陳高勇，何 彬，趙 剛

（1.武漢科技大學(xué)機(jī)械自動(dòng)化學(xué)院，湖北 武漢 430081；2.湖北理工學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，湖北 黃石 435000）

1 引言

結(jié)構(gòu)優(yōu)化可分為尺寸優(yōu)化、形狀優(yōu)化和拓?fù)鋬?yōu)化，其中拓?fù)鋬?yōu)化是一種根據(jù)給定的負(fù)載情況、約束條件和性能指標(biāo)，在給定的區(qū)域內(nèi)對(duì)材料分布進(jìn)行優(yōu)化的數(shù)學(xué)方法［1］，由于設(shè)計(jì)出的結(jié)構(gòu)性能更好，被學(xué)者們及工程人員大量研究和使用，以增加結(jié)構(gòu)強(qiáng)度、改變結(jié)構(gòu)固有頻率或減少結(jié)構(gòu)重量［2-6］。拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)設(shè)計(jì)出的結(jié)構(gòu)通常較復(fù)雜，導(dǎo)致了結(jié)構(gòu)加工困難。為了降低拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的加工難度，文獻(xiàn)［7］將汽車保險(xiǎn)杠橫截面拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中的孔洞用長(zhǎng)方形孔洞替代；文獻(xiàn)［8］將汽車轉(zhuǎn)向垂臂的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中孔洞改成長(zhǎng)方形和圓形孔洞；文獻(xiàn)［9］在設(shè)計(jì)火箭外殼的掛飛結(jié)構(gòu)時(shí)，以長(zhǎng)方形為設(shè)計(jì)基礎(chǔ)在結(jié)構(gòu)上添加孔洞。目前學(xué)者們普遍依據(jù)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行二次設(shè)計(jì)，將結(jié)構(gòu)中不利于加工的孔洞進(jìn)行形狀及參數(shù)的調(diào)整，然而在設(shè)計(jì)時(shí)都選擇與拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中孔洞形似的規(guī)則圖形作為設(shè)計(jì)基礎(chǔ)，當(dāng)結(jié)構(gòu)中孔洞極不規(guī)則時(shí)，這種選擇方法就不一定是最優(yōu)解。這里提出一個(gè)客觀的評(píng)價(jià)方法，以結(jié)構(gòu)的性能改變最小為優(yōu)化目標(biāo)，尋求對(duì)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中孔洞規(guī)則化的最優(yōu)解。

2 結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化

這里提出的是基于拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)方法，需要一結(jié)構(gòu)作為設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。此處選取一案例進(jìn)行分析，如圖1 所示。此結(jié)構(gòu)的長(zhǎng)L、寬W、厚T分別為90mm、45mm、1mm；材料彈性模量E=200GPa；泊松比系數(shù)v=0.3；材料用量f=40%。結(jié)構(gòu)左端固定，垂直向下的力F1=200N 均勻作用在右側(cè)面上方（4×1）mm，垂直向下的力F2=100N 均勻作用在底面正中間區(qū)域（4×1）mm，不考慮材料自重。

圖1 材料尺寸及邊界條件Fig.1 Material Size and Boundary Conditions

采用O.Sigmund 編寫的MATLAB 程序［10］將圖1 進(jìn)行拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)優(yōu)化處理。將該結(jié)構(gòu)劃分為（90×45）個(gè)單元，由于程序中的彈性模量E取值過大會(huì)影響單元密度值xi的迭代速度，設(shè)程序中彈性模量E=1000Pa（程序中彈性模量E的改變不影響最終優(yōu)化結(jié)果），可得出拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)，為了使結(jié)構(gòu)清晰，將結(jié)構(gòu)中的少量中間密度單元的xi進(jìn)行修改：當(dāng)xi＞0.2時(shí)，令xi=1；當(dāng)xi＜=0.2時(shí)，令xi=0.001。得出結(jié)果，如圖2所示（由于該圖形是由（90×45）個(gè)單元組成，因此會(huì)有鋸齒邊界現(xiàn)象）。此時(shí)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)體積V=1755mm3。

圖2 MATLAB程序拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)圖形Fig.2 Topology Optimization Structure Graphic in MATLAB Program

3 結(jié)構(gòu)二次設(shè)計(jì)

3.1 結(jié)構(gòu)二次設(shè)計(jì)原理

拓?fù)鋬?yōu)化完成后，需對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化圖形進(jìn)行二次設(shè)計(jì)。將圖形中白色部分看作為孔洞。選取四種形狀作為設(shè)計(jì)基礎(chǔ)，用于替換拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中的孔洞，如圖3所示。每個(gè)圖形都有對(duì)應(yīng)的變量a和b用于描述圖形的大小，如表1所示。

表1 變量a，b在圖形中的含義Tab.1 The Meaning of a and b in Graphics

圖3 基本設(shè)計(jì)圖形Fig.3 Basic Graphics Used to Design

設(shè)β為所有圖形圍繞該圖形形心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度，將以上四個(gè)圖形（a），（b），（c），（d）依次編號(hào)為1～4。以柔順度比例系數(shù)c作為優(yōu)化目標(biāo)，圖形編號(hào)n、尺寸a，b以及旋轉(zhuǎn)角β為自變量，當(dāng)需對(duì)某一不規(guī)則孔洞進(jìn)行替換時(shí)，可以建立優(yōu)化模型：

式中：C和V1—規(guī)則孔洞替代不規(guī)則孔洞后的結(jié)構(gòu)柔順度及體積；V0—初始材料體積；F和U—當(dāng)前工況下的結(jié)構(gòu)力場(chǎng)及結(jié)構(gòu)位移場(chǎng)；xi—第i號(hào)單元的密度值；p—懲罰因子；Ui—第i號(hào)單元的位移矢量；Ki—xi=1時(shí)單元?jiǎng)偠染仃?；V—初始拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)體積；Vmax—需被替換的不規(guī)則孔洞的體積；V2—規(guī)則圖形產(chǎn)生孔洞的體積；k—等比縮小系數(shù)；Vmin—設(shè)定規(guī)則孔洞體積的最小值。優(yōu)化過程流程圖，如圖4所示。

圖4 二次設(shè)計(jì)流程圖Fig.4 Secondary Design Flow Chart

3.2 結(jié)構(gòu)二次優(yōu)化步驟

以圖2為例，懲罰因子p=3時(shí)，用式（2）可計(jì)算出此時(shí)結(jié)構(gòu)柔順度C=4106.2。用MATLAB編程計(jì)算出拓?fù)鋬?yōu)化圖形孔洞的大小及形心坐標(biāo)數(shù)據(jù)，并按照孔洞體積大小進(jìn)行編號(hào)。編號(hào)及坐標(biāo)軸，如圖5所示。并得出數(shù)據(jù)，如表2所示。

表2 拓?fù)鋬?yōu)化圖形孔洞參數(shù)Tab.2 Hole Parameters in Topology Optimization Graphic

圖5 結(jié)構(gòu)圖形中孔洞編號(hào)Fig.5 Hole Number in Structural Graphic

當(dāng)被替換的孔洞的體積Vmax、孔洞對(duì)應(yīng)的形心坐標(biāo)（x，y）、等比縮小系數(shù)k、孔洞最小體積Vmin確定后，用公式可確定孔洞參數(shù)n，a，b，β的取值范圍，為了使n，a，b，β參數(shù)產(chǎn)生的圖形孔洞對(duì)原孔洞有較好的代替效果，需對(duì)規(guī)則圖形孔洞進(jìn)行限制。令規(guī)則圖形孔洞滿足條件：（1）替換后的規(guī)則圖形孔洞在原材料范圍內(nèi)（可能在邊界處產(chǎn)生尺寸極小的邊界材料，后續(xù)通過調(diào)整孔洞參數(shù)及形心坐標(biāo)消除）；（2）替換后規(guī)則圖形孔洞不與其他孔洞接觸。為了保證n，a，b，β的精度并且n，a，b，β參數(shù)取不同值時(shí)所對(duì)應(yīng)的c值有較大的變化，從而使后續(xù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有較好的擬合效果，令a，b單次變化最小值為0.5mm，β單次變化最小值為3o。遵循以上規(guī)則就能求出所有n，a，b，β參數(shù)組合。例如，比例系數(shù)k=0.95、Vmin=k7×Vmax時(shí)，對(duì)3號(hào)孔洞進(jìn)行替換時(shí)，共有929組符合條件的參數(shù)組合。n，a，b，β取值為［1，8.5，10.5，42］時(shí)對(duì)應(yīng)的優(yōu)化結(jié)構(gòu)圖形，如圖6所示?？锥刺鎿Q的過程為：①將需要替換的孔洞內(nèi)的全部單元的xi值改為1；②依據(jù)n，a，b，β組合的值及原孔洞的形心坐標(biāo)構(gòu)建出規(guī)則圖形；③將中心點(diǎn)在規(guī)則圖形內(nèi)的所有單元的xi值改為0.001。因此，程序上進(jìn)行二次優(yōu)化的圖形依舊會(huì)有鋸齒邊界現(xiàn)象。但在ANSYS上依據(jù)n，a，b，β參數(shù)組合進(jìn)行建模時(shí)則不會(huì)出現(xiàn)此現(xiàn)象。

圖6 3號(hào)孔洞替換后的結(jié)構(gòu)圖形Fig.6 Structure Graphic After Hole 3 is Replaced

當(dāng)結(jié)構(gòu)圖形確定后，可得出結(jié)構(gòu)的整體體積V1以及全部單元的密度值xi（黑色部分xi=1，白色部分xi=0.001），結(jié)合初始的材料條件、邊界條件，根據(jù)式（2）可求出該結(jié)構(gòu)的柔順度C，再結(jié)合式（1）可求出柔順度比例系數(shù)c。經(jīng)計(jì)算圖6結(jié)構(gòu)的c=1906.2。

3.3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解

計(jì)算全部n，a，b，β參數(shù)組合對(duì)應(yīng)的c值需要很大的計(jì)算量，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，采用BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法對(duì)c值進(jìn)行擬合。以n，a，b，β參數(shù)組合作為輸入，其對(duì)應(yīng)柔順度比例系數(shù)c為輸出。取n，a，b，β參數(shù)組合及對(duì)應(yīng)c值的總數(shù)量的10%為訓(xùn)練樣本，如表3所示。另選取10組參數(shù)組合為測(cè)試樣本，設(shè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱層第一層節(jié)點(diǎn)數(shù)為20；隱層第二層節(jié)點(diǎn)數(shù)為40；訓(xùn)練次數(shù)為1000；訓(xùn)練精度為1e-5。擬合效果，如圖7所示。根據(jù)測(cè)試樣本（表4）可看出預(yù)測(cè)c值與實(shí)際c值十分接近。訓(xùn)練的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可精確模擬出全部n，a，b，β參數(shù)組合的c值，并求出當(dāng)n，a，b，β為［4，14.0，9.5，45］時(shí)，c為最小值1871.6，對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)圖形，如圖8所示。

表3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練樣本Tab.3 Neural Network Training Samples

表4 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)測(cè)試據(jù)Tab.4 Neural Network Test Data

圖7 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合圖Fig.7 Neural Network Simulation Diagram

圖8 3號(hào)孔洞替換后的最終結(jié)構(gòu)圖形Fig.8 Final Structure Graphic After Hole 3 is Replaced

依次對(duì)圖形中1～7號(hào)孔洞依次進(jìn)行替換，最終優(yōu)化圖形，如圖9所示。并得出以下孔洞參數(shù)，如表5所示。此時(shí)結(jié)構(gòu)體積V=1943mm3，相對(duì)初始拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)增加10.71%，結(jié)構(gòu)柔順度C=3903.3，同比減少5%。

表5 二次設(shè)計(jì)后孔洞參數(shù)Tab.5 Hole Parameters After Secondary Design

圖9 最終設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)圖形Fig.9 Final Structure Graphic After Secondary Design

4 結(jié)構(gòu)分析

為了驗(yàn)證了該方法的可行性和有效性，依照表5中數(shù)據(jù)將結(jié)構(gòu)在ANSYS軟件中重建，同時(shí)將圖2結(jié)構(gòu)重建作為參照物，二者的材料系數(shù)及受力條件與初始材料（圖1）保持一致，將結(jié)構(gòu)進(jìn)行應(yīng)力分析后得出結(jié)果，如圖10、圖11所示。比較得出二次設(shè)計(jì)后的結(jié)構(gòu)應(yīng)力圖與初始拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)應(yīng)力圖相似，并未出現(xiàn)由結(jié)構(gòu)改變而引起的應(yīng)力集中現(xiàn)象，驗(yàn)證了結(jié)構(gòu)的實(shí)用性。

圖10 ANSYS中二次設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)應(yīng)力圖Fig.10 Stress Graphic of Secondary Design Structure in ANSYS

圖11 ANSYS中初始拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)應(yīng)力圖Fig.11 Stress Diagram of Initial Topological Structure in ANSYS

5 結(jié)論

以拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)進(jìn)行二次設(shè)計(jì)，將規(guī)則形狀孔洞取代拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中的不規(guī)則孔洞，從而使得優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)便于加工。通過有限元方法計(jì)算出規(guī)則孔洞的形狀及大小與結(jié)構(gòu)性能之間的關(guān)系并制作出樣本，通過樣本用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法找到最佳性能值及其對(duì)應(yīng)的孔洞參數(shù)，從而完成不規(guī)則孔洞的替換。實(shí)驗(yàn)表明經(jīng)過二次設(shè)計(jì)后的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)性能與初始拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)性能相比，結(jié)構(gòu)性能略微下降但增強(qiáng)了結(jié)構(gòu)的易制造性。