莫仕茵，朱懷念

（廣東工業(yè)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，廣東 廣州 510520）

經(jīng)濟(jì)市場(chǎng)中，投資者的效用水平不僅受個(gè)人財(cái)富的影響，還受到對(duì)手財(cái)富或者社會(huì)平均財(cái)富的影響，前者稱(chēng)為絕對(duì)財(cái)富關(guān)注，后者稱(chēng)為相對(duì)財(cái)富關(guān)注。相對(duì)財(cái)富關(guān)注偏好的研究源于經(jīng)濟(jì)學(xué)中的攀比效應(yīng)，這種攀比現(xiàn)象在機(jī)構(gòu)投資者中更為明顯。決策者在選擇金融機(jī)構(gòu)時(shí)通常會(huì)參考行業(yè)排名報(bào)告，金融機(jī)構(gòu)需要相對(duì)業(yè)績(jī)優(yōu)勢(shì)來(lái)凸顯競(jìng)爭(zhēng)力。在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域，我們習(xí)慣用博弈描述上述競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系。另一方面，機(jī)構(gòu)投資者由于資金量大等特點(diǎn)，風(fēng)險(xiǎn)控制尤為重要。顯然，在相對(duì)財(cái)富的關(guān)注下研究投資與風(fēng)險(xiǎn)控制問(wèn)題具有重要意義。

針對(duì)投資組合選擇問(wèn)題，很多學(xué)者利用不同方法在不同視角下展開(kāi)了研究。Markowitz[1]最早使用均值和方差度量投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)，研究了離散時(shí)間的投資組合選擇問(wèn)題，開(kāi)創(chuàng)了現(xiàn)代投資組合選擇問(wèn)題研究的先河，為一般風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益-風(fēng)險(xiǎn)分析提供了一種可行的量化思路。此后，大量學(xué)者在這基礎(chǔ)上展開(kāi)研究。Sharpe[2]在Markowitz[1]提出了均值-方差模型的基礎(chǔ)上研究了資本資產(chǎn)定價(jià)問(wèn)題。Collin等[3]假設(shè)資產(chǎn)的預(yù)期收益、波動(dòng)率和交易成本服從狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型，在連續(xù)時(shí)間模型下研究了投資組合選擇問(wèn)題。

上述研究是在均值-方差準(zhǔn)則下做出的，在投資組合選擇問(wèn)題中，期望效用最大化是另一個(gè)常用的準(zhǔn)則。Merton[4]在連續(xù)時(shí)間框架下研究了投資與消費(fèi)問(wèn)題，以終端時(shí)刻期望效用的最大化為目標(biāo)，系統(tǒng)探討了投資與消費(fèi)問(wèn)題，學(xué)術(shù)界稱(chēng)之為經(jīng)典的Merton問(wèn)題。Liu[5]在CARA(Constant Absolute Risk Aversion)效用函數(shù)下，考慮風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)交易成本，研究了最優(yōu)跨期消費(fèi)和投資策略問(wèn)題。Campbell和Sigalov[6]在效用函數(shù)最大化準(zhǔn)則下，考慮可持續(xù)支出約束，對(duì)無(wú)限壽命投資者的最優(yōu)投資消費(fèi)問(wèn)題進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率降低時(shí)，投資者會(huì)增加風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資；可持續(xù)支出約束會(huì)影響風(fēng)險(xiǎn)偏好對(duì)風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)變化的反應(yīng)。Baltas等[7]在考慮模型不確定的條件下研究了機(jī)構(gòu)投資者的魯棒投資組合選擇問(wèn)題，基于零和博弈思想求得了最優(yōu)投資策略與風(fēng)險(xiǎn)控制策略的解析表達(dá)。

上述研究都是針對(duì)單個(gè)投資者而言的，沒(méi)有考慮投資者之間的競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系和攀比現(xiàn)象。學(xué)者們把投資者之間的競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系具體為博弈關(guān)系，在博弈框架下對(duì)投資組合選擇問(wèn)題展開(kāi)研究。Espinosa和Touzi[8]最早在連續(xù)時(shí)間下對(duì)相對(duì)財(cái)富關(guān)注的投資組合決策問(wèn)題進(jìn)行了分析，使用投資者自身財(cái)富與競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手財(cái)富的差值來(lái)衡量相對(duì)財(cái)富，采用非零和隨機(jī)微分博弈理論解決了多個(gè)相互作用的投資管理者最優(yōu)投資組合決策問(wèn)題，證明了CARA效用函數(shù)下Nash均衡解的存在性，為策略互動(dòng)情形下的投資組合決策研究建立了系統(tǒng)的理論框架。Basak和Makarov[9]采用投資者自身財(cái)富與競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手財(cái)富的比值來(lái)刻畫(huà)相對(duì)業(yè)績(jī)，建立了連續(xù)時(shí)間框架下的兩人非零和隨機(jī)微分投資博弈模型，運(yùn)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理求得了博弈的Nash均衡策略。Kraft等[10]則在非完備市場(chǎng)模型下構(gòu)建了包含兩個(gè)投資管理者的非零和隨機(jī)微分投資博弈模型，他們采用擴(kuò)展的Heston模型描述非完備市場(chǎng)，運(yùn)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理求得了CRRA(Constant Relative Risk Aversion)效用函數(shù)下博弈Nash均衡策略的解析表達(dá)。更多的關(guān)于非零和投資組合博弈的研究，可參見(jiàn)文獻(xiàn)[11-13]及其所引文獻(xiàn)。

上述研究都是基于兩人博弈展開(kāi)的，但是在實(shí)際市場(chǎng)中，遠(yuǎn)不止兩個(gè)投資者。平均場(chǎng)博弈理論主要研究大量同質(zhì)化個(gè)體之間的策略互動(dòng)問(wèn)題，該理論為研究大量機(jī)構(gòu)投資者之間競(jìng)爭(zhēng)性投資策略選擇問(wèn)題提供了有益的思路。在多人最優(yōu)投資與風(fēng)險(xiǎn)控制平均場(chǎng)博弈問(wèn)題中，一個(gè)投資者的行為并不直接影響另一個(gè)投資者，但大量投資者的行為會(huì)影響市場(chǎng)環(huán)境，而市場(chǎng)環(huán)境會(huì)影響每一個(gè)投資決策者。無(wú)疑，上述競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境更符合真實(shí)市場(chǎng)。近年來(lái)，部分學(xué)者在多人博弈和平均場(chǎng)博弈模型框架下研究了投資組合選擇問(wèn)題。Lacker和Zariphopoulou[14]在考慮策略互動(dòng)情形下，構(gòu)建了包含n個(gè)投資者的非零和投資博弈模型，分別在CARA效用和CRRA效用下利用隨機(jī)微分博弈理論和平均場(chǎng)博弈理論求得了博弈的Nash均衡策略。Lacker和Soret[15]在Lacker和Zariphopoulou[14]的基礎(chǔ)上，增加考慮了消費(fèi)行為，構(gòu)建了包含n個(gè)投資者的非零和投資與消費(fèi)博弈模型，在CARA效用函數(shù)下利用隨機(jī)微分博弈理論和平均場(chǎng)博弈理論求得了博弈的Nash均衡策略。Guan和Xu[16]、Yang等[17]在均值-方差準(zhǔn)則下利用隨機(jī)微分博弈理論和平均場(chǎng)博弈理論研究了n家保險(xiǎn)公司的非零和投資與再保險(xiǎn)博弈問(wèn)題，得到了博弈Nash均衡策略的解析表達(dá)。

受上述研究的啟發(fā)，本文在期望效用最大化準(zhǔn)則下研究投資與風(fēng)險(xiǎn)控制問(wèn)題。使用機(jī)構(gòu)投資者財(cái)富與行業(yè)平均財(cái)富之差來(lái)刻畫(huà)相對(duì)財(cái)富，運(yùn)用風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移方法進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)控制，建立n個(gè)機(jī)構(gòu)投資者的非零和投資與風(fēng)險(xiǎn)控制博弈模型。在CARA效用函數(shù)下，利用隨機(jī)微分博弈理論和平均場(chǎng)博弈理論求得了博弈的Nash均衡策略，并進(jìn)行參數(shù)的敏感性分析。

需要指出的是，本文所使用的模型是對(duì)文獻(xiàn)[14]中的模型進(jìn)行拓展得到的。文獻(xiàn)[14]在期望效用最大化準(zhǔn)則下，基于相對(duì)財(cái)富關(guān)注效應(yīng)構(gòu)建了多人投資組合選擇博弈模型和平均場(chǎng)博弈模型。但文中財(cái)富過(guò)程只考慮了投資組合的收益，沒(méi)有考慮公司經(jīng)營(yíng)業(yè)務(wù)所造成的現(xiàn)金流動(dòng)，與金融機(jī)構(gòu)的真實(shí)情況存在偏差。針對(duì)上述問(wèn)題，本文把金融機(jī)構(gòu)支出現(xiàn)金流納入財(cái)富過(guò)程，基于業(yè)務(wù)經(jīng)營(yíng)與投資收益的雙重考慮，尋找最優(yōu)的投資策略；進(jìn)一步地，增加風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移手段，對(duì)經(jīng)營(yíng)業(yè)務(wù)中的支出風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行控制，更符合金融機(jī)構(gòu)的風(fēng)險(xiǎn)管理要求。本文綜合考慮投資與風(fēng)險(xiǎn)控制，構(gòu)建多人非零和博弈模型及平均場(chǎng)博弈模型。此外，本文所使用模型與文獻(xiàn)[15-17]也有相近之處，但均不相同，具體體現(xiàn)在：第一，文獻(xiàn)[15]在文獻(xiàn)[14]的基礎(chǔ)上增加考慮了消費(fèi)問(wèn)題，即在模型中把消費(fèi)納入財(cái)富過(guò)程，且增加考慮消費(fèi)效用，主要研究投資與消費(fèi)問(wèn)題；本文在文獻(xiàn)[14]的基礎(chǔ)上增加考慮金融機(jī)構(gòu)經(jīng)營(yíng)業(yè)務(wù)中的支出風(fēng)險(xiǎn)，把支出現(xiàn)金流納入財(cái)富過(guò)程，通過(guò)風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移手段控制風(fēng)險(xiǎn)，主要研究投資與風(fēng)險(xiǎn)控制問(wèn)題。第二，文獻(xiàn)[16]和[17]基于均值-方差準(zhǔn)則構(gòu)建投資與再保險(xiǎn)多人博弈模型與平均場(chǎng)博弈模型，尋找Nash均衡投資再保險(xiǎn)策略；本文基于期望效用最大化準(zhǔn)則構(gòu)建投資與風(fēng)險(xiǎn)控制多人博弈模型與平均場(chǎng)博弈模型，二者互補(bǔ)共同構(gòu)成了投資組合選擇問(wèn)題中最常用的兩個(gè)重要準(zhǔn)則。

本文的主要貢獻(xiàn)概括起來(lái)包括：(1) 在考慮市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)的情形下，基于非零和博弈理論構(gòu)建了多人最優(yōu)投資與風(fēng)險(xiǎn)控制博弈模型和平均場(chǎng)博弈模型；(2) 在期望效用最大化準(zhǔn)則下，以CARA效用函數(shù)為例，運(yùn)用隨機(jī)控制理論得到了Nash均衡狀態(tài)下最優(yōu)投資與風(fēng)險(xiǎn)控制策略的解析表達(dá)。

1 模型假設(shè)

考慮一個(gè)完備的賦流概率空間( ?,F,P,{Ft}t∈[0,T])，其中P為一個(gè)參考概率測(cè)度，域流{Ft}t∈[0,T]滿(mǎn)足通常條件，即 {Ft}t≥0右連續(xù)且P-完備，F(xiàn)t=σ(W(s),Bl(s),Bi(s),B(s),s≤t,i=1,···,n)是包含4個(gè)相互獨(dú)立的一維布朗運(yùn)動(dòng) {W(t),t≥0} ，{Bi(t),t≥0}i=1,2,···,n，{Bl(t),t≥0}和{B(t),t≥0} 的 自然濾波，? 為樣本空間。假設(shè)金融市場(chǎng)中所有交易可連續(xù)進(jìn)行且容許賣(mài)空，不考慮交易費(fèi)用和稅收。

考慮市場(chǎng)上有n個(gè)金融機(jī)構(gòu)，互為競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系。金融機(jī)構(gòu)在開(kāi)展業(yè)務(wù)(例如：基金管理、企業(yè)年金管理、資產(chǎn)管理等)的過(guò)程中，產(chǎn)生一系列的支出現(xiàn)金流(例如：各種長(zhǎng)期或短期的支付、業(yè)務(wù)相關(guān)運(yùn)營(yíng)成本、所得稅等)。假設(shè)金融機(jī)構(gòu)i，i=1,···,n在日常業(yè)務(wù)中的支出現(xiàn)金流動(dòng)態(tài){Li(t)}服從如式(1)微分方程。

式中：系數(shù)ai>0 ， 系數(shù)bi≥0 ， 系數(shù)ci≥0 ，且bi+ci>0。且支出現(xiàn)金流動(dòng)態(tài)包含一個(gè)漂移項(xiàng)和兩個(gè)波動(dòng)項(xiàng)，第一個(gè)波動(dòng)項(xiàng)用各不相同的一維布朗運(yùn)動(dòng)Bi(t),i=1,···,n描述，表示每個(gè)金融機(jī)構(gòu)獨(dú)立的支出波動(dòng)；第二個(gè)波動(dòng)項(xiàng)用一個(gè)共同的一維布朗運(yùn)動(dòng)Bl(t)描述，表示不同的金融機(jī)構(gòu)受到同一個(gè)經(jīng)濟(jì)環(huán)境和共同的業(yè)務(wù)影響帶來(lái)的支出波動(dòng)，ci越大，表示金融機(jī)構(gòu)對(duì)市場(chǎng)的依賴(lài)程度越大。

支出現(xiàn)金流的隨機(jī)過(guò)程為金融機(jī)構(gòu)帶來(lái)了一定的風(fēng)險(xiǎn)敞口，風(fēng)險(xiǎn)控制勢(shì)在必行。風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移(例如購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn))是金融機(jī)構(gòu)管理風(fēng)險(xiǎn)的重要手段之一。本文假定金融機(jī)構(gòu)借助風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移方式進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)控制，把每一筆經(jīng)營(yíng)業(yè)務(wù)產(chǎn)生的風(fēng)險(xiǎn)都按照一定的比例轉(zhuǎn)移給第三方機(jī)構(gòu)(如外部投資者、保險(xiǎn)公司或其他金融機(jī)構(gòu))，自身承擔(dān)剩余比例的風(fēng)險(xiǎn)。假設(shè)金融機(jī)構(gòu)i把qi(t),qi(t)∈[0,1]比例的風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移給第三方機(jī)構(gòu)，風(fēng)險(xiǎn)自留比例為 ( 1-qi(t))。當(dāng)該筆業(yè)務(wù)面臨支出時(shí)，金融機(jī)構(gòu)需要承擔(dān)虧損額的 (1-qi(t))×100%，接受風(fēng)險(xiǎn)的第三方機(jī)構(gòu)承擔(dān)支出額的qi(t)×100%。金融機(jī)構(gòu)i的盈余過(guò)程{Hi(t)}可以描述成

式中：pi>0表示金融機(jī)構(gòu)提供金融服務(wù)收取的管理費(fèi)率， λi>0表示承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)的第三方機(jī)構(gòu)收取的費(fèi)率， λi>pi；E [·]表示數(shù)學(xué)期望。假設(shè)金融機(jī)構(gòu)可以把財(cái)富投資于由一種無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券和一種股票構(gòu)成的金融市場(chǎng)中，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券價(jià)格動(dòng)態(tài){S0(t)}和風(fēng)險(xiǎn)股票的價(jià)格動(dòng)態(tài){S1(t)}由式(3)描述：

式中：r≥0， 為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率；μ >r，為股票的預(yù)期收益率；σ ≥0，為股票收益的波動(dòng)率。

將金融機(jī)構(gòu)i在t時(shí)刻的財(cái)富記為Xi(t)， 用πi(t)表示金融機(jī)構(gòu)i在t時(shí)刻投資于股票的金額，余下的財(cái)富(Xi(t)-πi(t)) 投 資于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券。將金融機(jī)構(gòu)i在t時(shí)刻的交易策略記為ηi:=(πi(t),qi(t))，πi(t)∈R為投資策略；qi(t)∈R為風(fēng)險(xiǎn)控制策略。金融機(jī)構(gòu)i的財(cái)富過(guò)程可以表示為

式中：Xi(0)=ξi表 示金融機(jī)構(gòu)i的初始財(cái)富。

定義1(可行策略) 對(duì)于金融機(jī)構(gòu)i，策略ηi=(πi(t),qi(t))稱(chēng)為可行策略，如果

假定金融機(jī)構(gòu)的目標(biāo)為預(yù)期效用最大化，金融機(jī)構(gòu)的效用取決于終端時(shí)刻自身的財(cái)富值，以及其財(cái)富與行業(yè)平均財(cái)富的差值。使用指數(shù)效用(CARA Utility) 來(lái)描述金融機(jī)構(gòu)i的風(fēng)險(xiǎn)偏好。

式中：δi>0 ， 表示對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的容忍程度。δi越大，表示金融機(jī)構(gòu)i越偏好風(fēng)險(xiǎn)；反之亦然。

2 多人博弈

假設(shè)金融市場(chǎng)中機(jī)構(gòu)投資者的數(shù)量n有限，每個(gè)金融機(jī)構(gòu)在市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)中都希望自身財(cái)富高于同行所有競(jìng)爭(zhēng)者的財(cái)富，但這一希望難以實(shí)現(xiàn)，退而求其次，每個(gè)金融機(jī)構(gòu)旨在追求自身財(cái)富高于行業(yè)平均財(cái)富。金融機(jī)構(gòu)i通過(guò)選擇最優(yōu)策略ηi(t):=(πi(t),qi(t))∈Πi，最大化預(yù)期效用。其優(yōu)化目標(biāo)可描述為：

式中，支付函數(shù)為

定義2(Nash均衡) 對(duì)于所有ηi(t)=(πi(t),qi(t))∈Πi,i=1,···,n， 如果策略組合( η1?,···,ηn?)滿(mǎn)足

則稱(chēng) ( η1?,···,ηn?)為Nash均衡。一個(gè)恒定的Nash均衡策略是指，對(duì)于每一個(gè)金融機(jī)構(gòu)i，在博弈的持續(xù)期[0,T]內(nèi) ，其最優(yōu)策略ηi?都 不隨時(shí)間t而 變動(dòng)，即ηi?(t)=ηi?(0),?t∈[0,T]。

下述定理給出了本節(jié)內(nèi)容的主要結(jié)論。

(i) 當(dāng) θ<1時(shí)，存在唯一的Nash均衡投資策略，由式(8)給出：

(ii) 當(dāng) θ=1時(shí)，Nash均衡投資策略不存在。

控制策略存在下述兩種情況：

(i) 當(dāng)?n<1時(shí)，存在唯一的Nash均衡風(fēng)險(xiǎn)控制策略，由式(9)給出：

(ii) 當(dāng)?n=1時(shí)，Nash均衡風(fēng)險(xiǎn)控制策略不存在。

金融機(jī)構(gòu)i的值函數(shù)可表示為

由動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理可知，值函數(shù)V(t,x,y)滿(mǎn)足HJB方程，如式(12)所示。

為了求解式(12) ，假設(shè)值函數(shù)形式為

終端條件為f(T)=1。

式(12) 分別對(duì)πi和qi求一階條件：

把式(13) 和(14)代回HJB方程(12) 中，得到

ft(t)-ρf(t)=0

式中：

結(jié)合終端條件f(T)=1解 得f(t)=e-ρ(T-t)。

定理1證畢。

3 平均場(chǎng)博弈

上一節(jié)，本文在n有 限的基礎(chǔ)上，研究了n個(gè)競(jìng)爭(zhēng)性的金融機(jī)構(gòu)之間的投資與風(fēng)險(xiǎn)控制博弈。在這一節(jié)，對(duì)上述模型進(jìn)行拓展，研究n→∞的情形。

在n→∞ 的n人博弈中，對(duì)于每一個(gè)金融機(jī)構(gòu)i=1,···,n，都有類(lèi)型向量

ζi:=(xi(0),δi,θi,ai,bi,ci,λi,pi,μ,r,σ)

這些類(lèi)型向量包含一種經(jīng)驗(yàn)測(cè)度，稱(chēng)為類(lèi)型分布，即類(lèi)型空間上的概率測(cè)度

式(18) 由下式給出。

接下來(lái)本文定義的平均場(chǎng)博弈允許將極限策略(19) 和(20) 化為一個(gè)獨(dú)立的均衡問(wèn)題，這個(gè)均衡問(wèn)題直觀地反映了一個(gè)金融機(jī)構(gòu)與一個(gè)擁有m分布的眾多機(jī)構(gòu)集體的博弈問(wèn)題。與其讓一個(gè)金融機(jī)構(gòu)與一系列的機(jī)構(gòu)建立博弈模型，不如依照平均場(chǎng)博弈的范式，對(duì)一個(gè)隨機(jī)選擇的代表性的金融機(jī)構(gòu)建模。概率測(cè)度m表示類(lèi)型參數(shù)在眾多機(jī)構(gòu)的集體中的分布；相應(yīng)地，金融機(jī)構(gòu)的類(lèi)型向量是一個(gè)服從規(guī)律m的隨機(jī)變量。在集體中的每一個(gè)金融機(jī)構(gòu)的盈余過(guò)程都是相互獨(dú)立的。

根據(jù)式(4) 可知，代表性的金融機(jī)構(gòu)的財(cái)富過(guò)程可以表示為

式中：X(0)=ξ 。金融機(jī)構(gòu)使用的策略表示為η(t):=(π(t),q(t))∈R×R，π (t)∈R為 投資策略，q(t)∈R為風(fēng)險(xiǎn)控制策略。

接下來(lái)，我們將構(gòu)造出平均場(chǎng)博弈的Nash均衡策略，并證明。

定理2假定δ >0，θ ∈[0,1]， μ >r≥0，σ ≥0，b≥0，c≥0，b+c>0，引入兩個(gè)常數(shù)表示 δ=E[δ]和 θ=E[θ]，在上述兩個(gè)常數(shù)皆存在且有限的情況下，均衡投資策略存在下述兩種情況：

(i) 當(dāng) ?<1時(shí)，存在唯一的恒定平均場(chǎng)博弈Nash均衡，均衡時(shí)最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)控制策略由式(24)給出。

(ii) 當(dāng)? =1時(shí)，Nash均衡風(fēng)險(xiǎn)控制策略不存在。

證明在給定Xˉ的情況下，構(gòu)造一個(gè)恒定的平均場(chǎng)博弈均衡來(lái)解決式(22) 中的隨機(jī)最優(yōu)化問(wèn)題。由 于 (ξ,a,λ,p,μ,r,σ,α,β) 與W(t)，Bl(t)和B(t)相 互 獨(dú)立，對(duì)t∈[0,T]，有

對(duì)任意的t∈[0,T]， 定義Zη(t):=X(t)-θXˉ(t)，結(jié)合式(21) 的財(cái)富過(guò)程有

其中Zη(0)=ξ-θξˉ 。把Xˉ納入優(yōu)化目標(biāo)式(22) 中，優(yōu)化目標(biāo)可化為

值函數(shù)V(t,z)是式(26)HJB方程唯一解：

假設(shè)滿(mǎn)足HJB方程(26) 的值函數(shù)形式為V(t,z)=-ef(t) ，終端條件為f(T)=1。式(26) 分別對(duì)π 和q求一階條件得

投資與風(fēng)險(xiǎn)控制策略 η?(t)=(π?(t),q?(t))要成為平均場(chǎng)博弈的均衡，需滿(mǎn)足： π?(t)=α(t)，q?(t)=β(t)。把π?(t)=α(t) 代 入式(27) ，兩邊同時(shí)乘以σ ，然后取均值得到式(29) ；把q?(t)=β(t)代入式(28) ，兩邊同時(shí)乘以c，然后取均值得到式(30) 。

至此，均衡投資策略存在下述3種情況：

均衡風(fēng)險(xiǎn)控制策略存在下述3種情況：

(ii) 當(dāng) ? =1且 ε ≠0時(shí)，方程(30) 沒(méi)有解，即不存在該問(wèn)題下的均衡風(fēng)險(xiǎn)控制策略。

(iii) 還有一種情況： ? =1，ε =0。但這種情況不存在，因?yàn)棣?>0，a>0，λ >0，μ >r，b≥0，c≥0，b+c>0， 當(dāng) ? =1時(shí) ，表示c不 恒等于0， ε <0恒成立。

把式(27) ～式(30)代回HJB方程(26) ，得到

ft(t)-ρf(t)=0

其中

結(jié)合終端條件f(T)=1得f(t)=e-ρ(T-t)。定理2證畢。

4 敏感性分析

本文從金融市場(chǎng)中提取真實(shí)交易數(shù)據(jù)，對(duì)金融市場(chǎng)模型中的參數(shù)進(jìn)行校準(zhǔn)，根據(jù)參數(shù)估計(jì)的結(jié)果進(jìn)行敏感性分析。

首先估計(jì)金融市場(chǎng)中風(fēng)險(xiǎn)股票價(jià)格模型和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券價(jià)格模型中的參數(shù)。根據(jù)式(4) ，運(yùn)用極大似然估計(jì)法，股票預(yù)期收益率的估計(jì)量和股票收益波動(dòng)率的估計(jì)量可表示為

滬深300指數(shù)(代碼：399300) 是中國(guó)股票市場(chǎng)的晴雨表，其行情可以反映中國(guó)股市大盤(pán)走勢(shì)。故使用2012年5月28日至2022年05月05日滬深300指數(shù)日頻數(shù)據(jù)，共計(jì)2 416個(gè)樣本觀測(cè)值，即n=2 416，對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格模型中的預(yù)期收益率和波動(dòng)率參數(shù)進(jìn)行擬合，T=n×(1/252)?？紤]數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性，對(duì)指數(shù)價(jià)格進(jìn)行對(duì)數(shù)化處理。相應(yīng)地，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率采用Shibor一年期利率均值對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)收益率。金融市場(chǎng)相關(guān)參數(shù)設(shè)置：μ為0.072 5，σ為0.229 1，r為0.040 5。

參考Baltas等[12]，Lacker和Zariphopoulou[14]，Guan和Hu[16]，金融機(jī)構(gòu)相關(guān)參數(shù)取值如表1所示。

表1 金融機(jī)構(gòu)相關(guān)參數(shù)設(shè)置Table 1 Financial institutions related parameter settings

本文主要對(duì)平均場(chǎng)博弈中的均衡策略，即定理2中展示的主要結(jié)論進(jìn)行分析。

圖1刻畫(huà)了金融機(jī)構(gòu)的均衡投資策略 π?與其競(jìng)爭(zhēng)參數(shù)θ 以及行業(yè)競(jìng)爭(zhēng)參數(shù)的均值 θ的關(guān)系，競(jìng)爭(zhēng)將導(dǎo)致風(fēng)險(xiǎn)投資攀升。顯然，當(dāng)θ 和 θ接近1的時(shí)候，均衡投資策略 π?呈爆炸式增長(zhǎng)。這反映了，在競(jìng)爭(zhēng)激烈的群體中，投資者都投資了大量的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。一方面，均衡投資策略 π?與 競(jìng)爭(zhēng)參數(shù)θ 成正相關(guān)。這表明，在激烈的競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境中，金融機(jī)構(gòu)希望在行業(yè)排名中脫穎而出，會(huì)增加風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資額，通過(guò)爭(zhēng)取更高的風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬在與同行的博弈中獲勝。另一方面，均衡投資策略 π?與市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)參數(shù)的均值 θ成正相關(guān)。這表明，投資者的均衡投資策略會(huì)受到環(huán)境和對(duì)手的影響。若其他金融機(jī)構(gòu)都具有強(qiáng)烈的相對(duì)財(cái)富關(guān)注，進(jìn)行大量風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資，市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)就會(huì)變得異常激烈。金融機(jī)構(gòu)為了跟上市場(chǎng)和同行，只能增加風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資額，通過(guò)高風(fēng)險(xiǎn)高回報(bào)的投資保持行業(yè)地位。

圖1 θ和 θ對(duì)均衡投資策略π ?的影響Fig.1 Effect of θ and θ onπ?

圖2描繪了金融機(jī)構(gòu)的均衡投資策略 π?與δ 以及其市場(chǎng)均值的關(guān)系。δ 越大，金融機(jī)構(gòu)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的容忍程度越強(qiáng)。一方面，均衡投資策略 π?與δ 成正相關(guān)。這表明，當(dāng)金融機(jī)構(gòu)偏好風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，會(huì)增加風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資。另一方面，均衡投資策略 π?與成正相關(guān)。這可以理解為，當(dāng)市場(chǎng)中的大部分機(jī)構(gòu)投資者偏好風(fēng)險(xiǎn)，采取激進(jìn)投資策略，為了在收益上追上對(duì)手，金融機(jī)構(gòu)不得不增加風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資，競(jìng)爭(zhēng)使得風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資增加；當(dāng)市場(chǎng)中的大部分機(jī)構(gòu)投資者都對(duì)風(fēng)險(xiǎn)恐懼，采取保守的投資策略時(shí)，由于羊群效應(yīng)，金融機(jī)構(gòu)也會(huì)采取保守的投資策略，減少對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資，把更多資金投資于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。

圖2 δ和對(duì)均衡投資策略π ?的影響Fig.2 Effect of δ and onπ?

圖3描述了金融機(jī)構(gòu)的均衡風(fēng)險(xiǎn)控制策略q?與其競(jìng)爭(zhēng)參數(shù) θ以及其風(fēng)險(xiǎn)容忍程度δ 的關(guān)系。一方面，均衡風(fēng)險(xiǎn)控制策略q?與競(jìng)爭(zhēng)參數(shù)θ 成負(fù)相關(guān)。這表明，競(jìng)爭(zhēng)會(huì)導(dǎo)致風(fēng)險(xiǎn)控制的減弱。金融市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)激烈，金融機(jī)構(gòu)會(huì)降低保險(xiǎn)購(gòu)買(mǎi)的比例，降低風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移的比例和費(fèi)用，搏取更高的風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬，在財(cái)富上超越對(duì)手。另一方面，均衡風(fēng)險(xiǎn)控制策略q?與δ 成負(fù)相關(guān)。顯然，金融機(jī)構(gòu)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)越厭惡，恐懼風(fēng)險(xiǎn)帶來(lái)虧損，會(huì)提高風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移的比例，控制風(fēng)險(xiǎn)。當(dāng)q?<0時(shí)，表示金融機(jī)構(gòu)主動(dòng)承擔(dān)由其他金融機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)出的風(fēng)險(xiǎn)。從圖3可以看出，即使存在保險(xiǎn)等風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移手段，但具有偏好風(fēng)險(xiǎn)的金融機(jī)構(gòu)不僅不會(huì)轉(zhuǎn)移風(fēng)險(xiǎn)，還會(huì)主動(dòng)作為第三方機(jī)構(gòu)，接受由其他金融機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)出的風(fēng)險(xiǎn)，賺取風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移費(fèi)用。顯然，競(jìng)爭(zhēng)使得風(fēng)險(xiǎn)控制減弱。

圖3 δ 和θ 對(duì)均衡風(fēng)險(xiǎn)控制策略q ?的影響Fig.3 Effect of δ and θ onq?

圖4描述了金融機(jī)構(gòu)的均衡風(fēng)險(xiǎn)控制策略q?與其盈余過(guò)程的獨(dú)立波動(dòng)b和公共波動(dòng)c之間的關(guān)系。可以看出，盈余過(guò)程的波動(dòng)會(huì)影響其均衡風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移策略，但這種影響在波動(dòng)小的時(shí)候較為明顯，即當(dāng)盈余過(guò)程的波動(dòng)率較小的時(shí)候，均衡風(fēng)險(xiǎn)控制策略對(duì)盈余波動(dòng)較為敏感；當(dāng)波動(dòng)超過(guò)一定程度的時(shí)候，金融機(jī)構(gòu)傾向于把絕大部分風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移出去，此后波動(dòng)的改變，不會(huì)引起均衡風(fēng)險(xiǎn)控制策略的大幅度調(diào)整。一方面，金融機(jī)構(gòu)的均衡投資策略q?與其盈余過(guò)程的獨(dú)立波動(dòng)b成正相關(guān)。這表明，當(dāng)盈余過(guò)程波動(dòng)增大，金融機(jī)構(gòu)會(huì)提高風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移比例，使風(fēng)險(xiǎn)的自留比例降低，發(fā)生虧損時(shí)，可減少損失。另一方面，金融機(jī)構(gòu)的均衡投資策略q?與其盈余過(guò)程的公共波動(dòng)c成正相關(guān)。這可以解釋為，當(dāng)盈余過(guò)程與市場(chǎng)的相關(guān)程度越高，當(dāng)市場(chǎng)的波動(dòng)越大時(shí)，金融機(jī)構(gòu)會(huì)選擇提高風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移比例以控制風(fēng)險(xiǎn)。

圖4 b 和c 對(duì) 均衡風(fēng)險(xiǎn)控制策略q ?的影響Fig.4 Effect of b and c onq?

5 結(jié)語(yǔ)

金融機(jī)構(gòu)作為盈利性機(jī)構(gòu)，如何對(duì)自有和籌集到的資金進(jìn)行合理有效的運(yùn)用，實(shí)現(xiàn)財(cái)富保值增值，是金融機(jī)構(gòu)所關(guān)注的核心內(nèi)容。在經(jīng)營(yíng)和投資過(guò)程中，金融機(jī)構(gòu)面臨支出和投資兩方面的風(fēng)險(xiǎn)。為了穩(wěn)健公司經(jīng)營(yíng)，金融機(jī)構(gòu)需要進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)控制。金融市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)激烈，金融機(jī)構(gòu)在進(jìn)行決策時(shí)關(guān)注相對(duì)績(jī)效，以提高競(jìng)爭(zhēng)力。金融機(jī)構(gòu)作為金融市場(chǎng)的重要參與者，其資金安全和良好運(yùn)營(yíng)對(duì)市場(chǎng)穩(wěn)定有重要作用。因此，在相對(duì)績(jī)效關(guān)注下對(duì)金融機(jī)構(gòu)投資與風(fēng)險(xiǎn)控制問(wèn)題進(jìn)行研究，有利于金融機(jī)構(gòu)健康發(fā)展，穩(wěn)定金融市場(chǎng)，促進(jìn)經(jīng)濟(jì)社會(huì)有序運(yùn)行。研究結(jié)論為金融機(jī)構(gòu)經(jīng)營(yíng)決策者，以及金融行業(yè)發(fā)展的引導(dǎo)者提供理論參考，具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

本文研究了策略互動(dòng)下多個(gè)相互競(jìng)爭(zhēng)的機(jī)構(gòu)投資者之間的最優(yōu)投資與風(fēng)險(xiǎn)控制問(wèn)題。使用經(jīng)典的Black-Scholes模型描述風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格動(dòng)態(tài)，采用購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)等方法進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)控制，使用投資者自身財(cái)富與行業(yè)平均財(cái)富之間的差值描述相對(duì)財(cái)富，在CARA效用函數(shù)下構(gòu)建非零和博弈模型，運(yùn)用多人博弈理論和平均場(chǎng)博弈理論求出Nash均衡時(shí)最優(yōu)投資與風(fēng)險(xiǎn)控制策略的解析表達(dá)，并對(duì)參數(shù)進(jìn)行敏感性分析。

研究結(jié)果表明：(1) 競(jìng)爭(zhēng)將導(dǎo)致風(fēng)險(xiǎn)投資攀升，風(fēng)險(xiǎn)控制減弱。市場(chǎng)中競(jìng)爭(zhēng)越激烈，金融機(jī)構(gòu)希望業(yè)績(jī)優(yōu)于同行，就會(huì)增加風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資額，降低風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移比例，博取高額風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬，減少風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移費(fèi)用，提高相對(duì)績(jī)效；同時(shí)，當(dāng)同行都為了提高業(yè)績(jī)而采取激進(jìn)的投資策略和風(fēng)險(xiǎn)控制策略時(shí)，金融機(jī)構(gòu)為了在財(cái)富上追趕上對(duì)手，不得不增加風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資，削弱風(fēng)險(xiǎn)控制。(2) 金融機(jī)構(gòu)的投資與風(fēng)險(xiǎn)控制策略受到對(duì)手風(fēng)險(xiǎn)偏好的影響。金融機(jī)構(gòu)自身和對(duì)手風(fēng)險(xiǎn)的偏好都會(huì)導(dǎo)致其降低風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移的比例。由于羊群效應(yīng)，當(dāng)同行都厭惡風(fēng)險(xiǎn)而采取保守的投資策略時(shí)，該金融機(jī)構(gòu)也會(huì)降低對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資。(3) 盈余波動(dòng)的變化影響風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移策略發(fā)生同向改變。當(dāng)金融機(jī)構(gòu)盈余過(guò)程的波動(dòng)越大時(shí)，為了控制風(fēng)險(xiǎn)，金融機(jī)構(gòu)會(huì)增加風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移比例；當(dāng)金融機(jī)構(gòu)的盈余過(guò)程對(duì)市場(chǎng)的依賴(lài)越強(qiáng)，且市場(chǎng)的波動(dòng)增大時(shí)，金融機(jī)構(gòu)也會(huì)增加風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移的比例，降低損失風(fēng)險(xiǎn)。但這種影響在波動(dòng)較小時(shí)較為明顯；當(dāng)波動(dòng)超過(guò)一定程度時(shí)，金融機(jī)構(gòu)傾向于把絕大部分風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移，波動(dòng)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移策略影響甚微。