申博，郭文孝，李瑞琴*

基于3-(RRR)E(RR)S并聯(lián)機構(gòu)的多運動模式分析

申博1，郭文孝2,3，李瑞琴3*

（1.山西水利職業(yè)技術(shù)學院 機電工程系，太原 030032；2.中國煤炭科工集團太原研究院有限公司，太原 030006；3.中北大學 機械工程學院，太原 030051）

多模式機器人具有智能型可重構(gòu)和變結(jié)構(gòu)特性的能力，能夠主動或被動適應多變的環(huán)境，設(shè)計一種能夠在包裝工程領(lǐng)域應用的多運動模式并聯(lián)機構(gòu)。從螺旋理論出發(fā)，通過研究線矢量與偶量在不同幾何空間中的相關(guān)性，得出在一定條件下約束力可以轉(zhuǎn)化為法向約束力偶，為并聯(lián)機構(gòu)實現(xiàn)多模式運動提供了理論支撐。通過3-(RRR)E(RR)S并聯(lián)機構(gòu)變形，得出該機構(gòu)的具有3R、2T1R和2R1T等3種運動模式，在各種運動模式下的自由度均為3，具有全周性?；?-(RRR)E(RR)S并聯(lián)機構(gòu)，通過變化支鏈約束力線矢空間位置關(guān)系來改變機構(gòu)的約束條件，使該并聯(lián)機構(gòu)能夠?qū)崿F(xiàn)3R、2T1R和2R1T多模式運動，滿足物流分揀、抓放定位、產(chǎn)品空間姿態(tài)調(diào)整等需求。

多運動模式；并聯(lián)機構(gòu)；螺旋理論；自由度

隨著智能制造和機器人技術(shù)的快速發(fā)展，要求機器人能夠主動或被動地適應不同工況、任務和多變的環(huán)境，具有智能型可重構(gòu)和變結(jié)構(gòu)特性的能力[1]。目前，多運動模式的并聯(lián)機構(gòu)在航天領(lǐng)域[2-4]、先進制造業(yè)[5-7]、醫(yī)療康復[8-10]等領(lǐng)域有著迫切的需求。在包裝生產(chǎn)線，一般由搬運、包裝、打碼、裝箱或堆垛等多個任務和多個工作環(huán)節(jié)組成，每個環(huán)節(jié)采用單一運動模式工業(yè)機器人。多運動模式機器人的不同運動模式可對應不同的工作任務或工作狀態(tài)，可實現(xiàn)一機多用。Ferdinando等[11]首次提出變胞機構(gòu)，并將其應用于紙盒折疊。陳輝慶[12]研究了面向制糖業(yè)中的碼垛任務的可控變胞機構(gòu)的動態(tài)可靠性。多運動模式機器人可滿足多任務、多工作環(huán)節(jié)場合的需求，因此在包裝生產(chǎn)線中具有廣泛的前景[13-14]，但是相關(guān)研究比較少，因此該類型機構(gòu)進入國內(nèi)外研究者的視線，并引起了廣泛關(guān)注。

多運動模式機構(gòu)主要指可以有多種運動形式的機構(gòu)[15]，與運動分岔機構(gòu)[16]、變胞機構(gòu)[17-19]等均屬于可重構(gòu)機構(gòu)。Kong等[20]提出了一種具有多種工作模式的并聯(lián)機構(gòu)型綜合的通用方法，并構(gòu)型綜合出同時具有球面和平移模式的3-DOF并聯(lián)機構(gòu)。Fan等[21]基于構(gòu)型演化與李群理論的結(jié)合，提出了一種多運動模式的并聯(lián)機構(gòu)構(gòu)型綜合方法，綜合了兩平移兩轉(zhuǎn)動（2T2R）自由度、一平移兩轉(zhuǎn)動（1T2R）自由度和兩轉(zhuǎn)動（2R）自由度并聯(lián)機構(gòu)。Li等[22]利用位移群理論，主要研究一類特殊動平臺可以經(jīng)歷Schoenflies運動的分岔的并聯(lián)機構(gòu)。葉偉等[23]將一種具備2種運動模式的機構(gòu)引入并聯(lián)機構(gòu)支鏈，提出了一種具有運動分岔特性的并聯(lián)機構(gòu)。石志新等[24]利用方位特征集方法，提出了多模式并聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)類型綜合方法以及操作模式分析方法。張春燕等[25]針對移動機構(gòu)多運動模式的功能需求，提出基于單環(huán)運動鏈的設(shè)計方案。雖然有不少學者開展了多模式運動機構(gòu)的研究，但其發(fā)展還是處于初級階段，還難以滿足工程應用領(lǐng)域的需求，還有諸多問題亟須研究解決[26]。

在分揀、抓放、裝箱等包裝工程領(lǐng)域，不僅需要2T1R機構(gòu)進行流水線抓放定位、2R1T機構(gòu)進行分揀，還需要3R機構(gòu)調(diào)整產(chǎn)品空間姿態(tài)。針對這一問題，將應用螺旋理論和Grassman線幾何，通過研究線矢量與偶量的相關(guān)性，分析多運動模式轉(zhuǎn)化的條件。在此基礎(chǔ)上，提出一種3-(RRR)E(RR)S新型的多運動模式并聯(lián)機構(gòu)，分析其運動模式。

1 多運動模式并聯(lián)機構(gòu)的分析

1.1 螺旋理論

根據(jù)螺旋理論[27]可知，空間直線和螺旋之間存在一一對應關(guān)系，其中螺旋的表達式見式（1）。

式中：為螺旋的主部，也是螺旋方向矢量；0為螺旋的對偶部；0為螺旋的線距；為從坐標原點到螺旋軸線上任意一點的矢徑；為螺旋的節(jié)距。

在式（1）中，當?0≠0時，為一般意義的螺旋，此時≠0；當≠0、0≠0、?0=0時，退化為線矢量，線矢的節(jié)距=0；當=0、0≠0，退化為偶量；當=0、0=0，該螺旋為零，節(jié)距為不定值。

螺旋通常也用Plücker坐標表示，其中含有6個標量，形式見式（2）。

式中：(，，）為螺旋的底部；(，，）為螺旋的對偶部。

當式（2）的螺旋表示運動時，前3個螺旋可以表示轉(zhuǎn)動運動，后3個螺旋表示移動運動；當其表示力螺旋時，前3個螺旋表示力，后3個則是力偶；當表示約束時，前3個螺旋表示約束力，后3個表示約束力偶；在表示自由度時，前3個表示轉(zhuǎn)動自由度，后3個表示移動自由度。本文將上述螺旋理論對多運動模式并聯(lián)機構(gòu)進行分析研究，文中將采用如表1所示的箭頭來代表運動螺旋、約束、自由度。

表1 采用箭頭的類型和所代表的意義

Tab.1 Types and meanings of arrows adopted

1.2 多運動模式轉(zhuǎn)化的條件

眾所周知，空間不受任何約束物體的自由度是6，即沿、、軸的3個移動和繞、、軸的3個轉(zhuǎn)動，如圖1所示。當物體受到約束力或者約束力偶的作用，相應方向的移動或者轉(zhuǎn)動被約束。并聯(lián)機構(gòu)多運動模式轉(zhuǎn)換，就是通過改變機構(gòu)的約束條件，即作用到動平臺上的約束力和約束力偶之間的轉(zhuǎn)化，可以實現(xiàn)運動模式的變化。

圖1 空間物體的運動

并聯(lián)機構(gòu)動平臺的約束螺旋系為各支鏈運動螺旋系的反螺旋集合，假設(shè)其運動模式發(fā)生轉(zhuǎn)化，則支鏈對動平臺的結(jié)構(gòu)約束發(fā)生了變化。在機構(gòu)自由度不變且具有多運動模式時，就需要研究線矢量與偶量的相關(guān)性。

線矢量與偶量的相關(guān)性，可分為3類情況。

1）兩平行線矢和一法向偶量。如果空間有3個螺旋，1、2和3。前2個是線矢量且空間平行，第3個是偶量，且與前2個線矢量組成的平面垂直，如圖2所示。在圖2中，1、2和3的表達式見式（3）。

求得式（3）的基礎(chǔ)螺旋系見式（4）。

由式（4）可知，1，2和3螺旋系的秩為2，其基礎(chǔ)螺旋為一線矢和一法向偶量。由此可知當兩線矢平行時，可以等效為一線矢和一法向偶量，即兩平行線矢中的一個轉(zhuǎn)化為法向偶量。

圖2 兩平行線矢和一法向偶量

2）平面三線矢和一法向偶量。如果空間有4個螺旋，1、2、3和4。前3個是線矢量且共面，第4個是偶量，且與前3個線矢量組成的平面垂直，如圖3所示。在圖3中，1、2、3和4的表達式見式（5）。

求得式（5）的基礎(chǔ)螺旋系見式（6）。

對式（4）進行分析，1、2、3和4螺旋系的秩為3，由此可知當三線矢共面時，可以等效為平面兩線矢和一法向偶量，即共面三線矢中的一個轉(zhuǎn)化為法向偶量。

3）空間平行三線矢和一個相垂直向偶量。如果空間有4個螺旋，1、2、3和4。前3個是線矢量且空間平行，第4個是偶量，且與前3個線矢量相垂直，如圖4所示。在圖3中，1、2、3和4的表達式見式（7）。

求得式（7）的基礎(chǔ)螺旋系見式（8）。

圖4 空間平行三線矢和一個相垂直向偶量

由式（8）可知，空間平行三線矢等效為一線矢和兩法向偶量，即空間平行三線矢中兩線矢轉(zhuǎn)化為兩法向偶量。

綜合分析線矢和偶量的相關(guān)性可知，當線矢和偶量存在線性相關(guān)時，其中部分線矢量可等效為法向偶量。由此可知，運動支鏈對動平臺的約束力線矢平行或三力線矢共面時，機構(gòu)的運動模式就發(fā)生了改變。

2 機構(gòu)描述及各運動模式分析

3-(RRR)E(RR)S并聯(lián)機構(gòu)，每條運動支鏈都由5個轉(zhuǎn)動副組成，前2個轉(zhuǎn)動副軸線相交，而最后3個轉(zhuǎn)動副軸線平行，其中第1個轉(zhuǎn)動副S與靜平臺相連，最后1個轉(zhuǎn)動副RE與動平臺相連，如圖5所示。選取其中一條支鏈，在轉(zhuǎn)動副軸線相交點建立坐標系原點，軸與平行轉(zhuǎn)動副軸線平行，如圖6所示。以此坐標系可以建立該支鏈的5個運動螺旋的表達式如下：

式（9）的反螺旋為：

由式（10）可知，該支鏈的反螺旋為過轉(zhuǎn)動副軸線RS并相交的點，方向平行于轉(zhuǎn)動副RE軸線的力線矢。

圖5 3-(RRR)E(RR)S并聯(lián)機構(gòu)

2.1 2R1T運動模式分析

在裝配時，轉(zhuǎn)動副RE的軸線平行于動平臺，與動平臺連接的3個轉(zhuǎn)動副RE的軸線滿足共面不匯交?？紤]到機構(gòu)的3條支鏈均為(RRR)E(RR)S，每條支鏈有一個約束力線矢，3條支鏈共作用3個約束力線矢于動平臺。此時，動平臺的3個約束力線矢平行于動平臺，滿足共面相交但不匯交。在靜平臺上建立如圖7所示坐標系，可以寫出約束力分別為：

圖6 (RRR)E(RR)S運動支鏈

式中：(a1, b1, 0)和(a2, b2, 0)為約束力線矢的方向；f1、f2和f3分別為約束力線矢線距的z向分量。

由式（11）可知，約束螺旋系的秩為3，沒有公共約束，按照修正的G-K公式計算：

由此可知，此時3-(RRR)E(RR)S并聯(lián)機構(gòu)的自由度是3。為研究這3個自由度的性質(zhì)，對式（11）進行反螺旋變化，可得基礎(chǔ)運動螺旋系為：

由式（13）可知，動平臺的自由度性質(zhì)為、方向的轉(zhuǎn)動和方向的移動，即為2R1T。

由線矢量與偶量的相關(guān)性可知：動平臺受到共面三約束力線矢時，可以等效為平面兩約束力線矢和一法向約束力偶。約束力線矢限制了平面的兩移動，約束力偶限制了平面法向的轉(zhuǎn)動。由此可知，3條支鏈的轉(zhuǎn)動副RE的軸線共面不匯交時，3-(RRR)E(RR)S并聯(lián)機構(gòu)的運動模式為2R1T。

當動平臺沿軸的移動，動平臺的約束螺旋不改變，機構(gòu)的運動模式依然為2R1T；當動平臺繞、軸的轉(zhuǎn)動，約束力線矢依然過轉(zhuǎn)動副RS軸線的交點，且方向平行于對應支鏈轉(zhuǎn)動副RE副的軸線，即約束力線矢位置關(guān)系沒有改變，動平臺的約束螺旋不改變，則運動性質(zhì)不發(fā)生改變。由此可知，在RE副軸線共面相交但不匯交的布置情況下，3-(RRR)E(RR)S并聯(lián)機構(gòu)的運動模式為2R1T，且具有全周性。物流分揀貨物中，動平臺需要繞軸、軸轉(zhuǎn)動和沿軸移動。在2R1T運動模式下，動平臺可實現(xiàn)繞、軸轉(zhuǎn)動和沿軸移動，滿足物流分揀需求。

2.2 2T1R運動模式分析

在裝配時，轉(zhuǎn)動副RE的軸線平行于動平臺，與動平臺連接的3個轉(zhuǎn)動副RE的軸線空間平行。此時，動平臺的3個約束力線矢平行于動平臺，滿足空間平行。在靜平臺上建立如圖8所示坐標系，可以寫出約束力見式（14）。

式中：(0，e2，f2)和(0，e3，f3)為約束力的線距。

由于3個約束力線性無關(guān)，則沒有公共約束，應用修正的G-K公式可得此時機構(gòu)自由度見式（15）。

由此看到，此時3-(RRR)E(RR)S并聯(lián)機構(gòu)的自由度為3。為研究這3個自由度的性質(zhì)，對式（14）進行反螺旋變化，可得基礎(chǔ)運動螺旋系見式（16）。

由式（13）可知，動平臺的自由度性質(zhì)為、方向的移動和方向的轉(zhuǎn)動，即為2T1R。

由線矢量與偶量的相關(guān)性可知，動平臺受到空間平行三約束力線矢時，可以等效為一約束力線矢和兩法向約束力偶。約束力線矢限制了該方向的移動，約束力偶限制了法向的兩轉(zhuǎn)動。由此可知，3個轉(zhuǎn)動副RE的軸線空間平行，3-(RRR)E(RR)S并聯(lián)機構(gòu)的運動模式為2T1R。

當動平臺沿、方向移動，動平臺的約束螺旋不改變，則運動性質(zhì)不發(fā)生改變；當動平臺繞方向轉(zhuǎn)動，約束力線矢依然過轉(zhuǎn)動副RS軸線的交點，且方向平行于對應支鏈轉(zhuǎn)動副RE副的軸線，即約束力線矢位置關(guān)系沒有改變，動平臺的約束螺旋不改變，則運動性質(zhì)不發(fā)生改變。由此可知，在轉(zhuǎn)動副RE軸線空間平行的布置情況下，3-(RRR)E(RR)S并聯(lián)機構(gòu)的運動模式為2T1R，且具有全周性。兩平移一轉(zhuǎn)動機構(gòu)可用于抓放定位操作，在2T1R運動模式下，動平臺可在平面內(nèi)移動，通過繞方向轉(zhuǎn)動調(diào)整位姿，滿足抓放定位需求。

2.3 3R運動模式分析

在裝配時，與動平臺連接的3個轉(zhuǎn)動副RE的軸線在空間的位置關(guān)系為相錯。此時，動平臺的3個約束力線矢在空間的位置關(guān)系也是相錯。在靜平臺上建立如圖9所示坐標系，可以寫出約束力分別為：

式中：(1，1，1)、(2，2，2)和(3，3，3)為約束力的方向；(1，1，1)、(2，2，2)和(3，3，3)為約束力的線距。

由于動平臺受到空間相錯三約束力線矢，約束力線矢限制了機構(gòu)在三維空間的3個方向上的移動。機構(gòu)只有3個轉(zhuǎn)動自由度，且這3個轉(zhuǎn)動的軸線必須與3個約束力線矢的軸線同時相交。由此可知，3個轉(zhuǎn)動副RE的軸線空間相錯，3-(RRR)E(RR)S并聯(lián)機構(gòu)的運動模式為3R。

當動平臺繞、、方向轉(zhuǎn)動，動平臺的約束螺旋不改變，運動性質(zhì)不發(fā)生改變。由此可知，在轉(zhuǎn)動副RE軸線空間相錯時，3-(RRR)E(RR)S并聯(lián)機構(gòu)的運動模式為3R，且具有全周性。在產(chǎn)品的姿態(tài)調(diào)整過程中，動平臺需要完成3個方向的轉(zhuǎn)動，在3R運動模式下，動平臺能夠繞、、3個方向轉(zhuǎn)動，可以滿足產(chǎn)品空間姿態(tài)調(diào)整需求。

綜上所述，由運動模式分析可知，當與動平臺相連的轉(zhuǎn)動副軸線共面不匯交時，機構(gòu)繞軸、軸轉(zhuǎn)動以及沿軸移動；當與動平臺相連的轉(zhuǎn)動副軸線空間平行時，機構(gòu)沿軸、軸方向移動和繞軸轉(zhuǎn)動；當與動平臺相連的轉(zhuǎn)動副軸線空間相錯時，機構(gòu)繞軸、軸和軸轉(zhuǎn)動。3種運動模式下，機構(gòu)的自由度均具有全周性。當機構(gòu)處于2R1T運動模式，滿足物流分揀需求；當機構(gòu)處于2T1R運動模式，滿足抓放定位需求；當機構(gòu)處于3R運動模式，滿足產(chǎn)品姿態(tài)調(diào)整需求。

3 結(jié)語

1）基于線矢量與偶量的相關(guān)性，兩平行線矢等效為一線矢和一法向偶量；共面三線式等效為平面兩線矢和一法向偶量；空間平行三線式等效為一線矢和兩法向偶量。

2）運動支鏈對動平臺的約束力線矢平行或三力線矢共面時，部分約束力等效為法向約束力偶，機構(gòu)的運動模式發(fā)生改變，這為多模式并聯(lián)機構(gòu)構(gòu)型綜合提供了理論方法。

3）轉(zhuǎn)動副RE軸線共面不匯交時，3-(RRR)E(RR)S并聯(lián)機構(gòu)繞軸、軸轉(zhuǎn)動及沿軸移動，為2R1T運動模式；空間平行時，并聯(lián)機構(gòu)沿軸、軸移動和繞軸轉(zhuǎn)動，為2T1R運動模式；空間相錯時，并聯(lián)機構(gòu)繞軸、軸和軸轉(zhuǎn)動，為3R運動模式。

4）E轉(zhuǎn)動副軸線位置不同時，3-(RRR)E(RR)S并聯(lián)機構(gòu)分別處于3R、2T1R和2R1T 3種不同的運動模式，可應用于需求多運動模式的分揀、抓放、調(diào)姿的包裝生產(chǎn)工程領(lǐng)域。

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Analysis of Multi-motion Mode Based on 3-(RRR)E(RR)SParallel Mechanism

SHEN Bo1, GUO Wen-xiao2,3, LI Rui-qin3*

(1. Department of Mechanical and Electrical Engineering, Shanxi Conservancy Technical Institute, Taiyuan 030032, China; 2. China Coal Technology & Engineering Group Taiyuan Research Institute Co., Ltd., Taiyuan 030006, China; 3. School of Mechanical Engineering, North University of China, Taiyuan 030051, China)

The multi-mode robot has the characteristics of intelligent reconfigurable and variable structure, and can actively or passively adapt to the changing environment. The work aims to design a multi-motion mode parallel mechanism that can be applied in the field of packaging engineering. Based on the screw theory, by studying the correlation between the line vector and the couple in different geometric spaces, it was concluded that the constraint force could be transformed into the normal constraint couple under certain conditions, which provided theoretical support for the parallel mechanism to realize multi-mode motion. Through the deformation of the 3-(RRR)E(RR)Sparallel mechanism, it was concluded that the mechanism had three motion modes of 3R, 2T1R and 2R1T, and the degree of freedom was 3 in each motion mode, with full-cycle mobility. Based on the 3-(RRR)E(RR)Sparallel mechanism, the constraint conditions of the mechanism are changed by changing the spatial position relationship of the branch constraint force line vector, so that the parallel mechanism can realize 3R, 2T1R and 2R1T multi-mode motion. It meets the needs of logistics sorting, grasping and positioning, product space attitude adjustment, etc.

multi-motion mode; parallel mechanism; screw theory; degree of freedom

TS206.4

A

1001-3563(2023)19-0205-07

10.19554/j.cnki.1001-3563.2023.19.026

2023-05-15

山西省重點研發(fā)計劃（201803D421028，201903D421051）

責任編輯：曾鈺嬋