金海波 趙欣越 桑 雨

高可靠控制系統(tǒng)在現(xiàn)代工業(yè)的諸多領(lǐng)域中越來越重要,如航空航天、化工、核能、武器、生產(chǎn)制造等領(lǐng)域[1-3].實現(xiàn)控制系統(tǒng)高可靠性的一個主要手段是采用貯備技術(shù).目前,對于一些先進(jìn)生產(chǎn)制造企業(yè),具有雙貯備設(shè)備的控制系統(tǒng)已逐漸涌現(xiàn)并凸顯其作用[4].因此,對這些雙貯備系統(tǒng)的可靠性和經(jīng)濟(jì)性等指標(biāo)進(jìn)行定量分析和優(yōu)化具有重要的理論意義和實際價值.

貯備系統(tǒng)按照貯備設(shè)備在系統(tǒng)運(yùn)行時是否失效通常分為: 冷貯備系統(tǒng)、熱貯備系統(tǒng)和溫貯備系統(tǒng)[5-6].冷貯備系統(tǒng)是指系統(tǒng)運(yùn)行過程中,貯備設(shè)備不參與工作也不老化.對能耗要求極高的系統(tǒng)往往配成冷貯備系統(tǒng),如冶金系統(tǒng)、武器系統(tǒng)等[7].熱貯備系統(tǒng)是指運(yùn)行設(shè)備和貯備設(shè)備在相同的環(huán)境下工作,因此兩種設(shè)備的失效率相同.熱貯備系統(tǒng)主要是對系統(tǒng)切換時間要求極高的系統(tǒng),如網(wǎng)絡(luò)打印機(jī)、飛機(jī)引擎等系統(tǒng)[8-9].溫貯備系統(tǒng)是指貯備設(shè)備在系統(tǒng)工作期間參與工作,但在溫和的環(huán)境中工作其失效率小于運(yùn)行設(shè)備.對需要平衡切換時間和能耗的系統(tǒng)大都配成溫貯備系統(tǒng),如電力系統(tǒng)、存儲系統(tǒng)、高性能計算系統(tǒng)和飛機(jī)控制系統(tǒng)等[10-13].

由于三種貯備系統(tǒng)在不同應(yīng)用領(lǐng)域中都有重要的作用,因此學(xué)者們對每種貯備系統(tǒng)在故障檢測、失效分析、可靠性分析、冗余分配及優(yōu)化維修等方面都做了深入研究并取得了一定研究成果[14-15].在冷貯備系統(tǒng)研究方面,Chen 等[16]對兩部件冷貯備系統(tǒng)在不同失效機(jī)理的累積作用下進(jìn)行了可靠性分析.分析過程中作者考慮了部件工作狀態(tài)和貯備狀態(tài)之間的依賴關(guān)系,評估了系統(tǒng)在不同失效機(jī)理影響下的動態(tài)演化過程,計算了不同階段應(yīng)力持續(xù)影響下的部件損壞程度,最后建立了基于改進(jìn)的序列二值決策圖方法的系統(tǒng)可靠性模型.Zhong 等[17]對雙設(shè)備組成的冷貯備控制系統(tǒng)提出了基于半Markov理論的最優(yōu)預(yù)防維護(hù)策略.所提策略中作者使用再生點技術(shù)和半Markov 過程刻畫了系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率并用Markov 更新理論建立了系統(tǒng)每個狀態(tài)逗留時間分布的線性方程組,最后以最大化系統(tǒng)壽命為目標(biāo),優(yōu)化了系統(tǒng)最優(yōu)維護(hù)周期.Wang 等[18]研究了由雙設(shè)備組成的冷貯備系統(tǒng)的更換策略,首先假設(shè)系統(tǒng)惡化過程服從廣義Polya 過程,在此假設(shè)下,作者以最小化系統(tǒng)長期平均費用率(Cost rate)為目標(biāo)函數(shù),給出了系統(tǒng)的最優(yōu)更換策略.陳童等[19]針對裝備系統(tǒng)中多狀態(tài)工作部件存在退化失效與突發(fā)失效競爭的情況,以冷貯備系統(tǒng)為研究對象,研究隨機(jī)檢測策略.其中工作部件在各性能水平停留時間、各類維修時間等隨機(jī)時間變量以及外部沖擊的到達(dá)過程均采用相位型 (Phase-type,PH)分布進(jìn)行描述.在此基礎(chǔ)上,建立了多狀態(tài)冷貯備系統(tǒng)可靠性模型,得到了系統(tǒng)可靠性主要參數(shù)的解析表達(dá)式.在熱貯備系統(tǒng)研究方面,研究成果相對較少,原因在于熱貯備系統(tǒng)中的工作設(shè)備和貯備設(shè)備失效率相同且以并聯(lián)方式工作.因此熱貯備的可靠性可完全借鑒并聯(lián)系統(tǒng)的可靠性方法進(jìn)行分析.曹晉華等[20]利用Markov 更新過程和交替更新過程研究了兩個不同部件組成的熱貯備系統(tǒng),推導(dǎo)了系統(tǒng)首次失效時間與其后停工時間的聯(lián)合分布、修理工在任一時刻忙的概率以及在(0,t]內(nèi)系統(tǒng)失效率的分布及其均值等性能指標(biāo).Patowary 等[21]采用Markov模型結(jié)合故障樹分析(Fault tree analysis,FTA)方法研究了熱貯備微電網(wǎng)系統(tǒng)的可靠性,所提方法與傳統(tǒng)Markov 和FTA 方法相比能夠適應(yīng)不同的系統(tǒng)失效率.與冷貯備系統(tǒng)相比,溫貯備系統(tǒng)中的貯備設(shè)備在貯備期間也逐漸惡化存在失效風(fēng)險,但失效風(fēng)險小于熱貯備系統(tǒng).從貯備設(shè)備失效率角度看,冷貯備和熱貯備屬于溫貯備的兩個特例.因此溫貯備模型是更為一般的貯備模型,這也導(dǎo)致溫貯備系統(tǒng)的可靠性分析難度急劇增加.在溫貯備系統(tǒng)研究方面,近年來涌現(xiàn)出許多重要成果.Huang 等[22]以衛(wèi)星數(shù)據(jù)處理子系統(tǒng)為背景,研究了一類特殊結(jié)構(gòu)的溫貯備系統(tǒng),該類系統(tǒng)由兩組相同數(shù)量的不同部件組成,一組是工作部件,另一組是溫備份部件.兩組部件分別由兩個電源供電.對這類貯備系統(tǒng),作者給出了系統(tǒng)可靠度模型,建立了各個部件可靠度的閉合方程組,推導(dǎo)了系統(tǒng)可靠度的解析解.然而,該研究成果局限于各部件壽命都符合指數(shù)分布的情況,對其他壽命分布不再適用.Ma 等[23]研究了兩部件溫貯備冷卻系統(tǒng),采用多階段維納過程刻畫系統(tǒng)惡化趨勢,提出了基于溫度檢測數(shù)據(jù)的優(yōu)化維護(hù)模型.該模型中,同時考慮穩(wěn)態(tài)溫度控制和系統(tǒng)壽命閾值,優(yōu)化系統(tǒng)整體維護(hù)費用.尹東亮等[24]對具有維修和保養(yǎng)兩類活動的多狀態(tài)溫貯備系統(tǒng)進(jìn)行了研究,考慮了維修較保養(yǎng)具有更高優(yōu)先級的情況.用PH 分布構(gòu)建了系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,推導(dǎo)了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度、系統(tǒng)故障率、平均故障間隔時間等可靠性指標(biāo).劉寶亮等[25]研究了修理設(shè)備和開關(guān)不完全可靠情形下的溫貯備可修系統(tǒng),用補(bǔ)充變量法和Laplace 變換相結(jié)合的方式推導(dǎo)了系統(tǒng)瞬時可用度.該成果實際上是Kuo 等[26]研究成果的進(jìn)一步擴(kuò)展.

由此可見,關(guān)于三種類型貯備系統(tǒng)的可靠性問題學(xué)者們做了大量研究,同時取得了許多重要成果.然而這些成果大多是針對“用一備一”的情況進(jìn)行研究.隨著某些尖端系統(tǒng)對高可靠性的要求,“用一備二”的情形逐漸涌現(xiàn).對該類系統(tǒng)的研究也剛剛起步,其研究成果也鮮有報道.目前,我國某自動化廠商已經(jīng)開始研發(fā)具有雙貯備設(shè)備(即“用一備二”)的控制系統(tǒng),對該種控制系統(tǒng)配成冷/溫/熱三種模型中的何種模型是研發(fā)過程中需要解決的關(guān)鍵問題之一,具有現(xiàn)實意義.原因在于最優(yōu)貯備模型可以提高系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度(即可靠性),降低維修人員忙期穩(wěn)態(tài)概率以及系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)平均維修次數(shù),延長系統(tǒng)壽命.除此之外,在經(jīng)濟(jì)方面最優(yōu)貯備模型還能降低系統(tǒng)維修費用,提高系統(tǒng)單位時間內(nèi)產(chǎn)生的效益.然而據(jù)作者查閱大量相關(guān)文獻(xiàn)可知,目前關(guān)于雙貯備系統(tǒng)的最優(yōu)貯備模型選擇方面研究甚少,沒有可借鑒的通用方法.因此如何建立系統(tǒng)三種貯備模型并給出確定不同條件下最優(yōu)貯備模型的優(yōu)化選擇算法是主要研究難點.為此,本文用Markov 及半Markov 更新理論結(jié)合Laplace 及Laplace-Stieltjes 變換技術(shù)分析系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率和系統(tǒng)再生狀態(tài)的平均逗留時間,推導(dǎo)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度、維修人員忙期穩(wěn)態(tài)概率和系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)維修次數(shù)的可靠性指標(biāo)以及系統(tǒng)單位時間內(nèi)凈收益的經(jīng)濟(jì)指標(biāo),給出確定不同條件下貯備模型的優(yōu)化選擇算法.

為便于理解,模型中主要變量和符號如表1 和表2 所示.

表1 模型中主要變量說明Table 1 Main variables involved in models

表2 模型中主要符號說明Table 2 Main symbols involved in models

1 系統(tǒng)冷貯備模型分析

該模型下系統(tǒng)由三個同類型的設(shè)備組成,其中一個運(yùn)行,另外兩個冷貯備(即貯備期間設(shè)備既不失效也不老化).令隨機(jī)變量X表示設(shè)備在運(yùn)行期間的壽命,Z表示失效設(shè)備的維修時間.因為電子設(shè)備的壽命多數(shù)服從指數(shù)分布或近似服從指數(shù)分布[27],而失效設(shè)備的維修時間由多種因素決定,如維修人員的維修水平、失效設(shè)備的復(fù)雜程度以及維修工具的先進(jìn)性等因素.因此維修時間往往不服從某一特定類型的分布[28].所以設(shè)運(yùn)行設(shè)備壽命服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布F(t,λ),失效設(shè)備維修時間服從一般分布G(t),即X～F(t,λ),Z～G(t).經(jīng)分析,此系統(tǒng)共有6 個不同狀態(tài):

為了建立系統(tǒng)在再生狀態(tài)下的更新方程,需要將這些狀態(tài)進(jìn)行狀態(tài)劃分.根據(jù)X～F(t,λ),Z～G(t),通過分析易知,系統(tǒng)進(jìn)入狀態(tài)S0,S1,S2,S3和S4的時刻均是系統(tǒng)的再生時刻(又稱再生點),而進(jìn)入狀態(tài)S5的時刻是非再生時刻.因此S0,S1,S2,S3和S4是再生狀態(tài),S5是非再生狀態(tài)(又稱滑過狀態(tài))且是失效狀態(tài).狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移關(guān)系如圖1所示.

圖1 冷貯備系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖Fig.1 State transition diagram of the cold-standby system

1.1 系統(tǒng)半Markov 核函數(shù)

令X(t)=Sj表示時刻t系統(tǒng)處于狀態(tài)Sj,Tn表示系統(tǒng)第n次狀態(tài)轉(zhuǎn)移時刻,Zn=X(Tn+0)表示第n次轉(zhuǎn)移時刻系統(tǒng)進(jìn)入的狀態(tài),容易驗證{Zn,Tn,n ∈N} 是狀態(tài)空間E={Sj|j=0,···, 5} 上的Markov 更新過程,{X(t),t≥0} 是半Markov過程.因此需對系統(tǒng)的半Markov 核函數(shù)Qij(t),i,j=0,···, 5進(jìn)行分析.如圖1 所示.

1)當(dāng)系統(tǒng)處于S0時,如果運(yùn)行設(shè)備失效,則其中一個冷貯備設(shè)備被立刻激活,此時系統(tǒng)轉(zhuǎn)移至S1.因此,Q01(t)可表示為

2)當(dāng)系統(tǒng)處于S1時,如果冷貯備設(shè)備激活完成,則該設(shè)備進(jìn)入運(yùn)行狀態(tài),且失效設(shè)備進(jìn)入維修狀態(tài).此時系統(tǒng)轉(zhuǎn)移至S2.因此,Q12(t)可表示為

3)當(dāng)系統(tǒng)處于S2時,此時有下述兩種情況:

a)如果維修設(shè)備在運(yùn)行設(shè)備失效前修好,則系統(tǒng)轉(zhuǎn)移至S0.因此,Q20(t)可表示為

b)反之,如果運(yùn)行設(shè)備在維修設(shè)備修好前失效,則該設(shè)備進(jìn)入等待維修狀態(tài)且維修設(shè)備立刻暫停維修,冷貯備設(shè)備被激活.此時系統(tǒng)轉(zhuǎn)移至S3.因此,Q23(t)可表示為

4)當(dāng)系統(tǒng)處于S3時,冷貯備設(shè)備激活完成時,該設(shè)備進(jìn)入運(yùn)行狀態(tài),暫停維修的設(shè)備開始繼續(xù)維修,此時系統(tǒng)轉(zhuǎn)移至 S4.因此,Q34(t)可表示為

5)當(dāng)系統(tǒng)處于S4時,此時有下述兩種情況:

a)如果維修設(shè)備在運(yùn)行設(shè)備失效前修好,則修好后的設(shè)備進(jìn)入冷貯備狀態(tài),等待維修的設(shè)備開始維修,此時系統(tǒng)進(jìn)入S2.因此,Q42(t)可表示為

b)反之,如果運(yùn)行設(shè)備在維修設(shè)備修好前失效,則系統(tǒng)轉(zhuǎn)移至S5.因此,Q45(t)可表示為

1.2 系統(tǒng)所有再生狀態(tài)的平均逗留時間

令μi和Fi(t),i=0,1,2,3,4,分別表示系統(tǒng)在狀態(tài)Si的平均逗留時間和概率分布函數(shù).令Pi(t)表示系統(tǒng)在狀態(tài)Si的存活函數(shù),即Pi(t)=1-Fi(t)=(t).對每個狀態(tài)的平均逗留時間μi進(jìn)行分析可得

1.3 系統(tǒng)性能指標(biāo)

對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度、維修人員穩(wěn)態(tài)忙期概率以及系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)平均維修次數(shù)三個性能指標(biāo)進(jìn)行分析.

1.3.1 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度

設(shè)當(dāng)前時刻系統(tǒng)處于狀態(tài)S0,經(jīng)過時間t后,根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)是否發(fā)生變化,存在兩種情況: 1)如果沒有發(fā)生變化,即系統(tǒng)依然停留在S0,此種情況可表示為P {X ≥t}.此時系統(tǒng)的瞬時可用度為A0(t)=P {X ≥t}·1=P {X ≥t}.2)如果系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生變化,如圖1 所示系統(tǒng)只能轉(zhuǎn)移到S1.此時根據(jù)Markov 更新理論,系統(tǒng)瞬時可用度為

其中,符號 “?” 表示卷積運(yùn)算符.根據(jù)概率加法原理可得:A0(t)=Q01(t)?A1(t)+P{X ≥t}.同理可得系統(tǒng)在其余再生狀態(tài)S1,S2,S3,S4下的瞬時可用度更新方程.從而系統(tǒng)瞬時可用度的更新方程組為

對式(13)進(jìn)行Laplace 變換得

解式(14)可得

根據(jù)Abel 定理,系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度為

1.3.2 維修人員穩(wěn)態(tài)忙期概率

與第1.3.1 節(jié)類似,首先建立維修人員在t時刻忙期的瞬時概率更新方程組

對式(17)進(jìn)行Laplace 變換得

解式(18)可得

根據(jù)Abel 定理,維修人員穩(wěn)態(tài)忙期概率為

1.3.3 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)平均維修次數(shù)

同理,建立系統(tǒng)在 (0,t] 時間內(nèi)維修次數(shù)的更新方程組

對式(21)進(jìn)行Laplace-Stieltjes 變換得

解式(22)可得

其中,Γ4(s)和 Γ6(s)與式(19)中相同.

根據(jù)Abel 定理,可得系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)平均維修次數(shù)為

其中,NV=p23+p42.

1.3.4 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)激活概率

建立系統(tǒng)在t時刻的激活概率更新方程組

對式(25)進(jìn)行Laplace 變換得

解式(26)可得

Γ6(s)與式(19)中相同.

根據(jù)Abel 定理,系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)激活概率為

1.4 系統(tǒng)單位時間內(nèi)產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)效益

系統(tǒng)單位時間內(nèi)的經(jīng)濟(jì)效益 Θ1等于系統(tǒng)的運(yùn)行收益減去設(shè)備的維修費用、支付給維修人員的費用、系統(tǒng)激活期間的停工費用以及系統(tǒng)的安裝費用.因此

其中,c0,c1,c2,c3分別表示系統(tǒng)單位時間內(nèi)的運(yùn)行收益、設(shè)備維修費用、支付給維修人員的費用、停工費用,I表示一個設(shè)備的安裝費用.

2 系統(tǒng)溫貯備模型分析

該模型下系統(tǒng)由三個同類型的設(shè)備組成,其中一個設(shè)備運(yùn)行,另外兩個設(shè)備溫貯備(即貯備設(shè)備在溫和的環(huán)境下運(yùn)行,其失效率低于運(yùn)行設(shè)備).令隨機(jī)變量Xi,i=1,2,3 表示第i個設(shè)備在運(yùn)行期間的壽命,Yi表示第i個設(shè)備在貯備期間的壽命,Zi表示第i個設(shè)備失效后的維修時間,F(t,λ)表示參數(shù)為λ的指數(shù)分布,G(t)和G1(t)表示一般分布.假設(shè)運(yùn)行設(shè)備和溫貯備設(shè)備的壽命分別服從參數(shù)為λ和λ1的指數(shù)分布,即Xi～F(t,λ),Yi～F(t,λ1).運(yùn)行設(shè)備和溫貯備設(shè)備失效后的維修時間均服從一般分布,但實際系統(tǒng)中這兩種維修時間往往不同,需要分別考慮.因此,如果Zi是運(yùn)行設(shè)備失效后的維修時間,則Zi～G(t);反之,如果Zi是溫貯備設(shè)備失效后的維修時間,則Zi～G1(t).為了便于描述模型,進(jìn)一步假設(shè):

1)X1,X2,X3,Y1,Y2相互獨立.

2)系統(tǒng)不同狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移是瞬時的.

3)設(shè)備失效后,如果沒有其他設(shè)備正在維修,則維修人員立刻對該設(shè)備進(jìn)行維修;否則,該設(shè)備進(jìn)入等待狀態(tài)直到其他設(shè)備維修完成.設(shè)備修復(fù)后,其壽命分布像新的設(shè)備一樣.

經(jīng)分析可得系統(tǒng)共有13 個狀態(tài):

與冷貯備模型分析過程相同,經(jīng)分析可得:S0,S1,S2,S7和S12是再生狀態(tài);S3,S4,S5,S6,S8,S9,S10和S11是非再生狀態(tài);S5,S6,S8和S11是失效狀態(tài).狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移關(guān)系如圖2 所示.

圖2 溫貯備系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖Fig.2 State transition diagram of the warm-standby system

2.1 系統(tǒng)半Markov 核函數(shù)

與第1.1 節(jié)類似,經(jīng)分析可得溫貯備模型下系統(tǒng)所有半Markov 核函數(shù)為(具體分析過程見附錄A)

2.2 系統(tǒng)在所有再生狀態(tài)的平均逗留時間

與第1.2 節(jié)類似,經(jīng)分析可得系統(tǒng)在每個再生狀態(tài)的平均逗留時間μi,i=0,1,2,7,12 為(具體分析過程見附錄B)

2.3 系統(tǒng)性能指標(biāo)

本節(jié)對系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度、維修人員穩(wěn)態(tài)忙期概率和系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)平均維修次數(shù)三個性能指標(biāo)進(jìn)行分析.

2.3.1 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度

與第1.3.1 節(jié)類似,經(jīng)分析可得系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度為

2.3.2 維修人員穩(wěn)態(tài)忙期概率

與第1.3.2 節(jié)類似,經(jīng)分析可得維修人員穩(wěn)態(tài)忙期概率為

2.3.3 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)平均維修次數(shù)

與第1.3.3 節(jié)類似,經(jīng)分析可得系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)平均維修次數(shù)為

2.4 系統(tǒng)單位時間內(nèi)產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)收益

與第1.4 節(jié)類似,溫貯備系統(tǒng)單位時間內(nèi)產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)效益 Θ2可表示為

其中,參數(shù)c4,c5,c6的含義分別與式(29)中的c0,c1,c2相同.

3 系統(tǒng)熱貯備模型分析

雙貯備設(shè)備下熱貯備系統(tǒng)實質(zhì)上是三個設(shè)備以并聯(lián)的方式工作.該模型中不考慮某個設(shè)備失效后負(fù)載均衡對其他運(yùn)行設(shè)備失效率造成的影響.因此三個設(shè)備的失效率和維修率均視為相同.實際上,該模型的分析方法與溫貯備系統(tǒng)模型的分析方法相同,在分析過程中只需令λ1=λ,β1=β即可.因此,該模型的分析過程略.下面只給出系統(tǒng)單位時間內(nèi)的凈收益函數(shù)

其中,參數(shù)c7,c8,c9的含義分別與式(29)中的c0,c1,c2相同.

4 系統(tǒng)冷/溫/熱貯備模型優(yōu)化選擇算法

從系統(tǒng)性能指標(biāo)(即穩(wěn)態(tài)可用度、維修人員穩(wěn)態(tài)忙期概率、系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)平均維修次數(shù))以及經(jīng)濟(jì)指標(biāo)(即系統(tǒng)單位時間內(nèi)凈收益)兩個方面,分別給出雙貯備系統(tǒng)冷/溫/熱貯備模型的優(yōu)化選擇算法.

算法 1.以系統(tǒng)性能為目標(biāo)的雙貯備系統(tǒng)冷/溫/熱貯備模型優(yōu)化選擇算法

算法 2.以系統(tǒng)單位時間內(nèi)凈收益為目標(biāo)的雙貯備系統(tǒng)冷/溫/熱貯備模型優(yōu)化選擇算法

5 實例分析

以實際的雙貯備PLC (Programmable logic controller)控制系統(tǒng)(如圖3 所示)為研究對象,進(jìn)行實例分析.從系統(tǒng)性能指標(biāo),即系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度、維修人員穩(wěn)態(tài)忙期概率、系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)平均維修次數(shù),以及經(jīng)濟(jì)指標(biāo),即系統(tǒng)單位時間內(nèi)凈收益兩個方面,對系統(tǒng)貯備模型優(yōu)化算法的輸入?yún)?shù)進(jìn)行假設(shè).

圖3 雙貯備冗余控制系統(tǒng)Fig.3 Redundancy control system with dual-standby device

為了給出合理的參數(shù)假設(shè),首先對圖3 所示的系統(tǒng)進(jìn)行簡要描述.該P(yáng)LC 控制系統(tǒng)是我國某自動化廠商自主研制的高可靠雙貯備控制系統(tǒng).系統(tǒng)中每個PLC 設(shè)備經(jīng)過加速壽命測試后得到平均工作壽命約為1800 天,因此運(yùn)行設(shè)備的平均失效率設(shè)為λ=0.00055 (個/天).溫貯備設(shè)備失效率與工作環(huán)境有關(guān),設(shè)其為λ1∈[0.00001,0.00055] (個/天).維修時間一般服從指數(shù)分布,即G(t)=1-e-βt,.其中參數(shù)β,β1分別表示運(yùn)行設(shè)備和溫貯備設(shè)備失效后的平均維修率.實際上,設(shè)備失效后需要返廠、檢測、維修、測試、現(xiàn)場安裝調(diào)試、重新運(yùn)行等環(huán)節(jié).因此根據(jù)設(shè)備歷史維修數(shù)據(jù)可得運(yùn)行設(shè)備失效后從返廠到重新運(yùn)行約為7～30 天,溫貯備設(shè)備約為5 到15 天.因此設(shè)β ∈[0.03,0.14](個/天),β1=[0.067,0.2] (個/天).該系統(tǒng)如果配成冷貯備模式,則當(dāng)運(yùn)行設(shè)備失效后,冷貯備設(shè)備能夠自動上電并上載控制程序以及導(dǎo)入設(shè)備失效前的數(shù)據(jù),整個激活過程需要3 min 左右.通過對歷史激活數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析可得貯備設(shè)備激活時間服從正態(tài)分布,即

其中,參數(shù)γ和σ分別代表均值和方差.因此設(shè)γ=0.0021 (天),σ=0.0007.

5.1 以系統(tǒng)性能為目標(biāo)的實例分析

5.1.1 以穩(wěn)態(tài)可用度為目標(biāo)的實例分析

令λ=0.00055,λ1=0.00011,β=0.05,β1=0.1,γ=0.0021,σ=0.0007,系統(tǒng)性能指標(biāo)為穩(wěn)態(tài)可用度.將這些參數(shù)代入算法1,在MATLAB (2014b)環(huán)境下運(yùn)行算法1 (公式推導(dǎo)部分利用MATLAB的符號計算),其計算結(jié)果如表3 所示.

表3 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度Table 3 System steady-state availability

表3 中,模型I、模型II 和模型III 分別表示冷貯備模型、溫貯備模型和熱貯備模型.由表3 可知,.因此以系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度為目標(biāo)時,算法1 輸出為: 冷貯備是最優(yōu)貯備模型.由于溫貯備設(shè)備的失效率與其工作環(huán)境有關(guān),因此屬于可變參數(shù),為了研究該參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度的影響,令λ1從 0.00001 變化到 0.00055,步長為 0.00001,其他參數(shù)不變.將這些參數(shù)重新代入算法1,其計算結(jié)果如圖4 所示.

圖4 λ1 對三個模型的穩(wěn)態(tài)可用度的影響Fig.4 Impact of λ1 on steady-state available of the three models

由圖4 可知,溫貯備系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度隨λ1的增加而降低.?λ1∈[0.00001,0.00055],溫貯備系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度均小于冷貯備系統(tǒng),但均大于熱貯備系統(tǒng).可見溫貯備設(shè)備的失效率對溫貯備系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度有一定影響,但對算法1 輸出結(jié)果即最優(yōu)貯備模型沒有影響.

5.1.2 以維修人員忙期穩(wěn)態(tài)概率為目標(biāo)的實例分析

參數(shù)λ,λ1,β,β1,γ,σ取值與第5.1.1 節(jié)相同,系統(tǒng)性能指標(biāo)為維修人員忙期穩(wěn)態(tài)概率.將這些參數(shù)代入算法1,其計算結(jié)果如表4 所示.

表4 維修人員忙期穩(wěn)態(tài)概率Table 4 Steady-state probability of repairmen busy

由表4 可知,.因此以維修人員穩(wěn)態(tài)忙期概率為目標(biāo)時,算法1 輸出結(jié)果為: 冷貯備是最優(yōu)貯備模型.實際上,運(yùn)行設(shè)備和溫貯備設(shè)備失效后的維修率(即參數(shù)β,β1)對維修人員穩(wěn)態(tài)忙期概率有直接影響,因此,令β∈[0.03,0.14],β1=[0.067,0.2],兩個參數(shù)的變化步長均設(shè)為0.005,其他參數(shù)不變,研究β對,的影響以及β,β1對的影響.其結(jié)果分別如圖5 和圖6 所示.

圖5 運(yùn)行設(shè)備維修率對冷、熱貯備系統(tǒng)中維修人員穩(wěn)態(tài)忙期概率的影響Fig.5 Impact of repair rates for the working device on steady-state probability of repairmen busy for cold,hot-standby system

圖6 運(yùn)行設(shè)備和溫貯備設(shè)備的維修率對溫貯備系統(tǒng)中維修人員穩(wěn)態(tài)忙期概率的影響Fig.6 Impact of repair rates for the working and warm-standby devices on steady-state probability of repairmen busy for warm-standby system

圖7 設(shè)備維修率對冷、熱貯備系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)平均維修次數(shù)的影響Fig.7 Impact of repair rate on mean repair number of the cold,hot-standby systems in steady-state

圖8 運(yùn)行設(shè)備的維修率和溫貯備設(shè)備的失效率對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)平均維修次數(shù)的影響Fig.8 Impact of repair rate of the working device and failure rate of the warm-standby device on repair number of the system in steady-state

由圖5 可知,在參數(shù)β的取值范圍內(nèi)變化時,均小于.說明以維修人員穩(wěn)態(tài)忙期概率為目標(biāo)時,算法1 輸出是: 冷貯備是最優(yōu)貯備模型.由圖6 可知,隨β,β1的增大呈非線性減小.從數(shù)值計算結(jié)果可知: 當(dāng)β取值相同時,總成立.說明在相同的運(yùn)行設(shè)備維修率下,算法1輸出依然是: 冷貯備是最優(yōu)貯備模型.

5.1.3 以系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)平均維修次數(shù)為目標(biāo)的實例分析

參數(shù)λ,λ1,β,β1,γ,σ取值與第5.1.1 節(jié)相同,系統(tǒng)性能指標(biāo)為系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)平均維修次數(shù).將這些參數(shù)代入算法1.其計算結(jié)果如表5 所示.

表5 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)平均維修次數(shù)Table 5 Mean repair number of the system in steady-state

5.2 以系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)效益為目標(biāo)的實例分析

根據(jù)系統(tǒng)應(yīng)用案例中的歷史財務(wù)數(shù)據(jù)和歷史維修費用記錄,給出三個模型下凈收益中費用的合理范圍: 設(shè)c0,c4,c7∈ [1000,5000] (元/h),c1,c5,c8∈[300,500] (元/h),c2,c6,c9∈[300,700] (元/h).實際上,冷貯備系統(tǒng)激活期間的停機(jī)對于不同行業(yè)的生產(chǎn)制造企業(yè)帶來的經(jīng)濟(jì)損失或產(chǎn)生的費用大相徑庭、難以估計.但根據(jù)使用該系統(tǒng)的某生產(chǎn)企業(yè)的停機(jī)記錄,停機(jī)費用的合理范圍為:c3∈[500,1000](元/h),系統(tǒng)安裝費用的合理范圍為:I ∈[100,300](元/h).

5.2.1 以系統(tǒng)單位時間內(nèi)運(yùn)行收益為研究對象

令參數(shù)λ,λ1,β,β1,γ,σ取值與第5.1.1 節(jié)相同,令參數(shù)c1=400,c2=500,c3=800,c5=100,c6=200,c8=300,c9=500,I=200,c0,c4,c7∈[1000,5000].將以上參數(shù)代入算法2,其計算結(jié)果如下.

對于情況a),化簡后最終不等式為

該不等式在?c0,c4,c7∈[1000,5000] 取值范圍內(nèi)有解,即 Θ1≥max(Θ2,Θ3)成立,此時算法2輸出結(jié)果是: 冷貯備是最優(yōu)貯備模型.

對于情況b),化簡后的最終不等式為

該不等式在?c0,c4,c7∈[1000,5000] 取值范圍內(nèi)有解,即 Θ2≥max(Θ1,Θ3)成立,此時算法2輸出結(jié)果是: 溫貯備是最優(yōu)貯備模型.

對于情況c),化簡后最終不等式為

該不等式在?c0,c4,c7∈[1000,5000] 取值范圍內(nèi)有解,即 Θ3≥max(Θ1,Θ2)成立,此時算法2輸出結(jié)果是: 熱貯備是最優(yōu)貯備模型.

5.2.2 以系統(tǒng)單位時間內(nèi)設(shè)備維修費用為研究對象

令c0=3000,c4=3000,c7=3000,c1,c5,c8∈[300,500],其他參數(shù)與第5.2.1 節(jié)相同.將以上參數(shù)代入算法2,其計算結(jié)果如下.

對于情況a),化簡后的最終不等式為

該不等式在?c1,c5,c8∈[300,500] 取值范圍內(nèi)恒成立,即 Θ1≥max(Θ2,Θ3)恒成立,此時算法2輸出結(jié)果是: 冷貯備是最優(yōu)貯備模型.

對于情況b)和情況c),化簡后分別得最終不等式為

然而,在?c1,c5,c8∈[300,500] 取值范圍內(nèi),以上兩個不等式均無解.即,Θ2≥max(Θ1,Θ3)和Θ3≥max(Θ1,Θ2)均不成立,此時算法2 無輸出.說明以系統(tǒng)單位時間內(nèi)設(shè)備維修費用為研究對象時,無論參數(shù)如何取值,冷貯備均是最優(yōu)貯備模型.

5.2.3 以單位時間內(nèi)支付給維修人員的費用為研究對象

令c0=3000,c4=3000,c7=3000,c2,c6,c9∈[300,700],其他參數(shù)取值與第5.2.1 節(jié)相同.將以上參數(shù)代入算法2,其計算結(jié)果如下.

對于情況a),化簡后的最終不等式為

該不等式在?c2,c6,c9∈[300,700] 取值范圍內(nèi)恒成立,即 Θ1≥max(Θ2,Θ3)恒成立.此時算法2輸出結(jié)果是: 冷貯備是最優(yōu)貯備模型.

對于情況b)和情況c),化簡后分別得到的最終不等式為

然而,在?c2,c6,c9∈[300,700] 取值范圍內(nèi),以上兩個不等式均無解,即 Θ2≥max(Θ1,Θ3)和Θ3≥max(Θ1,Θ2)均不成立.此時算法2 無輸出.說明以系統(tǒng)單位時間內(nèi)支付給維修人員費用為研究對象時,無論參數(shù)如何取值,冷貯備均是最優(yōu)貯備模型.

6 結(jié)束語

針對選擇哪種貯備模型才能使雙貯備系統(tǒng)實現(xiàn)性能和經(jīng)濟(jì)效益最優(yōu)的問題,本文創(chuàng)新性地提出了雙貯備系統(tǒng)貯備模型優(yōu)化選擇算法.通過分析系統(tǒng)狀態(tài)及半Markov 核函數(shù)分別建立了系統(tǒng)冷/溫/熱貯備模型下的更新方程組,利用Laplace、Laplace-Stieltjes 變換技術(shù)和Abel 定理求得了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度、維修人員穩(wěn)態(tài)忙期概率和系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)平均維修次數(shù)的系統(tǒng)性能指標(biāo),并給出了系統(tǒng)單位時間內(nèi)凈收益的目標(biāo)函數(shù),之后通過模型對比分析給出了分別以系統(tǒng)性能指標(biāo)和經(jīng)濟(jì)指標(biāo)為目標(biāo)的系統(tǒng)貯備模型優(yōu)化選擇算法.最后以實際的國產(chǎn)雙貯備控制系統(tǒng)作為研究對象,對所提算法進(jìn)行實例分析,實例結(jié)果表明所提算法能夠有效地確定系統(tǒng)在不同條件下的最優(yōu)貯備模型.本文是在系統(tǒng)確定參數(shù)或確定參數(shù)變化范圍的情況下進(jìn)行研究的.然而對于某些實際的工業(yè)現(xiàn)場,現(xiàn)場環(huán)境復(fù)雜,系統(tǒng)部分參數(shù)無法測量,這些參數(shù)屬于不確定參數(shù).對具有不確定參數(shù)的雙貯備系統(tǒng)如何進(jìn)行分析、建模并給出貯備模型的優(yōu)化選擇算法是下一步重點研究的問題.

附錄A

對溫貯備模型下系統(tǒng)所有半Markov 核函數(shù)進(jìn)行分析如下.

1)當(dāng)系統(tǒng)處于S0時,如果其中一個溫貯備設(shè)備先于運(yùn)行設(shè)備失效,則系統(tǒng)轉(zhuǎn)移至S1.此時有

反之,如果運(yùn)行設(shè)備先于溫貯備設(shè)備失效,則系統(tǒng)轉(zhuǎn)移至S2.此時有

2)當(dāng)系統(tǒng)處于S1時,此時有下述幾種情況:

a)如果失效設(shè)備在運(yùn)行設(shè)備和溫貯備設(shè)備失效前已修好,則系統(tǒng)轉(zhuǎn)移至S0.此時有

b)如果溫貯備設(shè)備在失效設(shè)備修好前失效且在該失效時刻運(yùn)行設(shè)備依然運(yùn)行,則系統(tǒng)轉(zhuǎn)移至S3,然而由于S3是非再生狀態(tài),因此當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入S3后會再次轉(zhuǎn)移至哪些狀態(tài)需要分別考慮.

c)如果維修設(shè)備在運(yùn)行設(shè)備失效前已修好,則系統(tǒng)由S3轉(zhuǎn)移至S1,此時有

d)如果運(yùn)行設(shè)備在失效設(shè)備修好前失效,則系統(tǒng)將由S3再次轉(zhuǎn)移至S5,此時有

e)當(dāng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)移至S5后,正在維修的設(shè)備修好后,系統(tǒng)將轉(zhuǎn)移至S7.此時有

當(dāng)系統(tǒng)處于S1時,如果運(yùn)行設(shè)備在維修設(shè)備修好前失效且在失效時刻溫貯備設(shè)備沒有失效,則系統(tǒng)轉(zhuǎn)移至S4.由于S4是非再生狀態(tài),因此系統(tǒng)由S4轉(zhuǎn)移至哪些狀態(tài)需要分別考慮.

f)如果失效設(shè)備在運(yùn)行設(shè)備失效前已修好,則系統(tǒng)將由S4轉(zhuǎn)移至S2.此時有

g)反之,如果運(yùn)行設(shè)備在失效設(shè)備修好前失效,則系統(tǒng)將由S4轉(zhuǎn)移至S6.此時有

h)當(dāng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)移至S6后,正在維修的設(shè)備修好后,系統(tǒng)將轉(zhuǎn)移至S7.此時有

3)當(dāng)系統(tǒng)處于S2時,此時有下述幾種情況:

a)如果維修設(shè)備在運(yùn)行設(shè)備和溫貯備設(shè)備失效前已修好,則系統(tǒng)轉(zhuǎn)移至S0.此時有

b)如果溫貯備設(shè)備在維修設(shè)備修好前失效,且在失效時刻運(yùn)行設(shè)備正常運(yùn)行,則系統(tǒng)轉(zhuǎn)移至S10,由于S10是非再生狀態(tài),因此系統(tǒng)由S10轉(zhuǎn)移至哪些狀態(tài)需要分別考慮.

c)如果維修設(shè)備在運(yùn)行設(shè)備失效前已修好,則系統(tǒng)由S10轉(zhuǎn)移至S1.此時有

d)反之,如果運(yùn)行設(shè)備在維修設(shè)備修好前失效,則系統(tǒng)由S10轉(zhuǎn)移至S11.此時有

e)當(dāng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)移至S11后,維修設(shè)備修好后,系統(tǒng)轉(zhuǎn)移至S12.此時有

當(dāng)系統(tǒng)處于S2時,如果運(yùn)行設(shè)備在維修設(shè)備修好前失效且在失效時刻溫貯備設(shè)備沒有失效,則系統(tǒng)轉(zhuǎn)移至S9.由于S9是非再生狀態(tài),因此由S9轉(zhuǎn)移至哪些狀態(tài)需要分別考慮.

f)如果維修設(shè)備在運(yùn)行設(shè)備失效前已修好,則系統(tǒng)由S9轉(zhuǎn)移至S2.此時有

g)如果運(yùn)行設(shè)備在維修設(shè)備修好前失效,則系統(tǒng)由S9轉(zhuǎn)移至S8.系統(tǒng)處于S8后,維修設(shè)備修好后,系統(tǒng)由S8轉(zhuǎn)移至S7.此時有

4)當(dāng)系統(tǒng)處于S7時,此時有下述幾種情況:

a)如果正在維修的設(shè)備在運(yùn)行設(shè)備失效前已修好,則系統(tǒng)轉(zhuǎn)移至S2.此時有

b)反之,如果運(yùn)行設(shè)備在維修設(shè)備修好前失效,則系統(tǒng)轉(zhuǎn)移至S6.系統(tǒng)處于S6后,當(dāng)維修設(shè)備修好后,系統(tǒng)由S6轉(zhuǎn)移至S7.此時有

5)當(dāng)系統(tǒng)處于S12時,此時有下述幾種情況:a)如果維修設(shè)備在運(yùn)行設(shè)備失效前已修好,則系統(tǒng)轉(zhuǎn)移至S2,此時有

b)反之,如果運(yùn)行設(shè)備在維修設(shè)備修好前失效,則系統(tǒng)轉(zhuǎn)移至S6.系統(tǒng)處于S6后,當(dāng)維修設(shè)備修好后,系統(tǒng)由S6轉(zhuǎn)移至S7.此時有

附錄B

對溫貯備模型在所有再生狀態(tài)的平均逗留時間進(jìn)行分析如下.

1)從系統(tǒng)進(jìn)入S0開始(t=0),經(jīng)過時間t后,如果運(yùn)行設(shè)備和溫貯備設(shè)備均未失效,則有

2)從系統(tǒng)進(jìn)入S1開始(t=0),經(jīng)過時間t后,如果運(yùn)行設(shè)備和溫貯備設(shè)備沒有失效,且正在維修的設(shè)備沒有修好,則有

3)從系統(tǒng)進(jìn)入S2開始(t=0),經(jīng)過時間t后,如果運(yùn)行設(shè)備和溫貯備設(shè)備沒有失效,且正在維修的設(shè)備沒有修好,則有

4)從系統(tǒng)進(jìn)入S7開始(t=0),經(jīng)過時間t后,如果運(yùn)行設(shè)備沒有失效且正在維修的設(shè)備沒有修好,則有

5)從系統(tǒng)進(jìn)入S12開始(t=0),經(jīng)過時間t后,如果運(yùn)行設(shè)備沒有失效且正在維修的設(shè)備沒有修好,則有