馬仕彪

(安徽省濉溪中學(xué),安徽 淮北 235100)

宇宙速度是從地球表面向宇宙空間發(fā)射人造地球衛(wèi)星、行星際和太陽際飛行器所需的最低速度。

1 第一宇宙速度

牛頓曾在《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中提出了一個(gè)設(shè)想:如圖1所示,在高山上水平拋出一個(gè)物體,若速度一次比一次大,其射程就一次比一次遠(yuǎn),當(dāng)速度足夠大時(shí),它將會(huì)圍繞地球表面做圓周運(yùn)動(dòng)而不再落回地球表面,成為一顆人造地球衛(wèi)星,這個(gè)足夠大的速度稱之為第一宇宙速度vⅠ。

圖1

2 第二宇宙速度

如圖2所示,若衛(wèi)星發(fā)射的速度在第一宇宙速度的基礎(chǔ)之上逐漸增加,衛(wèi)星的軌跡將為橢圓,橢圓的長(zhǎng)軸隨著發(fā)射速度的增加而變大,衛(wèi)星離開地球的最遠(yuǎn)距離也逐漸變大。當(dāng)衛(wèi)星發(fā)射速度達(dá)到某一臨界值vⅡ時(shí),衛(wèi)星離地球足夠遠(yuǎn),以至于衛(wèi)星能夠掙脫地球引力的束縛,成為太陽系的一顆小行星,這個(gè)臨界發(fā)射速度稱之為第二宇宙速度vⅡ,關(guān)于第二宇宙速度主要運(yùn)用兩種方法進(jìn)行推導(dǎo)。

圖2

2.1 運(yùn)用積分法

圖3

積分法是推導(dǎo)第二宇宙速度時(shí)普遍采用的方法,其優(yōu)點(diǎn)是過程簡(jiǎn)單,學(xué)生在高中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了微積分的相關(guān)知識(shí),容易理解和接受,也能感受數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用,體驗(yàn)成功的喜悅,增加學(xué)習(xí)的興趣。

在發(fā)射衛(wèi)星時(shí),往往并不是將衛(wèi)星沿地球半徑朝外直接發(fā)射的,為了提高發(fā)射效率,一般要借助于地球的自轉(zhuǎn)速度,所以衛(wèi)星的軌道不是直線而是橢圓。因此,為了讓研究更接近客觀事實(shí),最好從橢圓的角度入手。

2.2 運(yùn)用開普勒第二定律

如圖4所示,當(dāng)衛(wèi)星發(fā)射速度的數(shù)值在第一宇宙速度和第二宇宙速度之間時(shí),衛(wèi)星圍繞地球運(yùn)動(dòng)的軌跡為橢圓。

圖4

在高中階段,開普勒三大定律沒有得到有效的應(yīng)用,這種方法無疑填補(bǔ)了這個(gè)空白,更有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)物理的熱情,對(duì)第二宇宙速度的理解也更加地深刻。

第二宇宙速度是衛(wèi)星掙脫地球引力的最小發(fā)射速度,利用第二宇宙速度可以解決很多疑難問題,黑洞問題就是其中之一。2020年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)?lì)C給了對(duì)黑洞研究有突出貢獻(xiàn)的科學(xué)家,采取第二宇宙速度的方法探索黑洞得到科學(xué)界的認(rèn)可后,這將鼓勵(lì)人們持續(xù)研究黑洞。

例1:黑洞是愛因斯坦廣義相對(duì)論預(yù)言的一種質(zhì)量極大的天體,黑洞自身不發(fā)光,難以直接觀測(cè),我們可以通過太陽運(yùn)動(dòng)、黑洞邊緣的吸積盤及噴流乃至引力波來進(jìn)行探測(cè)。已知萬有引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2,地球質(zhì)量ME=6.02×1024kg,光速c=3.0×108m/s。求地球變成黑洞的最大可能半徑Rm(結(jié)果保留1位有效數(shù)字)。

解析:若要直接利用愛因斯坦廣義相對(duì)論的知識(shí)去解決黑洞問題,難度很大,但早在相對(duì)論提出之前就有人利用牛頓力學(xué)體系預(yù)言過黑洞的存在。他們認(rèn)為黑洞的引力很大,大到物體以光速運(yùn)動(dòng)都無法從黑洞表面脫離或者說連光都無法從黑洞表面脫離,這也是黑洞的由來之一,因此可以運(yùn)用第二宇宙速度的相關(guān)知識(shí)來解決該問題。

3 第三宇宙速度

如圖5所示,若衛(wèi)星發(fā)射的速度大于第二宇宙速度,速度繼續(xù)增加,衛(wèi)星不僅會(huì)脫離地球,而且還可能逐漸遠(yuǎn)離太陽,當(dāng)發(fā)射速度達(dá)到某一臨界值vⅢ時(shí),衛(wèi)星將掙脫太陽的引力束縛而進(jìn)入銀河系,這個(gè)臨界速度稱之為第三宇宙速度vⅢ。

圖5

3.1 運(yùn)用積分法

3.2 運(yùn)用開普勒第二定律

4 結(jié)語

以上運(yùn)用積分法和開普勒第二定律推導(dǎo)了三個(gè)宇宙速度的大小,并分析了各個(gè)宇宙速度的意義。而這些只是理論上的結(jié)論,事實(shí)上,當(dāng)要考慮衛(wèi)星發(fā)射時(shí)的地理位置、大氣阻力、地球自轉(zhuǎn)等因素時(shí),真實(shí)的宇宙速度的計(jì)算比想象的要復(fù)雜得多,這是可拓展研究的課題。