劉艷培, 董艷芹, 周涵琪, 叢 昕

(長春師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 吉林 長春 130032)

1 基本概念

李三系理論已經(jīng)有了很好的發(fā)展, 文獻(xiàn)[1]給出了李三系的廣義導(dǎo)子和擬導(dǎo)子, 并對其進(jìn)行研究.隨著李三系的發(fā)展, 限制李三系也有了一定的發(fā)展[2-6]. 本文總設(shè)基域F的特征為p, 其中p為大于2的素數(shù).設(shè)T為域F上的向量空間, 若T上有三元線性運算[·, ·, ·], 滿足下面三個條件:

[x,y,z]=-[y,x,z];

[x,y,z]+[y,z,x]+[z,x,y]=0;

[u,v, [x,y,z]]=[[u,v,x],y,z]+[x,[u,v,y],z]+[x,y, [u,v,z]], ?x,y,z,u,v∈T, 稱T為李三系.設(shè)T是一個李三系, ?x,y∈T.定義

L(x,y)∈End(T),L(x,y)z=[x,y,z];

用L(T,T)表示由L(x,y)線性張成的空間.定義Ls(T)=L(T,T)⊕T, 其中Ls(T)上的運算為:

[X1,X2]=([H1,H2]+L(x1,x2))⊕H1x2-H2x1,

其中Xi=xi+HiHi∈L(T,T),xi∈T(i=1, 2).

定義1.1[4]設(shè)T為域F上的李三系, 如果存在一個映射[p]:T→T, 對于?a,b,c∈T,α∈F滿足下面條件:

(αa)[p]=αpa[p]

[a,b[p],c]=(a,b, …,b,c)(p個b),

其中isi(a,b)是λi-1在(ad(λa+b))p-1(a)∈Ls(T)中的系數(shù), 則稱(T, [p])為限制李三系.通常簡稱T為限制李三系.在這里,

(a,b, …,b,c)=[[[[a,b,b],b,b], …],b,c].

引理1.1設(shè)T為域F上的限制李三系, End(T)為T的所有線性變換構(gòu)成的集合.令[p]:D→Dp, ?D∈End(T), 則End(T)為限制李三系.

證明：?D,D1,D2∈End(T),α∈F, 有(αD)p=(αD)(αD)…(αD)=αpDp.顯然有

結(jié)論成立.特別地, 取n=p, 則

因此End(T)為限制李三系.

限制李三系T的一個子空間ψ, 如果滿足[ψ,ψ,ψ]?ψ, 且對于?x∈ψ,x[p]∈ψ, 則稱ψ為T的一個p-子系.

限制李三系T的一個子空間φ, 如果滿足[φ,T,T]?φ, 且對于?x∈φ,x[p]∈φ, 則稱φ為T的一個p-理想.

定義1.2設(shè)T為域F上的限制李三系.如果

C(T)={D∈End(T)|[D(x),y,z]=[x,D(y),z]=[x,y,D(z)]=D([x,y,z])}, ?x,y,z∈T, 那么C(T)被稱為T的型心.

定義1.3設(shè)T為域F上的限制李三系.如果

QC(T)={D∈End(T)|[D(x),y,z]=[x,D(y),z]=[x,y,D(z)]}, ?x,y,z∈T,

那么QC(T)被稱為T的擬型心.

定義1.4設(shè)T為域F上的限制李三系,I是T的非空子集.我們定義I在T的中心

ZT(I)={x∈T∣[x,a,y]=[y,a,x]=0, ?a∈I,y∈T}.

特別地,T的中心為Z(T)=ZT(T)={x∈T∣[x,y,z]=0, ?y,z∈T}.

2 型心及擬型心的結(jié)構(gòu)性質(zhì)

定理2.1設(shè)T為域F上的限制李三系, 則C(T)為End(T)的p-子系.

證明：假設(shè)D,D1,D2,D3∈C(T), ?x,y,z∈T,p∈F.由

[[D1,D2]D3(x),y,z]=[D1D2D3(x),y,z]-[D2D1D3(x),y,z]=[D2D3(x),D1(y),z]-[D1D3(x),D2(y),z]=[D3(x),D2D1(y),z]-[D3(x),D1D2(y),z]=[D3(x), [D2,D1](y),z]=-[x,D3[D1,D2](y),z][D3[D1,D2](x),y,z]=[D1D2(x),D3(y),z]-[D2D1(x),D3(y),z]=

[D2(x),D1(D3(y)),z]-[D1(x),D2(D3(y)),z]=[x,D2D1(D3(y)),z]-[x,D1D2(D3(y)),z] =[x, [D2,D1](D3(y)),z]=-[x, [D1,D2](D3(y)),z],

得到

[[D1,D2,D3](x),y,z]=[[D1,D2]D3(x),y,z]-[D3[D1,D2](x),y,z]=-[x,D3[D1,D2](y),z]-(-[x, [D1,D2](D3(y)),z]) =[x, [D1,D2,D3](y),z].

類似可證[[D1,D2,D3](x),y,z]=[x,y, [D1,D2,D3](z)]=[D1,D2,D3]([x,y,z]).所以C(T)為End(T)的子系.

又因為

[D[p](x),y,z]=[Dp(x),y,z]=[DDp-1(x),y,z]=[Dp-1(x),D(y),z]=[DDp-2(x),D(y),z]=[Dp-2(x),D2(y),z]=…=[x,Dp(y),z]=[x,D[p](y),z].

同理, [D[p](x),y,z]=[x,y,D[p](z)]=D[p]([x,y,z]).因此D[p]∈C(T),C(T)為End(T)的p-子系.

命題2.2設(shè)T為域F上的限制李三系, 則QC(T)為End(T)的p-子系.

證明：假設(shè)D,D1,D2,D3∈QC(T), ?x,y,z∈T,p∈F.由

[[D1,D2]D3(x),y,z]=[D1D2D3(x),y,z]-[D2D1D3(x),y,z]=[D2D3(x),D1(y),z]-[D1D3(x),D2(y),z]=[D3(x),D2D1(y),z]-[D3(x),D1D2(y),z]=[D3(x), [D2,D1](y),z]=-[x,D3[D1,D2](y),z],

[D3[D1,D2](x),y,z]=[D1D2(x),D3(y),z]-[D2D1(x),D3(y),z]=[D2(x),D1(D3(y)),z]-[D1(x),D2(D3(y)),z]=[x,D2D1(D3(y)),z]-[x,D1D2(D3(y)),z] =[x, [D2,D1](D3(y)),z]=-[x, [D1,D2](D3(y)),z],

得到

[[D1,D2,D3](x),y,z]=[[D1,D2]D3(x),y,z]-[D3[D1,D2](x),y,z]=-[x,D3[D1,D2](y),z]-(-[x, [D1,D2](D3(y)),z]) =[x, [D1,D2,D3](y),z].

類似可證[[D1,D2,D3](x),y,z]=[x,y, [D1,D2,D3](z)].所以QC(T)為End(T)的子系.

又因為

[D[p](x),y,z]=[Dp(x),y,z]=[DDp-1(x),y,z]=[Dp-1(x),D(y),z]=[DDp-2(x),D(y),z]=[Dp-2(x),D2(y),z]=…=[x,Dp(y),z]=[x,D[p](y),z].

同理, [D[p](x),y,z]=[x,y,D[p](z)].因此D[p]∈QC(T),QC(T)為End(T)的p-子系.

定理2.3設(shè)T為域F上的限制李三系, 如果T可分解為兩個p-理想A,B的直和, 即T=A⊕B, 并且Z(T)=0, 那么C(T)=C(A)⊕C(B).

證明：?D∈C(A),D(x1+x2)=D(x1), ?x1∈A,x2∈B延拓到T上, 顯然D∈C(T),C(A)?C(T).

同理,C(B)?C(T).易知:D∈C(A)當(dāng)且僅當(dāng)D(x2)=0, ?x2∈B;D∈C(B)當(dāng)且僅當(dāng)D(x1)=0, ?x1∈A.因此C(A)⊕C(B)?C(T),C(A)∩C(B)=0.

?D∈C(T), ?x1∈A,x2,x3∈B, [D(x1),x2,x3]=[x1,D(x2),x3]∈A∩B={0}.因為Z(T)=0, 且Z(T)=Z(A)⊕Z(B), 所以D(x1)∈A, ?x1∈A.同理,D(x2)∈B, ?x2∈B.?D1∈C(A), ?D∈C(T), ?x2∈B, 則[D,D1](x2)=DD1(x2)-D1D(x2)=0.

所以[D,D1]∈C(A),C(A)為C(T)的理想.?D∈C(A), ?x1,x2,x3∈A,

[D[p](x1),x2,x3]=[Dp(x1),x2,x3]=[Dp-1(x1),D(x2),x3]=…=[x1,Dp(x2),x3]=[x1,D[p](x2),x3].

同理, [D[p](x1),x2,x3]=[x1,x2,D[p](x3)]=D[p]([x1,x2,x3]), 則C(A)為C(T)的p-理想.同理,C(B)為C(T)的p-理想.

?D∈C(T), 取x=x1+x2, ?x1∈A,x2∈B, 令D1(x1+x2)=D(x1),D2(x1+x2)=D(x2), 則D2∈C(B),D2∈C(B).又D=D1+D2, 所以D∈C(A)+C(B),C(T)?C(A)+C(B).因此C(T)=C(A)⊕C(B).

命題2.4設(shè)T為域F上的限制李三系, 如果T可分解為兩個p-理想A,B的直和, 即T=A⊕B, 并且Z(T)=0, 那么QC(T)=QC(A)⊕QC(B).

證明：?D∈QC(A),D(x1+x2)=D(x1), ?x1∈A,x2∈B延拓到T上, 顯然D∈QC(T),QC(A)?QC(T).同理,QC(B)?QC(T).易知:D∈QC(A)當(dāng)且僅當(dāng)D(x2)=0, ?x2∈B;D∈QC(B)當(dāng)且僅當(dāng)D(x1)=0, ?x1∈A.因此QC(A)⊕QC(B)?QC(T),QC(A)∩QC(B)=0.

?D∈QC(T), ?x1∈A,x2,x3∈B, [D(x1),x2,x3]=[x1,D(x2),x3]∈A∩B={0}.因為Z(T)=0, 且Z(T)=Z(A)⊕Z(B), 所以D(x1)∈A, ?x1∈A.同理,D(x2)∈B, ?x2∈B.?D1∈QC(A), ?D∈QC(T), ?x2∈B, 則[D,D1](x2)=DD1(x2)-D1D(x2)=0,

所以[D,D1]∈QC(A),QC(A)為QC(T)的理想.?D∈QC(A), ?x1,x2,x3∈A,

[D[p](x1),x2,x3]=[Dp(x1),x2,x3]=[Dp-1(x1),D(x2),x3]=…=[x1,Dp(x2),x3] =[x1,D[p](x2),x3]

同理, [D[p](x1),x2,x3]=[x1,x2,D[p](x3)], 則QC(A)為QC(T)的p-理想.同理,QC(B)為QC(T)的p-理想.

?D∈QC(T), 取x=x1+x2, ?x1∈A,x2∈B, 令D1(x1+x2)=D(x1),D2(x1+x2)=D(x2), 則D1∈QC(A),D2∈QC(B).又D=D1+D2, 所以D∈QC(A)+QC(B),QC(T)?QC(A)+QC(B).因此QC(T)=QC(A)⊕QC(B).

命題2.5設(shè)T為域F上的限制李三系, 且Z(T)=0, 若D∈C(T), 則Ker(D)是T的p-理想.

證明：?x∈Ker(D), ?y,z∈T.因為x∈Ker(D), 所以D(x)=0.又D∈C(T),

D([x,y,z])=[D(x),y,z]=0,

所以[x,y,z]∈Ker(D),Ker(D)為T的理想.又

D([x[p],y,z])=-D([y,x[p],z])=-D(y,x,x, …,z)=-D([[[[y,x,x],x,x], …],x,z])=-([[[[y,x,x],x,x], …],D(x),z])=0,

D([x[p],y,z])=[D(x[p]),y,z])=0.又Z(T)=0, 則D(x[p])=0,x[p]∈Ker(D).Ker(D)是T的p-理想.

命題2.6設(shè)T為域F上的限制李三系, 且Z(T)=0, 若D∈C(T), 則Im(D)是T的p-理想.

證明：?x∈Im(D), ?y,z∈T.因為x∈Im(D), 那么?x′∈T, 使得D(x′)=x.又D∈C(T), [x,y,z]=[D(x′),y,z]=D([x′,y,z]), 所以[x,y,z]∈Im(D),Im(D)是T的理想.而

[x[p],y,z]=-[y,x[p],z]=-(y,x,x, …,z)=-[[[[y,x,x],x,x], …],x,z]=-[[[[y,x,x],x,x], …],D(x′),z]=-D([[[[y,x,x],x,x], …],x′,z])=-Dp([[[[y,x′,x′],x′,x′], …],x′,z])=Dp[x′[p],y,z]=[D(Dp-1(x′[p])),y,z].

又Z(T)=0,x[p]=D(Dp-1(x′[p]))∈Im(D).因此Im(D)是T的p-理想.