任俊卿 ，肖明 ?，劉國慶

（1.武漢大學(xué) 水資源工程與調(diào)度全國重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430072；2.中國水利水電科學(xué)研究院 流域水循環(huán)模擬與調(diào)控國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100048）

巖石是一種復(fù)雜的礦物集合材料，普遍包含節(jié)理、裂隙等原生結(jié)構(gòu)面，甚至有斷層穿過［1］.表現(xiàn)出復(fù)雜的非連續(xù)、非均質(zhì)、各向異性等非線性特征.其力學(xué)特性和損傷演化機(jī)理對巖土工程的損傷破壞與防災(zāi)減災(zāi)研究具有重要的理論意義與工程價(jià)值.與連續(xù)介質(zhì)數(shù)值方法相比，PFC（Particle Flow Code，顆粒流程序）能夠合理模擬巖土大變形，可在細(xì)觀尺度再現(xiàn)巖石中裂紋的萌生、擴(kuò)展及匯合過程，是研究巖石損傷與破壞機(jī)理的有效數(shù)值手段和重要理論突破.

選擇合理可靠的輸入?yún)?shù)是準(zhǔn)確進(jìn)行數(shù)值模擬的前提，因此PFC 細(xì)觀參數(shù)標(biāo)定問題一直以來都是巖土工程數(shù)值模擬中的熱點(diǎn)與難點(diǎn)，大量的細(xì)觀參數(shù)使得其成為復(fù)雜的高維非線性問題，導(dǎo)致計(jì)算成本過高，模型可解釋性不足等缺陷，限制了PFC 數(shù)值模擬方法的應(yīng)用與發(fā)展.因此在研究時(shí)對冗余的細(xì)觀變量進(jìn)行合理剔除，化繁為簡，尋找一種精度高、變量少且易于計(jì)算和解釋的輕量化分析方法并應(yīng)用于PFC參數(shù)標(biāo)定問題中尤為重要.

宏細(xì)觀參數(shù)間的相關(guān)關(guān)系與內(nèi)在關(guān)聯(lián)是PFC 標(biāo)定研究的基礎(chǔ)［2］.趙國彥等［3］和Chen［4］應(yīng)用理論和數(shù)值方法研究了PFC 不同接觸模型宏細(xì)觀參數(shù)間的相關(guān)關(guān)系，建立了兩種尺度參數(shù)間的半定量函數(shù)模型，提升了傳統(tǒng)試錯(cuò)法的標(biāo)定效率；張國凱［5］等、Shi等［6］研究了簇顆粒幾何特征及裂紋分布對巖石宏觀力學(xué)行為的影響；叢宇［7］等、阿比爾的等［8］較全面的探索了巖土材料宏細(xì)觀參數(shù)的相關(guān)性，考慮了細(xì)觀參數(shù)對巖石的剪切力學(xué)行為的影響.

在宏細(xì)觀參數(shù)標(biāo)定方法方面，目前主要有基于優(yōu)化技術(shù)、數(shù)據(jù)挖掘、機(jī)器學(xué)習(xí)等技術(shù)的方法，如楊文劍等［9］提出了碎石類材料的細(xì)觀參數(shù)標(biāo)定方法.Yoon［10］和鄧樹新等［11］采用中心復(fù)合試驗(yàn)設(shè)計(jì)和優(yōu)化技術(shù)相結(jié)合的方法獲得了巖石材料宏細(xì)觀參數(shù)間的定量關(guān)系，該方法對多種巖石（硬巖、軟巖）均有良好的標(biāo)定效果；Zou 等［12］以煤為研究對象，基于灰色關(guān)聯(lián)分析、響應(yīng)面法和馬氏距離測量法提出了一種組合優(yōu)化標(biāo)定方法；Xu 等［13］將迭代思想引入?yún)?shù)標(biāo)定中，顯著提升了標(biāo)定的效率和準(zhǔn)確性；此外，周小棚等［14］利用數(shù)據(jù)挖掘、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等方法對材料細(xì)觀參數(shù)進(jìn)行了初步預(yù)測.

綜上所述，巖土體宏細(xì)觀參數(shù)間的響應(yīng)規(guī)律是顆粒離散元數(shù)值研究中一個(gè)重要的研究方向，目前國內(nèi)外采用理論分析、室內(nèi)試驗(yàn)和數(shù)值模擬等方式在該方面取得了一定成果，但仍有以下幾個(gè)方面值得進(jìn)一步研究探討：1）現(xiàn)有研究傾向于全面分析所有細(xì)觀參數(shù)對宏觀參數(shù)的影響，模型冗余度高且分析耗時(shí)，難以揭示宏細(xì)觀參數(shù)間的影響機(jī)制，往往效果不佳.2）多數(shù)研究成果是基于PFC 2D 和室內(nèi)雙軸試驗(yàn)獲得的，然而在實(shí)際工程中，巖石處于三向復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，并非所有的巖石材料都能夠簡化為平面問題，因此該方法具有一定的局限性.

針對以上問題，本文在眾多學(xué)者研究成果的基礎(chǔ)上，以獲得三維條件下高精度、低維度、易分析解釋的宏細(xì)觀參數(shù)模型為目標(biāo)，首先通過正交設(shè)計(jì)和三軸數(shù)值試驗(yàn)獲得一定的研究樣本；然后基于改進(jìn)的BP 算法進(jìn)行輕量化處理，準(zhǔn)確量化各細(xì)觀參數(shù)對宏觀參數(shù)的影響程度，篩選出對宏觀參數(shù)有顯著影響的關(guān)鍵細(xì)觀參數(shù)，對于影響不大的細(xì)觀參數(shù)則進(jìn)行剔除，由此獲得簡單且易于分析的宏細(xì)觀參數(shù)模型，即輕量化模型；最后針對輕量化模型分析了宏細(xì)觀參數(shù)間的相互作用規(guī)律及影響機(jī)制，希望對PFC細(xì)觀參數(shù)標(biāo)定問題提供一定依據(jù).

1 PFC接觸模型選擇

巖石是由礦物顆粒和膠結(jié)物組成的復(fù)雜混合體，通常采用平行黏結(jié)模型來表征其接觸行為，該模型通常分為線性和黏結(jié)兩部分，分別用于描述礦物顆粒之間的接觸行為及膠結(jié)物質(zhì).平行黏結(jié)模型的接觸示意圖和接觸模型見圖1.

由圖1 可見，模型的線性元件和平行黏結(jié)元件平行作用，并在兩個(gè)接觸部件之間建立彈性相互作用.模型具有軸向、切向及旋轉(zhuǎn)剛度.除此之外，通過引入阻尼項(xiàng)完成模型的能量耗散過程.平行黏結(jié)模型顆粒受力與破壞機(jī)制如圖2所示.

對于線性接觸部分，當(dāng)兩顆粒間的剪切接觸力超過允許最大剪切接觸力時(shí)，顆粒間將發(fā)生滑移.黏結(jié)部分的強(qiáng)度準(zhǔn)則可按梁彎曲理論描述，即顆粒間的最大法向或切向應(yīng)力超過其許用應(yīng)力時(shí)，黏結(jié)發(fā)生破壞，并隨即產(chǎn)生一個(gè)張拉裂紋或剪切裂紋.

2 細(xì)觀參數(shù)及試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)

2.1 宏細(xì)觀參數(shù)定性關(guān)系描述

2.2 正交試驗(yàn)方案

本文是對平行黏結(jié)模型的細(xì)觀參數(shù)進(jìn)行輕量化研究，首先對模型的幾何尺寸、顆粒密度、孔隙率進(jìn)行固定，按水利水電巖石試驗(yàn)規(guī)程對試件尺寸的規(guī)定，數(shù)值試驗(yàn)采用底面半徑50 mm、高100 mm 的圓柱體試樣；Nohut 等［15］的研究表明，密度對標(biāo)定結(jié)果影響甚微，因此參照巖石的宏觀密度取2 700kg/m3；孔隙率按文獻(xiàn)［3，8，16］建議取0.16.

由于參數(shù)較多，交叉及不確定性較大，常規(guī)試驗(yàn)方案需要大量試驗(yàn)次數(shù)及計(jì)算資源.正交試驗(yàn)?zāi)軌蚓C合考慮各因素間的交叉作用，在結(jié)果可靠的前提下有效減少試驗(yàn)次數(shù).按照正交設(shè)計(jì)原理，本文設(shè)計(jì)了一個(gè)L50510型正交表（10 因素5 水平50 次試驗(yàn)）進(jìn)行三軸壓縮數(shù)值試驗(yàn)，具體方案見表1.

表1 正交試驗(yàn)方案Tab.1 Scheme of orthogonal test

為消除各細(xì)觀間量值大小差異對研究帶來的不利影響，提高結(jié)果的準(zhǔn)確性與可靠性，首先對細(xì)觀參數(shù)進(jìn)行如下標(biāo)準(zhǔn)化變換：

變換后新的參數(shù)序列均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，yi～N（0，1），便于各參數(shù)間進(jìn)行分析與比較.

2.3 數(shù)值試驗(yàn)及伺服加載

本文采用PFC 3D 模擬巖石三軸壓縮試驗(yàn)，模型如圖3 所示.數(shù)值試驗(yàn)中保持恒定的細(xì)觀參數(shù)按表2選取，圍壓設(shè)置為10 MPa.

表2 模型公共細(xì)觀參數(shù)Tab.2 Basic mesoscopic parameters in model

圖3 三軸壓縮數(shù)值模型Fig.3 Numerical model for triaxial compression test

三軸試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷募虞d通過對墻體施加固定速度實(shí)現(xiàn)，但每個(gè)顆粒的應(yīng)力狀態(tài)在每時(shí)每刻都會(huì)更新，靜態(tài)加載方式會(huì)因顆粒之間及顆粒與墻體之間的相互作用導(dǎo)致三個(gè)方向的應(yīng)力量值很難維持恒定.為提供一個(gè)穩(wěn)定的圍壓，需對墻體進(jìn)行伺服控制［18］.伺服過程中邊界墻體的速度按下式確定：

式中：G為伺服系數(shù)；σmea為當(dāng)前應(yīng)力；σreq為目標(biāo)應(yīng)力.

式中：m為接觸個(gè)數(shù)；A為接觸面積；β為保證迭代穩(wěn)定的控制系數(shù)，取0～1之間的值.

3 基于改進(jìn)BP算法的輕量化建模方法

大多學(xué)者的研究表明，材料宏細(xì)觀參數(shù)之間關(guān)系密切，細(xì)觀參數(shù)不僅獨(dú)立地對宏觀參數(shù)產(chǎn)生影響，各參數(shù)之間往往還存在一定的交叉及關(guān)聯(lián)作用，使得PFC 宏細(xì)觀參數(shù)分析及標(biāo)定成為典型的高維問題.如果不加處理將所有參數(shù)考慮在內(nèi)，雖在一定程度上增大了精度，但也使得標(biāo)定的難度和計(jì)算成本大幅增加，甚至使得模型的可解釋性受到影響.因此對模型進(jìn)行輕量化處理，合理篩選出關(guān)鍵變量并剔除冗余數(shù)據(jù)對準(zhǔn)確高效標(biāo)定至關(guān)重要.

BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是處理非線性問題的有力工具，也是機(jī)器學(xué)習(xí)中最流行的智能算法之一.通過其強(qiáng)大的學(xué)習(xí)、并行和容錯(cuò)能力，可以準(zhǔn)確、高效地實(shí)現(xiàn)從輸入層到輸出層的非線性映射.它廣泛應(yīng)用于非線性系統(tǒng)、函數(shù)逼近、系統(tǒng)辨識(shí)等領(lǐng)域，可以解決巖土工程領(lǐng)域的參數(shù)標(biāo)定、預(yù)測、反演、建模等復(fù)雜工程技術(shù)問題.

本文提出了一種改進(jìn)的BP 算法，在計(jì)算中能靈活變換功能函數(shù)形態(tài)、自適應(yīng)調(diào)節(jié)動(dòng)量系數(shù)和學(xué)習(xí)率，彌補(bǔ)了常規(guī)算法精度低、穩(wěn)定性不佳，收斂緩慢等不足.在對正交試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行訓(xùn)練后可對宏細(xì)觀參數(shù)間的相互影響程度進(jìn)行排序，篩選出關(guān)鍵的細(xì)觀參數(shù)，達(dá)到降低模型維度和輕量化目的.

3.1 BP算法基本原理

不同于統(tǒng)計(jì)學(xué)模型，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不需要試驗(yàn)樣本滿足正態(tài)分布、方差齊性、樣本數(shù)量趨于無窮大等條件，通過其較強(qiáng)的學(xué)習(xí)、并行與容錯(cuò)能力，可準(zhǔn)確高效地實(shí)現(xiàn)從輸入層至輸出層的非線性映射［18］.

基于BP 算法的多層感知器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種典型的前饋型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，一般由三部分構(gòu)成，如圖4 所示，一組由源節(jié)點(diǎn)組成的輸入層，由計(jì)算結(jié)點(diǎn)組成的若干隱含層及輸出層.BP 算法求解的基本原理可以概括為輸入信號(hào)的正向傳播與誤差的反向傳播兩個(gè)過程，通過周而復(fù)始地交替迭代直至模型誤差最小.

圖4 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與信號(hào)流向Fig.4 Topological structure and signal flow direction of BP neural network

采用Sigmoid 函數(shù)作為神經(jīng)元功能函數(shù)，用于建立輸入（細(xì)觀參數(shù)）輸出（宏觀參數(shù)）間的映射關(guān)系：

當(dāng)網(wǎng)絡(luò)的實(shí)際輸出和目標(biāo)輸出（室內(nèi)試驗(yàn)測得的宏觀參數(shù)）不等時(shí)，即存在誤差，定義誤差函數(shù)：

式中：Jp為第p個(gè)樣本誤差函數(shù)；L為網(wǎng)絡(luò)層數(shù).

以誤差函數(shù)為目標(biāo)函數(shù)，采用梯度下降法對網(wǎng)絡(luò)各層權(quán)值進(jìn)行迭代修正：

式中：η為學(xué)習(xí)率，η∈(0，1).

對隱含層則有遞推公式：

由權(quán)值修正公式（8）可知，權(quán)值的修正過程即為誤差信號(hào)由輸出層向輸入層的反向傳播過程，當(dāng)誤差達(dá)到給定精度后，訓(xùn)練終止.

傳統(tǒng)BP 算法簡單易用，具有較強(qiáng)的非線性映射能力和泛化能力，但該算法在實(shí)際應(yīng)用中也存在固有缺陷，如容易陷入局部極小值、收斂速度慢、學(xué)習(xí)率不可調(diào)、學(xué)習(xí)記憶時(shí)間短等［19］.因此本文針對以上缺陷，對傳統(tǒng)BP 算法進(jìn)行適當(dāng)優(yōu)化改進(jìn)，旨在提升算法的精度、計(jì)算效率與穩(wěn)定性.

3.2 改進(jìn)的BP算法

3.2.1 功能函數(shù)中引入陡度因子

Sigmoid 函數(shù)的圖像為S 型曲線，在定義域的兩端各存在一段飽和區(qū)，在飽和區(qū)內(nèi)，節(jié)點(diǎn)輸出對權(quán)值的修正量變化并不敏感，如果此時(shí)網(wǎng)絡(luò)的誤差依然很大，那么很難在短時(shí)間內(nèi)通過權(quán)值的修正而降低誤差，即進(jìn)入了誤差曲面的平坦區(qū)［20］，網(wǎng)絡(luò)的收斂速度將會(huì)受到很大影響.因此可以向Sigmoid 函數(shù)中引入一項(xiàng)陡度因子［21］δ，即

陡度因子在訓(xùn)練前一般初始化為1，若訓(xùn)練過程中發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)誤差變化量很小但誤差值較大時(shí)，可認(rèn)為進(jìn)入了誤差曲面的平坦區(qū)，此時(shí)應(yīng)適當(dāng)增大δ，對功能函數(shù)的形狀加以變化，增大非飽和區(qū)的范圍，當(dāng)退出平坦區(qū)后，將δ恢復(fù)初值.改進(jìn)后可使網(wǎng)絡(luò)的迭代次數(shù)明顯減小，提升訓(xùn)練效率.

3.2.2 引入自適應(yīng)動(dòng)量項(xiàng)

由式（7）可知，傳統(tǒng)BP 算法在權(quán)值迭代中只考慮當(dāng)前誤差曲面的梯度方向，忽略了之前的梯度方向，使訓(xùn)練過程出現(xiàn)震蕩效應(yīng)，收斂緩慢且易陷入局部最優(yōu).因此在式（7）基礎(chǔ)上引入動(dòng)量項(xiàng)，將權(quán)值的修正量由上次權(quán)值的修改方向和本次誤差曲面的梯度方向共同決定.動(dòng)量項(xiàng)反映了前期權(quán)值調(diào)整積累的經(jīng)驗(yàn)，對本次修正起阻尼作用.當(dāng)誤差曲面起伏較大時(shí)，可有效減小震蕩，加速收斂.本文在經(jīng)典動(dòng)量方法的基礎(chǔ)上，采用Nesterov 動(dòng)量方法［22］對網(wǎng)絡(luò)權(quán)值進(jìn)行迭代，其中經(jīng)典動(dòng)量方法為：

式中：α為動(dòng)量系數(shù)，α∈［0，1）.

Nesterov動(dòng)量方法可按下式表達(dá)：

對比以上兩式可以發(fā)現(xiàn)，相比與經(jīng)典動(dòng)量方法，Nesterov 動(dòng)量的梯度計(jì)算在當(dāng)前速度之后，因此可以看做是在經(jīng)典動(dòng)量中添加了一項(xiàng)校正因子.

下面討論動(dòng)量系數(shù)的取值問題，一般來說，動(dòng)量系數(shù)常按研究者的經(jīng)驗(yàn)選取，如趙林明等［23］認(rèn)為動(dòng)量系數(shù)在0.9～0.98 之間網(wǎng)絡(luò)的收斂速度較快，不同學(xué)者的選取策略常導(dǎo)致不同的訓(xùn)練效果，在實(shí)際應(yīng)用中動(dòng)量系數(shù)取的過小會(huì)降低網(wǎng)絡(luò)的收斂速度，過大則會(huì)導(dǎo)致發(fā)散，并且固定的動(dòng)量系數(shù)難以適應(yīng)復(fù)雜誤差曲面的形狀變化，本文則依據(jù)誤差曲面的梯度和誤差函數(shù)的調(diào)整方向計(jì)算出自適應(yīng)變化的動(dòng)量系數(shù)，提高網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練速度和穩(wěn)定性：

3.2.3 自適應(yīng)學(xué)習(xí)率

學(xué)習(xí)率是BP 算法中一項(xiàng)至關(guān)重要的超參數(shù)，其取值將直接影響到網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練性能，關(guān)系到模型的收斂速度及精度，一般也是按經(jīng)驗(yàn)取為一固定常數(shù)，但在實(shí)際應(yīng)用中，很難給出一個(gè)從始至終都最優(yōu)的學(xué)習(xí)率［24］，因此變學(xué)習(xí)率算法在模型訓(xùn)練中將體現(xiàn)出巨大優(yōu)勢.在開始階段或誤差曲面的平坦區(qū)，應(yīng)選取較大的學(xué)習(xí)率，加快訓(xùn)練速度的同時(shí)避免陷入局部最優(yōu)；訓(xùn)練至后期或在誤差曲面陡峭部位，過大的學(xué)習(xí)率則會(huì)導(dǎo)致振蕩效應(yīng)，難以收斂.本文針對此問題提出一個(gè)按照誤差曲面梯度和迭代次數(shù)自適應(yīng)調(diào)節(jié)學(xué)習(xí)率的計(jì)算方法：

式中：d為迭代次數(shù)；dmax為最大迭代次數(shù)；λ為經(jīng)驗(yàn)系數(shù).

由式（13）可知，自適應(yīng)學(xué)習(xí)率可以靈活地調(diào)節(jié)迭代步長，相比于固定學(xué)習(xí)率算法，改進(jìn)算法在訓(xùn)練速度、準(zhǔn)確率和穩(wěn)定性方面均有所提升.

基于改進(jìn)BP 算法的細(xì)觀參數(shù)輕量化建模流程如圖5 所示，采用不同自變量值測量網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測值的變化量來衡量各變量的重要性，從而實(shí)現(xiàn)每個(gè)變量的重要性輸出.對重要性值低的細(xì)觀參數(shù)進(jìn)行合理剔除，從而使分析模型簡潔、輕量.

圖5 基于改進(jìn)BP算法的細(xì)觀參數(shù)輕量化建模流程圖Fig.5 Flow chart of meso parameter lightweight modeling based on improved BP algorithm

3.3 輕量化分析結(jié)果

采用單合隱層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，分別利用傳統(tǒng)BP和改進(jìn)BP 算法進(jìn)行宏細(xì)觀參數(shù)輕量化分析.訓(xùn)練時(shí)動(dòng)量系數(shù)的初值均取0.9，學(xué)習(xí)率為0.05.圖6 為訓(xùn)練得出的輕量化分析結(jié)果，由圖6 可見，兩種分析方法得出的結(jié)論基本一致，互相印證了分析計(jì)算結(jié)果的正確性，說明具有全局搜索能力的BP 算法能夠應(yīng)用于宏細(xì)觀參數(shù)的輕量化分析.

圖6 宏細(xì)觀參數(shù)輕量化分析結(jié)果Fig.6 Results of lightweight analysis between macro and meso parameters

圖7 為兩種算法進(jìn)行輕量化分析時(shí)的迭代收斂曲線.由圖可知，改進(jìn)BP 算法在對彈性模量、泊松比和峰值強(qiáng)度輕量化分析時(shí)的訓(xùn)練效果均明顯優(yōu)于傳統(tǒng)算法，訓(xùn)練精度高、收斂速度快，訓(xùn)練過程穩(wěn)定.以彈性模量的輕量化過程為例，迭代50 次左右后可收斂于誤差值0.01附近.而傳統(tǒng)BP算法在前15次迭代中誤差下降速度較快，但迭代至15～60 次左右時(shí)，網(wǎng)絡(luò)的收斂速度明顯變慢，并且有兩次陷入局部最優(yōu)值，經(jīng)過多次迭代才得以跳出.迭代次數(shù)大于60 后，誤差開始緩慢減小并趨于收斂，但收斂過程中網(wǎng)絡(luò)震蕩幅度較大，迭代至80～120次時(shí)震蕩幅度可達(dá)22%，繼續(xù)迭代至160 次后伴隨小幅震蕩并收斂于誤差值0.019附近，與本文方法相比，誤差增大了47%左右.

圖7 宏細(xì)觀參數(shù)輕量化分析的迭代收斂曲線Fig.7 Iterative convergence curve for lightweight analysis between macro and meso parameters

綜上對比可見，本文方法在BP 算法的功能函數(shù)和權(quán)值修正和迭代策略方面進(jìn)行了改進(jìn)，使得改進(jìn)BP 算法在計(jì)算精度、收斂速度和穩(wěn)定性方面均明顯高于傳統(tǒng)方法.從機(jī)理上講，自適應(yīng)動(dòng)量和學(xué)習(xí)率可以根據(jù)不同的誤差曲面，實(shí)時(shí)調(diào)整權(quán)值修正策略及迭代方法，避免了搜索中陷入局部最優(yōu)及震蕩效應(yīng)，使迭代曲線更加平滑.引入陡度因子的功能函數(shù)能夠使迭代快速跳出平坦區(qū)，有效減少迭代次數(shù).從本質(zhì)上講，在誤差曲面上不同的搜索路徑使得改進(jìn)算法在迭代40～50 次左右后就可穩(wěn)定收斂于誤差值0.01，準(zhǔn)確性更高，速度更快，獲得的輕量化結(jié)果更加可靠且便于操作，在宏細(xì)觀參數(shù)輕量化分析中具有一定優(yōu)勢.

由此可見，通過輕量化分析，對每個(gè)宏觀參數(shù)均篩選出了3 個(gè)影響最為顯著的細(xì)觀參數(shù)，其余變量則進(jìn)行合理剔除，將原有的10 個(gè)變量非線性關(guān)系簡化至3 個(gè)，大幅節(jié)約了計(jì)算成本，為后續(xù)研究提供了便利.

綜上所述，通過引入含陡度因子的功能函數(shù)、自適應(yīng)Nesterov動(dòng)量法及自適應(yīng)學(xué)習(xí)率改進(jìn)的BP算法提升了傳統(tǒng)算法的穩(wěn)定性與收斂速度，有效降低了模型維度，合理地簡化了宏細(xì)觀參數(shù)分析模型，達(dá)到了輕量化目的，為準(zhǔn)確進(jìn)行宏細(xì)觀參數(shù)影響特性分析及參數(shù)標(biāo)定奠定了基礎(chǔ).

4 宏細(xì)觀參數(shù)相關(guān)性及影響特性分析

4.1 單一細(xì)觀參數(shù)對宏觀參數(shù)的影響特性分析

根據(jù)上文輕量化分析結(jié)果，將篩選出的有顯著影響的細(xì)觀參數(shù)做進(jìn)一步研究，獲得了宏細(xì)觀參數(shù)間的箱線變化趨勢圖（圖8）.圖8 中每個(gè)箱線的上、下邊緣分別表示同一水平數(shù)據(jù)中除異常值外的最大、最小值；中間箱盒的底部為下四分位數(shù)；頂部為上四分位數(shù)；中部紅線為中位數(shù)；小圓圈則表示異常值，異常值的判定為高于數(shù)據(jù)的上限或低于下限，上、下限是由對應(yīng)的四分位數(shù)和四分位距（上、下四分位數(shù)的差值）計(jì)算得來，下限值為下四分位數(shù)和1.5 倍的四分位距之差，上限值則為上四分位數(shù)和1.5倍的四分位距之和.

圖8 宏細(xì)觀參數(shù)箱線變化趨勢圖Fig.8 Boxplot between macro and meso parameters

4.1.1 細(xì)觀參數(shù)對宏觀彈性模量的影響

由圖8 可見，隨著等效模量的增加，彈模整體呈增加趨勢.這種增加可以分為兩個(gè)階段，當(dāng)?shù)刃Ａ枯^小時(shí)，增加幅度不明顯，大于20 GPa后開始顯著增長，其中位數(shù)基本呈線性增長.每個(gè)箱盒分別來看，可知同一水平下的宏觀彈模近似呈正態(tài)分布，等效模量較低時(shí)，其四分位距較小，隨著等效模量的增加，宏觀彈模的分布也逐漸離散化.

在平行黏結(jié)剛度比方面，隨著剛度比增加，彈模呈非線性減小趨勢.當(dāng)時(shí)這種趨勢基本可以線性化.每個(gè)箱盒分別來看，同一水平下彈模的分布均比較離散，呈右偏分布.總的來看，彈模隨剛度比減小的速率要小于隨等效模量增加的速率，可見等效模量是影響宏觀彈模最重要的因素.這與輕量化分析所得的結(jié)論是一致的.

4.1.2 細(xì)觀參數(shù)對泊松比的影響

隨著摩擦系數(shù)增加，泊松比基本呈二次曲線的減小規(guī)律.本文的研究表明，μ對于彈模和峰值強(qiáng)度兩個(gè)宏觀參數(shù)具有正向激勵(lì)作用.摩擦系數(shù)較小時(shí)，泊松比減小幅度較大；當(dāng)μ>0.5 后減小趨勢逐漸平緩，量值基本在0.2～0.3 左右波動(dòng)，這也是工程中常見巖體材料泊松比的取值范圍，建議在對摩擦系數(shù)進(jìn)行參數(shù)標(biāo)定時(shí)可取0.5作為初始值.

4.1.3 細(xì)觀參數(shù)對峰值強(qiáng)度的影響

在平行黏結(jié)抗剪強(qiáng)度方面，峰值強(qiáng)度呈現(xiàn)增長率逐漸減小的拋物線變化規(guī)律在50～100 MPa 區(qū)間段峰值強(qiáng)度增長最為明顯，之后其中位數(shù)及第一四分位數(shù)變化曲線逐漸平緩，第三四分位數(shù)及上限值還有所增長.在數(shù)據(jù)分布方面，規(guī)律和基本類似，在此不再贅述.

峰值強(qiáng)度隨內(nèi)摩擦角增加基本呈線性增長，同一水平下峰值強(qiáng)度呈右偏分布，內(nèi)摩擦角越大，數(shù)據(jù)波動(dòng)范圍也相應(yīng)增大.同時(shí)，內(nèi)摩擦角對巖石峰后強(qiáng)度具有一定影響，這是由于峰后加載時(shí)，內(nèi)摩擦角對剪切帶兩側(cè)的顆?；瑒?dòng)具有一定控制作用.

4.2 多個(gè)細(xì)觀參數(shù)對宏觀參數(shù)的影響特性分析

前述章節(jié)對宏細(xì)觀參數(shù)之間變化規(guī)律進(jìn)行了初步分析，通常來講，宏觀參數(shù)往往受多個(gè)細(xì)觀參數(shù)共同影響，單一參數(shù)很難對某個(gè)宏觀參數(shù)起到?jīng)Q定性作用，這也解釋了箱線圖中四分位距較大的原因.因此本節(jié)將上文篩選出的細(xì)觀參數(shù)進(jìn)行交叉組合，研究多細(xì)觀參數(shù)影響下宏觀參數(shù)的變化規(guī)律.

4.2.1 多個(gè)細(xì)觀參數(shù)對彈性模量的影響

4.2.2 多個(gè)細(xì)觀參數(shù)對泊松比的影響

由前文分析可知，泊松比和kn/ks及間均存在線性關(guān)系.如圖9（d）和（e）所示，固定μ時(shí)，泊松比隨剛度比增加呈線性增長趨勢，各條曲線基本平行；摩擦系數(shù)的增大將引起泊松比的非線性減小，并且摩擦系數(shù)越小，減小幅度越大.

圖9 多個(gè)細(xì)觀參數(shù)對宏觀參數(shù)的聯(lián)合影響Fig.9 Joint effect of multiple meso parameters on macro parameters

4.2.3 多個(gè)細(xì)觀參數(shù)對峰值強(qiáng)度的影響

5 討論

利用PFC 從細(xì)觀尺度研究材料的物理力學(xué)特性或進(jìn)行巖土工程數(shù)值研究時(shí)，最重要的就是選取合適的細(xì)觀力學(xué)參數(shù)，使其準(zhǔn)確反映材料的宏觀力學(xué)行為.以往細(xì)觀參數(shù)標(biāo)定問題多采用試錯(cuò)法且基于二維模型，一般通過將數(shù)值模型得到的宏觀力學(xué)參數(shù)和室內(nèi)試驗(yàn)的測定結(jié)果進(jìn)行反復(fù)對比試錯(cuò)，直到數(shù)值計(jì)算結(jié)果與現(xiàn)場試驗(yàn)結(jié)果吻合.這種方法一般沒有特定的規(guī)律可循，在一定程度上依靠研究者的經(jīng)驗(yàn)；同時(shí)難以使用梯度算法，效率較低，往往會(huì)成倍地增加計(jì)算成本，且難以反映巖石在三維條件下的力學(xué)特性，在實(shí)際應(yīng)用中遇到了較大限制.

本文的思路則是先利用BP 算法對復(fù)雜的標(biāo)定模型進(jìn)行輕量化，準(zhǔn)確量化每個(gè)細(xì)觀參數(shù)對宏觀參數(shù)的影響，并篩選出對宏觀參數(shù)有重大影響的關(guān)鍵細(xì)觀參數(shù).在算法方面，針對傳統(tǒng)BP 算法效率低、穩(wěn)定性不佳等缺陷，提出了引入陡度因子、自適應(yīng)動(dòng)量項(xiàng)及學(xué)習(xí)率的改進(jìn)BP 算法，獲得了良好的輕量化效果.通過分析宏細(xì)觀參數(shù)間的相互作用規(guī)律，揭示了兩種尺度參數(shù)間的作用機(jī)制并驗(yàn)證了輕量化分析結(jié)果的合理性.為PFC 參數(shù)標(biāo)定研究提供了理論及數(shù)學(xué)模型.

然而，本文仍發(fā)現(xiàn)一些問題值得進(jìn)一步討論和研究：1）本文的輕量化分析成果主要基于平行黏結(jié)模型，在PFC 其他接觸模型中的適用性還有待驗(yàn)證.2）尚未考慮clump 屬性的影響，關(guān)于復(fù)雜顆粒在巖石宏細(xì)觀參數(shù)標(biāo)定中的作用今后還有待進(jìn)一步研究.3）本文的研究成果主要用于減少宏細(xì)觀參數(shù)分析模型中的變量個(gè)數(shù)并揭示兩種尺度參數(shù)間的相互作用規(guī)律，以對PFC 細(xì)觀參數(shù)標(biāo)定問題提供數(shù)學(xué)模型，并未直接采用BP 算法對細(xì)觀參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定，標(biāo)定方法部分后續(xù)將進(jìn)行深入研究.

6 結(jié)論

本文從PFC3D 基本理論及宏細(xì)觀定性關(guān)系入手，基于平行黏結(jié)模型，通過合理的試驗(yàn)設(shè)計(jì)及數(shù)據(jù)分析方法，對宏細(xì)觀參數(shù)間的敏感性進(jìn)行量化，提出了一種基于改進(jìn)BP 算法的宏細(xì)觀參數(shù)輕量化分析方法，可為PFC 細(xì)觀參數(shù)標(biāo)定問題提供一定參考.本文得到的主要結(jié)論如下：

1）通過在功能函數(shù)中引入陡度因子、自適應(yīng)動(dòng)量系數(shù)的Nesterov 動(dòng)量法及自適應(yīng)學(xué)習(xí)率提出了一種改進(jìn)BP 算法并將其應(yīng)用于PFC 細(xì)觀參數(shù)輕量化處理問題中；在與傳統(tǒng)BP 算法的對比中發(fā)現(xiàn)：改進(jìn)算法的收斂速度提升了140%，避免了迭代中的震蕩效應(yīng)并使誤差減小了47%左右.獲得的結(jié)果更加準(zhǔn)確合理，有效達(dá)到了宏細(xì)觀參數(shù)分析模型輕量化目的.同時(shí)，本文提出的算法在水利及巖土工程領(lǐng)域中的相近問題上也具有一定適用性.

2）采用改進(jìn)的BP 算法進(jìn)行輕量化分析發(fā)現(xiàn)：等效模量、平行黏結(jié)剛度比及平行黏結(jié)控制間隙對巖石彈模有顯著影響，其中等效模量起主導(dǎo)作用，另一方面改進(jìn)BP 算法較傳統(tǒng)方法明顯的反映了剛度比對彈模的重要性；對泊松比影響較大的細(xì)觀參數(shù)為平行黏結(jié)剛度比、顆粒剛度比及摩擦系數(shù)，本文算法在兩個(gè)剛度比的重要性刻畫上要稍準(zhǔn)確一些；平行黏結(jié)抗壓、抗剪強(qiáng)度及內(nèi)摩擦角對峰值強(qiáng)度有控制作用.