李響，黃歡，段宇，殷圣地

類方形蜂窩夾芯胞元尺寸的等效力學性能與優(yōu)化

李響1,2，黃歡2，段宇2，殷圣地2

（1.三峽大學 石墨增材制造技術(shù)與裝備湖北省工程研究中心，湖北 宜昌 443002； 2.三峽大學 機械與動力學院，湖北 宜昌 443002）

為了提升類方形蜂窩等效力學性能，在推導了其尺寸參數(shù)與等效力學性能的函數(shù)后，將尺寸參數(shù)作為設(shè)計變量、等效力學性能為優(yōu)化目標，建立了類方形蜂窩夾芯胞元優(yōu)化數(shù)學模型，采用了多目標遺傳算法進行優(yōu)化設(shè)計。給出胞元尺寸單參數(shù)響應(yīng)及多尺寸協(xié)同作用的響應(yīng)分析并從多目標優(yōu)化代表性解中選取到最優(yōu)解。優(yōu)化結(jié)果得到：當夾芯胞元尺寸參數(shù)/取114.3899、/取0.9598時，等效密度增加59.52%，方向等效彈性模量減小了67.37%，但方向等效彈性模量增大了109.77%，等效剪切模量增加了421.94%，類方形蜂窩夾芯的等效力學性能顯著提升。研究結(jié)果對類方形蜂窩夾層結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計提供一定的依據(jù)和參考。

類方形蜂窩；等效力學性能；優(yōu)化設(shè)計；胞元尺寸

蜂窩夾層板作為典型的復合材料結(jié)構(gòu)，因為其較高的比強度、比剛度和耐撞性能，被廣泛的應(yīng)用于汽車船舶、航空航天、工業(yè)建筑等領(lǐng)域。隨著夾層結(jié)構(gòu)在工程中的應(yīng)用越來越多，人們對夾層結(jié)構(gòu)的力學性能、穩(wěn)定性和可靠性等指標提出更高的要求，傳統(tǒng)的蜂窩結(jié)構(gòu)已逐漸難以滿足實際工程要求，需要開發(fā)出更多的新型蜂窩結(jié)構(gòu)[1]。在國內(nèi)外學者已提出了包括Kagome、內(nèi)凹－反手性蜂窩等眾多的蜂窩結(jié)構(gòu)后[2-3]，基于仿生學的類蜂窩結(jié)構(gòu)也被提出[4]，后來也設(shè)計出類方形蜂窩并對其力學性能進行了分析和研究[5-6]。但對這些夾芯結(jié)構(gòu)胞元尺寸的取值目前還是參考了傳統(tǒng)蜂窩結(jié)構(gòu)的經(jīng)驗取值，為了得到性能更佳的結(jié)構(gòu)，急需對蜂窩等效力學性能與優(yōu)化設(shè)計進行研究。

目前，國內(nèi)外的眾多學者已對多種夾層結(jié)構(gòu)進行了優(yōu)化設(shè)計并取得了不錯的成果。朱凌雪等[7]采用遺傳算法，將梯度因子作為優(yōu)化變量，比吸能為優(yōu)化目標，對梯度點陣結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化設(shè)計，在優(yōu)化后，梯度結(jié)構(gòu)的吸能性能提高了一倍。許琦等[8]以點陣夾層圓柱殼結(jié)構(gòu)中的上中下板面的厚度、間距以及單胞內(nèi)桿件的半徑作為設(shè)計變量，以最小熱傳導系數(shù)、最大化一階屈曲載荷、屈服強度為目標進行優(yōu)化，給出了用于描述最小應(yīng)力、最小質(zhì)量、最小傳熱的最優(yōu)解集。劉偉先等[9]從輕量化出發(fā)，以蜂窩夾層結(jié)構(gòu)進氣道為研究對象，研究了一種基于全局響應(yīng)面算法的蜂窩夾層進氣道優(yōu)化技術(shù)。Yuan Chen等[10]研究了正常沖擊和45°沖擊對復合材料夾層結(jié)構(gòu)能量吸收和破壞行為的動態(tài)影響并進行多目標優(yōu)化，以提高正常和45°載荷下的能量吸收，優(yōu)化后復合材料夾層結(jié)構(gòu)的能量吸收能力可顯著提高。Khalkhali等[11]采用多目標優(yōu)化算法對波紋夾層結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化設(shè)計，得到了在一定約束條件下的最佳解。Gholami等[12]采用粒子群算法對帶有蜂窩的復合夾層結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化，發(fā)現(xiàn)最佳的夾層板結(jié)構(gòu)中的每個胞元橫截面積最小而允許長度最大。雖然對于夾層結(jié)構(gòu)力學性能和優(yōu)化設(shè)計的研究較多，但對類方形蜂窩夾芯胞元尺寸力學性能和優(yōu)化的研究還較為缺乏。

目前對類方形蜂窩研究的夾芯胞元尺寸參數(shù)取值均源于經(jīng)驗取值，并不能代表最優(yōu)的力學性能，因此本文將研究類方形蜂窩結(jié)構(gòu)胞元尺寸參數(shù)對等效力學性能的影響，并最終優(yōu)化出擁有最佳力學性能的尺寸。本文所研究的類方形蜂窩夾芯胞元及其等效模型和主要尺寸參數(shù)如圖1所示，其中類方形蜂窩夾芯等效模型單胞截面長度為、高度為、壁厚為。

圖1 類方形蜂窩結(jié)構(gòu)及其夾芯胞元尺寸參數(shù)

1 類方形蜂窩夾芯胞元尺寸優(yōu)化設(shè)計

由以前的研究可知，類方形蜂窩為零泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)[13]，類方形蜂窩結(jié)構(gòu)的等效力學參數(shù)主要包括方向等效彈性模量E、方向等效彈性模量E、等效剪切模量G和等效密度ρ，因此將以上的四個參數(shù)作為優(yōu)化目標。

1.1 類方形蜂窩夾芯胞元尺寸優(yōu)化設(shè)計變量及目標函數(shù)

研究發(fā)現(xiàn)，類方形蜂窩的等效力學參數(shù)與/、/的相關(guān)性比單獨的更高，因此將/、/作為在優(yōu)化類方形蜂窩夾芯胞元尺寸參數(shù)時的設(shè)計變量。

式中：為夾芯高度。

胞元質(zhì)量為：

胞元等效實體的體積為：

等效實體的質(zhì)量為：

依據(jù)推出的等效密度表達式及本課題組前期的研究工作，優(yōu)化問題的目標函數(shù)為：

1.2 類方形蜂窩夾芯胞元優(yōu)化數(shù)學模型

類方向蜂窩結(jié)構(gòu)為薄壁結(jié)構(gòu)，胞元壁厚對于邊長、的值較小，因此綜合考慮類方向蜂窩夾芯的力學性能指標，優(yōu)化數(shù)學模型為：

1.3 多目標遺傳算法基本流程及算法設(shè)置

本文采用多目標遺傳算法進行優(yōu)化設(shè)計，為了得到準確度更高的優(yōu)化解，將參數(shù)設(shè)定為最優(yōu)前端個體系數(shù)0.5，種群大小100，最大進化代數(shù)200，停止代數(shù)200，其具體流程如圖2所示。

圖2 多目標遺傳算法優(yōu)化流程圖

2 胞元尺寸的優(yōu)化分析

將探究胞元的尺寸參數(shù)（/、/）對類方形蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)等效力學性能的影響，為方便研究，根據(jù)經(jīng)驗將尺寸的初始值設(shè)為＝0.02 mm、＝2.5 mm、＝5 mm，即設(shè)計變量的初始值為/＝＝125、/＝＝0.5。

2.1 胞元尺寸單參數(shù)響應(yīng)分析

當/和/分別取初始值時，/和/對類方形蜂窩夾芯方向的等效彈性模量E的影響如圖3所示。由圖3可知，隨著/的增大，方向的等效彈性模量減小，且增長率隨著/的增大有一定的減小，但基本上近似于線性。而方向的等效彈性模量與/基本上呈線性相關(guān)。

圖3 l/t和l/h分別對Ecx的影響

圖4表示的是/和/對類方形蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)方向的等效彈性模量E的影響。從圖4中可以看出方向的等效彈性模量都是隨著/和/的增大而減小，且下降率也是隨著/和/的增大而減小，變化范圍也基本相同，但下降率隨著/變化的趨勢更為平緩。

/和/對類方形蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)等效剪切模量G的影響如圖5所示。由圖5可知等效剪切模量與/基本上呈正線性相關(guān)。等效剪切模量隨著/的增大而減小，且下降率也隨著/的增大逐漸減小。

圖6顯示的是/和/對類方形蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)等效密度ρ的影響。從圖6可以看出等效密度與/呈正線性相關(guān)，而隨著/的增大，等效密度減小，且下降率也隨著/的增大而均勻減小。

圖4 l/t和l/h分別對Ecy的影響

圖5 l/t和l/h分別對Gc的影響

2.2 胞元尺寸協(xié)同響應(yīng)分析

/和/協(xié)同作用時對類方形蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)y方向的等效彈性模量的影響如圖8所示。由圖8可知，/和/協(xié)同作用時，/和/對方向的等效彈性模量的影響趨勢基本保持一致，都是隨著/或/的減小，方向的等效彈性模量迅速增大。而當/（/）較大時，/（/）對方向的等效彈性模量幾乎無影響；當/（/）較小時，方向的等效彈性模量隨著/（/）的增大而迅速減小。

圖6 l/t和l/h分別對ρc的影響

圖7 l/t和l/h對Ecx的響應(yīng)面

圖8 l/t和l/h對Ecy的響應(yīng)面

圖9表示的是/和/協(xié)同作用時對類方形蜂窩夾芯等效剪切模量的影響。從圖9中可以看出，/和/對等效剪切模量的影響效果基本相反。當/較小時，等效剪切模量幾乎不隨/變化；但當/較小時，等效剪切模量隨著/的增大而迅速增大，且增長率基本保持不變。當/較大時，等效剪切模量隨著/的增大而減小，且下降率也逐漸減??；但當/較大時，/的變化基本不改變等效剪切模量的大小。

圖10為/和/協(xié)同作用時對類方形蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)等效密度的響應(yīng)面。由圖10可知，當/較小時，等效密度對/的敏感度較低，但隨著/的增大等效密度對/的敏感度逐漸增強。而不論/取何值，等效密度對/的敏感度都較強，都是隨著/的增大而基本呈線性下降，且隨著的/增大，等效密度對/的敏感度也隨之下降。

圖9 l/t和l/h對Gc的響應(yīng)面

圖10 l/t和l/h對ρc的響應(yīng)面

2.3 優(yōu)化結(jié)果分析

由上述分析可得，在增大/時，雖然類方形蜂窩夾芯方向的等效彈性模量略有減小，但方向的等效彈性模量及等效剪切模量會明顯增大，抗承載和形變能力變強，不過等效密度卻會大幅上升，使得結(jié)構(gòu)重量過重；在增大/時，雖等效密度有一定減小，但方向和方向的等效彈性模量及等效剪切模量也會隨之降低。綜上所述，該優(yōu)化目標之間存在相互沖突，無法使得優(yōu)化結(jié)果同時到達最優(yōu)，因此需要根據(jù)實際情況來選取最優(yōu)解。

基于上述多目標遺傳算法的設(shè)置，得到基于目標函數(shù)和優(yōu)化數(shù)學模型對應(yīng)的Pareto解集，從Pareto解集中選取幾組多目標優(yōu)化的代表性解，分別用于描述類方形蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)的最大方向和方向等效彈性模量、最大等效剪切模量和最小等效密度，如表1所示。在擁有最大方向等效彈性模量時夾芯結(jié)構(gòu)方向等效彈性模量較大，同時等效密度也較大，夾芯結(jié)構(gòu)重量增加；在擁有最大方向等效彈性模量時會減小方向等效彈性量及剪切模量，夾芯結(jié)構(gòu)抗剪能力下降；在擁有最大剪切模量時方向和方向等效彈性模量會減小，同時會增大等效密度，夾芯結(jié)構(gòu)重量增加；而具有最小等效密度時夾芯結(jié)構(gòu)重量最輕，但其余三個參數(shù)均較小，導致力學性能變差。

綜上所述，夾芯結(jié)構(gòu)在具有單一目標最優(yōu)時，會導致其它目標性能變差，此時的夾芯結(jié)構(gòu)并不是最優(yōu)的。因此還需要在得到的Pareto解集中選取能滿足四個目標函數(shù)的相對最優(yōu)值，并將其與優(yōu)化模型的初始值進行比較。因此經(jīng)選取得到最終優(yōu)化值的相關(guān)數(shù)據(jù)如表2所示。由表2可知，當/＝114.3899、/＝0.9598時，夾芯結(jié)構(gòu)方向的等效彈性模量增加了109.77%，方向的等效彈性模量減小了67.37%，等效剪切模量增加了421.94%，但等效密度也增加了59.52%，使夾芯結(jié)構(gòu)整體重量上升?？傮w而言，在類方形蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)的重量略有上升的前提下，其力學性能得到了優(yōu)化，承載變形能力有了大幅提高。

表2 類方形蜂窩夾芯優(yōu)化模型初始解和優(yōu)化值

3 結(jié)論

將響應(yīng)面法與多目標遺傳算法相結(jié)合，以類方形蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)的尺寸參數(shù)/和/作為變量，對其方向等效彈性模量E、方向等效彈性模量E、等效剪切模量G和等效密度ρ進行優(yōu)化設(shè)計，得到如下結(jié)論：

（1）在/取值確定時，方向和方向等效彈性模量、等效剪切模量和等效密度均隨著/的增大而減?。辉?取值確定時，方向等效彈性模量、等效剪切模量和等效密度均與/呈線性相關(guān)，但方向等效彈性模量卻會隨/的增大而減小。

（2）在/取較小值、/取較大值時，方向等效彈性模量、等效剪切模量和等效密度都能取到較大值；而方向等效彈性模量只在/和/均取較小值時才能取到較大值。

（3）當用多目標遺傳算法對類方形蜂窩夾芯胞元尺寸進行優(yōu)化設(shè)計時，尺寸參數(shù)/取114.3899、/取0.9598時，使其在等效密度增加59.52%和方向等效彈性模量減小67.37%的情況下，方向等效彈性模量增大了109.77%，等效剪切模量增加了421.94%，顯著提高了其力學性能。

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Equivalent Mechanical Properties and Optimization of Quasi-Square Honeycomb Sandwich Cell Size

LI Xiang1,2，HUANG Huan2，DUAN Yu2，YIN Shengdi2

( 1.Hubei Engineering Research Center for Graphite Additive Manufacturing Technology and Equipment, China Three Gorges University, Yichang 443002, China; 2.College of Mechanical and Power Engineering, China Three Gorges University, Yichang 443002, China)

In order to improve the equivalent mechanical performances of quasi-square honeycombs, a mathematical model of cell optimization was established and a multi-objective genetic algorithm was used for the optimization design. With deduction of the function of dimension parameters and equivalent mechanical properties, the size parameters were taken as the design variables and the equivalent mechanical properties were taken as the optimization objectives, The optimized results show that when the/is 114.3899 and the/is 0.9598, the equivalent density rose by 59.52%, the-direction equivalent elastic modulus decreased by 67.37%. In contrast, the equivalent elastic modulus in-direction rose by 109.77% and the equivalent shear modulus rose by 421.94%. The equivalent mechanical performances of quasi-square honeycomb structure are significantly improved. The research results provide some basis and reference for the optimal design of honeycomb sandwich structures.

quasi-square honeycomb；equivalent mechanical performance；optimized design；cell size

O342

A

10.3969/j.issn.1006-0316.2023.09.001

1006-0316 (2023) 09-0001-07

2022-12-26

國家自然科學基金（51975325、51305232）；三峽大學石墨增材制造技術(shù)與裝備湖北省工程研究中心開放基金（HRCGAM202108）

李響（1979－），男，湖北黃梅人，博士，副教授、碩士生導師，主要研究方向為輕量化技術(shù)、結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計、數(shù)值模擬技術(shù)、結(jié)構(gòu)強度與可靠性等，E-mail：lixiangcfy@ctgu.edu.cn。