王立新， 胡瑞青， 任 超， 張才飛， 張俊元， 姜 寅， 劉 暢

（1. 中鐵第一勘察設(shè)計院集團(tuán)有限公司， 陜西 西安710043；2. 陜西省鐵道及地下交通工程重點實驗室（中鐵一院）， 陜西 西安 710043；3. 長安大學(xué) 公路學(xué)院， 陜西 西安 710064）

盾構(gòu)隧道施工技術(shù)具有獨特的優(yōu)勢，現(xiàn)階段我國城市地鐵常采用盾構(gòu)法進(jìn)行施工。然而在施工過程中，經(jīng)常會出現(xiàn)因掌子面支護(hù)力不足引起的掌子面失穩(wěn)，進(jìn)而引發(fā)隧道掌子面涌水突泥、地層不均勻沉降甚至地表坍塌等伴生病害，給隧道施工帶來了極大的威脅。合理的掌子面支護(hù)力（盾構(gòu)機推力）將有利于維持掌子面的穩(wěn)定，目前國內(nèi)外已有大量學(xué)者對盾構(gòu)隧道掌子面穩(wěn)定性展開了研究，主要研究方法有模型試驗、數(shù)值模擬以及理論分析。

在模型試驗方面，Mair［1］采用離心模型試驗研究了砂土與黏土地層中的掌子面主動失穩(wěn)機制；牛豪爽等［2］研究了不同內(nèi)摩擦角干土與不同水頭壓力差飽和土條件下的掌子面支護(hù)力變化規(guī)律和失穩(wěn)機制；周鵬等［3］使用泥水盾構(gòu)模型裝置，模擬泥水盾構(gòu)開挖面的掘進(jìn)失穩(wěn)過程，分析地層水土應(yīng)力變化規(guī)律，總結(jié)了不同水位下泥水盾構(gòu)在砂土地層中開挖面主動失穩(wěn)的破壞形式； Hu等［4］學(xué)者基于成都地鐵一號線開展了富含砂卵石地層的縮尺土壓平衡（EPB）盾構(gòu)隧道模型試驗，充分考慮了卵石地層的離散性與土壓平衡盾構(gòu)機的機械驅(qū)動擾動影響，揭示了卵石土地層失穩(wěn)運動特性。

在數(shù)值模擬方面，Vermeer等［5］采用有限元數(shù)值模擬軟件Plaxis3D，開展了盾構(gòu)隧道掌子面穩(wěn)定性影響因素分析；Weng等［6］通過離心模型試驗研究了滲流與隧道縱向傾角對軟黏土地層盾構(gòu)隧道掌子面穩(wěn)定性的影響，并結(jié)合有限元數(shù)值仿真分析了掌子面的漸進(jìn)破壞機理；Huang等［7］通過有限元數(shù)值分析軟件ABAQUS 對隧道掌子面穩(wěn)定性進(jìn)行了相關(guān)計算；Li 等［8］通過FLAC3D 的數(shù)值模擬結(jié)果提出了一種對數(shù)螺旋機制。

在理論分析方面，Mollon 和Dias［9］基于極限分析理論和可靠度分析對淺埋盾構(gòu)隧道的掌子面穩(wěn)定進(jìn)行了研究；Mollon 等［10］基于極限分析理論提出了一種接近地層運動場軌跡的掌子面三維滑動破壞機制； Cheng 等［11］通過研究發(fā)現(xiàn)掌子面前方的破壞區(qū)分為破壞滑移區(qū)與上部松動區(qū)，其中破壞滑移區(qū)是由直線旋轉(zhuǎn)和對數(shù)螺旋線旋轉(zhuǎn)而成的，而上部松動區(qū)在破壞演化過程中被定義為不同階段的錐體或圓柱體。

現(xiàn)階段掌子面穩(wěn)定性研究主要針對砂性土和黏性土，而砂卵石地層的研究較少，由于砂卵石地層的松散性、顆粒離散性、幾乎沒有黏聚力等特點，地層受到機械擾動破壞機理與其他地層有較大的差異性。目前國內(nèi)外關(guān)于砂卵石地層隧道掌子面極限支護(hù)力的研究相對較少，但也有部分學(xué)者在這一領(lǐng)域取得了一些有價值的成果。最早Monnet 和Chaffois［12］首次提到了針對砂卵石地層盾構(gòu)掌子面穩(wěn)定性的研究；Anagnostou和Kovári［13-14］基于楔型體模型，考慮土壓平衡盾構(gòu)施工中地下水滲流產(chǎn)生的滲透力作用于楔型體內(nèi)的影響。國外地鐵施工中遇到砂卵石地層的報道相對較少，后續(xù)關(guān)于砂卵石地層掌子面穩(wěn)定研究以國內(nèi)學(xué)者為主，王明年等［15］基于顆粒離散元數(shù)值模擬方法，發(fā)現(xiàn)當(dāng)掌子面支護(hù)力較小的工況下砂卵石地層的變形沿著曲面滑動；葛嘉誠［16］、胡敏［17］基于砂卵石土物理力學(xué)特性對盾構(gòu)開挖面穩(wěn)定性展開研究；范祚文［18］、胡雄玉［19］等通過室內(nèi)模型試驗對砂卵石地層盾構(gòu)隧道掌子面破壞特性進(jìn)行了研究；李偉平等［20］基于室內(nèi)模型試驗研究淺埋砂卵石地層盾構(gòu)隧道開挖力學(xué)響應(yīng)和掌子面變形規(guī)律；王俊等［21-22］通過室內(nèi)模型試驗結(jié)合PFC3D（三維顆粒流數(shù)值模擬軟件）離散元數(shù)值模擬等手段，對土壓盾構(gòu)隧道掌子面失穩(wěn)誘發(fā)砂卵石地層中地層變形特征展開了研究；宋偉濤等［23］對刀盤旋轉(zhuǎn)擾動下的砂卵石地層掌子面失穩(wěn)機理進(jìn)行了探索。

現(xiàn)階段研究砂卵石地層掌子面穩(wěn)定性的方法主要有數(shù)值分析、模型試驗。室內(nèi)模型試驗由于試驗材料選取的偏差，邊界條件的影響難以排除等缺點，導(dǎo)致試驗數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性存在一定問題，而單純的數(shù)值模擬由于本構(gòu)模型及求解程序等方面的限制往往導(dǎo)致其生成的結(jié)果難以讓人信服，且建模及計算分析耗時較長。因此本文結(jié)合砂卵石地層盾構(gòu)隧道掌子面失穩(wěn)機理，開展掌子面穩(wěn)定極限支護(hù)力的理論分析模型研究。本文是基于橢球體理論在砂卵石地層盾構(gòu)隧道掌子面穩(wěn)定性理論分析的應(yīng)用，是對于盾構(gòu)隧道穿越砂卵石地層掌子面極限支護(hù)力求解的理論補充。該方法能充分展現(xiàn)砂卵石地層在受到盾構(gòu)隧道掘進(jìn)過程中的擾動而變形及坍塌的特性。且該方法相較于其他研究手段更為便捷，后續(xù)工程應(yīng)用只需根據(jù)實際工程調(diào)整理論公式中對應(yīng)的地層參數(shù)及盾構(gòu)掘進(jìn)參數(shù)，即可得到相應(yīng)的較為準(zhǔn)確的極限支護(hù)力解析解。

1 橢球體理論

1938年前蘇聯(lián)學(xué)者米納耶夫提出放礦放出的形狀為橢球體；1952前蘇聯(lián)學(xué)者馬拉霍夫的著作《崩落礦塊放礦》中系統(tǒng)完整地論述了在松散介質(zhì)的放出試驗中，放出體的最終形態(tài)為橢球體；20 世紀(jì)末期，我國學(xué)者對崩落放礦理論進(jìn)行深入研究，使其在實際礦山生產(chǎn)中得到了較好應(yīng)用，橢球體理論［24-25］如圖1 所示，將松散介質(zhì)顆粒放置于料斗中，當(dāng)料斗底部打開一定寬度的放出口時，顆粒在重力作用下從放出口流出，并在一定時間后形成圖中所示的流出橢球體，與此同時，料斗內(nèi)還會形成一個對應(yīng)的極限橢球體，兩個區(qū)域之間的土體顆粒會產(chǎn)生相對松動，但并不會流出，極限橢球體范圍以外的顆粒將保持靜止不動。有關(guān)模型試驗也證明，隧道開挖導(dǎo)致的掌子面前方松動區(qū)域在極限支護(hù)力的作用下近似為橢圓狀［26-27］。

圖1 橢球體理論Fig. 1 Ellipsoid theory

2 極限支護(hù)力計算

2.1 計算模型

結(jié)合橢球體理論與極限平衡法的對數(shù)螺旋線模型（Murayama model）建立一種新的掌子面穩(wěn)定性分析模型，如圖2 所示，圖中，h 為上部塌落體高度；D為已知隧道直徑；la為原點O到開挖面的水平距離；lj為掌子面到橢球體中心的水平距離；ls為原點O到開挖面中點的垂直距離；σt為維持掌子面穩(wěn)定的極限支護(hù)力；hs為橢球體最低點到隧道拱頂?shù)母叨?；對?shù)螺旋線初始半徑為r0；滑移面底端對應(yīng)的對數(shù)螺旋線半徑為ra；a 為橢球體的長半軸；b 為橢球體的短半軸；ra與r0的夾角為θa；本模型將能夠較好地模擬砂卵石地層盾構(gòu)隧道開挖而導(dǎo)致的掌子面前方土體運動與失穩(wěn)情況。其中，對數(shù)螺旋線方程表示為

圖2 掌子面穩(wěn)定性分析模型Fig. 2 Stability analysis model of excavation face

令滑移面頂端與水平面垂直，根據(jù)關(guān)聯(lián)流動法則，r0與水平面夾角為土體內(nèi)摩擦角φ，且滑移面底端與水平面的夾角為π/4+φ/2，根據(jù)幾何關(guān)系，可知θa=π/4-φ/2。在圖2b中，σq為為上部松動荷載。由圖2b中的幾何關(guān)系，可得該模型各幾何參數(shù)的關(guān)系如式（2）—（7）：式中：L=2lj為開挖面前方滑動土體的寬度；ε為偏心率；假定橢球體的軸比等于側(cè)壓力系數(shù)K0，則1-ε2=b2/a2。其中，K0=1-sin φ，或

2.2 上覆松動土壓力計算

為簡化分析，將上部松動截頭橢球區(qū)域簡化為半橢球體+橢圓臺［28］，其中橢圓臺部分的受力分析如圖3所示。

圖3 橢圓臺受力分析Fig. 3 Force analysis of elliptic table

設(shè)橢圓臺長軸方向側(cè)面與豎直方向的夾角為β1，橢圓臺短軸方向側(cè)面與豎直方向的夾角為β2，β表示任意側(cè)面與豎直方向夾角。

由圖2b 中的幾何關(guān)系，可以求得：tan β1=

式中：B′與L′分別為橢圓臺頂面橢圓長軸和短軸長度；B與L分別為橢圓臺底面橢圓長軸和短軸長度，且Z為橢圓臺高。

在Z方向建立微分體的靜力平衡方程：

式中：σv橢圓臺豎直方向正應(yīng)力； τ為側(cè)面剪應(yīng)力。

橢圓松動區(qū)域內(nèi)滑動土體服從Mohr-Coulomb準(zhǔn)則，故剪應(yīng)力 τ為

式中：c為內(nèi)部黏聚力。

將式（9）代入式（8）中，得：

求其通解得：

對于砂卵石地層而言，其內(nèi)部黏聚力c=0，則應(yīng)用于砂卵石地層的盾構(gòu)隧道上覆土壓力計算公式如下：

2.3 上覆圍巖壓力與隧道埋深的關(guān)系

在隧道埋深較淺時，掌子面前方的上部土體往往不能發(fā)展成完整橢球體，因此埋深對于橢球體的構(gòu)建具有直接的關(guān)系，下面對幾種不同埋深情況下的橢球發(fā)育情況與對應(yīng)的掌子面上覆土壓力進(jìn)行介紹。圖4展示了幾種不同埋深情況下的橢球體發(fā)育程度，其中的隧道拱頂至坍落橢球體短軸的高度Z與上部塌落橢球體高度h可由2.1節(jié)所述公式求得，隧道上部松動土壓力與橢球體發(fā)育程度直接相關(guān)，當(dāng)盾構(gòu)埋深Q 小于橢球體的高度h 時，視為將橢球體延地平線切割后剩余的部分作用在掌子面上方。

圖4 隧道埋深與橢球體發(fā)育高度的關(guān)系（Q≥h）Fig. 4 Relationship between tunnel buried depth and ellipsoid developing height(Q≥h)

（1） 隧道埋置深度（Q≥h）

如圖4所示，埋深較大（Q≥h）時，塌落橢球體完全發(fā)育，當(dāng)隧道埋深Q等于發(fā)育橢球體高度h時，地層內(nèi)部的橢球體正好處于發(fā)育完成的臨界狀態(tài)，將此時臨界發(fā)育狀態(tài)的橢球體高度定義為砂卵石地層隧道橢球體發(fā)育的臨界埋深。此時上覆松動土壓力計算公式參照式（13），式中

（2） 隧道埋置深度（Z＜Q＜h）

如圖5 所示，在一定埋深（Z＜Q＜h）時，橢球體部分發(fā)育。此時上覆松動土體分為兩個部分，其中大于Z的部分，按全土柱理論進(jìn)行計算；小于Z的部分，按公式（13）進(jìn)行計算，式中z=Z， q0=γ(QZ)+ q1。

圖5 隧道埋深與橢球體發(fā)育高度的關(guān)系（Z＜Q＜h）Fig. 5 Relationship between tunnel buried depth and ellipsoid developing height(Z＜Q＜h)

（3） 隧道埋置深度（Q≤Z）

如圖6所示，在埋深更淺（Q≤Z）時，上覆塌落橢球體較少部分發(fā)育。此時上覆松動土壓力按公式（13）進(jìn)行計算，式中z=Q， q0=q1。其中：q1為地表荷載。

圖6 隧道埋深與橢球體發(fā)育高度的關(guān)系（Q≤Z）Fig. 6 Relationship between tunnel buried depth and ellipsoid developing height(Q≤Z)

2.4 掌子面穩(wěn)定極限支護(hù)力求解

結(jié)合極限平衡理論建立掌子面前方滑移體整體力矩平衡，選取對數(shù)螺旋線滑移面的中心點O 作為力矩平衡的中心點，根據(jù)滑移體上所受荷載關(guān)于中心點O的力矩之和為0，進(jìn)行掌子面極限支護(hù)力的求解。由圖2可知，掌子面前方滑移體作用力矩有：上覆橢球體松動區(qū)自重應(yīng)力作用力矩Mv、滑動土體自重力矩Mg、兩側(cè)摩阻力矩Mts、滑動面切向摩阻力矩Mnt、掌子面支護(hù)力作用力矩Mt。下面對各個力矩進(jìn)行推導(dǎo)與計算。

（1） 上覆橢球體松動區(qū)自重應(yīng)力作用力矩Mv

根據(jù)計算模型的幾何條件，上覆荷載的作用力臂為

則頂部荷載產(chǎn)生的力矩為

（2） 滑動土體自重力矩Mg

將對數(shù)螺旋滑動區(qū)域土體沿豎向進(jìn)行微分，如圖7所示，其中

圖7 滑動土體微分土條Fig. 7 Differential soil slice of sliding soil

式中：α為滑動土體切線方向與水平面夾角。

微分土條的單位彎矩可以表示為

對式（19）積分，可得滑動區(qū)土體沿著圓心O 的作用力矩為

（3） 滑動面切向摩阻力矩Mnt

單位土條上沿著對數(shù)螺旋線滑移面上的切向力矩微分量dMnt可由滑移面上的法向力微分量dT 與剪切力微分量dN來表示：

根據(jù)摩爾庫倫強度準(zhǔn)則：

則求得對數(shù)螺旋滑移面上的切向力矩為

（4） 兩側(cè)摩阻力矩Mts

掌子面前方滑動土體的水平土拱效應(yīng)是根據(jù)兩側(cè)摩阻力矩來表征的，這里假設(shè)兩側(cè)豎向滑移面上的垂直土壓力隨深度呈線性變化，根據(jù)圖7，微分土條上的剪切力微分量dTs表示為

其中：

式中：Ka為土體的主動土壓力系數(shù)。

因此，微分土條上的豎向剪切力矩微分量dMts為

對式（27）積分可得式（28）：

（5） 掌子面支護(hù)力作用力矩Mt

根據(jù)幾何關(guān)系，掌子面水平支護(hù)力的作用力臂為

因此水平支護(hù)力在整個滑動土體上的作用力矩為

（6） 水平極限支護(hù)力σt

根據(jù)式（14）—（30）求出各項力矩之后，根據(jù)滑移體所受荷載關(guān)于O點力矩為0，可得：

將式（15）、式（20）、式（23）、式（28）和式（30）各項代入式（31）并化簡，得到掌子面水平極限支護(hù)力解析解如式（32）所示。根據(jù)前文推導(dǎo)過程，可以發(fā)現(xiàn)掌子面極限支護(hù)力是關(guān)于隧道直徑D，土體內(nèi)摩擦角φ以及破壞區(qū)土體所受外力的函數(shù)。

3 公式驗證

3.1 數(shù)值模擬方法選取

常見數(shù)值模擬方法有有限元模擬、有限差分模擬以及離散元模擬。有限元法常用于處理連續(xù)介質(zhì)地層的變形問題，對于砂卵石這一離散性介質(zhì)并不適用；有限差分法根據(jù)其計算原理，可以解決部分離散介質(zhì)的地層變形問題，但并不能反映地層中的力學(xué)響應(yīng)關(guān)系；離散元法與前面兩種方法有所不同，其建模計算體系是基于顆粒接觸理論，能夠?qū)ι奥咽貙拥摹包c對點”接觸模式進(jìn)行較為準(zhǔn)確的擬合，可以較好地解決非連續(xù)介質(zhì)的變形問題。因此本節(jié)采用顆粒離散元程序（PFC3D）對所推公式進(jìn)行驗證。

由于砂卵石地層中，卵石作為主要的支撐骨架，砂土與卵石粒徑級配差距過大，因此在模擬過程中，為提高計算效率，不考慮砂土顆粒的影響，僅對卵石顆粒粒徑進(jìn)行標(biāo)定。

3.2 數(shù)值模型參數(shù)確定

本研究基于西南地區(qū)某盾構(gòu)隧道，結(jié)合現(xiàn)場的實際工程概況，如圖8所示，取定模型的幾何尺寸為25 m×25 m×10 m（X×Y×Z），盾構(gòu)隧道直徑6.48 m，埋深15～22 m，這里取15 m，離散元顆粒直徑參照實際卵石粒徑范圍：0.17 ～0.35 m，為更好地體現(xiàn)掌子面前方地層顆粒的流動狀態(tài)，將隧道周圍的顆粒尺寸粒徑范圍控制為0.17 ～0.27 m，卵石的內(nèi)摩擦角φ=40.0°，模型顆?？倲?shù)為83 660。在模型的底面與四周施加wall單元約束，不允許發(fā)生位移；地表面作為自由面允許產(chǎn)生豎向變形；盾構(gòu)機與管片均采用wall 單元模擬，卵石顆粒采用ball 單元，卵石和墻面以及卵石之間的接觸本構(gòu)采用線性接觸，模型細(xì)觀參數(shù)設(shè)置借鑒前人的經(jīng)驗［20］。

圖8 隧道開挖離散元數(shù)值模型Fig. 8 Discrete element numerical model of tunnel excavation

3.3 結(jié)果對比

采用地表荷載為0 的工況，通過在掌子面處施加相應(yīng)的梯形荷載來模擬支護(hù)力的施加（因為土壓力呈梯形分布），并用掌子面支護(hù)應(yīng)力比λ（掌子面中心位置處支護(hù)壓力F 與靜止土壓力σ0的比值）來表征支護(hù)力F 的大小，幾個不同支護(hù)力情況下的掌子面土體變形情況如下：

由圖9可知，當(dāng)支護(hù)應(yīng)力比λ=1.0時，掌子面支護(hù)力與原始地層靜止土壓力相等，土體變形最小，處于相對靜止?fàn)顟B(tài)。

圖9 支護(hù)應(yīng)力比λ＝1.0Fig. 9 Supporting stress ratio at λ＝1.0

由圖10可知，當(dāng)λ＜1.0時，隨著支護(hù)力的減小，土體變形逐漸增大直至整體失穩(wěn)，掌子面前方土體先在地層土壓力的作用下擠出，并逐漸發(fā)展至隧道拱頂上方地層，形成圖中的橢圓松動區(qū)域。

圖10 支護(hù)應(yīng)力比λ＝0.2Fig. 10 Supporting stress ratio at λ＝0.2

如圖11 所示，當(dāng)λ＞1.0 時，掌子面支護(hù)力大于原始地層靜止土壓力，掌子面土體在支護(hù)力的作用下朝隧道開挖方向運動，此時前方土體的破壞模式近似于半圓形，隨著支護(hù)力的增大，該區(qū)域會逐漸增大并擴(kuò)展至地層深處引起地層被動失穩(wěn)破壞。

圖11 支護(hù)應(yīng)力比λ＝1.4Fig. 11 Supporting stress ratio at λ＝1.4

進(jìn)一步，根據(jù)位移云圖記錄在不同支護(hù)應(yīng)力比條件下的掌子面最大擠出位移，建立支護(hù)應(yīng)力比與掌子面最大水平位移的關(guān)系曲線（圖12，圖中σ0為初始壓力，盾構(gòu)隧道開挖直徑6.48 m，土體黏聚力為0，土體重度為25 kg·m-3），尋找掌子面支護(hù)力輕微變化引起水平位移陡增的點作為極限支護(hù)力點。

圖12 應(yīng)力比與最大水平位移關(guān)系曲線Fig. 12 Relationship curve between stress ratio and maximum horizontal displacement

當(dāng)掌子面支護(hù)應(yīng)力比為0.17時，掌子面擠出位移變化最大，其對應(yīng)的極限支護(hù)力為41.9 kPa，將相關(guān)參數(shù)代入式（32）中，算得掌子面極限支護(hù)力為40.6 kPa，兩者的誤差為3.1 %。故認(rèn)為本文提出的對數(shù)螺旋橢球體模型可以對砂卵石地層的掌子面極限支護(hù)力進(jìn)行較為精確的求解。

4 結(jié)論

為研究砂卵石地層盾構(gòu)隧道掌子面穩(wěn)定所需的支護(hù)力，結(jié)合橢球體理論與極限平衡法的對數(shù)螺旋線模型，推導(dǎo)了砂卵石地層盾構(gòu)隧道的掌子面極限支護(hù)力理論解析解，主要得到以下結(jié)論：

（1）基于極限平衡理論，將掌子面前方失穩(wěn)土體作為研究對象，考慮滑移體的整體力矩平衡，作用在滑移體上的力矩有上覆橢球體松動區(qū)自重應(yīng)力作用力矩、滑動土體自重力矩、兩側(cè)摩阻力矩、滑動面切向摩阻力矩、掌子面支護(hù)力矩。

（2）掌子面前方土體在支護(hù)力的作用下發(fā)生變形。其中，支護(hù)應(yīng)力比λ=1.0 時土體變形最小；λ＜1.0 時，隨著支護(hù)力的減小，土體變形逐漸增大直至整體失穩(wěn)；λ＞1.0時，掌子面土體在支護(hù)力的作用下朝隧道開挖方向運動。

（3）對比砂卵石地層盾構(gòu)隧道掌子面極限支護(hù)力理論解析解與PFC3D軟件數(shù)值模擬的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)二者誤差為3.1 %，較好地證明了推導(dǎo)公式的準(zhǔn)確性及可行性。

砂卵石地層中進(jìn)行隧道線形設(shè)計時，應(yīng)特別考慮砂卵石地層綜合地質(zhì)情況，以此來盡量避免隧道穿越不良地層。在砂卵石地層中遇到盾構(gòu)機上坡的情況，尤其要控制好盾構(gòu)機土艙壓力以及單環(huán)管片拼裝過程中的出土量。

作者貢獻(xiàn)聲明：

王立新：提出研究主題。

胡瑞青：論文框架搭設(shè)及背景調(diào)研。

任超：論文構(gòu)思及撰寫。

張才飛：論文圖像信息處理。

張俊元：論文修訂。

姜寅：論文修訂。

劉暢：理論推導(dǎo)及數(shù)值模擬。