宗如月　羅新鵬　李雅倩　趙同軍

摘要 為了研究靶向治療下乳腺癌干細(xì)胞的生長情況，本文在Gompertzian生長模型基礎(chǔ)上建立不同狀態(tài)乳腺癌干細(xì)胞理論模型?？紤]乳腺癌干細(xì)胞的增殖、死亡及特定腫瘤微環(huán)境對(duì)不同狀態(tài)乳腺癌干細(xì)胞發(fā)生發(fā)展的影響，用非線性Hill函數(shù)描述乳腺癌干細(xì)胞對(duì)其自身生長速率的反饋，采用解析和數(shù)值方法研究不同狀態(tài)乳腺癌干細(xì)胞發(fā)生發(fā)展。結(jié)果表明：在k_a/（d_ad₀）=1處發(fā)生音叉分岔，k_a/（d_ad₀）<1時(shí)無乳腺癌干細(xì)胞，k_a/（d_ad₀）>1時(shí)存在乳腺癌干細(xì)胞；在乳腺癌干細(xì)胞靶向治療期間，乳腺癌干細(xì)胞量急劇降低，并維持一段時(shí)間的休眠狀態(tài)，最后隨著療效減弱，又回到穩(wěn)定增殖水平；增加活躍狀態(tài)乳腺癌干細(xì)胞的死亡率，可能延長乳腺癌干細(xì)胞處于休眠狀態(tài)的時(shí)間。在不同狀態(tài)的乳腺癌干細(xì)胞發(fā)生發(fā)展過程中，其增殖、死亡及特定腫瘤微環(huán)境均起著關(guān)鍵作用。還發(fā)現(xiàn)靶向治療和腫瘤微環(huán)境的改變對(duì)抑制乳腺癌復(fù)發(fā)都有一定作用。

關(guān) 鍵 詞 乳腺癌干細(xì)胞；靶向治療；休眠狀態(tài)；活躍狀態(tài)；數(shù)學(xué)建模

中圖分類號(hào) R737.9? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼 A

Dynamic analysis of breast cancer stem cells growth under targeted therapy

ZONG Ruyue， LUO Xinpeng， LI Yaqian， ZHAO Tongjun

（Institute of Biophysics， School of Science， Hebei University of Technology， Tianjin 300401，China）

Abstract The growth of breast cancer stem cells is studied under targeted therapy. On the basis of the Gompertzian theoretical growth model， a theoretical model of various states of breast cancer stem cells was established. We considered the influence of breast cancer stem cells proliferation， death and specific tumor microenvironment on the occurrence and development of breast cancer stem cells in various states. The nonlinear Hill model was also introduced to depict breast cancer stem cells feedback to its own growth rate. The growth process of breast cancer stem cells in various states was studied by analytical and numerical methods. The results of the study are as follows： a pitchfork bifurcation occurs at（k_a/（d_ad₀）=1）;This system has no breast cancer stem cells（k_a/（d_ad₀）<1）， on the contrary， this system has breast cancer stem cells; during breast cancer stem cells targeted therapy， the levels of breast cancer stem cells drop sharply， and breast cancer stem cells remain dormant for a period of time; the levels of them rise until they have reached the stage of stable proliferation again with diminished efficacy; the dormancy time of breast cancer stem cells may be prolonged by increasing the mortality of active breast cancer stem cells. Theirs proliferation， death and specific tumor microenvironment all play key roles in the growth of the dormant and active state of breast cancer stem cells. Also we have found that targeted therapy and the modification of the tumor microenvironment may have some effect on inhibiting breast cancer recurrence.

Key words breast cancer stem cells; targeted therapy; dormant state; active state; mathematical model

0 引言

乳腺癌是危害女性健康的最常見惡性腫瘤之一[1]。經(jīng)手術(shù)治療后約有50 %的乳腺癌患者被治愈，在治療后一段時(shí)間出現(xiàn)復(fù)發(fā)和轉(zhuǎn)移會(huì)導(dǎo)致治療失敗，且復(fù)發(fā)和轉(zhuǎn)移也是導(dǎo)致乳腺癌患者死亡的重要原因[1]。

根據(jù)“腫瘤干細(xì)胞假說”，腫瘤組織中的癌細(xì)胞的生物學(xué)特性不盡相同，即腫瘤組織內(nèi)的細(xì)胞本身具有異質(zhì)性。其中一小部分細(xì)胞亞群具有與干細(xì)胞相似的自我更新和無限增殖的潛能，維持著腫瘤組織的生命力，促進(jìn)癌癥進(jìn)程，對(duì)腫瘤的生長、復(fù)發(fā)與轉(zhuǎn)移有著重要的作用[2]。研究發(fā)現(xiàn)，乳腺癌中也存在著乳腺癌干細(xì)胞（breast cancer stem cells，BCSCs）[3]。隨著人們對(duì)乳腺癌發(fā)生發(fā)展機(jī)制的研究不斷深化，BCSCs日益受到重視[3]。

BCSCs被認(rèn)為是腫瘤發(fā)生、發(fā)展的基礎(chǔ)，與腫瘤復(fù)發(fā)、轉(zhuǎn)移和對(duì)治療的耐受有關(guān)。目前研究認(rèn)為只有少數(shù)BCSCs進(jìn)入細(xì)胞周期，而多數(shù)BCSCs處于靜止?fàn)顟B(tài)，故BCSCs對(duì)常規(guī)的治療并不敏感?，F(xiàn)有的物理、化學(xué)治療手段所針對(duì)的是大多數(shù)的乳腺癌細(xì)胞，對(duì)乳腺癌中少數(shù)的BCSCs無法達(dá)到有效的殺傷效果，不能抑制乳腺癌的復(fù)發(fā)與轉(zhuǎn)移[4-5]。

隨著研究的不斷深入，有關(guān)BCSCs的動(dòng)力學(xué)分析對(duì)于理解乳腺癌復(fù)發(fā)與轉(zhuǎn)移的內(nèi)在機(jī)制非常重要[6-7]。Liu等[8]提出具有雙負(fù)反饋和對(duì)稱分裂概率的理論模型研究了乳腺癌中BCSCs的生長。在乳腺癌臨床實(shí)驗(yàn)上，BCSCs的生長曲線還具有Gompertzian形狀的特點(diǎn)[8]，且BCSCs在特定腫瘤微環(huán)境下既可從活躍狀態(tài)轉(zhuǎn)化到休眠狀態(tài)，也可從休眠狀態(tài)轉(zhuǎn)化到活躍狀態(tài)[9-10]。以往的研究大多是圍繞活躍狀態(tài)的BCSCs對(duì)乳腺癌增殖的影響，然而休眠狀態(tài)的BCSCs對(duì)乳腺癌復(fù)發(fā)與轉(zhuǎn)移的影響也極為關(guān)鍵。為此本文在動(dòng)力學(xué)研究中將BCSCs的休眠狀態(tài)考慮進(jìn)去，構(gòu)建了一個(gè)簡化的不同狀態(tài)BCSCs系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。分析休眠狀態(tài)的BCSCs對(duì)BCSCs生長過程的影響。結(jié)果表明休眠狀態(tài)的BCSCs對(duì)BCSCs發(fā)生發(fā)展系統(tǒng)具有重要作用，能夠反映不同狀態(tài)的BCSCs發(fā)生發(fā)展中的耐受性以及乳腺癌復(fù)發(fā)階段的行為。以此為基礎(chǔ)進(jìn)一步研究了在BCSCs靶向治療不同時(shí)期，隨著療效減弱，BCSCs的動(dòng)力學(xué)行為表現(xiàn)出由活躍狀態(tài)變?yōu)樾菝郀顟B(tài)再到活躍狀態(tài)的過程。

根據(jù)上述分析，繪制出特定腫瘤微環(huán)境下BCSCs休眠狀態(tài)和活躍狀態(tài)的生長模型示意圖，如圖1所示。

1 數(shù)學(xué)模型

2 BCSCs發(fā)生過程的穩(wěn)定性分析

3 BCSCs發(fā)展過程的動(dòng)力學(xué)模擬

上述理論分析表明，在BCSCs發(fā)生過程中活躍狀態(tài)BCSCs的增殖率與死亡率的比值在（1，0）處發(fā)生音叉分岔。進(jìn)一步對(duì)BCSCs的發(fā)展過程進(jìn)行動(dòng)力學(xué)模擬[14-15]，分析研究在BCSCs靶向治療影響下BCSCs生長的情況。在常規(guī)治療結(jié)束后大量癌細(xì)胞被殺死，少量細(xì)胞具有BCSCs的特性且處于休眠狀態(tài)潛伏在體內(nèi)[8]。設(shè)初始條件x_q（0）=150，x_a（0）=50。

在乳腺癌BCSCs的生長模型中[8]，Liu等人定性模擬了BCSCs的生長曲線，并與MCF7乳腺癌細(xì)胞的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)做了比較，如圖3所示。

從圖3a）中可以看出，將BCSCs生長曲線的模擬數(shù)據(jù)與體外細(xì)胞增殖動(dòng)力學(xué)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)做比較，發(fā)現(xiàn)在Ⅰ和Ⅱ雙負(fù)反饋模型下與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)符合得很好。在圖3b）中，BCSCs生長曲線的模擬數(shù)據(jù)與體內(nèi)細(xì)胞增殖動(dòng)力學(xué)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)比較符合，且BCSCs生長曲線符合Gompertzian形狀的特點(diǎn)[11]。Liu等的理論和實(shí)驗(yàn)分析推動(dòng)了BCSCs研究的進(jìn)一步深化，但還未討論BCSCs的休眠狀態(tài)對(duì)BCSCs生長以及對(duì)乳腺癌復(fù)發(fā)的影響。為此，本文在靶向治療下將休眠狀態(tài)的BCSCs考慮進(jìn)來，進(jìn)一步對(duì)休眠狀態(tài)-活躍狀態(tài)BCSCs生長的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行研究。

數(shù)值模擬在常規(guī)治療結(jié)束后BCSCs總細(xì)胞數(shù)的生長曲線如圖4a）所示?？梢钥闯?，BCSCs在生長早期增殖緩慢，中期急劇增殖，最后趨于穩(wěn)定增殖狀態(tài)，且與乳腺癌的BCSCs生長趨勢(shì)基本吻合[8]。在常規(guī)治療結(jié)束后不同狀態(tài)BCSCs之間相互轉(zhuǎn)化的生長曲線如圖4b）所示?？梢钥闯?，在生長早期x_q在數(shù)量上相對(duì)于x_a占優(yōu)勢(shì)，說明x_a在早期增殖時(shí)向x_q轉(zhuǎn)化較多，即此階段處于休眠狀態(tài)。在中期增殖時(shí)x_a呈指數(shù)形式上升，而x_q逐漸接近飽和趨于穩(wěn)定。在后期x_a增殖緩慢最終趨于穩(wěn)定增殖階段。也就是說，常規(guī)治療結(jié)束后隨著時(shí)間的增加，BCSCs由休眠階段逐漸到穩(wěn)定增殖階段。

在BCSCs穩(wěn)定增殖階段施加BCSCs靶向治療，BCSCs總細(xì)胞數(shù)隨時(shí)間的變化曲線如圖5a）所示?？梢钥闯?，BCSCs水平急劇降低，并維持在不等于零的低水平狀態(tài)一段時(shí)間，即進(jìn)入休眠狀態(tài)。最后隨著治療療效減弱，BCSCs水平上升直到再次達(dá)到穩(wěn)定增殖階段。在BCSCs穩(wěn)定增殖階段施加BCSCs靶向治療，不同狀態(tài)BCSCs之間相互轉(zhuǎn)化的生長曲線如圖5b）所示?？梢钥闯?，治療早期x_a的細(xì)胞數(shù)量急劇減少，x_q細(xì)胞數(shù)量隨后減少且較x_a在時(shí)間上出現(xiàn)滯后現(xiàn)象。這說明在x_a數(shù)量減少時(shí)，x_q會(huì)向x_a轉(zhuǎn)化，對(duì)其進(jìn)行補(bǔ)充。在治療中期，x_q的細(xì)胞數(shù)量因向x_a轉(zhuǎn)化而持續(xù)減少，x_a的數(shù)量趨于零，但不等于零，并維持在一個(gè)低水平休眠狀態(tài)。在治療后期，x_a增殖迅速。也就是說，在BCSCs靶向治療期間，隨著時(shí)間的增加，x_q持續(xù)向x_a轉(zhuǎn)化，對(duì)其進(jìn)行補(bǔ)充。此后x_a一邊增殖，一邊向x_q轉(zhuǎn)化直至x_q飽和。這可能與休眠狀態(tài)BCSCs有關(guān)。雖然BCSCs靶向治療的方法對(duì)活躍狀態(tài)BCSCs增殖的殺傷力很大，但很難完全殺死BCSCs。所以，可以推斷導(dǎo)致乳腺癌復(fù)發(fā)的根源可能是休眠狀態(tài)BCSCs的復(fù)蘇。

在不同狀態(tài)的BCSCs發(fā)展過程中，除了BCSCs靶向治療對(duì)活躍狀態(tài)BCSCs的增殖、死亡的影響外，還要考慮在BCSCs靶向治療影響下特定的腫瘤微環(huán)境。由于特定腫瘤微環(huán)境是產(chǎn)生BCSCs的關(guān)鍵，改變特定腫瘤微環(huán)境會(huì)加速x_a的死亡，有可能直接阻止BCSCs的形成，防止腫瘤復(fù)發(fā)[16-17]。因此增加x_a的死亡率，BCSCs總細(xì)胞數(shù)及不同狀態(tài)BCSCs的細(xì)胞數(shù)量會(huì)隨時(shí)間變化，其曲線分別如圖6a）和6b）所示。

從圖6a）和圖6b）可以看出，在BCSCs靶向治療階段，當(dāng)死亡率d_a增加到2.6×10^-3h^-1時(shí)，x_a細(xì)胞的數(shù)量相比圖5而言，下降幅度變大，而且維持最低水平穩(wěn)定狀態(tài)的時(shí)間間隔增加，即處于休眠狀態(tài)的時(shí)間變長。這說明在BCSCs發(fā)展過程中綜合考慮BCSCs靶向治療及特定腫瘤微環(huán)境等影響，提高x_a的死亡率，可能起到延長BCSCs處于休眠狀態(tài)的時(shí)間，從而延遲乳腺癌復(fù)發(fā)的可能。

4 結(jié)論

本文構(gòu)造了一個(gè)簡化的休眠狀態(tài)-活躍狀態(tài)BCSCs發(fā)生發(fā)展的理論模型，通過解析分析和數(shù)值模擬方法進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)研究。研究發(fā)現(xiàn)：1）在BCSCs發(fā)生過程中出現(xiàn)0→1的突變，即存在音叉分岔現(xiàn)象，對(duì)應(yīng)于從休眠狀態(tài)到活躍狀態(tài)的轉(zhuǎn)變；2）在BCSCs發(fā)展過程中，對(duì)BCSCs穩(wěn)定增殖階段施加BCSCs靶向治療，發(fā)現(xiàn)BCSCs急劇減少，之后穩(wěn)定在一定低水平休眠狀態(tài)，隨著治療療效減弱，BCSCs水平上升直到再次達(dá)到穩(wěn)定增殖階段；3）在BCSCs靶向治療階段，通過改變特定腫瘤微環(huán)境增加x_a的死亡率，增加了BCSCs處于休眠狀態(tài)的時(shí)間。這說明在BCSCs發(fā)展過程中，考慮BCSCs靶向治療及特定腫瘤微環(huán)境的改變，提高了x_a的死亡率，可能起到延長BCSCs處于休眠狀態(tài)的時(shí)間，從而延遲乳腺癌復(fù)發(fā)的可能。因此在常規(guī)乳腺癌治療結(jié)束后，可以在BCSCs穩(wěn)定增殖階段考慮通過BCSCs靶向治療和特定腫瘤微環(huán)境等療法，來達(dá)到控制BCSCs生長及遏制其逃離休眠狀態(tài)的目的，從而延長乳腺癌復(fù)發(fā)的時(shí)間。

本文的主要結(jié)論概括為：1）能夠描述系統(tǒng)在常規(guī)腫瘤治療結(jié)束后休眠狀態(tài)-活躍狀態(tài)BCSCs在靶向治療下的相互轉(zhuǎn)化機(jī)制，直觀再現(xiàn)了休眠狀態(tài)BCSCs的生長變化情況；2）在宏觀上探討改變特定腫瘤微環(huán)境，導(dǎo)致活躍狀態(tài)BCSCs死亡率的增加，延長了BCSCs向活躍狀態(tài)轉(zhuǎn)化的時(shí)間，從而可能抑制乳腺癌的復(fù)發(fā)與轉(zhuǎn)移；3）利用該數(shù)學(xué)模型，可以模擬休眠狀態(tài)-活躍狀態(tài)BCSCs相互轉(zhuǎn)化的情況。這些研究結(jié)果有助于加深對(duì)休眠狀態(tài)-活躍狀態(tài)的BCSCs生長機(jī)制的理解。通過分析和預(yù)測(cè)BCSCs生長趨勢(shì)，為抗乳腺癌生長提供參考。

參考文獻(xiàn)：

[1]? ? ZHANG X P，YANG H J. Research progress on long non-coding RNAs and drug resistance of breast cancer[J]. Clinical Breast Cancer，2020，20（4）：275-282.

[2]? ? REYA T，MORRISON S J，CLARKE M F，et al. Stem cells，cancer，and cancer stem cells[J]. Nature，2001，414（6859）：105-111.

[3]? ? AL-HAJJ M，WICHA M S，BENITO-HERNANDEZ A，et al. Prospective identification of tumorigenic breast cancer cells[J]. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America，2003，100（7）：3983-3988.

[4]? ? NAJAFI M，MORTEZAEE K，MAJIDPOOR J. Cancer stem cell （CSC） resistance drivers[J]. Life Sciences，2019，234：116781.

[5]? ? JORDAN C T. Cancer stem cell biology：from leukemia to solid tumors[J]. Current Opinion in Cell Biology，2004，16（6）：708-712.

[6]? ? CLARKE M F. Clinical and therapeutic implications of cancer stem cells[J]. The New England Journal of Medicine，2019，380（23）：2237-2245.

[7]? ? SOL?S-P?REZ J E，G?MEZ-AGUILAR J F，ATANGANA A. A fractional mathematical model of breast cancer competition model[J]. Chaos，Solitons & Fractals，2019，127：38-54.

[8]? ? LIU X F，JOHNSON S，LIU S，et al. Nonlinear growth kinetics of breast cancer stem cells：implications for cancer stem cell targeted therapy[J]. Scientific Reports，2013，3：2473.

[9]? ? KISE K，KINUGASA-KATAYAMA Y，TAKAKURA N. Tumor microenvironment for cancer stem cells[J]. Advanced Drug Delivery Reviews，2016，99：197-205.

[10]? SEHL M E，SINSHEIMER J S，ZHOU H，et al. Differential destruction of stem cells：implications for targeted cancer stem cell therapy[J]. Cancer Research，2009，69（24）：9481-9489.

[11]? TANG L，VAN DE VEN A L，GUO D M，et al. Computational modeling of 3D tumor growth and angiogenesis for chemotherapy evaluation[J]. PLoS One，2014，9（1）：e83962.

[12]? YONG T Y，ZHANG X Q，BIE N N，et al. Tumor exosome-based nanoparticles are efficient drug carriers for chemotherapy[J]. Nature Communications，2019，10：3838.

[13]? SHI Y F，LIM S K，LIANG Q R，et al. Gboxin is an oxidative phosphorylation inhibitor that targets glioblastoma[J]. Nature，2019，567（7748）：341-346.

[14]? 馮西橋. 腫瘤生物力學(xué)新進(jìn)展[J]. 醫(yī)用生物力學(xué)，2019，34（2）：115-120.

[15]? 解靜輝，趙同軍，郝芳芳，等. 腫瘤生長過程中時(shí)間延遲在腫瘤免疫系統(tǒng)中的作用[J]. 醫(yī)用生物力學(xué)，2017，32（4）：319-324.

[16]? 張書卿，張博，洪亮，等. 乳腺癌干細(xì)胞培養(yǎng)鑒定及分化過程中微環(huán)境的影響[J]. 中國組織工程研究，2015，19（14）：2155-2160.

[17]? LIN Q，YUN Z. Impact of the hypoxic tumor microenvironment on the regulation of cancer stem cell characteristics[J]. Cancer Biology & Therapy，2010，9（12）：949-956.