文|陳 昱（特級教師） 董曉梅

數(shù)學(xué)概念是人腦對現(xiàn)實對象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式，是數(shù)學(xué)判斷和推理的基礎(chǔ)，包含反映對象“質(zhì)”的特征的概念內(nèi)涵和反映對象“量”的范圍的概念外延。既然是人腦的活動，便具有隱蔽性，教和學(xué)的過程都需要對這種內(nèi)隱的活動加以表征。“畫概念”是在概念教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生將心中理解的數(shù)學(xué)概念通過畫圖表征出來，更多是對概念外延的舉例，以形象表征抽象，可以反映學(xué)生對概念內(nèi)涵的理解情況，并逐步完成對數(shù)學(xué)概念的深度學(xué)習(xí)。

數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)除了構(gòu)建數(shù)學(xué)概念本身，以數(shù)學(xué)概念為載體，通過相關(guān)的數(shù)學(xué)思維過程訓(xùn)練，還能培養(yǎng)學(xué)生主動獲取知識與靈活思維的能力，“畫概念”教學(xué)可以承載這樣的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育任務(wù)。

下面以《倍的再認識》一課為例，說明“畫概念”教學(xué)的實施策略。

一、問題驅(qū)動

問題驅(qū)動型教學(xué)模式是由英國教育家博雷泊在20 世紀80 年代提出的教學(xué)理念，它將知識點隱含在一個或幾個具體問題中，課堂通過剖析這些問題引導(dǎo)學(xué)生同步進行思考，達到深刻理解知識點的目的。對小學(xué)生而言，有效的概念學(xué)習(xí)往往不是直接的、孤立的，而是在具體的問題解決中自然地發(fā)生。

《倍的再認識》一課始終在解決問題，先是紅花與藍花朵數(shù)比較的兩個問題，然后是有關(guān)紫花朵數(shù)的兩個問題，最后是較復(fù)雜的問題。教學(xué)從鏈接學(xué)生生活的實際問題出發(fā)，學(xué)生有學(xué)習(xí)需求，為了解決問題必須積極思考，概念理解在問題解決的過程中悄然發(fā)生，避免了直接呈現(xiàn)概念的低效說教。

這個過程會牽涉如下問題：

其一是學(xué)生四能培養(yǎng)，這節(jié)課的做法是：創(chuàng)設(shè)情境，呈現(xiàn)信息→梳理信息，提出問題→聚焦問題，分析解決→反思比較，深化認識。

不僅注重分析和解決問題，還關(guān)注發(fā)現(xiàn)和提出問題。課始，請學(xué)生傾聽并記錄信息“某小學(xué)的花壇里有2 朵紅花，6 朵藍花”，引導(dǎo)學(xué)生體會“畫圖并標數(shù)據(jù)”記錄方法的簡便，自然提出差比和倍比問題。

其二是與倍概念相關(guān)的問題探究，上面提及做法中“聚焦問題，分析解決→反思比較，深化認識”環(huán)節(jié)反復(fù)了三次：一次是問題①差比與問題②倍比的比較；一次是問題③④標準量改變引起比較結(jié)果的改變；一次是問題⑤倍比與差比混合型問題的探究。課后的延伸作業(yè)還牽涉到問題⑤標準量已知與問題⑥標準量未知的比較情況，當然只是滲透一點，不作要求。

以上問題解決過程同時也是倍概念的深化理解過程，比如，與差比的對比深化了學(xué)生對倍概念是一種乘法結(jié)構(gòu)的認識，后面的問題則突出了比較標準在倍概念中的重要性，混合型問題能夠很好地檢驗學(xué)生對倍概念的理解和掌握情況。

二、畫圖輔助

在整節(jié)課中畫圖多次出現(xiàn)，大體可以分為三種：理解性畫圖、探究性畫圖和建構(gòu)性畫圖。

1.理解性畫圖

這節(jié)課之前，北師大版二年級上冊已經(jīng)教學(xué)過倍的認識，學(xué)生對倍概念有了初步的認知，會解答有關(guān)倍的簡單問題，而求差問題早在一年級就學(xué)習(xí)過。所以，面對“藍花比紅花多幾朵？”“藍花朵數(shù)是紅花的幾倍？”的問題，他們能夠解決。這時候的課堂是怎么處理的？先列式計算再畫圖。此時的畫圖就是理解性畫圖，即對算式進行解釋說明（見圖10）。

圖1 學(xué)生對稍復(fù)雜問題的探究

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

圖7

圖8

圖9

圖10

已經(jīng)會算了還有必要再畫圖嗎？此環(huán)節(jié)的理解性畫圖有如下主要作用：

（1）自我梳理，看看對這些問題到底是怎么理解的、有沒有困難。

（2）同伴交流，只有把內(nèi)心的想法表征出來，彼此才能交流。

（3）深化理解，通過表征和交流發(fā)現(xiàn)自身不足，借鑒他人經(jīng)驗，認識自然會深化，也可以為下一步的比較做好準備，使認識提升成為可能。

（4）教學(xué)干預(yù)，學(xué)生畫圖將內(nèi)隱的思維外顯，除了便于自我審視和同伴互動，還可以使教師及時發(fā)現(xiàn)隱含著的理解難點和思考困惑，便于教學(xué)干預(yù)，提高教學(xué)針對性和有效性。

理解性畫圖不一定非要在列式之后，也可以先畫圖再列式，比如稍后解決“紫花有多少朵？”“紫花是藍花的幾倍？”問題時便沒有硬性規(guī)定或引導(dǎo)學(xué)生先列式再畫圖，而是放手讓學(xué)生去做，有的學(xué)生就先畫一畫再列式解答。與算式相比，畫圖更容易讓學(xué)生理解和把握，何況有的學(xué)生會暫時忘記一些已學(xué)知識，畫圖恰好可以幫助他們及時回憶起來。

2.探究性畫圖

與理解性畫圖相對應(yīng)的是探究性畫圖，適用于新問題的解決過程。比如“紅花有3 朵，藍花是紅花的4 倍少1 朵，藍花有多少朵？”這是以前沒有學(xué)習(xí)過的稍復(fù)雜問題，混合了倍比和差比兩種結(jié)構(gòu)，與前幾個問題相比，學(xué)生頭腦里沒有現(xiàn)成的問題解決路徑和模型，這種情況下，課堂是怎么處理的？先畫圖探究，搞清楚數(shù)量關(guān)系后，問題的解決路徑、方法都顯現(xiàn)出來了，再列式解答就容易了。列式其實是在畫圖探究后逐漸把握問題背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

這類新問題多遇見幾次，就可以歸納發(fā)現(xiàn)其規(guī)律和特征，進而把握其結(jié)構(gòu)，以后再遇到此類問題的畫圖便又是理解性畫圖了。

3.建構(gòu)性畫圖

建構(gòu)性畫圖是學(xué)生在頭腦中建構(gòu)某個數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)模型的過程，是對數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)問題的結(jié)構(gòu)化把握。與前兩種畫圖相比，建構(gòu)性畫圖具有內(nèi)隱性，通常發(fā)生在意識里，圖不是畫在紙上，而是畫在腦海里。

本課差比問題和倍比問題比較環(huán)節(jié)，通過對比觀察和討論交流，學(xué)生最后會在頭腦中確立起差比結(jié)構(gòu)和倍比結(jié)構(gòu)，從而完成對差和倍概念，尤其是倍概念的本質(zhì)理解，在頭腦中建立倍概念“幾個幾”的乘法結(jié)構(gòu)模型，建構(gòu)起比較清晰深刻的倍概念?？梢?，建構(gòu)性畫圖在概念學(xué)習(xí)中具有非常關(guān)鍵的作用。

探究性畫圖是探新，完成后理解性畫圖是釋舊；建構(gòu)性畫圖是建新，以探究性畫圖和理解性畫圖為基礎(chǔ)，沒有探究性畫圖和理解性畫圖作前提，建構(gòu)性畫圖很難完成，而沒有建構(gòu)性畫圖，概念學(xué)習(xí)就不牢固；三種畫圖類型各有適用范圍和應(yīng)用時機，需要教師選擇利用，一起輔助學(xué)生的概念學(xué)習(xí)。

三、多元表征

“畫概念”說到底是一種概念學(xué)習(xí)方式，是圍繞數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)而畫。當然，畫圖不會單獨存在，它總是與學(xué)具操作、言語解釋、文字說明等結(jié)伴而行。為此，與“畫概念”相鏈接的是比較豐富實用的多樣活動，《倍的再認識》一課中主要有說圖、評圖和圖式對應(yīng)。

先看圖式對應(yīng)。圖指圖畫、圖示，屬于圖畫表征，屬于形范疇；式指算式，屬于符號表征，屬于數(shù)范疇。圖與式當然可以相互對應(yīng)，相互轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合，從而完成概念的理解和建構(gòu)。本課中的圖式對應(yīng)貫穿了所有的“畫概念”活動，起到了很好的促進學(xué)習(xí)作用。圖式對應(yīng)中，圖示是思維的拐杖、是理解的工具、是歸納的基礎(chǔ)，圖示很重要，但并非最終成果。圖示更多是概念學(xué)習(xí)的過程性工具，一旦概念得以完全建構(gòu)，則可以舍棄圖示，直接運用算式思考解決問題。反過來，一旦直接運用算式發(fā)生困難，又可以借助圖示這個工具。

再看說圖。理解性畫圖伴隨著學(xué)生畫圖來解釋說明算式，探究性畫圖緊跟的活動是學(xué)生需要說清楚怎樣通過畫圖找到了列式解決問題的方法，而建構(gòu)性畫圖則依賴學(xué)生用言語表達清楚到底獲得了怎樣的深刻認識，或者說數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)結(jié)構(gòu)到底是怎樣的。這些都是說圖，一般在畫圖之后，而說圖之后還會有評圖。

如果說畫圖是學(xué)生與自我的對話，那么說圖就是學(xué)生與他人的交流。嚴格說，說圖只完成交流的一半，即“我”的表達；大家對這樣的表達有什么意見？作什么反饋和評價？這是另一半———評圖。

聽同伴說圖，說得好的點贊、學(xué)習(xí)，說得不完美的補充和修訂，不贊成的就反駁和辯論。小組討論或同桌互說保證了評圖的參與度，再全班交流則彰顯出評圖的效果，一節(jié)課的精彩處往往在評圖反饋環(huán)節(jié)，這可以從下面《倍的再認識》教學(xué)片斷里具體感受。

師：針對問題①和問題②，這里有一些同學(xué)的作品，我們來看一看。（出示圖2）你覺得怎么樣？

生：他畫出了已知的數(shù)學(xué)信息和兩個問題，還列式算出了結(jié)果，很好！但是他沒有畫出思考的過程。

生：我也覺得他沒有畫出他是怎么想的，問題也不準確，應(yīng)該是“藍花比紅花多幾朵？”“藍花朵數(shù)是紅花的幾倍？”（學(xué)生修改）

師：是呀，最精彩的思路沒有畫出來，那怎么畫出思考過程呢？請看（出示圖3、4），這兩幅作品畫出思考過程了嗎？

生：我認為圖3 畫出了思考過程，圖4 沒有畫出過程，圖4 只是把算式里的數(shù)換成了圖形，這與算式差不多，還是看不出思考的過程。

生：我也認為圖4 這樣不能看出思考的過程。再看圖3，問題②她用大括號畫出了紅花2 朵是1 份，藍花6 朵里有這樣的3 份，就是3 倍，所以畫出了思考過程；但是再看上面的問題①，她畫的還是藍花是紅花朵數(shù)的3 倍，并不是藍花比紅花多幾朵，畫錯了。

生：圖3 把兩個問題混淆了，而它倆是不一樣的。

師：很多同學(xué)舉手表示認同，其實大多數(shù)同學(xué)畫出了兩個問題的不同思考過程，老師選了幾幅，一起來看看（出示圖5～10）。我們先觀察問題②（遮去問題①），你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：它們有的畫花，有的畫圓圈，有的用圓圈圈一圈，有的用長方形圈一圈，有的用豎線隔開。

生：我發(fā)現(xiàn)雖然它們畫得不一樣，但是都畫出了藍花是紅花的3 倍，都是把2 朵放一起作為1份，看藍花里有幾個2 朵就是幾倍，都用除法算。

師：是這樣嗎？好發(fā)現(xiàn)！那為什么都把2 朵作為1 份呢？

生：那是因為紅花是2 朵，藍花是要與紅花來比較的，當然要把2 朵作為1 份。

師：也就是這個問題是把紅花的朵數(shù)作為比較的標準（板書：標準）。再觀察問題①，你又有什么發(fā)現(xiàn)？與問題②相比，思考過程和結(jié)果有什么相同點和不同點？先自己想，再小組內(nèi)說一說。

（學(xué)生活動，教師行間輔導(dǎo)）

師：哪一組先匯報一下你們觀察問題①的發(fā)現(xiàn)？

生：我們小組認為，雖然這些作品畫法不一樣，但是都畫出了思考過程，都是用6- 2=4 來計算，都是把紅花的朵數(shù)看成標準。

師：說得有點快，聽懂了嗎？那誰來補充一下他們是怎么畫出思考過程的？

生：雖然畫法不太一樣，但他們都把紅花2 朵作為標準，再把藍花6 朵同紅花比，去掉與紅花一樣多的2 朵，剩下的4 朵就是藍花比紅花多4 朵。

生：他們都把藍花的朵數(shù)分成了兩部分，一部分是與紅花一樣多的2 朵，一部分是比紅花多的4 朵。

生：我發(fā)現(xiàn)圖7 沒有畫紅花，其他都畫了紅花和藍花。

師：小作者能不能解釋一下？

生：我心里想要求藍花比紅花多幾朵，只要從藍花的6 朵里把紅花的2 朵去掉就行了，就叉掉了兩朵。

師：你的意思，這兩朵既是藍花也可以表示紅花？

生：是的，這是藍花里面與紅花朵數(shù)相同的2 朵。

師：大家說得很好！哪一組再來匯報一下兩個問題的相同點和不同點？

生：我們組認為它們的相同點是：都是把6 朵藍花與2 朵紅花比較，都是把紅花朵數(shù)作為標準；不同點是：問題①是求藍花比紅花多幾朵，問題②是求藍花朵數(shù)是紅花的幾倍，問題不同。

師：我記錄一下，也就是一個是求倍，一個是求差（板書：求倍、求差）。請繼續(xù)！

生：所以求倍的問題用除法算，求差的問題用減法算。

師：誰來解釋一下為什么求倍要用除法算，而求差用減法？

生：（走上臺，指圖說）因為求倍是要看藍花里有幾個2 朵，用除法；而求差是從藍花里去掉2朵，用減法。

師：原來求倍要看有幾個標準量，而求差是看去掉標準量還剩多少。從圖上看，它們的結(jié)構(gòu)是不一樣的，大家可以感受一下。

綜上所述，“畫概念”教學(xué)一般以問題驅(qū)動展開，融合多元表征，著力引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷理解性畫圖、探究性畫圖和建構(gòu)性畫圖等活動，從而把握概念本質(zhì)，同時提升以數(shù)學(xué)思維為主的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。