談元凱

(上海市洋涇中學(xué) 上海 200122)

陳 辰

(上海市第八中學(xué) 上海 200011)

1 前言

2021年9月始,上海在高一年級全面推行了新教材與新課標(biāo).其中在滬科版必修二的教學(xué)安排中,設(shè)計了“相對論初步”這一節(jié).需要學(xué)生在學(xué)習(xí)過高中力學(xué)的全部內(nèi)容后理解牛頓運動定律的局限性,并且還要知道一些關(guān)于狹義相對論的初步概念.

結(jié)合新課標(biāo)核心素養(yǎng)的相關(guān)要求,教師可以在教學(xué)時適當(dāng)對部分學(xué)有余力的學(xué)生提出一些較為靈活和高要求的學(xué)習(xí)方式.這里結(jié)合物理核心素養(yǎng)中“質(zhì)疑”精神和“建?！蹦芰@兩大要素[1],對教材中“尺縮鐘慢”效應(yīng)的證明與推導(dǎo)做一個再討論.

2 教材中“尺縮鐘慢”的證明

2.1 “鐘慢”效應(yīng)的證明

在“鐘慢”效應(yīng)的證明方面,教材是這樣敘述的[2]:

如圖1(a)所示,假設(shè)一高鐵列車沿直線軌道以勻速v向右運動,車廂地板上一個光源向上發(fā)出一個閃光,被車廂頂部的反射鏡反射回車廂底板,并用一個鐘記錄下光脈沖來回運動經(jīng)歷的時間.

(a)

(b)圖1 “鐘慢”效應(yīng)分析圖

假設(shè)車廂高度為h,因為光速為c,所以車廂里觀察者看到的時間間隔為

(1)

在地面上的觀察者看來,當(dāng)光脈沖向上傳播和返回時,車廂同時在以勻速v向右運動,因此光脈沖的路徑是等腰三角形的兩條斜邊,如圖1(b)所示.

如果光脈沖來回的時間間隔是Δt′,則有

消去h后可得

(2)

由于v

故

Δt′>Δt

2.2 “尺縮”效應(yīng)的證明

在“尺縮”效應(yīng)的證明方面,教材是這樣敘述的:

如圖2(a)所示,在直桿的一端裝上激光發(fā)射器和接收器,另一端裝上反射鏡.當(dāng)發(fā)射器發(fā)出激光被反射鏡反射回接收器時,記錄下激光往返的時間間隔Δt,即可得到直桿的長度為

圖2 “尺縮”效應(yīng)分析圖

即

(3)

假設(shè)直桿所在的參考系相對地面以勻速v向右運動,如圖2(b)所示.如果地面觀察者測得的直桿長度為L′,設(shè)激光從直桿左端發(fā)出到達(dá)反射鏡的時間為Δt′1,因為在這段時間內(nèi)直桿向前運動了vΔt′1的距離,因此有

(4)

同理,設(shè)激光從反射鏡返回接收器的時間間隔為Δt′2,如圖2(c)所示.在這段時間內(nèi)直桿向前運動了vΔt′2的距離,因此有

(5)

因此,地面觀察者測得總的時間間隔為

Δt′=Δt′1+Δt′2=

(6)

注意到Δt′是地面觀測者測得的激光從發(fā)出到接收的時間,Δt是相對直桿靜止的觀測者測得的相應(yīng)的時間間隔.根據(jù)前面討論的時間的相對性,兩者滿足關(guān)系式(2).

將式(3)、(6)代入式(2)可得

(7)

由于v

故

L′

3 對教材中證明過程的質(zhì)疑

通過閱讀教材中的證明過程可以發(fā)現(xiàn),在證明“尺縮鐘慢”效應(yīng)的過程中,教材建立的模型都是光線傳播的往返過程[2].

通過思考,可以提出這樣的疑問:如果研究光線傳播過程中的某一單向過程,能否得出“尺縮鐘慢”的相對論效應(yīng)呢?

3.1 對“鐘慢”效應(yīng)的質(zhì)疑和論述

在圖1(a)中,如果只考慮光線的單向傳播過程,車廂里觀察者看到光脈沖從發(fā)出至射到車廂頂部反射鏡的時間間隔為

(8)

圖1(b)中,在地面上的觀察者看來,當(dāng)光脈沖傳播時,光脈沖從發(fā)出至射到車廂頂部反射鏡的時間間隔是Δt′,則有

消去h后可得

(9)

可以發(fā)現(xiàn),式(9)與式(2)完全相符.說明無論取光線的單向傳播過程還是往返過程,得到的相對論效應(yīng)的結(jié)果是一樣的,即:一個靜止的觀察者會發(fā)現(xiàn)勻速運動的參考系中所有過程都變緩了,而在這個參考系中的觀察者卻認(rèn)為一切正常.

3.2 對“尺縮”效應(yīng)的質(zhì)疑和論述

在圖2(a)中,如果發(fā)射器發(fā)出激光射到反射鏡上時所用的時間為Δt,即可得到直桿的長度為L=cΔt,即

(10)

假設(shè)在圖2(b)中直桿所在的參考系相對地面以勻速v向右運動,地面觀察者測得的直桿長度為L′,設(shè)激光從直桿左端發(fā)出到達(dá)反射鏡的時間為Δt′,考慮這段時間內(nèi)直桿向前運動了vΔt′的距離,因此有

(11)

考慮到相對論的時間修正,滿足

將式(10)、(11)代入式(2)可得

(12)

綜上所述,同樣取了光脈沖單向的傳播過程,為什么不同的相對論效應(yīng)做出來的結(jié)果是不同的呢?時間修正完全與教材的證明結(jié)果一致,但長度修正雖然能定性看出在“縮短”,但是和教材的表達(dá)式完全不同.

4 對兩種建模過程的再論述

4.1 洛倫茲變換

如圖3所示,有兩個一維慣性參考系S和S′.其中慣性參考系S沿著x軸以勻速v相對于S′系向右運動.以兩個慣性參考系的原點相重合的瞬間作為計時的起點,某時刻有一事件發(fā)生在點P,從S系看,P點的位置坐標(biāo)為x,從S′系看,P點的位置坐標(biāo)為x′.愛因斯坦從狹義相對論的基本原理出發(fā),導(dǎo)出了在S系中位置坐標(biāo)的洛倫茲變換[3],滿足

圖3 洛倫茲坐標(biāo)變換

4.2 單向過程建模中存在的問題及原因闡述

實際上,空間中任何物體的長度應(yīng)該是同一時刻觀測到的物體兩端點之間的位置坐標(biāo)之差.所以如果以光的單向傳播作為研究過程的話,起點和終點為兩個不同的坐標(biāo),在相對論效應(yīng)下觀測到的結(jié)果都發(fā)生了變化,而地面觀測者看到的直桿長度其實是兩個端點的坐標(biāo)之差.

所以教材中為了避免兩個坐標(biāo)都發(fā)生變化引起的偏差,巧妙地設(shè)計了往返過程,起點終點都是同一個點,所以只牽涉了一個坐標(biāo)的洛倫茲變換.

如果依舊要選用光的單向傳播作為研究過程,就必須同時對兩個端點的坐標(biāo)進行變換,可以做如下推導(dǎo).

如圖4所示,在光線單向傳播過程中,從直桿所在的參考系S來看,直桿的長度應(yīng)該為L=x2-x1.從地面上的觀察著來看,直桿的長度應(yīng)該為

圖4 洛倫茲變換下的“尺縮”效應(yīng)

L′=x′2-x′1

根據(jù)洛倫茲變換有

則

化簡后得

(13)

可以發(fā)現(xiàn),根據(jù)洛倫茲變換,同時修正直桿初、末坐標(biāo)的表達(dá)式,得出的結(jié)果與教材中利用光線往返運動獲得的結(jié)論完全一樣.

而在“鐘慢”效應(yīng)中,在運動的高鐵車廂里由于教材設(shè)計的研究過程是光線豎直射出,與高鐵的水平運動方向垂直,所以在這個方向上長度不會受到相對論效應(yīng)的影響,即便換成單向性的過程,運算的結(jié)果也和往返過程得出的結(jié)果沒有任何差異.

5 結(jié)束語

對于教材的處理,無論是教師備課還是學(xué)生學(xué)習(xí),都要反復(fù)精讀教材中的內(nèi)容,閱讀的同時需要不斷思考教材的行文邏輯和編寫意圖.

本文從教材中“尺縮鐘慢”效應(yīng)證明的角度出發(fā),對課本的證明過程提出質(zhì)疑,通過對比教材選取的物理過程與自己建立的物理過程中在推理上的差異,進一步明確了如何通過建模、分析、推理去描述狹義相對論中的“尺縮鐘慢”效應(yīng).

從教研、備課的角度來說,本文的再討論可以是作為課堂教學(xué)以及各位同行在備課時對于這一章節(jié)的教學(xué)參考資料.

從教學(xué)的角度來說,結(jié)合單元教學(xué)設(shè)計,本文的論述可以作為一次單元教學(xué)設(shè)計的單元作業(yè),學(xué)生在理解了狹義相對論的基本原理和“尺縮鐘慢”效應(yīng)后對于教材上的一些證明去探究新的研究方式,提出疑問的同時也展開研究,查閱資料做出合理的論述,這也是提升學(xué)生核心素養(yǎng)的一次機會.