司志本 羅 晉

(河北民族師范學(xué)院教師教育學(xué)院 067000)

《數(shù)學(xué)通報(bào)》2012年第9期“數(shù)學(xué)問題解答”欄目中的第2078題(以下簡(jiǎn)稱原題)為：

已知正實(shí)數(shù)x、y滿足x7+y7=x3+y3，求證：x4+y4≤2.

原題從x、y的對(duì)稱性和指數(shù)間的和諧性(7=3+4)兩個(gè)方面，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的形式美.對(duì)原題的結(jié)論作進(jìn)一步的探究推廣后，可以更深入體會(huì)對(duì)稱性、和諧性的數(shù)學(xué)美.

1 初步推廣

先把原題x7+y7、x3+y3和x4+y4中x、y的指數(shù)之間“7=3+4”這個(gè)關(guān)系推廣到一般的情況.即有下面的命題1.

命題1若正實(shí)數(shù)x、y滿足

xm+n+ym+n=xn+yn，

(1)

則

xm+ym≤2.

(2)

其中m和n都是正整數(shù).

證明當(dāng)x、y中有一個(gè)是1時(shí)，不妨假設(shè)x=1，則根據(jù)(1)式可得ym+n=yn，從而有ym=1，注意到x、y都是正實(shí)數(shù)，所以有y=1，從而有xm+ym=2，此時(shí)(2)式顯然成立；

當(dāng)x、y都不是1時(shí)，根據(jù)命題中x、y的對(duì)稱性，不妨假設(shè)x≥y.把(1)式進(jìn)行移項(xiàng)得到

xm+n+xn=yn+ym+n.

整理得

xn(xm-1)=yn(1-ym)，

即

(3)

(xm-1)≤(1-ym)，

即

xm+ym≤2.

2 進(jìn)一步推廣

由命題1，當(dāng)x、y都是1時(shí)，xm+ym=2；當(dāng)x、y都不是1時(shí)，除了(2)式成立以外，還有下面的命題2和命題3成立.

命題2滿足

xm+n+ym+n=xn+yn，

(1)

的正實(shí)數(shù)x、y，如果不全為1，那么必有一個(gè)大于1，一個(gè)小于1.

證明如命題1的證明，(3)式中xm-1與1-ym是同號(hào)的，因此xm>1當(dāng)且僅當(dāng)1>ym，即x>1當(dāng)且僅當(dāng)1>y.同樣x<1當(dāng)且僅當(dāng)1

把命題2推廣到多個(gè)正實(shí)數(shù)，得到下面的命題3.

命題3若正實(shí)數(shù)x1，x2，…，xt滿足

(4)

則xi(i=1，2，…，t)不可能同時(shí)大于1，也不可能同時(shí)小于1.

事實(shí)上，把(4)式的右端移到左端，整理可得

(5)

由(5)式可知，xi(i=1，2，…，t)不可能同時(shí)大于1，也不可能同時(shí)小于1.

3 最終結(jié)論

把命題1推廣到多個(gè)正實(shí)數(shù)，得到下面的命題4.

命題4若正實(shí)數(shù)x1，x2，…，xt滿足

(6)

則

(7)

證明當(dāng)x1=x2=…=xt=1時(shí)，(7)式顯然成立.不妨假設(shè)x1，x2，…，xt不全為1，即可設(shè)x1≥x2≥…≥xi≥1≥xi+1≥…≥xt.

要證明(7)式成立，只要證明

(8)

成立即可.

由(6)式可得

從而有

(9)

將(9)式代入(8)左端，則有

(10)

因?yàn)椋瑇1≥x2≥…≥xi≥1≥xi+1≥…≥xt，所以有，

(11)

(12)

(13)

(14)

由(11)—(14)式可知，(10)式右端的每一項(xiàng)的兩個(gè)因式都是一正一負(fù)(或者是0)，也就是說，(10)式右端的每一項(xiàng)都是負(fù)數(shù)(或者是0)，所以(8)式成立.