，驗(yàn)證了所述構(gòu)型的正確性。通過(guò)螺旋分析可知，RPU支鏈與固定支鏈處于同一平面，因此驅(qū)動(dòng)桿件B2C2只會(huì)改變動(dòng)平臺(tái)繞y軸的轉(zhuǎn)角，該機(jī)構(gòu)為解耦機(jī)構(gòu)［24］。同理，也可證明U-PRU-PUS（PSU）和U-RRU-RUS（RSU）并聯(lián)機(jī)構(gòu)為解耦機(jī)構(gòu)。

4 2轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

由上述自由度分析可知，U-RPU-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)在空間中擁有2個(gè)旋轉(zhuǎn)自由度，即動(dòng)平臺(tái)相對(duì)于定平臺(tái)繞系統(tǒng)坐標(biāo)系o-xyz的y軸旋轉(zhuǎn)的歐拉角為-β，繞動(dòng)坐標(biāo)系o′-uvw的u軸旋轉(zhuǎn)的歐拉角為α，于是可得旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：

R=R（y，-β）R（u，α）=

cosβ0-sinβ

010

sinβ0cosβ100

0cosα-sinα

0sinαcosα（14）

在系統(tǒng)坐標(biāo)系o-xyz下，由并聯(lián)機(jī)構(gòu)的幾何關(guān)系可知：

‖AiCi‖2=‖oAi-oCi‖2=Li2，i=2，3（15）

將旋轉(zhuǎn)矩陣和各關(guān)節(jié)的位置矢量代入式（15），可得U-RPU-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解公式：

l1=（acosβ-b）2+（L1+asinβ）2

l2=（-asinαsinβ）2+（acosα-b）2+? （L1+asinαcosβ）2（16）

其中：li、L1、a、b分別表示并聯(lián)機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)桿AiBi、固定桿oA1、動(dòng)平臺(tái)直角邊A1Ai、定平臺(tái)直角邊oBi。

給定并聯(lián)機(jī)構(gòu)的尺寸參數(shù)：a=320 mm、b=320 mm、L1=440 mm，動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)軌跡為：

β=35sin（πt）

α=-40sin（πt）（17）

將尺寸參數(shù)和動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)軌跡代入運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解公式，采用Matlab對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解公式進(jìn)行求解可得驅(qū)動(dòng)桿長(zhǎng)，并將Solidworks中建立的U-RPU-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的模型導(dǎo)入Adams中進(jìn)行逆運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真。U-RPU-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的仿真模型如圖6所示，驅(qū)動(dòng)桿長(zhǎng)2 s內(nèi)的變化曲線如圖7和圖8所示。

由圖7和圖8可見(jiàn)，通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解公式求得的U-RPU-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)桿長(zhǎng)變化曲線與Adams軟件仿真得到的基本一致，表明該運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解模型的正確性。

5 結(jié) 論

為得到結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、便于控制、承載能力高、精度高的2轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)，本文基于一種支鏈分析法進(jìn)行了2轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的構(gòu)型綜合，核心思想是基于2轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的最簡(jiǎn)結(jié)構(gòu)，通過(guò)對(duì)各支鏈的自由度組合和支鏈形式進(jìn)行研究，在篩選原則下進(jìn)行構(gòu)型優(yōu)選。所綜合出的2轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)彌補(bǔ)了現(xiàn)有2轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的不足，并可作為聚光光伏等系統(tǒng)的跟蹤機(jī)構(gòu)，為后續(xù)進(jìn)行并聯(lián)機(jī)構(gòu)誤差補(bǔ)償研究奠定了基礎(chǔ)。主要結(jié)論如下：

a）通過(guò)無(wú)約束條件下的Kutzbach-Grübler公式對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)各支鏈的自由度組合和支鏈形式進(jìn)行了分類，發(fā)現(xiàn)對(duì)于具有6個(gè)自由度的支鏈，添加1個(gè)自由度不會(huì)影響支鏈的運(yùn)動(dòng)特性，基于此對(duì)2轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的支鏈形式進(jìn)行了擴(kuò)充，然后基于不同運(yùn)動(dòng)副組合得到了4類構(gòu)型，分別為324、96、288種和60種，共計(jì)768種構(gòu)型。

b）通過(guò)對(duì)初步篩選得到的2轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn)，一些構(gòu)型具有較好的各向同性，一些構(gòu)型雖然運(yùn)動(dòng)副組合不同，但具有相同的運(yùn)動(dòng)特性。并發(fā)現(xiàn)一些構(gòu)型存在局部自由度，通過(guò)進(jìn)行降自由度處理（去除局部自由度），得到6種具有解耦特性的構(gòu)型U-PRU-PUS（PSU）、U-RPU-UPS（SPU）、U-RRU-RUS（RSU）。

c）通過(guò)對(duì)U-RPU-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行自由度分析和逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，驗(yàn)證了并聯(lián)機(jī)構(gòu)的解耦性和運(yùn)動(dòng)特性。研究結(jié)果表明，所綜合出的并聯(lián)機(jī)構(gòu)可實(shí)現(xiàn)2轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，具有解耦特性，并且逆運(yùn)動(dòng)學(xué)控制簡(jiǎn)單。

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（責(zé)任編輯：康 鋒）

收稿日期： 2022-07-29? 網(wǎng)絡(luò)出版日期：2022-10-09網(wǎng)絡(luò)出版日期

基金項(xiàng)目： 國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（31971798）；浙江省“領(lǐng)雁”研發(fā)攻關(guān)計(jì)劃項(xiàng)目（2022C02057）

作者簡(jiǎn)介： 杜小強(qiáng)（1978- ），男，福建福清人，教授，博士，主要從事機(jī)械設(shè)計(jì)及理論的研究。