朱 賀，李靜菲，王志軍

（1.中國民用航空飛行學院航空工程學院，四川 廣漢 681300；2.中國民用航空飛行學院基建與機場處，四川 廣漢 681300；3.中國民用航空飛行學院飛行技術學院，四川 廣漢 681300）

1 引言

隔振系統(tǒng)在實際工程中應用非常廣泛，例如車架的懸掛系統(tǒng)［1］、空間精確隔振系統(tǒng)［2-3］和車輛座椅的隔振器［4］等。傳統(tǒng)隔振器能夠在高頻范圍起到很好的振動抑制效果，但對低頻隔振效果不好。為確保高、低頻大的情況下可得到較為理想的隔振性能，準零剛度隔振系統(tǒng)［4-11］被廣泛研究。通過采用特殊的非線性結構，可以使準零剛度隔振系統(tǒng)取得接近于零的線性剛度以及高的靜剛度和低的動剛度，從而減小系統(tǒng)的靜變形及其固有頻率。但是該系統(tǒng)因為導入線性負剛度，顯著缺陷即更易出現(xiàn)失穩(wěn)、承載能力相對較差，又或是平衡位置會出現(xiàn)一定程度的波動。剪叉機構（也稱為剪刀架機構或剪刀撐）由于簡單的結構和良好的承載能力，一直作為個體或組成單元被廣泛地應用在機械、建筑及航空航天的可展結構或機構中，如：變形翼［12］、折疊樓梯［13］及可展屋頂［14］等。文獻［15］近來基于剪叉機構特性提出了剪叉機構式隔振系統(tǒng)。其系列研究表明［15-17］：剪叉機構隔振系統(tǒng)僅使用線性彈簧即可得到非線性的等效剛度和阻尼，從而可獲得很好的隔振性能，并能夠克服準零剛度隔振系統(tǒng)的劣勢。利用剪叉機構建立的多維隔振系統(tǒng)，可以很好地解決工程上一些隔振難題。

但是，在相關分析之中，會假定線性彈簧和機構位于水平連接，但是未計算安裝位置不同對剪叉機構隔振性能的影響。根據(jù)單節(jié)剪叉機構輸入連接的位置，可以將剪叉機構分為共6種不同的安裝構型并用一個統(tǒng)一的參數(shù)化公式來計算其安裝連接位置矢量。在此基礎上，通過建立統(tǒng)一的剪叉機構剛度計算模型，研究線性彈簧安裝構型和安裝參數(shù)變化對剪叉機構隔振性能的影響以及安裝參數(shù)對隔振系統(tǒng)共振頻率的影響。通過本研究，擬為實際隔振應用提供更好的解決思路。

2 全構型剪叉機構的剛度統(tǒng)一模型

剪叉機構通過上下平臺、兩支臂的四大構件，兩支臂在其中產生交叉，依靠配套的旋轉副鉸接處理為相應的X形，同時右端能夠在相應的上、下平臺相應的接觸面或者是軌道之上產生滑動。剪叉機構通常為雙片式，具有對稱性，可視為平面機構。具體信息可參考圖1的表示，線性彈簧的具體安裝區(qū)域主要為6種構型。在實踐運用過程中，運用特定的安裝構型，同時還可選定2個或者更多的構型建立多元系統(tǒng)?；诜治鲆?guī)律，論文單純分析單彈簧系統(tǒng)。標識的任一種構型中，線性彈簧兩端安裝在剪叉機構其中兩個構件上，其位置用安裝數(shù)據(jù)a、c、d、f進行判斷，具體的取值參數(shù)即0至l，如圖1所示。在圖像中，物塊質量所運用的具體符號為m，支臂長度所運用的具體符號為l，舉升角所運用的具體符號為θ，物塊M的位移所運用的具體符號為y，下平臺的激振為z，支臂旋轉角度所運用的具體符號為φ，水平位移所運用的具體符號為x。多種構型之中線性彈簧的具體長度數(shù)據(jù)是I，關于彈簧變形量的具體數(shù)據(jù)是ΔI=| |I-I'，剛度為k，則彈力f=kΔI。為了方便討論，剪叉機構的質量不計，可用拉格朗日方程建立隔振系統(tǒng)的動力學普遍方程。

圖1 六種剪叉機構安裝構型示意圖Fig.1 Six Types and Parameters of Scissor-Like Structure-Vibration Isolation（SLS-VI）System in Simplified Model

系統(tǒng)的動能T=My?2，勢能V=kΔI2，結合圖1能夠發(fā)現(xiàn)，多種構型i(i= 1，2，…，6)之中，彈簧輸入長度I有所區(qū)別，可結合剪叉機構之中的三角形法［20］完成計算：

式（1）之中數(shù)據(jù)取值和詳細構型數(shù)據(jù)存在聯(lián)系，具體信息可參考的標識，如表1所示。

表1 不同構型下對應的參數(shù)取值Tab.1 The Corresponding Value of Parameters in Different Types of SLS-VI System

拉格朗日函數(shù)L=T-V，拉格朗日方程為：

式中：c1—空氣阻尼系數(shù)；c2—旋轉副之間的摩擦系數(shù)；c3—水平摩擦系數(shù)；n—旋轉副的數(shù)目。由圖1能夠發(fā)現(xiàn)，物塊m位移=y-z，參照Sun提供相應的幾何關系式［15］，論述機構之中x與φ的幾何關系能夠表述為下述內容：

分別將上式帶入拉格朗日方程（2）可得：

分別用f1，f2，f3代表彈性力、轉動摩擦力和水平摩擦力：

由式（6）可知彈性力與構型參數(shù)有關，而式（7）、式（8）所代表的摩擦力只與系統(tǒng)結構參數(shù)相關。進一步引入無量綱量：通過化簡可得到剪叉機構的統(tǒng)一剛度表達式：

根據(jù)式（9），在不同的安裝構型及安裝參數(shù)下，剪叉機構的剛度是不同的。在此取一例分析，設a= 0.5，c= 0.25，d= 0.5，f=0.25。參照表1的構型數(shù)據(jù)，可描繪相同剪叉機構之中，多種構型的剛度特性，具體信息可參考的標識，如圖2所示。

圖2 剪叉機構不同構型的剛度特性曲線Fig.2 The Stiffness Characteristic Curve of Different Types of SLS-VI System

由圖2可知，不同構型下剪叉機構安裝線性彈簧均取得了非線性剛度。由于在這里沒有考慮彈簧的初始變形，所以其剛度均為正值。

采用構型1作為案例開展驗證，設a=0.5，c=0.25，通過表1計算獲得：J=-0.5，M=-0.25，N=0.75。系統(tǒng)結構數(shù)據(jù)：k=1000N/m，l=1m，θ=π/4，那么泰勒展開式以及原函數(shù)，如圖3所示。

圖3 原函數(shù)f1 f2 f3和泰勒展開式f1'f2'f3'的比較Fig.3 Taylor Expansion f1 f2 f3 Compared with the Original Function f1'f2'f3'

從圖3可以看出，彈性力f1、旋轉f2與水平摩擦力f3的展開式在y?= 0周邊可以較為理想地和原函數(shù)之間相契合。所以運用展開式替換原公式開展分析可符合需求。通過圖3的信息能夠得出，單純依靠線性彈簧k，等效剛度（對應f1）與阻尼（對應f2、f3）均獲得了非線性。由于圖3中的剛度和阻尼函數(shù)都是非對稱的非線性函數(shù)，因此采用諧波平衡法求解位移傳遞率時需要考慮補償量考慮式（6）～式（8），將泰勒展開式（10）～式（12）帶入拉格朗日方程式（5）。

為了便于后面的推導，作變量替換τ=ω1t，并將微分量替換為dτ，則式（18）變成：

假定下平臺的激振為z=z0cosω0t，那么根據(jù)諧波平衡解法，設?=a0+acos( Ωτ+φ)，Ω =ω0/ω1，則位移傳遞率Td可以表示為：

3 安裝構型及其安裝參數(shù)對剪叉機構隔振性能的影響

結合文獻［15-16］分析結論，單元節(jié)數(shù)n以及舉升角θ等結構數(shù)據(jù)的變動，會對隔振指標產生極大的影響。但之前分析并未計算彈簧連接區(qū)域的區(qū)別對于隔振影響。第2節(jié)建模之中，能夠發(fā)現(xiàn)彈簧連接區(qū)域的變動（造成構型與數(shù)據(jù)有所區(qū)別）產生的剛度轉變。章節(jié)運用控制變量法，確保結構數(shù)據(jù)不出現(xiàn)變化的情況下，深度研究構型與數(shù)據(jù)所構成的影響。取系統(tǒng)參數(shù)m= 10kg、k=1000N/m、l= 1m、θ= π/4、c1= 5、c2= 1、c3= 1。采用無量綱量考察彈簧安裝構型和安裝參數(shù)的變化影響，設：a=a/l、c=c/l、d=d/l、f=f/l。結合式（21）計算獲得的位移傳遞率Td能夠判定各個取值之下的隔振效果。

3.1 安裝構型對隔振性能的影響

給定剪叉機構之中，先維持固定的安裝數(shù)據(jù)，分別取a= 0.5、c= 0.25、d= 0.5、f= 0.25，依據(jù)表1 與式（21）能夠獲得多種構型的隔振性能，關于不同構型在相關指標上的表現(xiàn)，具體信息可參考的標識，如圖4所示。通過圖4所示的信息能夠得出，多種構型產生的剪叉隔振效果的差異相對較大。在這里分析的構型5之中，共振頻率以及位移傳遞率數(shù)據(jù)提升到最高的數(shù)值，無法滿足隔振的需求。在這里分析的構型3之中，其具體的共振頻率參數(shù)僅有0.1，同時傳遞率的最大參數(shù)也有顯著降低，所以調整安裝構型有助于優(yōu)化隔振指標。文獻［13-16］分析的彈簧和支臂之間有水平連接，可稱作是臂間構型［17］，也就是論文分析的構型6。能夠發(fā)現(xiàn)，構型6在特定系統(tǒng)的共振頻率較低，但有僅低于構型5的位移傳遞率最大數(shù)據(jù)。

圖4 不同構型下的隔振性能Fig.4 The Isolation Performance for Different Different Types of SLS-VI System

3.2 安裝參數(shù)對隔振性能的影響

限于篇幅，本節(jié)僅選取構型4研究安裝參數(shù)變化帶來的隔振效果影響。其它構型下的安裝參數(shù)變化可類比進行研究。保持系統(tǒng)結構參數(shù)及線性彈簧安裝構型不變，對于構型4的a、f開展研究，相關信息可以參考的標識，如圖5所示。

由圖5（a），當f=0.25時，隔振性能隨著a的增加而降低，當參數(shù)a趨近于零時，彈簧將不再起作用，剪叉機構將失穩(wěn)。而根據(jù)圖5（b），當a=0.5且0 ≤f≤0.5時，低頻以及高頻段，位移傳遞率數(shù)據(jù)維持固定，唯有在振頻上峰值會伴隨f降低有所提升；當0.5 ≤f≤1時，隔振性能隨著f的增加而降低。

3.3 安裝參數(shù)對等效剛度的影響

由式（9）能夠得出，彈簧力即y?函數(shù)，同時該部分的數(shù)據(jù)會伴隨安裝構型的區(qū)別而有所差異。依靠相應的式（10）與式（13）～式（15）能夠獲得等效線性和非線性剛度系數(shù)β1與β2。在多個數(shù)據(jù)中，線性剛度β1對共振頻率產生的影響相對最高。因此，為了獲得更好的隔振性能且避免發(fā)生共振，此系數(shù)應足夠小。

系統(tǒng)的共振頻率為：

可以看出，在不同的構型中，系統(tǒng)的共振頻率亦不相同。

仍以構型4為例，如圖6所示。參數(shù)a與共振頻率正相關；針對某個參數(shù)a，在f低于特定臨界值的情況下，共振頻率的相關參數(shù)也會近乎維持固定狀態(tài)，在f大于此臨界值時，其隨參數(shù)f的增大而減小，臨界值的大小與參數(shù)a緊密相關。所以，在保證剪叉機構隔振系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，要獲得良好的隔振性能，a值應取得較小些。

圖6 構件4參數(shù)a、f對共振頻率的影響Fig.6 Effect of Parameter a and f on Resonant Frequency in Type4

剪叉機構其他構型安裝參數(shù)對隔振效果及共振頻率影響在此不作細述，但研究結果表明：在構型1中，參數(shù)a對位移傳遞率影響不大，而位移傳遞率和共振頻率隨參數(shù)c的遞增而下降；在構型2中，位移傳遞率的峰值和共振頻率基本上隨著參數(shù)c和d的增大而增大；在構型3中，參數(shù)d增加時，位移傳遞率的峰值降低，但共振頻率受參數(shù)f的影響；而隨著參數(shù)f的遞增，位移傳遞率和共振頻率先減小后增大；在構型5中，位移傳遞率只與參數(shù)值|a-d|有關，并隨著|a-d|的增大而減小，但共振頻率變化甚微；在構型6中，參數(shù)c和f對位移傳遞率和共振頻率的影響相同，并隨著參數(shù)的增加，兩者都是先減小后增大。

4 結論

在整體設計過程中，結合單節(jié)剪叉6輸入配置方案，基于對相關方案的深度分析，圍繞全構型方案開展綜合論述，運用參數(shù)化方案構建標準化的模型與傳遞率，計算獲得多種構型與安裝數(shù)據(jù)的剛度與阻尼。研究結果表明：（1）由于線性彈簧實際安裝區(qū)域的差異，導致安裝構型與數(shù)據(jù)有所區(qū)別，在此情況下產生了系統(tǒng)隔振性能和共振頻率也不相同。（2）在進行設計的過程中，可在不影響機構數(shù)據(jù)的基礎上，僅僅依靠調整安裝構型以及數(shù)據(jù)的方式，就可獲得多個類別的非線性剛度數(shù)據(jù)，進而獲得理想的非線性特性。（3）依靠調換構型與數(shù)據(jù)的方式，可以實現(xiàn)調整隔振性能的預期效果，通過此類處理方式可為剛度與阻尼等設計新方式，同時也有助于擴充各類技術的工程運用場景。