倪天宇 平雪良

（江南大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 無(wú)錫 214122）

1 引言

作為隨著技術(shù)發(fā)展且為滿足高精度等相關(guān)應(yīng)用需求而研發(fā)的一種精密鋼球行星傳動(dòng)，擺線鋼球行星減速器打破了常規(guī)減速器的設(shè)計(jì)思路，摒棄了將齒輪用作傳動(dòng)元素的常規(guī)設(shè)計(jì)模式，開創(chuàng)性地選用了鋼球，通過(guò)它實(shí)現(xiàn)動(dòng)力的實(shí)時(shí)化、快速化傳輸，減少摩擦力，減弱噪音，另外，因機(jī)構(gòu)中不含有齒輪，所以不會(huì)形成背隙。在輸出端，根據(jù)實(shí)際情況靈活合理地規(guī)劃和安裝間隙調(diào)節(jié)裝置，此舉能夠令行星傳動(dòng)過(guò)程中理論上不會(huì)產(chǎn)生回差，有助于運(yùn)動(dòng)精度進(jìn)一步提升。正是憑借著此優(yōu)勢(shì)，該機(jī)構(gòu)在備受業(yè)內(nèi)人士青睞，在精密機(jī)械的傳動(dòng)裝置中得到大力推廣和積極應(yīng)用。

文獻(xiàn)［1~2］在對(duì)現(xiàn)有相關(guān)研究成果進(jìn)行梳理分析后，從構(gòu)成、運(yùn)動(dòng)原理等多角度入手，對(duì)擺線鋼球行星傳動(dòng)展開了廣泛深入地分析，獲得了較為一系列豐碩的研究成果。文獻(xiàn)［3］將目光聚焦于雙擺線鋼球行星傳動(dòng)，通過(guò)各種相關(guān)技術(shù)和方法對(duì)其設(shè)計(jì)方法展開了細(xì)致研究，最終創(chuàng)建了性能可靠、操作便捷的輔助設(shè)計(jì)軟件。文獻(xiàn)［4~5］為全面準(zhǔn)確地把握擺線鋼球行星傳動(dòng)性，在借鑒前人研究成果的前提下，對(duì)其在全載荷下對(duì)應(yīng)的性能展開了深入細(xì)致地分析，最后表示可采用基于陶瓷球的設(shè)計(jì)計(jì)劃。文獻(xiàn)［6］著重對(duì)擺線槽的設(shè)計(jì)、數(shù)控加工方法等內(nèi)容展開了全面深入地分析。文獻(xiàn)［7］分別從結(jié)構(gòu)、運(yùn)動(dòng)方式等多個(gè)層面出發(fā)，對(duì)擺線鋼球行星傳動(dòng)展開了全方位、深層次地探討和分析。

多級(jí)擺線鋼球行星傳動(dòng)在實(shí)際應(yīng)用中表現(xiàn)出突出優(yōu)勢(shì)，比如傳動(dòng)比區(qū)間大，只使用少量的齒數(shù)既能夠非常簡(jiǎn)便容易地提高傳動(dòng)比［8］。處于內(nèi)外擺線槽時(shí)，鋼球基本上保持著完全滾動(dòng)的狀態(tài)，不會(huì)產(chǎn)生較大的滑動(dòng)摩擦力，結(jié)構(gòu)布設(shè)緊密合理，小型化，一般來(lái)講，其大小主要由鋼球規(guī)格、擺線盤厚度等相關(guān)因素決定。不過(guò)需要注意到，如果前后級(jí)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)不合理、不科學(xué)，容易令機(jī)構(gòu)內(nèi)形成封閉功率，不利于構(gòu)件均勻受力，甚至?xí)?dǎo)致構(gòu)件磨損，導(dǎo)致傳動(dòng)效率變小［9］。因此，對(duì)擺線鋼球行星傳動(dòng)機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)顯得尤為的重要。

本文為了提高擺線鋼球行星減速器的運(yùn)行效率及體積優(yōu)化，運(yùn)用粒子群智能算法以體積和轉(zhuǎn)化機(jī)構(gòu)效率高為目標(biāo)函數(shù)，展開科學(xué)合理地結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)。在進(jìn)行反復(fù)計(jì)算后，不僅確定了優(yōu)化參數(shù)，也明確了體積以及效率值這兩個(gè)重要函數(shù)，為擺線鋼球行星減速器結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和性能研究提供參考。

2 擺線鋼球行星傳動(dòng)的原理

關(guān)于擺線鋼球行星減速器結(jié)構(gòu)可參考下圖，能夠此圖能夠清晰直觀地了解到，它包含了兩級(jí)嚙合副組，一級(jí)嚙合副由中心盤2、行星盤4 及鋼球3 組成；第二級(jí)嚙合減速嚙合副由中心盤6、行星盤4組成。

圖1 擺線鋼球減速器結(jié)構(gòu)圖

由上圖可知，擺線鋼球行星減速器的運(yùn)行機(jī)制其實(shí)并不復(fù)雜，簡(jiǎn)單來(lái)講，當(dāng)主動(dòng)偏心軸1 以恒定速度旋轉(zhuǎn)時(shí)，行星盤4 圍繞運(yùn)動(dòng)，在右端閉合圓形凹槽，中心盤2作用于鋼球3，從而控制閉合圓形凹槽的阻力。受此影響，行星盤4 的轉(zhuǎn)動(dòng)速度有效降低，此時(shí)，第一次減速運(yùn)動(dòng)結(jié)束。隨著主動(dòng)偏心軸1的繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，行星盤4以此軸為中心公轉(zhuǎn)，在自轉(zhuǎn)與公轉(zhuǎn)的協(xié)同影響下，行星盤4 實(shí)現(xiàn)了精準(zhǔn)高效地合成運(yùn)動(dòng)，帶動(dòng)鋼球5進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，繼而帶動(dòng)輸出盤6以非常小的角速度運(yùn)行，此時(shí)，第二次減速運(yùn)動(dòng)結(jié)束［10］。

3 擺線鋼球行星結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型

3.1 目標(biāo)函數(shù)

在整個(gè)傳動(dòng)結(jié)構(gòu)體系中，無(wú)論是行星盤，還是中心盤，它們均是不可或缺的重要組成，其結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)置的是否準(zhǔn)確合理將直接關(guān)系到整個(gè)傳動(dòng)裝置的體積及運(yùn)行效率。所以，本文在滿足約束條件下，以體積、效率為目標(biāo)函數(shù)，采取各種合適的方法進(jìn)行了科學(xué)合理地結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)，由此保證選取的參數(shù)最優(yōu)。

1）體積目標(biāo)函數(shù)

減速器的徑向尺寸主要取決于兩大因素：一是中心盤的規(guī)格，二是行星盤運(yùn)動(dòng)的最大回轉(zhuǎn)半徑，另外，其軸向尺寸也主要取決于兩大因素，分別是行星盤、中心盤的寬度。關(guān)于擺線鋼球減速器的尺寸詳情可參考圖2。

圖2 擺線鋼球減速器幾何尺寸參數(shù)圖

傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的體積可近似由式（1）計(jì)算：

在上面的傳動(dòng)機(jī)構(gòu)體積的計(jì)算公式中，V1表示上一級(jí)嚙合運(yùn)動(dòng)中嚙合副的總體積（mm3），V2表示輸出恒星盤左端面至行星盤左端面的體積（mm3），Ra表示行星盤的最大慣性半徑（mm），Rb表示下一級(jí)嚙合副恒星盤的外圓直徑（mm），B1表示上一級(jí)嚙合副的總體的寬度（mm），B2表示輸出盤左端面至行星盤左端面的距離（mm）。

根據(jù)圖2將式（1）轉(zhuǎn)化為

2）效率目標(biāo)函數(shù)

由文獻(xiàn)［11］減速器的傳動(dòng)效率為

式中，ηa表示齒輪傳動(dòng)效率，ηb表示軸承的傳動(dòng)效率，表示一對(duì)滾動(dòng)軸承的傳動(dòng)效率。

由于，滾動(dòng)軸承的摩擦損失很小，所以其摩擦功率損失可不予以考慮。一般來(lái)講，轉(zhuǎn)臂軸承的受力比較均勻合理，有助于延長(zhǎng)使用周期，其傳動(dòng)效率可取0.98左右。由此能夠了解到，該減速器的傳動(dòng)效率的高低主要取決于嚙合效率的大小。以輸入輸出轉(zhuǎn)向相同作為減速器效率分析對(duì)象，可得：

在進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，無(wú)論是哪一個(gè)分目標(biāo)函數(shù)值，均應(yīng)采用合適的方法實(shí)施無(wú)量綱及等量級(jí)處。其中，fa（x）函數(shù)中權(quán)重系數(shù)取1/10100，fb（x）權(quán)系數(shù)取1/0.60，綜合以上所述，經(jīng)過(guò)整合完善后的設(shè)計(jì)變量的函數(shù)為

3.2 約束條件

1）齒數(shù)條件約束

在已知傳動(dòng)比i 的情況下，從理論上來(lái)講，ZQ、Z'Q存在無(wú)窮多組合，不過(guò)在實(shí)踐中，鋼球數(shù)并非任意值均可，只可取整數(shù)。另外，需要注意ZQ、Z'Q的取值，切勿選取較小的值［12］，其主要原因在于若鋼球數(shù)過(guò)少，機(jī)構(gòu)受力會(huì)在原來(lái)基礎(chǔ)上明顯增加，在實(shí)際應(yīng)用中，鋼球數(shù)量往往至少要采用五個(gè)，即：

2）鋼球間不干涉條件

各鋼球在擺線槽內(nèi)各自循環(huán)滾動(dòng)，只有各鋼球之間留有間隙，才能保證各鋼球之間不發(fā)生干涉碰撞。前后級(jí)嚙合副鋼球半徑應(yīng)滿足的條件為

3）嚙合效率約束

擺線槽槽型角β的大小直接關(guān)系到其軸截面的齒廓。如果其角度值過(guò)小，那么鋼球或許會(huì)被夾緊，抑或是由于楔死而無(wú)法靈活自如地運(yùn)動(dòng)。但若其值過(guò)大，會(huì)使得嚙合時(shí)嚙合副在徑向上的分力銳減，降低嚙合的總體效率。關(guān)于β角，最好按照下式進(jìn)行取值：

短幅系數(shù)K 是一個(gè)非常關(guān)鍵的參數(shù)，其取值是否合理不僅關(guān)系到擺線齒廓嚙合特性，也會(huì)對(duì)其幾何特性產(chǎn)生較為深刻的影響，一般來(lái)講，若K 取值過(guò)低，即令擺線齒廓的曲率半徑變大，造成嚙合副中作用力變大，繼而導(dǎo)致低減速器的承載性能有所減弱。反之，若其取值過(guò)高，會(huì)使得擺線齒廓的曲率半徑降低，此時(shí)，齒廓出現(xiàn)頂切的可能性比較大，同時(shí)會(huì)導(dǎo)致齒面接觸應(yīng)力變大，不利于提高承載能力。根據(jù)實(shí)踐和經(jīng)驗(yàn)，短幅系數(shù)K的取值范圍為

4 模型優(yōu)化求解

4.1 PSO算法

粒子群優(yōu)化算法是當(dāng)前應(yīng)用比較廣泛的一種進(jìn)化計(jì)算策略，它是典型的基于群體的算法，結(jié)合對(duì)環(huán)境適應(yīng)狀況，即我們通常所講的適應(yīng)度，群體內(nèi)個(gè)體均逐步遷移至更優(yōu)的位置［13］。D 維空間中，有N 個(gè)粒子科學(xué)合理地布設(shè)空間粒子位置。若粒子i 位置為xi=(xi1,xi2,…,xiD)，將其套入適應(yīng)度函數(shù)f（xi）之中，快速準(zhǔn)確地求解出適應(yīng)值，第i 粒子速度表示為vi=(vi1,vi2,…,viD)，粒子i 經(jīng)過(guò)的最優(yōu)空間區(qū)域pbesti=(pi1,pi2,…,piD) ，種群經(jīng)過(guò)的最優(yōu)空間區(qū)域…gbesti=(g1,g2,...,gD)。第d（1 ≤d≤D）維的位置區(qū)間一般為[Xmin,d,Xmax,d]，速度區(qū)間為[-Vmin,d,Vmax,d]，換言之，在進(jìn)行迭代處理的過(guò)程中，如果Vid，Xid大于邊界值，那么此維的速度或空間區(qū)域即會(huì)約束為其速度或位置的極大值［14］。粒子i的第d維速度更新公式：

式中：c1，c2為加速度常數(shù)，調(diào)節(jié)學(xué)習(xí)最大步長(zhǎng)；r1，r2為兩個(gè)隨機(jī)函數(shù)，取值范圍［0，1］，以增加搜索隨機(jī)性；w：慣性權(quán)重，非負(fù)數(shù)，調(diào)節(jié)對(duì)解空間的搜索范圍。粒子i的第d維位置更新公式見式（11），其中表示第k次迭代粒子i飛行速度矢量的第d維分量；表示第k次迭代粒子i位置矢量第d維分量［15］；

PSO 算法在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，通常會(huì)借助線性遞減策略，科學(xué)合理地調(diào)整慣性權(quán)重，由于無(wú)法準(zhǔn)確客觀地反映粒子群非線性，所以，算法搜索方向的啟發(fā)性較弱。客觀來(lái)講，早期慣性權(quán)重值往往可以選取便于實(shí)現(xiàn)全局搜索的偏大值，不過(guò)這會(huì)導(dǎo)致算法工作量增大，投入增多，也會(huì)造成收斂速度降低；后期時(shí)期可以獲取能夠促進(jìn)算法收斂的較小值，不過(guò)得到局部最優(yōu)解的可能性比較大［16］。依托隨機(jī)數(shù)的特性科學(xué)合理地改變慣性權(quán)值，便于后期獲得更符合要求的值。

本文提出一種基于Levy 隨機(jī)步長(zhǎng)的PSO 隨機(jī)慣性權(quán)值w 進(jìn)行優(yōu)化。Levy隨機(jī)飛行步長(zhǎng)的生成，其可以分為三部分來(lái)描述：

式（12）中參數(shù)μ和?滿足正態(tài)分布要求，β∈［0.3，1.99］。

在式（14）中Γ（z）是gamma 函數(shù)，根據(jù)Levy 隨機(jī)飛行步長(zhǎng)基本原理，對(duì)PSO算法的權(quán)值修改為

粒子i的第d維速度更新公式可調(diào)整為

4.2 基于改進(jìn)PSO算法的優(yōu)化設(shè)計(jì)分析

多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題相對(duì)較為復(fù)雜，現(xiàn)有算法難以實(shí)現(xiàn)對(duì)各子目標(biāo)函數(shù)的快速化、精準(zhǔn)化、全面化比較分析，它們無(wú)法實(shí)現(xiàn)同步最優(yōu)，對(duì)于當(dāng)前應(yīng)用比較廣泛的多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法來(lái)講，其根本在于通過(guò)對(duì)各函數(shù)間關(guān)系的針對(duì)化、合理化調(diào)節(jié)，令其盡量均滿足設(shè)計(jì)要求。

在改進(jìn)的PSO算法中，相較于適應(yīng)度較大的個(gè)體，較低的個(gè)體明顯更勝一籌。在選取適應(yīng)度函數(shù)時(shí)，要著重考慮持續(xù)性、單值等特征。本文在充分考慮被研究對(duì)象特性的基礎(chǔ)上，將體積、效率高定義為目標(biāo)函數(shù)，實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)構(gòu)嚙合效率最小化問(wèn)題的正確求解。所以，關(guān)于被研究對(duì)象的優(yōu)化模型可參考下式，其中i=1,…,m;j=1,2,…,n。

基于外點(diǎn)懲罰函數(shù)法確定兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)的適應(yīng)度評(píng)價(jià)函數(shù)：

r表示懲罰因子，c表示遞增系數(shù)。

在Matlab 中應(yīng)用PSO 算法對(duì)上述適應(yīng)度評(píng)價(jià)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化求解，將會(huì)得到最優(yōu)化的擺線鋼球行星減速器機(jī)械結(jié)構(gòu)和效率配置參數(shù)。

5 仿真分析與實(shí)際試驗(yàn)驗(yàn)證

5.1 實(shí)驗(yàn)環(huán)境

本文仿真實(shí)驗(yàn)環(huán)境配置如表1所示。

表1 實(shí)驗(yàn)配置表

5.2 仿真參數(shù)

假設(shè)樣機(jī)的輸入功率為P=0.6KW，輸入轉(zhuǎn)速n=1000r/min，傳動(dòng)比i=70。取?1=2mm，?2=4mm，?3=5mm，△=3mm，t2=0.65r′Q。減速器其他原始數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 PSO模型優(yōu)化結(jié)果

在采用PSO算法進(jìn)行分析處理時(shí)，仿真參數(shù)如下設(shè)定：學(xué)習(xí)因子c1=c2=0.3，種群中的個(gè)體總數(shù)為40。本文在綜合考慮各方面因素之后決定，最大迭代次數(shù)取300 次，關(guān)于慣性權(quán)重w，可通過(guò)式（15）進(jìn)行準(zhǔn)確合理地確定。應(yīng)用Matlab 對(duì)模型進(jìn)行仿真分析。經(jīng)過(guò)300 次迭代后，基于PSO 算法的擺線鋼球行星減速器機(jī)械結(jié)構(gòu)評(píng)價(jià)函數(shù)適應(yīng)度曲線為如圖3所示。

從圖中可以看出當(dāng)模型迭代超過(guò)60 次時(shí)適應(yīng)度值達(dá)到最優(yōu)狀態(tài)?？梢钥闯瞿Ｐ偷氖諗克俣仁窍喈?dāng)快的，也較為穩(wěn)定。最終得出的擺線鋼球行星減速器機(jī)械結(jié)構(gòu)和效率優(yōu)化曲線如圖4所示。

圖4 結(jié)構(gòu)和效率優(yōu)化曲線

從上圖曲線中可以看出，擺線鋼球行星減速器機(jī)械結(jié)構(gòu)運(yùn)行效率與體積成非線性增長(zhǎng)。當(dāng)體積達(dá)到120cm3時(shí)，減速器體積變大，效率并未大幅提高。在非劣解集中，按照特定標(biāo)準(zhǔn)和要求選擇一組優(yōu)化參數(shù)，求解減速器的體積及轉(zhuǎn)化機(jī)構(gòu)嚙合效率，將其結(jié)果和初始信息相對(duì)比，具體可參考表2。

5.3 試驗(yàn)驗(yàn)證

本文采用某公司在研的型號(hào)為BR160SSBR160SH 減速器為研究對(duì)象，對(duì)上述擺線鋼球結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型進(jìn)行驗(yàn)證分析。并在仿真實(shí)驗(yàn)分析的基礎(chǔ)上加工了三組減速器試驗(yàn)樣機(jī)，測(cè)試樣機(jī)零件圖如圖5所示。

圖5 測(cè)試樣機(jī)零件圖

在輸入功率和傳動(dòng)比不變的情況下，取測(cè)試結(jié)果最優(yōu)的一組，測(cè)試結(jié)果如表3所示。

表3 測(cè)試結(jié)果分析

根據(jù)實(shí)際情況，試驗(yàn)樣機(jī)體積相較于初始減速器體積，優(yōu)化后降低了13%，效率則明顯提升，由最初的86.73%轉(zhuǎn)變?yōu)?3.84%。仿真結(jié)果與實(shí)際試驗(yàn)驗(yàn)證結(jié)果基本一致。

6 結(jié)語(yǔ)

本文根據(jù)以擺線鋼球行星減速器結(jié)構(gòu)和運(yùn)行效率為優(yōu)化目標(biāo)。對(duì)鋼球行星減速器原理分析的基礎(chǔ)上，提出結(jié)構(gòu)和效率優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，并根據(jù)實(shí)際鋼球行星減速器運(yùn)行情況提出約束條件。根據(jù)想要達(dá)到的優(yōu)化目標(biāo)和約束條件，應(yīng)用PSO算法進(jìn)行優(yōu)化求解。根據(jù)仿真模擬的優(yōu)化結(jié)果和試驗(yàn)驗(yàn)證表明，應(yīng)盡量使偏心距的值減小，以減小體積。同時(shí)，在允許的范圍內(nèi)減小K 值，建議K 值取0.45~0.5之間。