苗燕茹 姚關(guān)心 許新勝

(安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院 安徽 蕪湖 241002)

1 引言

2021年全國大學(xué)生物理學(xué)術(shù)競賽中提出了這樣一個(gè)探究性的問題:將一個(gè)簡單的浮沉子放在一個(gè)裝滿水的長豎直管中,管中壓力的增加會迫使浮沉子下沉,當(dāng)達(dá)到一定深度時(shí),即使壓力變回初始值,沉浮子也不會返回初始位置.對浮沉子這種不可逆現(xiàn)象的研究工作也有不少報(bào)道[1-2],但都主要集中在浮沉子的制作方法和不同運(yùn)動狀態(tài)的描述上,而對浮沉子的不可逆現(xiàn)象的物理本質(zhì)研究相對較少.本文將對不同狀態(tài)浮沉子進(jìn)行動力學(xué)分析,給出浮沉子不可逆現(xiàn)象的合理解釋.

2 浮沉子的動力學(xué)理論分析

2.1 浮沉子模型

一個(gè)上端開有小孔、內(nèi)部注有液體并留存一部分氣體空間、可以實(shí)現(xiàn)上浮和下沉的物體被稱為浮沉子,其示意圖如圖1所示.

2.2 浮沉子運(yùn)動特點(diǎn)

浮沉子初始漂浮于水面上,對密封裝置施加外力后,裝置液面上方空氣體積減小,壓力增大,浮沉子向下運(yùn)動,當(dāng)浮沉子下沉至一定深度且處于無速度狀態(tài)時(shí)撤去所施加的壓力,此時(shí)會出現(xiàn)一種最常見的現(xiàn)象——浮沉子回復(fù)至初始位置,稱為可逆轉(zhuǎn)的浮沉子. 但一定條件下,會出現(xiàn)撤壓后不會回復(fù)的情況,稱為不可逆轉(zhuǎn)的浮沉子.

大量實(shí)驗(yàn)表明,在液面以下存在一個(gè)可以使浮沉子可逆與不可逆狀態(tài)發(fā)生改變的臨界位置[3],且在此處浮沉子速度為零(浮沉子加速度方向在此處實(shí)現(xiàn)了從撤壓向上到撤壓向下的轉(zhuǎn)變).針對浮沉子運(yùn)動過程中的特點(diǎn),建立相應(yīng)的浮沉子物理模型,其示意圖如圖2所示.

(a)浮沉子靜止漂浮;(b)對裝置施力F1,浮沉子靜止懸浮于液體中且無下沉深度;(c)對裝置施力F2,浮沉子下沉Δh且處于臨界位置圖2 浮沉子的3種平衡狀態(tài)示意圖

2.3 浮沉子動力學(xué)過程理論分析

采用不同規(guī)格且頂端開有直徑為1～2 mm小孔的玻璃瓶制作浮沉子(利用玻璃瓶,所展示的相關(guān)可逆或不可逆現(xiàn)象更為明顯且對原理分析無影響).

由阿基米德原理(忽略浮沉子的外殼體積)和力的平衡

mg=ρgh2S

(1)

mg=ρgh′2S

(2)

mg=ρgh″2S

(3)

式(1)、(2)、(3)中,m為浮沉子質(zhì)量,S為浮沉子截面積,ρ為液體密度,g為重力加速度,h2為圖2(a)中位于液面以下的氣柱長度,h′2為圖2(b)中浮沉子內(nèi)氣柱長度,h″2為圖2(c)中浮沉子內(nèi)氣柱長度.聯(lián)立式(2)、(3)有

h′2=h″2p′=p″

(4)

式(4)中,p′、p″分別為圖2(b)和圖2(c)中浮沉子內(nèi)上方氣體壓強(qiáng).

對3種狀態(tài)下的浮沉子進(jìn)行受力分析,根據(jù)力的平衡有

mg+p0S=pS

(5)

mg+p′0S=p′S

(6)

mg+p″0S+ρgΔhS=p″S

(7)

式(5)、(6)、(7)中,p0、p′0、p″0分別為圖2(a)～圖2(c)中外部容器上方氣體的壓強(qiáng),p為圖2(a)中浮沉子內(nèi)上方氣體壓強(qiáng),Δh為圖2(c)中浮沉子下沉深度.

對圖2(b)和圖2(c)狀態(tài)下的浮沉子底端進(jìn)行分析有[3]

p′+ρgh′3=p′0+ρg(h′2+h′3)

(8)

p″+ρgh″3=p″0+ρg(h″3+h″2+Δh)

(9)

式(8)中h′2、h′3分別為圖2(b)中浮沉子內(nèi)氣柱長度、水柱長度,式(9)中h″2、h″3分別為圖2(c)中浮沉子內(nèi)氣柱長度、水柱長度.

化簡式(8)、(9)可得

p′=p′0+ρgh′2

(10)

p″=p″0+ρg(h″2+Δh)

(11)

若把空氣的壓縮過程看成等溫壓縮過程[4],則有

p(h2+h1)S=p′h′2S

進(jìn)一步可求得

(12)

結(jié)合式(4)、(11)、(12),浮沉子的臨界位置的表達(dá)式可寫為

(13)

為了更加直觀地看出浮沉子自身參數(shù)對Δh的影響,聯(lián)立式(1)、式(13)可寫成

(14)

若要讓圖2(b)中的浮沉子下沉,需要對裝置進(jìn)行施壓,使外部容器上方氣體壓強(qiáng)增大.此狀態(tài)下必有

p′0

聯(lián)立式(10)、(11),其中Δh>0,得

p′

顯而易見,此式與式(4)相矛盾.

為了滿足式(4)成立,聯(lián)立式(10)、(11),得到

p′0=p″0+ρgΔh

(15)

即在浮沉子下沉Δh后,立即減小外部容器內(nèi)氣壓p″0,并使之小于p′0,才能使得等式成立.

但僅在外界大氣壓作用下,外部壓強(qiáng)最低只能降回到圖2(a)中的情況,即與大氣壓相等.所以這里p″0的取值范圍為[p0,p′0),在此情況下,控制浮沉子下沉深度Δh與p″0之間的變化,才能滿足式(4).即浮沉子下沉后只有減壓才能使之在水下達(dá)到受力平衡位置(即臨界位置),從而產(chǎn)生不可逆現(xiàn)象.

但是,若減壓過度或下降高度與減壓不匹配,將會導(dǎo)致

p′0≠p″0+ρgΔh

例如減壓過度,會使得p″

h′2>h″2

則式(3)變?yōu)?/p>

mg>ρgh″2

代入式(7)發(fā)現(xiàn)使浮沉子下沉的力大于使之上升的力,不可逆現(xiàn)象由此發(fā)生.

3 浮沉子運(yùn)動規(guī)律實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 實(shí)驗(yàn)方案及數(shù)據(jù)記錄

采用制作材料規(guī)格相同、頂端開有直徑為1～2 mm小孔的玻璃瓶進(jìn)行浮沉子制作,浮沉子和外部容器帶有刻度,其最小分度值為1 mm.

選取質(zhì)量、截面積、長度都相同的浮沉子,使用配重銅絲增改其質(zhì)量,并確保在改變浮沉子整體質(zhì)量的同時(shí)不改變其排水體積(即把所加配重銅絲放至浮沉子內(nèi)部),測量出每次實(shí)驗(yàn)相對應(yīng)的h2(液面以下氣柱高度)和Δh(臨界位置深度),如表1所示.

表1 浮沉子質(zhì)量m對h2和Δh的影響

選取橫截面積相同的浮沉子,使用配重銅絲維持其質(zhì)量不變,測量出每次實(shí)驗(yàn)相對應(yīng)的h2(液面以下氣柱長度)和Δh(臨界位置深度),如表2所示.

表2 浮沉子截面積S對h2和Δh的影響

利用相關(guān)軟件繪制不同實(shí)驗(yàn)參數(shù)下關(guān)于h2和Δh的散點(diǎn)圖,如圖3～圖6所示.

圖3 質(zhì)量m與氣柱高度h2之間的關(guān)系

圖4 質(zhì)量m與臨界位置深度Δh之間的關(guān)系

圖5 截面積S與氣柱高度h2之間的關(guān)系

圖6 截面積S與臨界位置深度Δh之間的關(guān)系

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

由圖3～圖6可知,浮沉子自身參數(shù)會對臨界位置產(chǎn)生影響,具體表現(xiàn)如下:隨著浮沉子質(zhì)量的增加,其液面以下氣柱高度增加,臨界位置深度逐漸減小,而截面積的增加所帶來的影響與上述相反.

實(shí)驗(yàn)中還觀察到:浮沉子若要發(fā)生不可逆,則其初始位置就必須與液面齊平或與液面極接近.由式(13)可得,當(dāng)h1為零時(shí),由于h1所在的這一項(xiàng)含有p0,對于浮沉子臨界位置深度Δh而言變小了很大一部分,所以在浮沉子完全浸沒時(shí),相比于有露出的情況下,臨界位置深度Δh更小.

4 結(jié)論

通過上述理論分析和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)果表明:

(1)浮沉子下沉后只有減壓才能使之在水下達(dá)到受力平衡位置.產(chǎn)生不可逆現(xiàn)象的根本原因?yàn)檫^度放壓.

(2)浮沉子的自身參數(shù)(質(zhì)量m、截面積S)是通過影響液面以下氣柱高度h2進(jìn)而影響臨界位置的深度.