李有堂,張展?jié)?楊 佳

(蘭州理工大學(xué)機電工程學(xué)院,甘肅 蘭州 730050)

壓力容器在生產(chǎn)制造與實際使用過程中,由于制造工藝不穩(wěn)定、材料本身的相關(guān)缺陷和工作中承受溫度、載荷等時變因素的影響,使得壓力容器壁表面萌生裂紋。隨著載荷的不斷沖擊,導(dǎo)致壓力容器中的微小裂紋開始擴展直至貫穿容器表面。

袁浩等[1]發(fā)現(xiàn)使用相互作用積分法計算應(yīng)力強度因子更準(zhǔn)確。任中俊等[2]首次運用相互作用積分法計算了混合型裂紋的應(yīng)力強度因子。劉開泰等[3]發(fā)現(xiàn)靠近內(nèi)壁面?zhèn)鹊牧鸭y擴展速度更快,靠近外壁面?zhèn)鹊牧鸭y擴展速度較慢。秦忠寶等[4]發(fā)現(xiàn)裂紋尖端最深點的應(yīng)力強度因子隨裂紋傾角的增大而減小。Xie等[5]對有內(nèi)外裂紋的氣缸壓力容器進行研究,發(fā)現(xiàn)當(dāng)內(nèi)外裂紋夾角為0°時,兩個裂紋的相互作用會阻礙裂紋擴展。李建[6]發(fā)現(xiàn)疲勞壽命與裂紋的尺寸大小呈反比例關(guān)系,與單裂紋相比,雙裂紋對疲勞壽命的影響更加顯著。Perl等[7]通過對球形容器內(nèi)表面裂紋的研究,發(fā)現(xiàn)多裂紋主要影響較厚球形壓力容器的疲勞壽命。雖然現(xiàn)有的文獻對壓力容器裂紋問題進行了大量研究,取得了一定的成果,但這些研究都沒有考慮裂紋初始角度對壓力容器裂紋尖端應(yīng)力強度因子與J積分的影響。

本文以含裂紋的球形壓力容器為研究對象,使用有限元軟件進行數(shù)值模擬,通過相互作用積分法對裂紋尖端應(yīng)力強度因子進行計算,分析裂紋初始角度對裂紋應(yīng)力強度因子與J積分的影響。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 相互作用積分理論

通過J積分可以直接求出單一型裂紋的應(yīng)力強度因子[8],而在實際工況中的疲勞裂紋通常是復(fù)合型裂紋,對于復(fù)合型的裂紋,通過J積分無法直接求取相應(yīng)的應(yīng)力強度因子。為此,提出使用相互作用積分法對此類問題進行求解。

相互作用積分法以J積分為基礎(chǔ),通過建立裂紋尖端的附加場來分離并獲取真實場的Ⅰ型和Ⅱ型應(yīng)力強度因子KⅠ、KⅡ。

Rice提出了J積分:

(1)

其中:

(2)

式中:J為真實裂紋尖端場的J積分,W為應(yīng)變能密度,T為積分邊界上的作用力,u為邊界上位移,s為弧長,Г為積分路徑,x、y分別為以裂紋尖端為坐標(biāo)原點平行和垂直于裂紋面的坐標(biāo),εij為裂紋尖端的應(yīng)變,εkl為εij的變化參數(shù),σkl為εij的應(yīng)力參數(shù)。

將真實場和附加場疊加后代入式(1),考慮兩種應(yīng)力狀態(tài):

狀態(tài)1,(σij,εij,uij)為真實應(yīng)力-變形場的變量。

由此可得:

(3)

各向同性材料的J積分和應(yīng)力強度因子存在如下關(guān)系:

(4)

則

(5)

(6)

(7)

式中:Waux為附加應(yīng)力-變形場應(yīng)變能密度,WM為真實場與附加場相互作用下的應(yīng)變能密度。

通過真實場與附加場的應(yīng)力強度因子求得相互作用積分M為:

(8)

圖1 不同的積分路徑

(9)

1.2 球形壓力容器裂紋尖端應(yīng)力強度因子的計算

球形壓力容器壁應(yīng)力示意圖如圖2所示,容器結(jié)構(gòu)具有軸對稱性。圖2中,r1為縱線曲率半徑,r2為垂直于縱線的環(huán)向曲率半徑,r1=r2=r,r為球體半徑;σ1為縱向應(yīng)力,σ2為環(huán)向應(yīng)力,σ1=σ2=σ,σ為球形壓力容器在承受載荷時球殼承受的應(yīng)力。

圖2 球形壓力容器壁應(yīng)力示意圖

根據(jù)對稱原理,求得球形壓力容器在承受內(nèi)壓時球殼受到的應(yīng)力σ:

(10)

式中:h為容器壁厚度,p為內(nèi)壓力。

根據(jù)斜裂紋的雙向拉伸理論,線彈性材料中應(yīng)力、應(yīng)變和位移滿足疊加原理,可得:

(11)

式中:α、β分別為裂紋與σ1、σ2之間的夾角,σ1、σ2分別為縱向與橫向所受應(yīng)力,a為裂紋長度的一半。

(12)

由此可得等效應(yīng)力強度因子Ke:

(13)

2 球形壓力容器的模型建立與網(wǎng)格劃分

2.1 幾何模型

圖3為1/4球形壓力容器模型,球體半徑r=300 mm,容器壁厚度h=19 mm。初始裂紋位于容器壁中心處,為中心斜裂紋,裂紋初始長度為0.9 mm,裂紋初始角度為45°。由于容器壁厚度遠(yuǎn)小于球體半徑,因此在對裂紋進行數(shù)值模擬時,可以將球體壓力容器的裂紋問題視為二維平面問題。以上述尺寸參數(shù)為依據(jù),建立有限元模型,并通過有限元軟件進行分析,材料為Q345,彈性模量E為206 000 MPa,泊松比υ為0.3,屈服強度σs為345 MPa,抗拉強度σb為550 MPa。

圖3 1/4球形壓力容器模型

2.2 網(wǎng)格劃分

球形壓力容器模型中包含了中心斜裂紋,如圖3所示。在通過有限元軟件進行數(shù)值模擬的過程中,為了能夠得到更加準(zhǔn)確的結(jié)果,需要對裂紋尖端的網(wǎng)格劃分進行加密與精細(xì)化處理[9]。

圖4 總體網(wǎng)格與裂紋尖端局部網(wǎng)格

按不同的裂紋長度2a、裂紋初始角度β建立相應(yīng)的模型,并分別施加載荷進行分析求解,得到不同裂紋尺寸比2a/h及β下裂紋尖端的應(yīng)力強度因子,將在不同條件下計算出的應(yīng)力強度因子值代入相應(yīng)公式進行求解。圖5為2a/h=0.094 7、β=45°時裂紋尖端處剖面應(yīng)變、應(yīng)力云圖。

圖5 剖面應(yīng)變、應(yīng)力云圖

3 數(shù)值模擬結(jié)果與分析

3.1 裂紋初始角度對應(yīng)力強度因子影響

根據(jù)式(12)可知,β是影響應(yīng)力強度因子的直接參數(shù)。

如圖6所示,將裂紋與球體法向夾角的互補角定義為裂紋初始角度β。在其余參數(shù)不變的條件下,通過改變β的大小,觀察應(yīng)力強度因子的變化情況。為了更清楚地觀察β對KⅠ、KⅡ的影響規(guī)律,通過相互作用積分法計算出不同條件下裂紋的應(yīng)力強度因子大小,分別繪制出KⅠ、KⅡ關(guān)于β與2a/h的變化曲線,如圖7、圖8所示。

圖6 初始角度示意圖

圖7 裂紋初始角度對KⅠ的影響

圖8 裂紋初始角度對KⅡ的影響

由圖7可知,當(dāng)2a/h不變時,KⅠ隨著β的增大而增大;當(dāng)β不變時,KⅠ隨著2a/h的增大而增大。

由圖8可知,當(dāng)β不變時,KⅡ隨著2a/h的增大而增大;在不同的β條件下,KⅡ隨著2a/h的增大而增大,且變化趨勢相同。當(dāng)β為40°、45°、50°時,KⅡ的變化曲線接近,在該角度范圍內(nèi)KⅡ不受β的影響。

圖9 KⅠ、KⅡ與裂紋初始角度

由圖9可知,當(dāng)β增大時,KⅡ先增大后減小,當(dāng)β=45°時,KⅡ達到最大值。當(dāng)β<45°時,KⅡ>KⅠ;當(dāng)β=45°時,KⅠ=KⅡ;當(dāng)β>45°時,KⅠ>KⅡ。

3.2 裂紋初始角度對J積分與Ke的影響

根據(jù)式(4)、(13)可知,KⅠ與KⅡ是影響J積分與等效應(yīng)力強度因子Ke的直接參數(shù)。為了清楚地觀察裂紋初始角度β對Ke與J積分的影響規(guī)律,通過相互作用積分法計算出不同條件下的應(yīng)力強度因子值并代入式(4)、(13),分別計算出相應(yīng)的J積分與Ke,從而分別繪制出β與J積分、Ke的變化曲線,如圖10、圖11所示。

圖10 裂紋初始角度對J積分的影響

圖11 裂紋初始角度對Ke的影響

由圖10可知,當(dāng)β增大時,J積分也增大;當(dāng)β>70°時,J積分的增幅開始減緩。

由圖11可知,當(dāng)β增大時,Ke隨之增大,當(dāng)β>60°時,Ke的變化趨勢逐漸平穩(wěn)。根據(jù)圖9可知,當(dāng)β不斷增大時,KⅠ不斷增大,KⅡ先增大后減小。因此,根據(jù)式(13)可知,隨著β的不斷增大,KⅠ在Ke的變化規(guī)律中,逐漸起決定作用。

4 結(jié)論

本文基于相互作用積分法求解球形壓力容器裂紋尖端的應(yīng)力強度因子,利用有限元軟件分別建立不同裂紋初始角度β與裂紋尺寸2a/h的有限元模型,求得相應(yīng)的Ⅰ、Ⅱ型應(yīng)力強度因子KⅠ、KⅡ,代入相應(yīng)公式求解出J積分與等效應(yīng)力強度因子Ke,最終得出以下結(jié)論:

1)β與2a/h都對壓力容器的裂紋應(yīng)力強度因子存在影響。當(dāng)β不變時,KⅠ、KⅡ隨著2a/h的增大而增大;在不同的β條件下,KⅠ、KⅡ隨著2a/h的增大而增大,且變化趨勢相同。

2)當(dāng)β增大時,KⅡ先增大后減小,KⅠ不斷增大;當(dāng)β= 45°時,KⅡ達到最大值,KⅠ=KⅡ。

3)當(dāng)β增大時,J積分、Ke隨之增加,Ke在β大于60°之后逐漸平穩(wěn),并且隨β的增大,KⅠ在Ke的變化規(guī)律中,起決定作用。

4)對相互作用積分法求解的應(yīng)力強度因子的模擬值與解析值進行對比發(fā)現(xiàn),兩者變化趨勢基本相同,且最大誤差不超過2%,證明了相互作用積分法適用于球形壓力容器裂紋尖端應(yīng)力強度因子的計算。