張之臻 林樹茂

1 北京起重運輸機械設(shè)計研究院有限公司 北京 100007 2 北京市自動化物流裝備工程技術(shù)研究中心 北京 100007

3 機械工業(yè)物料搬運工程技術(shù)研究中心 北京 100007

1 研究背景

近年來，隨著我國大力發(fā)展推廣智能化制造產(chǎn)業(yè)的發(fā)展[1]，尤其是在自動化工業(yè)領(lǐng)域的自動化立體倉庫發(fā)展格外迅速。自動化倉儲是一種自動化、密集化的物流存儲系統(tǒng)，該系統(tǒng)集高密度立體貨架、堆垛機、輸送機、環(huán)形有軌穿梭車（Rail Guided Vehicle，以下簡稱環(huán)形車RGV）及軟件調(diào)度系統(tǒng)為一體[2]。當貨物在出入自動化立體倉庫前，需要由環(huán)形車RGV-輸送線協(xié)同作業(yè)才能完成將貨物運輸至出入庫堆垛機輸送線，進而完成貨物的出入庫操作[3]。一般情況下，業(yè)主方會梳理業(yè)務(wù)流，結(jié)合目前業(yè)務(wù)的發(fā)展預估未來市場需求的變動，待項目立項后再通過內(nèi)部論證或請咨詢公司進行項目的可行性研究，在初步設(shè)計階段合理梳理出未來立體庫的貨物規(guī)格尺寸、建筑尺寸、效率需求及投資估算等需求[4]。相關(guān)業(yè)務(wù)設(shè)計者需考慮能力匹配、能力均衡、經(jīng)濟性、冗余、安全性[5]等原則，結(jié)合項目現(xiàn)場的客觀條件對環(huán)形車RGV-輸送線布局設(shè)計及優(yōu)化方案進行規(guī)劃，供業(yè)主決策方比對分析。相對于傳統(tǒng)模式的單一環(huán)形車RGV，在環(huán)線中增加緩存輸送線是近年來的主要優(yōu)化方式，可增加緩存線在經(jīng)濟性和帶來效率的提升比例確實有待考量，且在布局設(shè)計過程中考量的因素較多，僅憑借經(jīng)驗指導實踐是非常困難的，且得出的規(guī)劃布局未必是真實的系統(tǒng)最優(yōu)解。因此，建立基于實際情況的數(shù)學模型并求解非常有必要，能夠幫助決策者快速得出具有參考價值的布局比對分析解，可有效減少出入庫作業(yè)總時間，提高倉儲作業(yè)整體效率，為自動化倉儲出入庫區(qū)布局與優(yōu)化提供了理論支持和方法借鑒。

2 自動化立體堆垛機庫出入庫系統(tǒng)特點

1）多目標性 自動化立體倉庫的出入庫作業(yè)需要權(quán)衡出入庫流量、各環(huán)形車RGV的效率、出庫交付和入庫作業(yè)的時間要求等多個目標。

2）協(xié)同性 在自動化立體堆垛機倉儲系統(tǒng)中，每個貨道都有堆垛機，貨物的出入庫作業(yè)需要堆垛機-輸送機、環(huán)形車RGV-輸送機對接后協(xié)同完成。在出庫作業(yè)時，堆垛機將待出庫貨物從相應(yīng)庫位取出并放置于出庫輸送機，環(huán)形車RGV與輸送機對接，接取貨物并運輸至出庫口的輸送機上；環(huán)形車RGV將貨物由入庫輸送機處提取，攜貨物運輸至對應(yīng)巷道口將貨物放置于入庫輸送機，再由堆垛機將貨物運輸至具體貨位。

3）復雜約束 自動化立體倉庫出入庫系統(tǒng)受很多復雜約束限制，其中采用環(huán)形車RGV完成出入庫作業(yè)調(diào)度時，約束包含但不局限于受待出入庫貨物的貨位分布、小車當前狀態(tài)、多輛小車路徑擁堵及碰撞等約束的影響。

4）動態(tài)性 小車故障、多車擁堵、緊急出入庫任務(wù)的插入都會加大出入庫作業(yè)的困難程度，造成出入庫系統(tǒng)的動態(tài)性。

因此，環(huán)形車RGV-輸送機組成的出入庫系統(tǒng)的合理化規(guī)劃與設(shè)計優(yōu)化對減少出入庫作業(yè)總時間、提高了倉儲作業(yè)整體效率具有重大意義。

3 模型建立

本文以由環(huán)形車RGV-堆垛機輸送機組成的出入庫系統(tǒng)為研究對象，通過對比方案同在環(huán)形車RGV中增加輸送機的方案，分別構(gòu)建函數(shù)對環(huán)形車RGV-堆垛機輸送機系統(tǒng)的總成本進行測度，構(gòu)建了整數(shù)隨機規(guī)劃模型，并以基于抽樣平均近似算法對問題進行求解。

3.1 假設(shè)條件

1）自動化立體倉庫區(qū)巷道均為單伸巷道，所有巷道寬度均一致；

2）自動化立體倉庫區(qū)域庫位數(shù)足夠且滿足需求的儲位數(shù)，貨物均勻分布在各個巷道，立體倉庫的出入庫口均在有輸送機的一側(cè)，假設(shè)各巷道的出入庫作業(yè)獨立且均勻分布，各巷道堆垛機的復合作業(yè)效率一致；

3）假設(shè)出入庫效率各為總系統(tǒng)效率的一半；

4）假設(shè)環(huán)形車RGV在彎道處平均速度恒定，環(huán)形車在系統(tǒng)中僅一輛；

5）環(huán)形車RGV在轉(zhuǎn)彎前后的直線段加速度a，直線段初始速度和最終速度均為0，且全程速度均未達速度上限, 環(huán)形車RGV在直線段的運行軌跡如圖1 所示，運行時間t和總運輸距離S、加速度a之間的關(guān)系為

6）出入庫口輸送機自環(huán)形車RGV直線段中間開始均勻?qū)ΨQ排布，數(shù)量一致；

7）增加內(nèi)部輸送線時，僅增加一組出入緩存輸送線，新增輸送線的出入口同系統(tǒng)出入貨口、堆垛機立體庫輸送機出入貨輸送機口對應(yīng)；

8）增加內(nèi)部輸送線時，若貨物同時可走環(huán)線RGV和出入緩存輸送線時，優(yōu)先走出入緩存輸送線。

3.2 自變量、參數(shù)定義、決策變量

1）自變量定義

本文建模中的自變量有：i為貨物經(jīng)環(huán)形車RGV-輸送機堆垛機進入自動化立體庫的第i個巷道入庫，i∈[1，n1]；j為貨物經(jīng)堆垛機輸送機-環(huán)形車RGV 運出自動化立體庫的第j個巷道出庫，j∈[1，n1]；k為貨物經(jīng)入庫輸送機-環(huán)形車RGV的第k個入庫口進入運輸系統(tǒng)，k∈[1，n2]；u為貨物經(jīng)環(huán)形車RGV-出庫輸送機的第u個出庫口運出運輸系統(tǒng)，u∈[1，n2]。

2）參數(shù)定義

本文建模中的參數(shù)有：n1為單深位堆垛機貨架系統(tǒng)數(shù)量，其中n1＝｛1，2，3，4，…｝；n2為出庫口數(shù)量或入庫口數(shù)量，其中n2＝｛1，2，3，4，…｝；a為環(huán)形車RGV在轉(zhuǎn)彎后進入直線段的加速度；W為單深位堆垛機貨架的寬度；L為環(huán)形車RGV直線段的長度；R為環(huán)形車RGV彎道半徑；vCircle為環(huán)形車RGV 在彎道處的平均速度；TTask為完成一次環(huán)形車RGV 與輸送機或輸送機與環(huán)形車RGV交接工作所用的時間；EStoraging為系統(tǒng)入庫效率；ERetrievalling為系統(tǒng)出庫效率；EStorage為堆垛機貨架系統(tǒng)單一堆垛機的復合作業(yè)效率；EInput為單一入貨口輸送機效率；EOutput為單一出貨口輸送機效率；Xijku為在具體情景下單次作業(yè)的出庫或入庫量。

3）決策變量

本文建模中的決策變量有：TCircle為環(huán)形車RGV 完成一次彎道行徑所用的時間；Tij為環(huán)形車RGV在輸送機-堆垛機段的運行總時間，入庫貨物經(jīng)環(huán)形車RGV-輸送機堆垛機進入自動化立體庫的第i個巷道入庫，出庫貨物經(jīng)堆垛機輸送機-環(huán)形車RGV運出自動化立體庫的第j個巷道出庫；Tku為環(huán)形車RGV在入庫輸送機-出庫輸送機間直線段的運行總時間，入庫貨物經(jīng)入庫輸送機-環(huán)形車RGV的第k個入庫口進入運輸系統(tǒng)，出庫貨物經(jīng)環(huán)形車RGV-出庫輸送機的第u個出庫口運出運輸系統(tǒng)；T2ijku為在具體情景下環(huán)形車RGV-輸送機系統(tǒng)中間增加輸送線，以提高系統(tǒng)出入庫效率，加快完成出入庫作業(yè)的總時間；T1為由環(huán)形車RGV-輸送機系統(tǒng)完成出入庫作業(yè)的總時間；T2為由增加輸送線-環(huán)形車RGV-輸送機系統(tǒng)完成出入庫作業(yè)的總時間；T為由環(huán)形車RGV-輸送機系統(tǒng)完成出入庫作業(yè)的總時間。

3.3 模型構(gòu)建

環(huán)形車RGV直線段長度L約束可表示為

為滿足自動化立體倉庫堆垛機系統(tǒng)的出入庫要求，所需要配置的巷道數(shù)量約束，且n1為正整數(shù)，其中為向上取整函數(shù)，約束可表示為

為滿足環(huán)形RGV-輸送機出入庫系統(tǒng)的要求，且出入庫效率各為系統(tǒng)總體效率的一半，n2為正整數(shù)，其中為向上取整函數(shù)，所需要配置的出入庫口數(shù)量約束條件可表示為

根據(jù)式（2）、式（3），可推導出單深位堆垛機貨架系統(tǒng)數(shù)量n1和出庫口數(shù)量或入庫口數(shù)量n2間的關(guān)系，其中為向上取整函數(shù)，具體可表示為

根據(jù)假設(shè)環(huán)形車RGV 在彎道處作勻速運動， 則TCircle可表示為

環(huán)形車RGV 直線段的長度與堆垛機貨架系統(tǒng)寬度間關(guān)系約束可表示為

3.3.1 環(huán)形車RGV-輸送機模型構(gòu)建

如圖2 所示，拆解環(huán)形車RGV-輸送機模型，合理化分解問題，將環(huán)形車RGV的運行軌跡劃分為環(huán)形車RGV與輸送機-堆垛機段、環(huán)形車RGV與出入庫輸送機段、環(huán)形車RGV彎道段作為分析研究對象。

圖2 環(huán)形車RGV－輸送機示意圖

1）環(huán)形車RGV與輸送機-堆垛機段

環(huán)形車RGV與輸送機-堆垛機段的運行總時間為Tij，包含入庫貨物經(jīng)環(huán)形車RGV-輸送機堆垛機進入自動化立體庫的第i個巷道入庫的時間和出庫貨物經(jīng)堆垛機輸送機-環(huán)形車RGV運出自動化立體庫的第j個巷道出庫的時間，其中i∈[1，n1]，j∈[1，n1]，Tij形成一個i·j的矩陣，具體可表示為

當i＜j時，有

當i＝j(luò)時，有

當i＞j時，有

由此，Tij可表示為

2）環(huán)形車RGV與出入庫輸送機段

環(huán)形車RGV在入庫輸送機-出庫輸送機間直線段的運行總時間，入庫貨物經(jīng)入庫輸送機-環(huán)形車RGV的第k個入庫口進入運輸系統(tǒng)，出庫貨物經(jīng)環(huán)形車RGV-出庫輸送機的第u個出庫口運出運輸系統(tǒng), 其中k∈[1，n2]、u∈[1，n2]、Tku形成一個k·u的矩陣，具體可表示為

其中，無論k和u的關(guān)系如何，每一個Tku的表達式均成立，即

3）環(huán)形車RGV彎道段

根據(jù)式（5），環(huán)形車RGV在彎道處作業(yè)總時間可表示為

在此情景下，Xijku＝2，以環(huán)形車RGV-輸送機系統(tǒng)總時間T1為目標構(gòu)建函數(shù)，得到其表達式為

3.3.2 環(huán)形車RGV -輸送機-增加內(nèi)部輸送線模型構(gòu)建

如圖3 所示，當增加內(nèi)部輸送線時，根據(jù)假設(shè)僅增加1 組出入緩存輸送線，其長度為2R，位置設(shè)置在環(huán)形車RGV最中間的出入貨口輸送機對應(yīng)處，此時緩存輸送線與出入庫輸送機-堆垛機相應(yīng)出入庫輸送機存在對應(yīng)關(guān)系。

圖3 環(huán)形車RGV-輸送機-增加內(nèi)部輸送線示意圖

1）在環(huán)形車RGV-輸送機系統(tǒng)中間增加緩存輸送線，從入庫口輸送線k看，第1 次放在入庫緩存線的入庫貨物k1＝1 時，第2 次RGV攜帶的入庫貨物k2∈[1，2，3，…，n2]可利用入庫緩存線，此時要求環(huán)形車RGV-輸送機堆垛機系統(tǒng)的i2≤n1/2 ≤i1，即可利用新增入庫緩存線，此時Xijku＝3。

2）在環(huán)形車RGV-輸送機系統(tǒng)中間增加緩存輸送線，從出庫堆垛機-輸送線j看，要求第1 次放在出庫緩存線的出庫貨物j1≤n1/2 時，第2 次RGV攜帶的出庫貨物n1/2 ≤j2≤n1可利用出庫緩存線，此時要求環(huán)形車RGV-輸送機系統(tǒng)的u2≤u1≤n2，即可利用新增的出庫緩存線，Xijku＝3。

3）基于上述2 種情況，當且僅當k1＝1 ≤k2≤n2、i2≤i1＝n1/2、n1/2 ＝j(luò)1≤j2≤n1、u2≤u1≤n2時，新增的出入庫緩存線均可被充分利用，此時Xijku＝4。

4）除上述情況，其他事件的概率同環(huán)形車RGV-輸送機模型情況，此時Xijku＝2。

由以上分析可得，T2ijku和T2的表達式為

將環(huán)形車RGV-輸送機模型與環(huán)形車RGV-輸送機-增加內(nèi)部輸送線模型進行對比分析，以完成出入庫作業(yè)總時間最少為目標構(gòu)建函數(shù)，表達式為

3.4 基于抽樣平均近似算法的模型求解方法

隨著算例中堆垛機巷道數(shù)目、出入庫口數(shù)目的增加，情景數(shù)量也將呈指數(shù)增加，很難在短時間內(nèi)求解該問題并得到大量問題的精確解法，故應(yīng)采用抽樣平均近似算法對問題進行求解。該方法對于解決此類問題，尤其是數(shù)量較大的隨機情景的混合整數(shù)隨機規(guī)劃問題有較好效果，其能在確保求解精度的前提下大幅縮短求解時間。該算法的具體求解過程如圖4 所示。

圖4 基于抽樣平均近似算法的模型求解過程

4 項目案例驗證

以某自動化立體倉庫的出入庫環(huán)形車RGV-輸送機系統(tǒng)為例，根據(jù)企業(yè)實際運營情況，環(huán)形車RGV-輸送機模型和環(huán)形車RGV-輸送機-增加內(nèi)部輸送線模型分別如下圖5 和圖6 所示，出入庫系統(tǒng)的相關(guān)效率如表1所示。

表1 系統(tǒng)效率相關(guān)參數(shù) 托/s

圖5 環(huán)形車RGV－輸送機模型案例圖

圖6 環(huán)形車RGV－輸送機－增加內(nèi)部輸送線模型案例圖

根據(jù)式（4）可推理得到n1/n2＝3/1 ＝3，上述實際情況符合公式推理。其他參數(shù)情況為：環(huán)形車RGV在轉(zhuǎn)彎后進入直線段的加速度a＝1/3 m/s2，單深位堆垛機貨架的寬度W＝4.2 m，環(huán)形車RGV直線段的長度L＝12 m，環(huán)形車RGV 彎道半徑R＝1.5 m，環(huán)形車RGV在彎道處的平均速度vCircle＝1/3 m/s，完成一次環(huán)形車RGV與輸送機交接工作所用時間TTask＝8 s。

4.1 環(huán)形車RGV-輸送機系統(tǒng)求解

對環(huán)形車RGV-輸送機模型進行拆解，將問題合理化分解，將環(huán)形車RGV的運行軌跡劃分為環(huán)形車RGV與輸送機-堆垛機段、環(huán)形車RGV與出入庫輸送機段、環(huán)形車RGV彎道段等3 段進行分析。

1）環(huán)形車RGV與輸送機-堆垛機段

根據(jù)式（11）可推理Tij的表達式為

2）環(huán)形車RGV與出入庫輸送機段

環(huán)形車RGV在入庫輸送機-出庫輸送機間直線段的運行總時間Tku可根據(jù)式（12）推理得出，其表達式為

3）環(huán)形車RGV彎道段

根據(jù)式（14）可得環(huán)形車RGV在彎道處作業(yè)總時間為

由此，以環(huán)形車RGV-輸送機系統(tǒng)總時間T1為目標構(gòu)建函數(shù)，表達式為

4.2 環(huán)形車RGV -輸送機-增加內(nèi)部輸送線系統(tǒng)求解

當增加內(nèi)部輸送線時，根據(jù)假設(shè)僅增加1 組出入緩存輸送線，其長度為2R，位置設(shè)在環(huán)形車RGV中間部位的出入貨口輸送機對應(yīng)處，此時緩存輸送線與出入庫輸送機-堆垛機相應(yīng)出入庫輸送機也存在對應(yīng)關(guān)系，具體如圖5 所示。

由于形車RGV中間部位的出入貨口輸送機僅1 組，則Tku＝T11；在根據(jù)假設(shè)增加內(nèi)部輸送線時，若貨物同時可以走環(huán)線RGV和出入緩存輸送線，則優(yōu)先走出入緩存輸送線。

1）在環(huán)形車RGV-輸送機系統(tǒng)中間增加緩存輸送線，僅利用新增入庫緩存線，即每次復合作業(yè)對于系統(tǒng)來說，完成2 個貨物的入庫和1 個貨物的出庫，Xijku＝3。從堆垛機-入庫輸送線i來看，第1 次放在入庫緩存線的入庫貨物i1＝2 時，第2 次RGV攜帶的入庫貨物i2∈[1，2]，完成1 次出庫j＝3。

2）在環(huán)形車RGV-輸送機系統(tǒng)中間增加緩存輸送線，僅利用新增出庫緩存線，即每次復合作業(yè)對于系統(tǒng)來說，完成1 個貨物的入庫和2 個貨物的出庫，此時Xijku＝3。從堆垛機-出庫輸送線 看，若第1 次放在出庫緩存線的出庫貨物j1＝1 時，要求i＝1，則第2 次RGV攜帶的出庫貨物j2∈[2，3]；若第1 次放在出庫緩存線的出庫貨物j1＝2 時，要求i∈[1，2]，則第2 次RGV攜帶的出庫貨物j2∈[2，3]。

3）基于上述2 種情況，當且僅當i1＝2、j1＝2，且i2∈[1，2]、j2∈[2，3]時，新增的出入庫緩存線均可被充分利用，此時Xijku＝4。

4）除上述情況，其他事件的概率與環(huán)形車RGV-輸送機模型的拆解相同，Xijku＝2。

另外，同理可根據(jù)T2ijku得到T2，根據(jù)式（17）求解模型可知采用增加環(huán)線方式具有明顯優(yōu)勢，求解得到的結(jié)果為T1＝274 s、T2＝231 s。

5 總結(jié)

本文考慮由環(huán)形車RGV -堆垛機輸送機組成的出入庫系統(tǒng)為研究對象，通過對比方案同在環(huán)形車RGV 中間部位增加輸送機的方案，分別構(gòu)建整數(shù)隨機規(guī)劃模型并對環(huán)形車RGV -堆垛機輸送機系統(tǒng)總成本進行了測度，以基于抽樣平均近似算法對問題進行求解，并基于實際案例對問題進行具象化分析，表明研究結(jié)果對實踐具有指導意義。

為了更加貼近真實情況，采取更復雜的分布擬合出入庫的實際情況；采取更多維度對目標函數(shù)進行約束，以更貼近于環(huán)形車RGV -輸送機出入庫系統(tǒng)運行情況；采取更為豐富的求解方法達成最優(yōu)化問題求解。