趙振秀，劉軍

（224057 江蘇省 鹽城市 鹽城工學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院）

0 引言

滾動(dòng)軸承作為機(jī)械系統(tǒng)支承與傳遞載荷關(guān)鍵的旋轉(zhuǎn)元件，其可靠性決定了旋轉(zhuǎn)機(jī)械系統(tǒng)的使用壽命，疲勞磨損和點(diǎn)蝕失效會(huì)造成滾動(dòng)軸承失效，無(wú)法正常使用。因此軸承的可靠性直接決定了軸承和機(jī)械系統(tǒng)的運(yùn)行可靠性。國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者對(duì)軸承接觸應(yīng)力進(jìn)行了深入研究，主要基于Hertz 理論研究了軸承內(nèi)部的應(yīng)力分布情況[1-3]。張廣萍等[4]采用Hertz 理論并考慮實(shí)際工況研究了軸承的應(yīng)力分布；張勝倫等[5]研究并優(yōu)化了結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)接觸應(yīng)力的影響。目前，鮮有學(xué)者針對(duì)軸承接觸應(yīng)力的可靠性及其靈敏度展開(kāi)研究，其中在軸承接觸應(yīng)力的可靠性定量分析方面研究更少[6-10]。本文基于Hertz理論對(duì)接觸應(yīng)力計(jì)算方法進(jìn)行精度研究，結(jié)合應(yīng)力-強(qiáng)度干涉理論和二階矩法研究點(diǎn)接觸軸承的動(dòng)態(tài)可靠性；對(duì)3 種接觸應(yīng)力計(jì)算方法進(jìn)行精度驗(yàn)證和誤差分析，建立點(diǎn)接觸軸承動(dòng)態(tài)可靠性模型，并進(jìn)行動(dòng)態(tài)可靠性及靈敏度計(jì)算與分析。

1 點(diǎn)接觸軸承接觸應(yīng)力計(jì)算

1.1 接觸應(yīng)力計(jì)算模型

根據(jù)Hertz 理論，假定球軸承的滾動(dòng)體與內(nèi)外圈接觸的表面區(qū)域?yàn)橐恍D(zhuǎn)橢圓形，最大壓應(yīng)力出現(xiàn)在幾何中心，其大小為

接觸區(qū)域與接觸應(yīng)力分布如圖1 所示。由圖1可知，接觸區(qū)域SC除中心點(diǎn)最大應(yīng)力處以外其余點(diǎn)的法向應(yīng)力為

圖1 點(diǎn)接觸軸承接觸區(qū)域與接觸應(yīng)力分布Fig.1 Contact area and contact stress distribution of point-contact bearing

式中：Q——承受載荷；a、b——接觸橢圓的長(zhǎng)、短半軸。

式中：a*、b*——接觸橢圓半軸系數(shù)；Σρ——曲率和函數(shù)；E'——綜合彈性模量。

在載荷Q的作用下，兩物體由于彈性變形而形成接觸區(qū)域SC。接觸體表面的位移δ稱(chēng)為彈性趨近量，定義為

式中：δ*——彈性趨近系數(shù)。

式中：v1、v2——彈性接觸體的泊松比；E1、E2——彈性接觸體的彈性模量。

式中：Rix、Riy——滾動(dòng)體和內(nèi)（外）圈曲率半徑；i=1、2，1 代表滾動(dòng)體，2 代表滾道。Rix、Riy示意如圖2 所示。

圖2 Hertz 點(diǎn)接觸曲率示意圖Fig.2 Point-contact curvature diagram of Hertz

確定橢圓半軸系數(shù)a*、b*和彈性趨近系數(shù)δ*為

式中：e——橢圓參數(shù)；K(e)，E(e)——第1 類(lèi)和第2 類(lèi)完全橢圓積分函數(shù)。

1.2 接觸應(yīng)力的數(shù)值計(jì)算法

求解軸承接觸應(yīng)力問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)曲率函數(shù)F(ρ)的值確定橢圓參數(shù)e，以及K(e)和E(e)。根據(jù)Hertz 理論模型，曲率函數(shù)F(ρ)是橢圓半軸a、b的函數(shù)

將式（14）變換成式（15）的形式以便求解橢圓參數(shù)e

式中：ε——一個(gè)微小誤差控制量。

可通過(guò)牛頓迭代法求解式（15），獲得e、K(e)和E(e)的值。

1.3 Hamrock-Dowson 經(jīng)驗(yàn)法

從式（12）可以看出，當(dāng)b/a無(wú)窮小時(shí)，K(e)的收斂很慢，但球軸承點(diǎn)接觸問(wèn)題恰巧屬于此類(lèi)情況，因此求解式（15）比較耗時(shí)。Hamrock 和Dowson 通過(guò)曲線擬合的方法給出了球軸承接觸問(wèn)題的近似經(jīng)驗(yàn)公式為

由式（11）可知

1.4 拉格朗日插值法

基于數(shù)值計(jì)算法，羅繼偉等[2]設(shè)計(jì)了一種單向均分法，便捷地獲取軸承點(diǎn)接觸參數(shù)；楊咸啟[1]、Harris 等[3]給出了點(diǎn)接觸半軸系數(shù)的參數(shù)表。根據(jù)上述學(xué)者的參數(shù)表繪制出觸參數(shù)變化曲線，如圖3所示，可見(jiàn)3 種參數(shù)表的變化趨勢(shì)一致。采用拉格朗日二次插值公式，根據(jù)上述3 個(gè)參數(shù)表對(duì)半軸系數(shù)直接插值計(jì)算對(duì)應(yīng)的y。由于點(diǎn)接觸軸承的橢圓參數(shù)e接近于1，所以取部分參數(shù)如表1 所示，表中的第1 列數(shù)據(jù)標(biāo)記為xi，需計(jì)算的某一列數(shù)據(jù)標(biāo)記為yi，當(dāng)已知x（xi-1＜x＜xi+1）時(shí)可以計(jì)算對(duì)應(yīng)的y值

表1 無(wú)量綱接觸參數(shù)Tab.1 Dimensionless contact parameters

圖3 無(wú)量綱接觸參數(shù)變化Fig.3 Changes of dimensionless contact parameters

根據(jù)上述3 種不同的參數(shù)表結(jié)合Harris 等[3]的研究，對(duì)B218 角接觸球軸承，計(jì)算點(diǎn)接觸參數(shù)和內(nèi)、外滾道最大法向接觸應(yīng)力，結(jié)果如表2 所示。對(duì)比結(jié)果可知：與數(shù)值解相比，3 種參數(shù)表的誤差均不超過(guò)3%。其中文獻(xiàn)[1]的參數(shù)表計(jì)算的結(jié)果更加準(zhǔn)確。點(diǎn)接觸軸承內(nèi)滾道接觸應(yīng)力大于外滾道，這與文獻(xiàn)[3]研究結(jié)果一致，因此，可靠性及靈敏度分析部分僅討論內(nèi)滾道接觸應(yīng)力。

表2 拉格朗日插值法參數(shù)表誤差分析Tab.2 Error analysis of Lagrange interpolation parameters

1.5 方法驗(yàn)證及誤差分析

某機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)中，鋼球與內(nèi)滾道接觸過(guò)程中，深溝球軸承鋼球承受徑向載荷為Q=1.5 kN 的靜態(tài)載荷，系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程中，同時(shí)承受最大徑向載荷為2 kN 的動(dòng)態(tài)載荷。已知鋼球與內(nèi)滾道的參數(shù)如表3 所示。采用上節(jié)所述3 種方法求解得出鋼球與內(nèi)滾道的最大接觸應(yīng)力隨徑向載荷的變化趨勢(shì)如圖4 所示。

表3 隨機(jī)變量參數(shù)表Tab.3 Random variable parameters

圖4 3 種方法計(jì)算的最大接觸應(yīng)力對(duì)比 Fig.4 Comparison of the maximum contact stress calculated by three methods

由圖4 可知，拉格朗日插值法相較Hamrock-Dowson 經(jīng)驗(yàn)法更加逼近數(shù)值計(jì)算法計(jì)算的點(diǎn)接觸軸承接觸應(yīng)力。兩者相對(duì)誤差如圖5 所示，2 種方法的相對(duì)誤差均小于0.4%，其中拉格朗日插值法的相對(duì)誤差小于0.1%。因此，2 種方法均可代替數(shù)值計(jì)算法用于計(jì)算點(diǎn)接觸軸承接觸應(yīng)力，其中拉格朗日插值法計(jì)算結(jié)果更加準(zhǔn)確。

圖5 接觸應(yīng)力相對(duì)誤差Fig.5 Relative error of contact stress

2 動(dòng)態(tài)可靠性分析

由上述分析可知點(diǎn)接觸軸承最大接觸應(yīng)力呈逼近線性趨勢(shì)，因此采用二階矩方法可以滿足其最大接觸應(yīng)力可靠性及靈敏度分析。

2.1 動(dòng)態(tài)可靠性模型

根據(jù)赫茲接觸應(yīng)力計(jì)算理論[3]，點(diǎn)接觸軸承滾動(dòng)體與滾道的最大接觸應(yīng)力為

根據(jù)應(yīng)力-強(qiáng)度干涉理論建立機(jī)械系統(tǒng)的狀態(tài)方程

式中：r——屈服強(qiáng)度；g(X)≤0 時(shí)表示結(jié)構(gòu)功能失效。

引入動(dòng)態(tài)可靠性指標(biāo)β(t)簡(jiǎn)化可靠性的分析計(jì)算，可靠性指標(biāo)β(t)的定義為

式中：E[g(X,t)]——狀態(tài)函數(shù)g(X,t)的平均值；Var[g(X,t)]——狀態(tài)函數(shù)g(X,t)的方差。

如果基本隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則可以計(jì)算出結(jié)構(gòu)的可靠度R(t)為

式中：φ(·)——標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。

當(dāng)強(qiáng)度和所受應(yīng)力服從正態(tài)分布時(shí)，采用二階矩法，只需要知道隨機(jī)變量的均值和方差，即可計(jì)算出系統(tǒng)的可靠度[6]。

不考慮g(X) 2 階以上的部分，取近似的g(X) 2 階均值和1 階方差

式中：Var(X)——隨機(jī)變量的方差矩陣。

狀態(tài)函數(shù)g(X)對(duì)隨機(jī)變量X的偏導(dǎo)數(shù)為

這種求解方式得出的是近似結(jié)果，其最大特點(diǎn)是求解過(guò)程簡(jiǎn)便，具備較強(qiáng)的適應(yīng)能力，當(dāng)非線性不是太高時(shí)，其求解的精度可以滿足工程實(shí)際的要求。

2.2 點(diǎn)接觸軸承動(dòng)態(tài)可靠性分析

根據(jù)應(yīng)力-強(qiáng)度干涉可靠性模型，結(jié)合最大接觸應(yīng)力模型，設(shè)動(dòng)態(tài)載荷Q在[0，1]s 內(nèi)隨時(shí)間線性遞增并達(dá)到最大值，選取隨機(jī)變量X=[r Q E v R1x R1y R2x R2y]。在缺乏充足的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的前提下，可以通過(guò)變異系數(shù)C估計(jì)隨機(jī)設(shè)計(jì)參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)方差[10]，具體見(jiàn)表3。采用該模型作為基于應(yīng)力-強(qiáng)度干涉理論的狀態(tài)方程，可以獲得點(diǎn)接觸軸承的應(yīng)力-強(qiáng)度可靠性模型。

利用式（22）獲取最大接觸應(yīng)力隨時(shí)間變化的曲線如圖6 所示。由圖6 可知，軸承最大接觸應(yīng)力在2.69 kN 時(shí)超出其屈服強(qiáng)度，根據(jù)應(yīng)力-強(qiáng)度干涉理論建立的動(dòng)態(tài)可靠性模型定義，判定此時(shí)的軸承處于失效狀態(tài)。

圖6 軸承點(diǎn)接觸應(yīng)力-強(qiáng)度狀態(tài)圖Fig.6 Stress-strength state diagram of point-contact bearing

根據(jù)式（24）、式（25）計(jì)算動(dòng)態(tài)可靠度，可靠度隨時(shí)間變化曲線如圖7 所示。由圖7 可知，軸承的可靠度在22 ms 時(shí)出現(xiàn)下降趨勢(shì)，說(shuō)明其在22 ms 時(shí)已經(jīng)出現(xiàn)了早期失效的可能。采用蒙特卡洛法對(duì)隨機(jī)變量X抽樣后，根據(jù)狀態(tài)方程計(jì)算的基于蒙特卡洛法的可靠度驗(yàn)證了二階矩法計(jì)算的動(dòng)態(tài)可靠度結(jié)果的精度。

圖7 動(dòng)態(tài)可靠度曲線Fig.7 Dynamic reliability curve

3 動(dòng)態(tài)可靠性靈敏度分析

3.1 動(dòng)態(tài)可靠性靈敏度理論

機(jī)械結(jié)構(gòu)可靠性靈敏度分析基于可靠性的敏感度分析，通過(guò)計(jì)算得出隨機(jī)變量對(duì)機(jī)械結(jié)構(gòu)可靠性的影響，能較好地反映各隨機(jī)變量對(duì)機(jī)械結(jié)構(gòu)的影響[7]。

機(jī)械結(jié)構(gòu)的可靠性靈敏度分為對(duì)隨機(jī)變量X的均值可靠度靈敏度dR(t)/d和方差可靠性靈敏度dR(t)/dVar(X),計(jì)算公式分別為

3.2 動(dòng)態(tài)可靠性靈敏度分析

通過(guò)式（30）計(jì)算均值靈敏度隨時(shí)間變化的曲線，如圖8 所示。由圖8 可知，隨機(jī)變量鋼球半徑R1x、R1y和滾道曲率半徑R2y對(duì)動(dòng)態(tài)可靠性模型的靈敏程度呈正相關(guān)趨勢(shì)，即增大隨機(jī)變量的均值，可提高系統(tǒng)運(yùn)行的可靠性，反之亦然。在安全域內(nèi)，各隨機(jī)變量靈敏度相差不大；當(dāng)軸承失效后，軸承材料泊松比ν對(duì)系統(tǒng)運(yùn)行的影響最大，隨機(jī)變量鋼球半徑R1x、R1y次之，再次是滾道曲率半徑R2y，而其他隨機(jī)變量對(duì)系統(tǒng)的影響均可忽略不計(jì)。因此在生產(chǎn)制造過(guò)程中，通過(guò)增大軸承的鋼球半徑R1x、R1y和滾道曲率半徑R2y、減小軸承材料的泊松比ν可以提高機(jī)械系統(tǒng)運(yùn)行的可靠性。

通過(guò)式（31）計(jì)算軸承方差靈敏度隨時(shí)間變化的曲線，如圖9 所示。由圖9 可知，在系統(tǒng)運(yùn)行完全失效前，增大各隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差會(huì)降低系統(tǒng)可靠性；失效后，增大各隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差會(huì)提高系統(tǒng)可靠性。因此在設(shè)計(jì)制造過(guò)程中，可通過(guò)減小軸承材料泊松比ν的標(biāo)準(zhǔn)差提高系統(tǒng)運(yùn)行的可靠度。

圖9 隨機(jī)變量方差靈敏度Fig.9 Sensitivity of variance of random variables

4 結(jié)論

（1）基于Hertz 理論研究了點(diǎn)接觸軸承最大接觸應(yīng)力3 種不同的計(jì)算方法：數(shù)值計(jì)算法、Hamrock-Dowson 經(jīng)驗(yàn)法和拉格朗日插值法研究了拉格朗日插值法中3 種計(jì)算點(diǎn)接觸的無(wú)量綱參數(shù)表。結(jié)果表明：拉格朗日插值法計(jì)算結(jié)果更加準(zhǔn)確。

（2）根據(jù)應(yīng)力-強(qiáng)度干涉理論建立了點(diǎn)接觸軸承的最大接觸應(yīng)力動(dòng)態(tài)可靠性模型，采用二階矩法對(duì)軸承動(dòng)態(tài)可靠性進(jìn)行求解，并采用蒙特卡洛法驗(yàn)證。結(jié)果表明：點(diǎn)接觸軸承的可靠度隨動(dòng)態(tài)載荷增加而減小。結(jié)合文中算例，軸承承受最大徑向載荷不能高于2.69 kN。

（3）根據(jù)可靠性靈敏度分析相關(guān)理論，求得點(diǎn)接觸軸承動(dòng)態(tài)可靠性模型中隨機(jī)變量對(duì)模型的靈敏度。結(jié)果表明：增大軸承的鋼球半徑和滾道曲率半徑、減小軸承材料的泊松比及其標(biāo)準(zhǔn)差可以提高機(jī)械系統(tǒng)運(yùn)行的可靠性。