于稼駟

（中華人民共和國(guó)生態(tài)環(huán)境部，北京 100006）

自給能探測(cè)器廣泛用于連續(xù)監(jiān)測(cè)大型核動(dòng)力堆堆芯中子注量率水平及其分布；這種小型、全固化的探測(cè)器，耐輻照、易安裝、壽命長(zhǎng)，是一種較理想的堆芯中子注量率探測(cè)元件。

自給能中子探測(cè)器發(fā)射體吸收中子后，誘發(fā)β衰變，形成輸出電流。我們把這類自給能中子探測(cè)器稱為β衰變型中子探測(cè)器，主要包括銠、釩自給能探測(cè)器。

探測(cè)器靈敏度是自給能探測(cè)器的核心參數(shù)。國(guó)內(nèi)外很多文獻(xiàn)［1-5］探討、分析、研究了銠、釩自給能探測(cè)器靈敏度的計(jì)算方法或數(shù)學(xué)模型。

要系統(tǒng)地刻度探測(cè)器的靈敏度是困難的，特別對(duì)銠探測(cè)器，不但要刻度熱中子靈敏度，而且要刻度探測(cè)器靈敏度隨堆芯中子譜超熱參數(shù)的變化。因此，建立一個(gè)考慮了超熱共振中子影響的探測(cè)器靈敏度數(shù)學(xué)模型是很有必要的。本文將介紹這樣一個(gè)數(shù)學(xué)模型——銠探測(cè)器數(shù)學(xué)模型，并對(duì)未經(jīng)燃耗的銠和釩探測(cè)器在輕水堆系統(tǒng)中的靈敏度作了計(jì)算，結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值符合較好。釩探測(cè)器數(shù)學(xué)模型與銠探測(cè)器數(shù)學(xué)模型的熱中子部分相同。

靈敏度是本論文的核心概念，為了便于論述，現(xiàn)定義兩個(gè)術(shù)語(yǔ)：（1）探測(cè)器靈敏度，即整個(gè)探測(cè)器單位中子注量率輸出電流；（2）探測(cè)器單位長(zhǎng)發(fā)射體靈敏度，是與單位長(zhǎng)（1 cm，下同）發(fā)射體相對(duì)應(yīng)的那部分探測(cè)器靈敏度的簡(jiǎn)稱。如果探測(cè)器靈敏度為I，探測(cè)器發(fā)射體長(zhǎng)度為L(zhǎng)，那么探測(cè)器單位長(zhǎng)發(fā)射體靈敏度為I/L。

1 銠探測(cè)器靈敏度數(shù)學(xué)模型

銠探測(cè)器放在穩(wěn)定典型熱堆中子場(chǎng)中，在平衡狀態(tài)下，發(fā)射體單位時(shí)間放出的β粒子數(shù)等于其俘獲的中子數(shù)。發(fā)射體放出的β粒子在穿越發(fā)射體過(guò)程中損失能量，以一定的概率逃脫發(fā)射體，我們把逃脫到發(fā)射體表面的β粒子能量分布稱為逃脫譜。逃脫發(fā)射體的β粒子，只有穿越絕緣區(qū)空間電荷電勢(shì)峰才能對(duì)探測(cè)器靈敏度有貢獻(xiàn)。因此，我們分以下四部分逐步分析，最后建立數(shù)學(xué)模型。

1.1 發(fā)射體中子俘獲率

103Rh 的中子吸收截面在熱中子區(qū)近似附合1/v律，在超熱區(qū)中子能量為1.26 ev 處有一個(gè)峰值截面高達(dá)近4500 靶的強(qiáng)共振峰，且僅有這一個(gè)強(qiáng)共振峰，如圖1 所示［6］。

圖1 103Rh 中子吸收截面隨中子能量的變化Fig.1 Variation of neutron absorption cross section of103Rh with neutron energy

1.1.1 無(wú)限細(xì)銠絲中子俘獲率

把一根無(wú)限細(xì)的銠絲，放入充分慢化的典型熱堆中子場(chǎng)，單位長(zhǎng)銠絲的中子俘獲率可用以下公式計(jì)算。

（1）精準(zhǔn)理論公式：

（2）簡(jiǎn)化近似公式：

文獻(xiàn)［7］和文獻(xiàn)［8］發(fā)展了一個(gè)公式（1）的簡(jiǎn)化近似公式［7，8］：

式（3）中，nv0為Westcott 中子注量率，其中n為總中子密度，v0=2200 米/秒；σ0為103Rh 熱中子（2200 m/s）微觀吸收截面；g、s為103Rh 的Westcott因子；N極細(xì)為單位長(zhǎng)銠絲103Rh的核數(shù)；n（v）為速度為v的中子的密度；σ（v）為103Rh 速度為v的中子的微觀吸收截面；v為中子速度；r為中子譜超熱指數(shù)，簡(jiǎn)稱超熱指數(shù)，是中子譜超熱中子比例的量度，可以用鎘比法進(jìn)行測(cè)量。σ有效為103Rh 有效吸收截面，其物理內(nèi)涵見(jiàn)式（3）。

（3）替代公式：

其中，T為中子溫度；T0= 20℃（293.15 K）；為中子譜超熱參數(shù)（以下簡(jiǎn)稱超熱參數(shù)）；s0=s（20℃），其他同上。

本文附錄一通過(guò)數(shù)據(jù)詳細(xì)分析、論證了用式（4）替代式（3）的合理性、可行性。附錄一分析表明，用式（4）替代式（3）計(jì)算103Rh 的有效截面，引起的誤差是很小的，相對(duì)誤差小于1%。該替代公式為本文數(shù)學(xué)模型的建立創(chuàng)造了條件、奠定了基礎(chǔ)。

把式（4）代入式（2），可得：

如果把上述極細(xì)銠絲放入一個(gè)純的熱中子譜中，如反射層中，此時(shí)r= 0，那么，單位長(zhǎng)銠絲的熱中子俘獲率為A極細(xì)1。因此，A極細(xì)1代表了熱中子的貢獻(xiàn)；A極細(xì)2代表了超熱中子的貢獻(xiàn)。由于：（1）103Rh 的中子吸收截面在超熱區(qū)中子能量為1.26 eV 處有一個(gè)峰值截面高達(dá)4500 靶的強(qiáng)共振峰；（2）典型熱堆的中子注量率在超熱慢化區(qū)的能譜分布符合1/E 律；（3）圖1 表明，在超熱區(qū)，103Rh 的中子吸收截面在共振區(qū)以外的區(qū)域都很低；因此，A極細(xì)2主要代表超熱共振中子的貢獻(xiàn)。

1.1.2 探測(cè)器發(fā)射體的中子俘獲率

由于銠自給能探測(cè)器發(fā)射體不是無(wú)限細(xì)的，計(jì)算單位長(zhǎng)銠發(fā)射體的中子俘獲率時(shí)需要進(jìn)行中子注量率降低和中子自屏蔽修正。計(jì)算單位長(zhǎng)銠發(fā)射體的中子俘獲率的修正公式如下：

其中，N1為單位長(zhǎng)發(fā)射體103Rh 的核數(shù)；f1為發(fā)射體熱中子自屏因子；F1為發(fā)射體熱中子注量率降低因子；f2為發(fā)射體超熱共振中子自屏因子；F2為發(fā)射體超熱共振中子注量率降低因子，其他同上。

1.2 探測(cè)器單位長(zhǎng)發(fā)射體靈敏度計(jì)算簡(jiǎn)化公式及探測(cè)器靈敏度刻度結(jié)果

1.2.1 探測(cè)器單位長(zhǎng)發(fā)射體靈敏度計(jì)算簡(jiǎn)化公式

在平衡狀態(tài)下，發(fā)射體單位時(shí)間放出的β粒子數(shù)等于其俘獲的中子數(shù)。但β粒子只有逃脫發(fā)射體，并穿越絕緣區(qū)空間電荷電勢(shì)峰才能對(duì)探測(cè)器靈敏度有貢獻(xiàn)。那么探測(cè)器與單位長(zhǎng)發(fā)射體、單位中子注量率相對(duì)應(yīng)的輸出電流，即探測(cè)器單位長(zhǎng)發(fā)射體靈敏度，可用下式表示：

其中，e為電子電量；K熱β有效為熱中子誘發(fā)的β粒子逃脫發(fā)射體并穿越絕緣區(qū)空間電荷電勢(shì)峰的概率；K超振β有效為超熱中子，主要是共振中子誘發(fā)的β粒子逃脫發(fā)射體并穿越絕緣區(qū)空間電荷電勢(shì)峰的概率；re為發(fā)射體半徑；N為單位體積發(fā)射體103Rh 的核子數(shù)；等同于式（6）中的N1，其他同上。

發(fā)射體熱中子自屏因子f1和熱中子注量率降低因子F1引自文獻(xiàn)［9］；超熱共振中子自屏因子f2引自文獻(xiàn)［10］［9，10］。

文獻(xiàn)［9］中的中子注量率降低因子適用于多能中子系統(tǒng)，當(dāng)然也適用于103Rh 共振峰區(qū)間的中子。由于發(fā)射體對(duì)103Rh 的大多數(shù)共振中子（尤其是共振峰半寬度內(nèi)的中子）可以近似看成黑體，滿足了文獻(xiàn)［9］中x（Σare）值遠(yuǎn)大于1 的條件，即文獻(xiàn)［9］中的式（6）可簡(jiǎn)化成式（7）。這樣大多數(shù)共振中子的中子注量率降低因子與發(fā)射體的宏觀吸收截面無(wú)關(guān)，而只與發(fā)射體的半徑和共振中子在探測(cè)器周圍介質(zhì)中的擴(kuò)散長(zhǎng)度及遷移平均自由程有關(guān)。因此，我們用1.26 eV 中子的中子注量率降低因子近似代替共振峰區(qū)間中子的中子注量率降低因子的平均值，引起的誤差是不大的。

式（8）表明，探測(cè)器單位長(zhǎng)發(fā)射體靈敏度將隨著超熱參數(shù)的變化線性變化。

1.2.2 探測(cè)器靈敏度刻度結(jié)果

文獻(xiàn)［11］、［12］介紹了銠探測(cè)器靈敏度隨超熱參數(shù)變化的刻度結(jié)果，如圖2、圖3 所示：

圖2 銠探測(cè)器靈敏度隨超熱參數(shù)的變化Fig.2 Variation of sensitivity of Rh detector with epithermal parameters

圖3 銠探測(cè)器靈敏度隨超熱參數(shù)的變化Fig.3 Variation of sensitivity of Rh detector with epithermal parameters

圖2 來(lái)自參考文獻(xiàn)［11］。探測(cè)器發(fā)射體直徑為0.5 mm、長(zhǎng)度為30 mm。探測(cè)器靈敏度可用下式表示：

由式（9）可算得，超熱參數(shù)從0 增加到0.1，該探測(cè)器的靈敏度增加36%。

圖3 來(lái)自參考文獻(xiàn)［12］。探測(cè)器發(fā)射體直徑為1 mm、長(zhǎng)度為20 mm。探測(cè)器靈敏度可用下式表示：

式（10）中的誤差為最小二乘法的標(biāo)準(zhǔn)誤差。從此式可算得，超熱參數(shù)從0 增加到0.1，該探測(cè)器的靈敏度增加54%。

圖2 和圖3 中，為了簡(jiǎn)化靈敏度單位的表達(dá)式，用nv 表示單位中子注量率［n·（cm2sec.）-1］，下同。

在推導(dǎo)公式（8）的過(guò)程中，筆者做了許多推理性假定，如超熱中子對(duì)中子俘獲率的貢獻(xiàn)主要是來(lái)自共振中子的貢獻(xiàn)，以及用共振中子的自屏因子、中子注量率降低因子代表超熱區(qū)的自屏、中子注量率降低效應(yīng)等。公式（8）表明，銠探測(cè)器單位長(zhǎng)發(fā)射體靈敏度是隨超熱參數(shù)線性變化的。銠探測(cè)器靈敏度刻度結(jié)果也表明，其靈敏度是隨著超熱參數(shù)線性變化的。因此可以說(shuō)，式（8）描述的物理現(xiàn)象與實(shí)驗(yàn)結(jié)果是一致的。

1.3 β粒子逃脫譜

現(xiàn)在我們討論β粒子穿越發(fā)射體過(guò)程中的能量損失和β粒子逃脫譜（βparticle escape energy spectrum）。

熱中子（2200 m/s）在103Rh 里的平均自由程約為0.1 cm，我們可假定熱中子在發(fā)射體內(nèi)均勻吸收，從而β粒子也均勻產(chǎn)生，且各向同性發(fā)射。能量為1.26 eV 的共振中子在103Rh 里的平均自由程約為0.003 cm。我們可假定共振中子只在發(fā)射體表面吸收，從而β粒子只在發(fā)射體表面均勻產(chǎn)生，且各向同性發(fā)射。我們還假定β粒子在發(fā)射體里的穿越徑跡為直線。

1.3.1 熱逃脫譜

銠發(fā)射體吸收熱中子后放出的β粒子逃離發(fā)射體表面時(shí)的能量分布叫熱逃脫譜。換句話說(shuō)，熱逃脫譜是指這些β粒子穿越發(fā)射體，到達(dá)發(fā)射體表面，但還沒(méi)有離開(kāi)表面時(shí)的能量分布。從文獻(xiàn)［1］知，熱逃脫譜可用下式表示：

其中，l為徑跡長(zhǎng)度；；L為發(fā)射體長(zhǎng)度；re為發(fā)射體半徑；E（k）、K（k）分別為第一類、第二類完全的橢圓積分。

1.3.2 超熱共振逃脫譜

銠發(fā)射體吸收超熱共振中子后放出的β粒子逃脫到發(fā)射體表面時(shí)的能量分布叫超熱共振逃脫譜。換句話說(shuō)，超熱共振逃脫譜是指這些β粒子穿越發(fā)射體，到達(dá)發(fā)射體表面，但還沒(méi)有離開(kāi)表面時(shí)的能量分布。吸收超熱共振中子后放出的β粒子半數(shù)不穿經(jīng)發(fā)射體直接逃脫，即不損失能量直接貢獻(xiàn)給逃脫譜。用文獻(xiàn)［1］分析熱逃脫譜類似的方法分析超熱共振逃脫譜，超熱共振逃脫譜可用下式表示：

其中，N2［R（E'） -R（E）］為柱體表面均勻、各向同性源徑跡長(zhǎng)度概率函數(shù)，以下用N2（l）表示；其他符號(hào)同上。

在附錄二中，用文獻(xiàn)［13］中推導(dǎo)N1（l）相似的方法推導(dǎo)出了N2（l）：

1.4 穿越電勢(shì)峰概率

由于探測(cè)器絕緣體內(nèi)雜質(zhì)及晶格缺陷的存在，在堆芯強(qiáng)輻射場(chǎng)，絕緣體將捕獲一些電子，形成絕緣體空間電荷。在通常工作狀態(tài)下，絕緣體內(nèi)空間電荷電勢(shì)分布［1，14］如下：

其中，ρ0為絕緣體捕獲的電子的電荷密度；ε為陶瓷絕緣體介電常數(shù)；k=re/ri；ri為絕緣體外半徑；re為發(fā)射體半徑；r為絕緣體內(nèi)任一點(diǎn)到發(fā)射體軸線的距離。

絕緣體空間電荷電勢(shì)峰面半徑為：

逃脫發(fā)射體的β粒子，只有穿越空間電荷電勢(shì)峰才對(duì)靈敏度有貢獻(xiàn)，否則將在空間電荷電場(chǎng)作用下漂移回到發(fā)射體。假定：逃脫到發(fā)射體表面的β粒子從發(fā)射體表面各向同性發(fā)射，在絕緣體里穿越徑跡為直線。設(shè)一個(gè)到達(dá)發(fā)射體表面能量為E 的β粒子在絕緣體中的射程為R（E），以發(fā)射體表面任一點(diǎn)為球心，以R（E）為半徑做一個(gè)半球，半球的底面與發(fā)射體表面相切。我們近似地把該半球的球表面在電勢(shì)峰面以外部分與整個(gè)半球的球表面面積之比，作為該β粒子穿越空間電荷電勢(shì)峰概率。在發(fā)射體表面能量為E 的β粒子穿越電勢(shì)峰概率用P（E）表示：

1.5 數(shù)學(xué)模型

由式（6）和式（7）可知，探測(cè)器單位中子注量率、單位長(zhǎng)發(fā)射體中子俘獲率為：

如上所述，其中A1為熱中子俘獲率，A2主要代表超熱共振中子俘獲率。

發(fā)射體每俘獲一個(gè)熱中子在發(fā)射體表面出現(xiàn)一個(gè)能量為的β粒子的概率為C1（E）；發(fā)射體每吸收一個(gè)超熱共振中子在發(fā)射體表面出現(xiàn)一個(gè)能量為E的β粒子的概率為C2（E），那么，對(duì)于單位中子注量率，在單位時(shí)間內(nèi)，單位長(zhǎng)發(fā)射體表面出現(xiàn)能量為E 的β粒子數(shù)為：

發(fā)射體表面β粒子逃脫譜中能量為E的β粒子穿越絕緣體空間電荷電勢(shì)峰概率為P（E），那么探測(cè)器單位長(zhǎng)發(fā)射體靈敏度為：

其中，e為電子電量；E0為穿越（r0-re）厚絕緣體所需β粒子能量。

式（20）還可以用下式表示：

2 銠探測(cè)器輕水堆單位長(zhǎng)發(fā)射體靈敏度計(jì)算結(jié)果

2.1 銠探測(cè)器單位長(zhǎng)發(fā)射體熱中子靈敏度，見(jiàn)表1、圖4

表1 ≈s（20℃）分析

表1 ≈s（20℃）分析

注：表中，第一列、第二列、第三列、第六列的數(shù)據(jù)引自參考文獻(xiàn)［8］的表1。

1 2 3 4 5 6 7 8 T /℃gS2S2× T0/TK1S4S4× T0/TK2 201.0237.1827.1821.0007.2557.2551.000 1001.0418.0587.14170.99448.1897.25781.000 2001.0669.0137.0930.98779.2817.30461.006 3001.0939.8557.0470.981210.3577.41891.022 4201.12810.7536.9910.973511.7247.62301.050

表1 銠探測(cè)器單位長(zhǎng)發(fā)射體熱中子靈敏度a 值Table 1 Thermal neutron sensitivity a value of unit length emitter of Rh detector單位：10-21 A·（nv·cm）-1

圖4 銠探測(cè)器單位長(zhǎng)發(fā)射體熱中子靈敏度隨發(fā)射體半徑（re）及絕緣體厚度（ri-re）的變化Fig.4 Variation of thermal neutron sensitivity per unit length emitter of Rh detector with emitter radius（re）and insulator thickness（ri-re）

2.2 銠探測(cè)器單位長(zhǎng)發(fā)射體超熱共振b 值（見(jiàn)表2、圖5）

表2 有效截面σ有效4、σ有效2 計(jì)算結(jié)果比較（r =0.03）Table 2 Comparison of calculation results of effective cross sections σeffective-4 and σeffective-2

表2 銠探測(cè)器單位長(zhǎng)發(fā)射體超熱共振b 值Table 2 Epi-thermal resonance b value per unit length emitter of Rh detector單位：10-21 A·（nv·cm）-1

圖5 銠探測(cè)器單位長(zhǎng)發(fā)射體超熱共振 b 值隨發(fā)射體半徑（re）及絕緣體厚度（ri-re）的變化Fig.5 Variation of epi-thermal resonance b value per unit length emitter of Rh detector with emitter radius（re）and insulator thickness（ri-re）

3 釩探測(cè)器輕水堆靈敏度數(shù)學(xué)模型及計(jì)算結(jié)果

釩探測(cè)器靈敏度數(shù)學(xué)模型與銠探測(cè)器靈敏度數(shù)學(xué)模型的熱中子部分相同。釩探測(cè)器與單位長(zhǎng)發(fā)射體、單位中子注量率對(duì)應(yīng)的輸出電流，即探測(cè)器單位長(zhǎng)發(fā)射體靈敏度，可用下式表示：

式（23）中，為釩探測(cè)器發(fā)射體熱中子自屏因子，F(xiàn)為釩探測(cè)器發(fā)射體熱中子中子注量率降低因子，其他同上。

3.1 釩探測(cè)器單位長(zhǎng)發(fā)射體熱中子靈敏度，見(jiàn)表3、圖6

表3 釩探測(cè)器單位長(zhǎng)發(fā)射體熱中子靈敏度Table 3 Thermal neutron sensitivity of unit length emitter of V detector單位：10-21 A·（nv·cm）-1

圖6 釩探測(cè)器單位長(zhǎng)發(fā)射體熱中子靈敏度隨發(fā)射體半徑（re）及絕緣體厚度（ri-re）的變化Fig.6 Variation of thermal neutron sensitivity per unit length emitter of V detector with emitter radius（re） and insulator thickness（ri-re）

4 計(jì)算結(jié)果數(shù)據(jù)分析

4.1 銠探測(cè)器單位長(zhǎng)發(fā)射體熱中子靈敏度a 值

靈敏度計(jì)算模型中，假定熱中子在發(fā)射體內(nèi)均勻吸收，β粒子在發(fā)射體內(nèi)均勻、各向同性發(fā)射。發(fā)射體體積與發(fā)射體半徑re的平方成正比，因此，發(fā)射體單位長(zhǎng)度內(nèi)103Rh 的核子數(shù)也與其半徑re的平方成正比。從圖4 可以看出，re＜0.3 mm 時(shí)，銠探測(cè)器單位長(zhǎng)發(fā)射體靈敏度與re近似成正比；re＞0.3 mm 時(shí)，re越大，靈敏度增長(zhǎng)越緩慢，這是因?yàn)閞e越大，熱中子的自屏效應(yīng)、中子注量率降低效應(yīng)越強(qiáng)，且β粒子逃脫發(fā)射體越困難，即K熱β有效越小。

4.2 銠探測(cè)器單位長(zhǎng)發(fā)射體超熱共振b 值

在靈敏度計(jì)算模型中，筆者假定超熱共振中子在發(fā)射體表面均勻吸收；β粒子在發(fā)射體表面均勻、各向同性發(fā)射。發(fā)射體表面積與re成正比。從圖5 可以看出，銠探測(cè)器單位長(zhǎng)度超熱共振b 值與re近似成正比。超熱共振中子在發(fā)射體表面吸收，β粒子在發(fā)射體表面發(fā)射，因此有一半β粒子直接逃脫發(fā)射體，這可能是超熱共振b 值與re近似成正比的合理解釋。

4.3 釩探測(cè)器單位長(zhǎng)發(fā)射體熱中子靈敏度

釩的中子吸收截面較好地符合1/v規(guī)律，且比銠的吸收截面小得多，因此其發(fā)射體的熱中子的自屏效應(yīng)、中子注量率降低效應(yīng)與銠相比要弱。再者，釩的密度低，約是銠的密度的50%，因此，β粒子從釩發(fā)射體中逃脫相對(duì)容易，即K熱β有效相對(duì)較大。從圖6 可以看出，釩探測(cè)器單位長(zhǎng)發(fā)射體熱中子靈敏度與re近似成正比，并沒(méi)有像銠探測(cè)器那樣——re越大，靈敏度增長(zhǎng)越緩慢的現(xiàn)象，這應(yīng)該是合理的。

5 探測(cè)器單位長(zhǎng)發(fā)射體靈敏度計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較及誤差分析

表4 給出了計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較，刻度數(shù)據(jù)（即實(shí)驗(yàn)值）引自參考文獻(xiàn)［1］、［11］、［12］。刻度探測(cè)器發(fā)射體長(zhǎng)度在表中給出，而計(jì)算中都取2 cm（指徑跡長(zhǎng)度概率函數(shù)中，發(fā)射體長(zhǎng)度L=2 cm）。第4、5 號(hào)探測(cè)器絕緣體為氧化鎂（MgO），其他為三氧化二鋁（Al2O3），而計(jì)算中僅考慮了Al2O3。［1，11，12］

表4 探測(cè)器單位長(zhǎng)發(fā)射體靈敏度計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較Table 4 Comparison between calculated results and experimental results of unit length emitter sensitivity of detector單位：10-21 A·（nv·cm）-1

表4 中給出的計(jì)算數(shù)據(jù)與刻度數(shù)據(jù)都是探測(cè)器的單位長(zhǎng)發(fā)射體靈敏度數(shù)據(jù)。文獻(xiàn)［1］中表4 直接給出了銠、釩探測(cè)器單位長(zhǎng)發(fā)射體靈敏度的刻度結(jié)果，這里直接引用。文獻(xiàn) ［11］、［12］ 給出的是銠探測(cè)器靈敏度刻度結(jié)果，即整個(gè)探測(cè)器的靈敏度（見(jiàn)本文1.2.2節(jié)）的刻度結(jié)果。表4 中已經(jīng)換算成探測(cè)器單位長(zhǎng)發(fā)射體靈敏度的刻度結(jié)果，即銠探測(cè)器單位長(zhǎng)發(fā)射體熱中子靈敏度a 值的刻度結(jié)果，以及銠探測(cè)器單位長(zhǎng)發(fā)射體共振b 值的刻度結(jié)果。

從表4 可以看出，結(jié)果較滿意，說(shuō)明該模型是可取的。計(jì)算結(jié)果比實(shí)驗(yàn)結(jié)果小是合理的，因計(jì)算中沒(méi)考慮γ 射線誘發(fā)的瞬發(fā)β粒子對(duì)靈敏度的貢獻(xiàn)，這些瞬發(fā)β粒子所致靈敏度約占總靈敏度的5%～10%［13］。

產(chǎn)生誤差的原因是多方面的：計(jì)算銠絲在典型熱堆中子場(chǎng)中的中子俘獲率的公式是一個(gè)近似公式；計(jì)算值基于輕水堆、中子溫度20℃，而刻度值有的基于重水堆，中子溫度未知；許多“因子”的取值有一定誤差；建立數(shù)學(xué)模型過(guò)程中做了許多假定；計(jì)算中允許的計(jì)算誤差；實(shí)驗(yàn)值也有一定的測(cè)量誤差；再加上計(jì)算中沒(méi)考慮γ 射線誘發(fā)的瞬發(fā)β粒子對(duì)靈敏度的貢獻(xiàn)等。

表4 中，發(fā)射體直徑為0.5 mm 的探測(cè)器的共振b 值，其理論計(jì)算值以輕水堆為背景，刻度值以重水堆為背景。本文式（8）表明，共振b 值=eK超振β有效f2F2πr2eNσ0s0。該短式中，只有f2F2因子組合和堆型有關(guān)，其他因子或參數(shù)都與堆型無(wú)關(guān)。因此，若理論計(jì)算值以重水堆為背景，本文式（8）中的f2F2因子組合，約是以輕水堆為背景的f2F2因子組合的1.044 倍。據(jù)此可推算出，若理論計(jì)算值以重水堆為背景，誤差約為+45%。

6 聯(lián)想

G. Knill 先生于1968 年發(fā)表的論文［11］描述了發(fā)射體直徑為0.5 mm 的銠探測(cè)器靈敏度隨超熱參數(shù)線性變化的規(guī)律（圖2），但論文并沒(méi)有對(duì)這一“線性規(guī)律”給出解釋。雖然論文中在解讀這一曲線時(shí)說(shuō)：“Also from this graph a value of 3.46 can be deduced for，which describe the departure of 0.5 mm diameter Rhodium from a 1/v characteristic。”筆者認(rèn)為，這一段話的物理內(nèi)涵不清晰，至今也未見(jiàn)其他論文對(duì)這一“典型線性變化”規(guī)律給出合理解釋。

當(dāng)銠探測(cè)器的幾何尺寸及周圍慢化劑確定后，本文式（7）、式（8）中，除外，其他參數(shù)都是常數(shù)，因此，銠探測(cè)器輸出電流將隨著線性變化。

因此也可以說(shuō)，本文建立的理論，對(duì)這一“線性變化”規(guī)律給出了科學(xué)、合理的解釋。

7 結(jié)論

（1）本文介紹的模型不僅能計(jì)算銠探測(cè)器熱中子靈敏度，還能分析計(jì)算超熱共振中子對(duì)銠探測(cè)器靈敏度的貢獻(xiàn)。

（2）本文表4 給出了計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較，結(jié)果令人比較滿意，說(shuō)明本文模型是科學(xué)、可行的。

（3）本文計(jì)算逃脫到發(fā)射體表面的β粒子穿越絕緣體空間電荷電勢(shì)峰概率的方法及技術(shù)路線與Warren 模型不同［1］。本文的技術(shù)路線更直觀、更好地反映了物理本征，計(jì)算結(jié)果應(yīng)該更準(zhǔn)確。

8 結(jié)語(yǔ)

本文計(jì)算以輕水堆為對(duì)象、設(shè)定中子溫度為20℃，設(shè)定103Rh 的g= 1.023，s0=s（20℃） =7.255，設(shè)定Al2O3的密度為3.2 g·cm-3，103Rh 的共振峰值截面按4500 靶考慮，其他數(shù)據(jù)取常規(guī)數(shù)據(jù)。

感謝清華大學(xué)林翠琴教授、陳教授在推導(dǎo)柱體表面均勻、各向同性面源徑跡長(zhǎng)度概率函數(shù)中給予的指導(dǎo)幫助，感謝北京大學(xué)程檀生、陳鶴琴教授的支持幫助，感謝于嵐的支持幫助。

附錄一 103Rh 有效中子吸收截面替代公式及其可行性、合理性分析

把一個(gè)無(wú)限細(xì)的銠絲放在充分慢化的典型熱堆中子場(chǎng)中，根據(jù)參考文獻(xiàn)［7］、［8］，銠核素的有效吸收截面可用下式近似表示。

其中，r為超熱指數(shù)，g、s為銠的westcott 因子。

上述公式（1），可改寫(xiě)為：

經(jīng)過(guò)對(duì)參考文獻(xiàn)［8］表1 中的103Rh 核素?cái)?shù)據(jù)進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn)，公式（2）中的可以用表1 中的s（T0）即s（20℃）替代，即≈s（20℃），詳見(jiàn)表1。這樣公式（2）可以用下式近似：

其中，T為中子溫度；T0= 20℃（293.1 K）；為超熱參數(shù)；s（20℃）為中子溫度20℃對(duì)應(yīng)的銠的s值，即數(shù)學(xué)模型中的s0，其他同上。

用式（1）和式（3）分別計(jì)算103Rh 在不同中子溫度下的熱中子σ有效，結(jié)果見(jiàn)表2。

Table 1Analysis abouts≈s（20℃）

表2 中：σ有效4（1）表示用式（1）計(jì)算的σ有效4；σ有效4（3）表示用式（3）計(jì)算的σ有效4。同樣σ有效2（1）表示用式 （1）計(jì)算的σ有效2；σ有效2（3）表示用式（3）計(jì)算的σ有效2。

計(jì)算σ有效4、σ有效2時(shí)，輸入數(shù)據(jù)如下：σ2200（Rh） = 150.19 靶；r=0.03；T0= 20℃（293.15 K）。

由表2 可知，在中子溫度＜400℃時(shí)，用式（3）替代式（1）計(jì)算103Rh 的有效截面，引起的誤差是很小的，大都小于1%。這表明，在中子溫度＜400℃時(shí)，用式（3）替代式（1）計(jì)算103Rh 有效截面是可以接受的。

由文獻(xiàn)［8］可知，典型熱中子堆，T/Tm＜1.07（Tm為慢化劑溫度）。由此可以推斷出，游泳池式研究堆的中子溫度都小于100℃，而核電廠動(dòng)力堆的中子溫度小于400℃。因此從應(yīng)用環(huán)境來(lái)講，上述替代應(yīng)用也是可行的。

附錄二 柱體表面均勻、各向同性源徑跡長(zhǎng)度概率函數(shù)N2（l）

用文獻(xiàn)［11］推導(dǎo)N1（l）相似的方法推導(dǎo)N2（l）。設(shè)一個(gè)半徑為re、長(zhǎng)度為L(zhǎng)的柱體V，L＞＞re，如下圖所示。在V 的表面均勻分布各向同性放射源。單位時(shí)間、單位面積放出的射線數(shù)為C，射線在V 內(nèi)直線穿透。因有一半射線不穿經(jīng)V，單位時(shí)間內(nèi)，穿越V 的射線數(shù)（徑跡數(shù)）為：。這里s為柱體的表面積，s= 2πre（re+L）。設(shè)將V 向-Ω→方向移動(dòng)l距離得V'。V 在V'內(nèi)的表面積為Sc。再將V 向-Ω→方向移動(dòng)dl，s的改變量為dl。dsc內(nèi)向Ω→方向發(fā)射的射線在V 內(nèi)的徑跡長(zhǎng)度為l～（l+dl）。dsc面積元內(nèi)單位時(shí)間發(fā)射的射線數(shù)為Cdsc=。

發(fā)射體(長(zhǎng)度L,半徑re)

這些射線中向Ω→方向單位立體角內(nèi)發(fā)射的射線數(shù)為dl，而向Ω→方向單元立體角dΩ內(nèi)發(fā)射的射線數(shù)為。從柱體V 表面單位時(shí)間發(fā)射出的射線穿經(jīng)柱體V，在V 內(nèi)徑跡長(zhǎng)度在l～（l+dl）的徑跡總數(shù)為，單位時(shí)間穿越柱體V 的射線總數(shù)（總徑跡數(shù)）為sc，那么，柱體表面均勻、各向同性源徑跡長(zhǎng)度概率函數(shù)為：

附錄二中式（1）可變換成正文中式（12）。