文|張聰聰

【教學(xué)內(nèi)容】

人教版二年級(jí)上冊(cè)第四單元第一課時(shí)。

【課前思考】

在理解加減法模型后，認(rèn)識(shí)“乘法”是學(xué)生對(duì)運(yùn)算理解的一次小步跨越。乘法模型有多種樣態(tài)，《乘法的初步認(rèn)識(shí)》一課主要是從一般的等組模型入手（如圖1），逐漸進(jìn)入到排列規(guī)律的矩陣模型（如圖2），三年級(jí)還要進(jìn)一步認(rèn)識(shí)和理解倍比模型（如圖3）。無論是哪種運(yùn)算模型，都離不開運(yùn)算的本質(zhì)——“數(shù)的累加”，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》中就提到要“感悟數(shù)的運(yùn)算以及運(yùn)算之間的關(guān)系，體會(huì)數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，形成運(yùn)算能力和推理意識(shí)”。

圖1 一般的等組模型

圖2 矩陣模型

圖3 倍比模型

筆者了解到學(xué)生對(duì)乘法的認(rèn)識(shí)并非是一張白紙，為準(zhǔn)確了解學(xué)生究竟理解到哪個(gè)水平，特對(duì)目前所任教的兩個(gè)班共81 名學(xué)生做了學(xué)前測(cè)查，結(jié)果如表1。

表1

仔細(xì)分析前測(cè)結(jié)果可知，接近一半的學(xué)生能夠根據(jù)實(shí)物圖用乘法算式去表示幾個(gè)幾相加的和，但反過來要解釋3×2 的含義，僅有3.7%的學(xué)生能夠表示出兩種含義，接近60%的學(xué)生僅能表示出一種含義，說明學(xué)生對(duì)乘法意義的理解是片面的。

再結(jié)合筆者以往的執(zhí)教經(jīng)歷，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)了“乘法”單元之后，學(xué)生對(duì)乘法的認(rèn)知似乎還不夠透徹：

一方面，在看圖時(shí)，學(xué)生往往習(xí)慣先寫出乘法算式（每組幾個(gè)，有幾組），再寫加法算式，這也因乘法的簡(jiǎn)潔性導(dǎo)致學(xué)生更喜歡先寫簡(jiǎn)單的算式。也正因如此，可能會(huì)弄混“幾個(gè)幾”。例如：把“8 個(gè)4”寫成“4 個(gè)8”。

由此可見，“幾個(gè)幾”中的“幾個(gè)”和“幾”究竟對(duì)應(yīng)的是哪個(gè)量，學(xué)生沒有真正從“數(shù)”的角度去理解，是4 個(gè)4 個(gè)地?cái)?shù)，數(shù)了8 次，還是8 個(gè)8 個(gè)地?cái)?shù)，數(shù)了4 次？這是需要引導(dǎo)學(xué)生去“數(shù)”出來、“算”明白的。

另一方面，在無圖時(shí)，學(xué)生由于學(xué)習(xí)了乘法后有了思維定勢(shì)，沒有牢固建立乘法模型，導(dǎo)致把本該用加法來解決的問題，也誤用乘法去解決。例如“有8 排課桌，每排5 張，一共有幾張？”“有2 排課桌，一排8 張，另一排5 張，一共有幾張？”第一問用乘法8×5 或5×8解決，第二問應(yīng)該用8+5 解決，但有的學(xué)生“不假思索”地用8×5 去解決，盡管學(xué)生在閱讀時(shí)存在不仔細(xì)的情況，但筆者認(rèn)為這也是乘法模型建立不深刻導(dǎo)致的。

根據(jù)前測(cè)結(jié)果和教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)定位在：

1.在“數(shù)數(shù)”的情境下概括和抽象出乘法，理解同數(shù)連加與乘法之間的聯(lián)系，感悟運(yùn)算的一致性。

2.通過語言、符號(hào)表征，深刻建立乘法運(yùn)算的模型，理解乘法的意義，感受乘法算式的簡(jiǎn)潔。

3.會(huì)讀、寫乘法算式，知道乘法算式各部分的名稱。

因?yàn)榻⒊朔Ｐ?、理解乘法意義是本節(jié)課的重點(diǎn)，所以在數(shù)、說、畫等學(xué)習(xí)活動(dòng)中，要重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生仔細(xì)觀察（是否符合乘法模型）、深入分析（分析數(shù)量關(guān)系解釋乘法意義）等好習(xí)慣。

【教學(xué)過程】

一、引入“數(shù)數(shù)”，順其自然重溫?cái)?shù)數(shù)方法

師：秋天到了，小熊去樹林里摘了許多蘋果，他一共摘了多少個(gè)蘋果呢？請(qǐng)你拿出信封中的紙片蘋果，幫小熊數(shù)一數(shù)吧。

師：你是怎么數(shù)的？

生：我是1 個(gè)1 個(gè)地?cái)?shù)，1、2、3……一共有30 個(gè)。

生：我是2 個(gè)2 個(gè)地?cái)?shù)，2、4、6……一共有30 個(gè)。

生：我是先5 個(gè)5 個(gè)地放一堆，再數(shù)5、10……一共也是30 個(gè)。

師：大家都在數(shù)蘋果的總個(gè)數(shù)，但數(shù)的方法有些不同。

【思考：加法運(yùn)算模型是“數(shù)”的累加，乘法是同數(shù)連加運(yùn)算的簡(jiǎn)便形式，它的本質(zhì)就是同數(shù)累加。從數(shù)數(shù)引入，讓學(xué)生第一次感受在數(shù)的時(shí)候，是1 個(gè)1 個(gè)、2 個(gè)2 個(gè)或5 個(gè)5 個(gè)……地累加，為下一環(huán)節(jié)理解“幾個(gè)幾”做鋪墊?！?/p>

二、展開“數(shù)數(shù)”，對(duì)比分析理解“幾個(gè)幾”

1.引出乘法，暴露問題

師：黑板上有三幅圖，哪幅圖能更快知道一共有30 個(gè)蘋果？你能用一個(gè)算式來表示嗎？

生：第三幅圖，是5+5+5+5+5+5=30。

生：五乘六也可以。

師：怎么寫？

（學(xué)生到黑板上寫出“5×6”）

師：你能教大家讀一讀嗎？

（學(xué)生示范，其余學(xué)生跟讀）

師：中間的運(yùn)算符號(hào)讀作“乘”，這是一道乘法算式。以前我們都是用加法解決“一共有多少”的問題，乘法也能解決嗎？看到這個(gè)算式，大家有什么想問的嗎？

生：5 是5 個(gè)蘋果，6 是什么意思？

生：中間的“叉”是什么意思？

生：怎么計(jì)算？

師：我們就帶著這些疑問繼續(xù)學(xué)習(xí)。

【思考：這里同時(shí)引出“加法”和“乘法”，主動(dòng)把提問權(quán)交給學(xué)生，提高學(xué)生的問題意識(shí)。學(xué)生問題的暴露始終聚焦在學(xué)生的短板上，學(xué)生想要了解的就是學(xué)生未知的，因此，這樣順學(xué)而教更加契合學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律?！?/p>

2.溝通加法，理解乘法

師：誰能解答這些疑問呢？

生：我知道6 就是有6 個(gè)部分。

師：誰能說得更明白？

生：一堆蘋果是5 個(gè)，有這樣的6 堆。

師：像這樣一組5 個(gè)，有6組。一起來數(shù)一數(shù)，1 個(gè)5——

生：2 個(gè)5、3 個(gè)5、4 個(gè)5、5 個(gè)5、6 個(gè)5。

（學(xué)生齊數(shù)，教師邊指邊圈并板書：每組5 個(gè)，有6 組）

師：一共數(shù)了幾次？

生：6 次。

師：也就是表示有“6 個(gè)5”。

師：觀察加法算式和乘法算式，它們有什么相同和不同嗎？

生：都有5。

生：都能表示每組是5 個(gè)蘋果。

生：加法算式中沒有6，乘法算式中有6。

生：加法算式中雖然沒有直接寫6，但是寫了6 個(gè)5，就是乘法算式中的“6”。

師：所以加法算式也表示6個(gè)5 相加，它們的意義是相同的。

生：沒錯(cuò)，都表示6 個(gè)5 相加，只是乘法算式更簡(jiǎn)單。

師：簡(jiǎn)單在哪？

生：加法算式要寫很多個(gè)5，乘法算式寫兩個(gè)數(shù)就可以。

師：寫成5×6 確實(shí)看上去更簡(jiǎn)潔，還可以寫成6×5。交換兩個(gè)數(shù)的位置，6 和5 的含義有沒有發(fā)生變化？

生：沒有，6 還是表示有6 組，5 還是每組5 個(gè)。

師：說得真好！兩個(gè)數(shù)可以交換位置，含義不變。這兩個(gè)數(shù)在乘法算式中都叫作“乘數(shù)”，中間這個(gè)符號(hào)就是“乘號(hào)”，得數(shù)和上面的加法算式一樣也是30，它是5 個(gè)5 個(gè)累積起來的結(jié)果，這個(gè)得數(shù)就叫作“積”。

小結(jié)：不管是5+5+5+5+5+5，還是5×6 或6×5 都表示6 個(gè)5 相加。

【思考：聯(lián)系加法與乘法的“同”與“不同”，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)乘法運(yùn)算本質(zhì)上也是數(shù)的累加，體現(xiàn)運(yùn)算的一致性。這里第二次數(shù)蘋果的個(gè)數(shù)，用數(shù)數(shù)的方式讓學(xué)生初步理解算式中兩個(gè)乘數(shù)的實(shí)際含義，引導(dǎo)學(xué)生初次建立乘法模型。在初次感受到乘法算式的簡(jiǎn)潔性后，乘法算式各部分的名稱采用直接講授式教學(xué)，也可以讓學(xué)生自學(xué)課本習(xí)得?！?/p>

3.對(duì)比研究，理解意義

生：5×6 表示6 個(gè)5 相加，6×5為什么不能表示5 個(gè)6？

師：這個(gè)問題提得很好！6×5能不能表示5 個(gè)6 呢？你能用手上的紙片蘋果研究一下嗎？

生1：我覺得不可以，因?yàn)檫@里就是6 個(gè)5 啊，你看，1 個(gè)5，2個(gè)5，3 個(gè)5……

生2：我覺得可以，只要把蘋果重新分一下，6 個(gè)放一堆。

師：這也能用6×5 表示？

生：是的，6 就是每組有6 個(gè)，5 就是有5 組。

師：真的是這樣嗎？我們一起來數(shù)一數(shù)，1 個(gè)6——

生：2 個(gè)6、3 個(gè)6……5 個(gè)6。

師：為什么6×5 一會(huì)兒表示6個(gè)5，一會(huì)兒又表示5 個(gè)6 了呢？

生：因?yàn)樘O果分得不一樣。

生：因?yàn)閿?shù)的方法不一樣。前面我們是5 個(gè)5 個(gè)地?cái)?shù)，這次我們是6 個(gè)6 個(gè)地?cái)?shù)的。

師：6 個(gè)6 個(gè)地?cái)?shù)，數(shù)5 次，累積起來也就是6×5=30。

生：或者5×6=30。

師：你補(bǔ)充得真好！那這里的5 和6 還是剛才的含義嗎？

生：這里5 就是有5 組，6 是每組6 個(gè)。

師：怎么分得不一樣，算式卻一樣？這兩種分法意義也一樣嗎？

生：意義不一樣，前面加法算式是5+5+5+5+5+5，這里加法算式是6+6+6+6+6。

師：這樣分蘋果，擺得看上去有點(diǎn)亂，你能不能試著把蘋果擺整齊，也能看出5 個(gè)6 或者6 個(gè)5？

師：看似相同的乘法算式，背后的意義卻不一樣，這里的意義是由誰決定的？

生：怎么“數(shù)”決定的。如果橫著6 個(gè)6 個(gè)地?cái)?shù)，就是5 個(gè)6，豎著5 個(gè)5 個(gè)地?cái)?shù)，就是6 個(gè)5。

生：也可以說是加法算式?jīng)Q定的，5+5+5+5+5+5 就是6 個(gè)5，換成6+6+6+6+6 就是5 個(gè)6。

師：所以乘法算式就是對(duì)加法算式的改寫。它表示“幾個(gè)幾”相加，“幾個(gè)”是加法算式里的哪個(gè)數(shù)？

生：加數(shù)的個(gè)數(shù)。

師：后面這個(gè)“幾”呢？

生：加數(shù)是“幾”就是“幾”。

師：總結(jié)歸納得真棒！

【思考：學(xué)生的一個(gè)提問引發(fā)了激烈的討論和思考，逐漸看到了乘法的本質(zhì)意義，就是“幾個(gè)幾相加”，這里的“幾個(gè)”和“幾”對(duì)應(yīng)的量，會(huì)根據(jù)“數(shù)”的方式不同而改變，學(xué)生通過觀察、對(duì)比、分析、操作、表達(dá)，促進(jìn)了對(duì)乘法意義的深入理解。這里并未強(qiáng)調(diào)“同數(shù)連加”，為接下來學(xué)生自主建構(gòu)乘法模型埋下伏筆?！?/p>

三、拓展“數(shù)數(shù)”，深入建構(gòu)乘法模型

1.自主探索，直觀建構(gòu)乘法模型

師：通過討論，我們認(rèn)識(shí)了乘法，也知道了乘數(shù)的實(shí)際含義。30個(gè)蘋果，除了可以擺成5 個(gè)6 或6個(gè)5 的形式，還可以怎么擺？能用怎樣的乘法算式來表示？

（小組討論，動(dòng)手操作，集體反饋）

生：剛才我們2 個(gè)2 個(gè)地?cái)?shù)過，可以擺整齊一些，就是2×15或者15×2。

師：你能分別說說2 和15 的含義嗎？

生：2 就是每組2 個(gè)，有15 組。

生：我覺得2 也可以是有2組，每組15 個(gè)。

生：橫著數(shù)和豎著數(shù)表示的意思不同。橫著數(shù)是15+15，算式比較簡(jiǎn)單，但豎著數(shù)是2+2+2……要加很多個(gè)2，算式比較麻煩。

師：從不同角度觀察，數(shù)的次數(shù)不同，意義就不同，但都可以用2×15 或15×2 來表示。

生：還可以這樣擺，橫著數(shù)3次就是3 個(gè)10，豎著數(shù)10 次就是10 個(gè)3，都能用3×10 或10×3 來表示。

師：你說得非常清楚！

師：可以7 個(gè)7 個(gè)地?cái)?shù)嗎？

生：可以，但最后會(huì)剩下2 個(gè)。

師：這種情況用什么算式表示？

生：可以用7+7+7+7+2，但是乘法好像不行。

師：為什么不行？

生：數(shù)到最后會(huì)多出幾個(gè)，不是剛好幾個(gè)幾。

生：每組里面一樣多才行，這樣數(shù)，最后一組不是7 個(gè)。

師：每組一樣多才能直接用乘法表示，你們的發(fā)現(xiàn)很了不起。

【思考：通過擺一擺30 個(gè)蘋果的操作活動(dòng)，讓學(xué)生建立清晰的乘法模型——即“每組幾個(gè)，有幾組”的等組模型（矩陣模型），學(xué)生說的“每排一樣多”實(shí)際就是“同數(shù)”，達(dá)到了理解同數(shù)連加和乘法之間建立直接聯(lián)系的目的。在本課中，學(xué)生還沒有“乘加”的概念，自然不必展開，但也為后續(xù)學(xué)習(xí)“乘加”埋下種子?！?/p>

2.拓展練習(xí)，深入理解乘法模型

（1）下面兩幅圖分別可以用怎樣的式子來表示？連一連。

師：這兩幅圖都有8 根香蕉，表示的意義相同嗎？

生：左圖是4 個(gè)一堆，數(shù)2 次就夠了，是4+4，也可以用乘法2×4，或4×2。

師：你說的這三個(gè)算式都表示幾個(gè)幾相加？

生：2 個(gè)4 相加。

師：誰來說說右圖？

生：2、4、6、8，數(shù)了四次。4 個(gè)2，也是2×4 或4×2。

生：但是加法算式是2+2+2+2。

師：看來2×4 或4×2 既可以表示2 個(gè)4 相加，還可以表示——

生：4 個(gè)2 相加！

（2）2×2 和4×4 表示什么？請(qǐng)你選擇一個(gè)算式，畫一畫。

師：2×2 和4×4 這兩個(gè)算式不能連，你明白它們的意義嗎？請(qǐng)你選擇其中一個(gè)算式，把它的意義畫出來。

（學(xué)生動(dòng)手畫一畫并展示。學(xué)生作品有實(shí)物圖、圓圈圖等）

師：4×4 中的兩個(gè)“4”表示的意義一樣嗎？

生：不一樣，一個(gè)“4”表示每組4 個(gè)，另一個(gè)“4”表示有4 組。

師：這樣擺，不管橫著數(shù)，豎著數(shù)，都是4 個(gè)4，意義是相同的。

生：老師，我發(fā)現(xiàn)其實(shí)2×2 也只有一種說法，那就是2 個(gè)2，也能擺成正方形的樣子。

師：怎樣的乘法算式能用小正方形表示成這樣的大正方形呢？

生：兩個(gè)乘數(shù)一樣。

師：是啊，這樣的乘法算式計(jì)算的結(jié)果被叫作“正方形數(shù)”，感興趣的同學(xué)下課以后可以繼續(xù)研究。

【思考：兩個(gè)練習(xí)實(shí)際上是從兩個(gè)維度出發(fā)檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)乘法意義的理解。一是從直觀到抽象，讓學(xué)生根據(jù)圖示選擇算式；二是再從抽象回到直觀，讓學(xué)生用符號(hào)表征算式的意義，加深學(xué)生對(duì)乘法模型的體驗(yàn)?！?/p>

四、課堂小結(jié)（略）